Оптимизация динамики пучка в ускорителе при использовании стохастического метода

Ускорители заряженных частиц – это устройства для получения высокоэнергетичных пучков частиц (электронов, протонов, атомных ядер, ионов) с целью использования ускоренного пучка в научных исследованиях, промышленности, хозяйстве, медицине и других сферах.
Принцип действия линейных ускорителей

Ускорение частиц осуществляется под действием электрического поля, магнитное поле лишь изменяет форму траектории частицы и служит для управления пучком, в том числе, для его фокусировки [16, 17]. Ускоряющее электрическое поле в большинстве случаев создается внешними устройствами – генераторами.

Пусть Е — вектор напряженности электрического поля. Здесь интеграл берется вдоль траектории частицы. Если электрическое поле стационарно и обладает потенциалом, то правая часть уравнения будет равна е, где — разность потенциалов между начальной и конечной точками траекторий частицы. Рассмотрим однородное электрическое поле, направленное вдоль некоторой оси и образуемое двумя параллельными разноименно заряженными пластинами. Напряженность поля здесь определяется по формуле Еz = , где — разность потенциалов, а L — расстояние между пластинами.
Заряженная частица с зарядом е, находясь в этом поле некоторое время , получает приращение импульса рz, равное

На этом примере видно, что для получения заряженных частиц с большими значениями кинетических энергий следует создать сильные электрические поля либо сделать так, чтобы частица продолжительное время находилась в электрическом поле или проходила его неоднократно.
В настоящее время существует несколько различных физических установок-ускорителей дня получения заряженных частиц с высокими энергиями.
Существуют три группы, на которые можно разделить ускорители по способу получения электрических полей [1]:
• электростатические, в которых заряженные частицы ускоряются за счет прохождения некоторой разности потенциалов в постоянном электрическом поле;
• индукционные, в которых при изменении во времени электромагнитная индукция создает ускоряющее поле создается;
• резонансные, в которых используется переменное электрическое поле высокой частоты.
Заметим, что, по характеру траекторий частиц ускорители делятся па циклические и линейные. В циклическом ускорителе частицы движутся по спирали, а в линейном траектории частиц близки к прямой.
В настоящей работе рассматривается линейный волноводный ускоритель электронов. -Процессы в этом ускорителе исследуются многими авторами [1, 8-11, 20] однако задача оптимизации динамики пучка по сей день актуальна в связи с разнообразием устройств и областей их применения. Кроме того, накопленный опыт моделирования динамики пучков в ускорителях на бегущей волне позволяет рассматривать данный ускоритель как своего рода «испытательную площадку» для реализации новых методов, подходов, моделей исследования и оптимизации движения частиц.
Данная работа опирается на опыт исследований в области математического моделирования и оптимизации систем формирования заряженных пучков, проводимых на кафедре теории систем управления электрофизической аппаратурой (ТСУЭФА) под руководством проф. Д. А. Овсянникова [9, 10]. Работа выполнена в рамках исследований кафедры в области математического моделирования процессов в ускорителях, а также создания комплексов программ, осуществляющих численное моделирование и оптимизацию динамики заряженных пучков в ускоряющих системах. В диссертации используются подходы к моделированию и оптимизации продольного движения частиц, апробированные на кафедре ТСУЭФА для различных устройств.
Рассмотрим, как происходит ускорение заряженных частиц в диафрагмированном волноводе, которое называют ускорением на бегущей волне [7-9]. Будем считать, что ускоряются электроны.
Пусть электрон находится в фазе ϕ ускоряющей волны. Тогда на него
вдоль оси 0z действует сила F = eEz = eE0(z) sin φ.
Так как e < 0, то при φ ∈ (-π + 2kπ,2kπ) (k = ±0,±1,±2,...) электрон будет находиться в ускоряющей полуволне, т.е. действующая на него сила будет ускоряющей, а при φ ∈ (2kπ, π + 2kπ) - в замедляющей. Допустим, что частица попала в ускоряющую полуволну. Тогда электрон получает приращение скорости вдоль оси 0z волновода. Процесс ускорения частицы происходит непрерывно, при условии, что фазовая скорость волны сначала была близка к скорости электрона, а затем начала увеличиваться синхронно с ее возрастанием. Частицу, продольная скорость которой совпадает в каждый момент с фазовой скоростью волны, называют равновесной (синхронной). Фазу, скорость, энергию и импульс равновесной частицы называют также равновесными и отмечают соответствующие величины индексом "с". Пусть φ0 – равновесная фаза. Из определения υс = υ следует, что φс = const, т.е. равновесные частицы движутся в постоянных фазах. Рассмотрим теперь принцип автофазировки [7-9]. Суть его состоит в следующем. Пусть амплитуда E0(z) ускоряющей волны подобрана таким образом, что обеспечивает текущее равенство фазовой скорости волны и продольной скорости электрона. Иначе говоря, имеется равновесная частица с некоторой фазой φс. Исследуем поведение других частиц, находящихся вблизи нее. Пусть фазе φс соответствует передний склон ускоряющей волны. Тогда частицы, имеющие фазы φ < φс, получат большее ускорение, чем равновесная частица, и со временем опередят ее. Поэтому они будут иметь фазы φ > φс , т.е. перейдут в область пониженной напряженности ускоряющей волны. В этой области частицы будут получать меньшее приращение в скорости, чем равновесная частица.
Из этого следует, что со временем они отстанут от нее, т.е. опять попадут в область повышенной напряженности поля, где будут получать ускорение, большее по сравнению с равновесной частицей.
Таким образом, около равновесной частицы будут наблюдаться колебания частиц. Причем все они в целом будут ускоряться. Это явление и носит название автофазировки.
Работа проведена с целью моделирования динамики частиц в данном ускорителе и оптимизации параметров ускорителя для получения необходимого качества пучка на выходе из прибора. Работа опирается на опыт исследований в области анализа и оптимизации динамики заряженных пучков [7-10,12,24], проводимых на кафедре ТСУЭФА под руководством проф. Д.А. Овсянникова.
Заметим, что данная тематика привлекает внимание многих исследователей [7-10], однако эта сфера исследования не исчерпана. Часто необходимы более точный учет различных физических явлений [1,8], приспособление устройства к конкретным условиям и целям эксплуатации и т.д.; при этом бывают востребованы новые математические модели и методы (примером может служить идея совместной оптимизации программного и возмущенных движений [8]). С учетом сложности задач управления ансамблями траекторий актуально внедрение в эту сферу современных методов оптимизации, в том числе стохастических. Именно это направление реализовано в данной работе.
Для описания продольной динамики пучка используется подход, предложенный А.Д. Овсянниковым [8, 18, 19]. Эволюция пучка описывается как совокупность программного движения (динамики синхронной частицы) и семейства движений частиц пучка. Управляющими функциями по смыслу задачи являются безразмерный параметр амплитуды напряженности поля ускоряющей волны и закон изменения синхронной фазы. Данный подход позволяет надлежащим образом выбрать начальное управление, так известно, что группировке и ускорению частиц соответствует монотонное убывание синхронной фазы от нуля до значений, близких к . Кроме того, появляется дополнительный «рычаг» для управления динамикой частиц: можно управлять как движением синхронной частицы (в некотором смысле это центральное движение пучка), так и движением частиц пучка (которое зависит от центрального). Математическая модель динамического управляемого процесса представлена в первой главе работы.
В работе предложена параметризация управляющих функций (которая используется впервые), позволившая снизить число управляющих параметров до 11, что существенно облегчает проведение оптимизации. В окончательном варианте в данной модели в качестве управления рассматривается вектор параметров размерности 11. Выбору параметризации и начальных значений параметров посвящена вторая часть первой главы.
При начальных значениях управляющих параметров выполнено численное моделирование динамики пучка в ускорителе и проведен анализ результатов (вторая глава). При этом использовался специально разработанный комплекс программ на языке программирования PYTHON (код представлен в Приложении 1).
Задача оптимизации динамики пучка в волноводном ускорителе электронов может быть рассмотрена как задача совместной оптимизации программного движения и движений частиц пучка. [8] Постановка задачи и определение критериев качества представлены в работе в третьей главе.
При решении подобных оптимизационных задач возможно использование направленных методов оптимизации на основе аналитического представления градиента критерия качества [8, 20] Такие методы, будучи локальными, обычно применяются в сочетании с тем или иным методом поиска [2, 25], который позволяет надлежащим образом выбрать начальное управление для градиентного спуска.
В данной работе отдано предпочтение стохастическому методу поиска по случайным направлениям [14, 26], который в определенной мере обладает достоинствами метода случайного поиска и направленного метода. На первом этапе осуществляется «просмотр» исследуемой области пространства параметров случайными точками. «Наилучшая» точка выбирается в качестве начальной для второго этапа. На втором этапе начальная точка рассматривается как центр гиперсферы, на которой моделируются равномерно распределённые случайные точки; из них выбирается наилучшая. Затем проводится поиск вдоль прямой, соединяющей центр с наилучшей точкой. Точка, найденная в результате поиска по направлению, служит центром новой гиперсферы, и процедура повторяется. Сходимость обеспечивается за счет уменьшения радиусов гиперсфер. Данный метод не применялся ранее в задаче совместной оптимизации динамики программного движения и пучка. Метод описан в третьей главе.
Проведена успешная численная оптимизация динамки пучка, существенно улучшились его характеристики. В третьей главе представлены оптимизированные управляющие функции и дается сравнительный анализ динамики до и после оптимизации.
Опыт использования математических и численных алгоритмов оптимизации в рассматриваемых задачах актуален наряду с непосредственной практической пользой повышения качества пучка. Этот опыт важен как для математиков, давая возможность апробации методов на практической задаче большой размерности, так и для физиков, позволяя им правильно ориентироваться в большом количестве оптимизационных методов.
Обзор литературы

Исследованию динамики частиц в ускорителях посвящена обширная литература.
Прежде всего следует отметить литературу физического характера, например, [5,7].
Задачи моделирования и оптимизации динамики заряженных пучков рассматриваются многими исследователями. Прежде всего, назовем монографии, где представлены различные подходы и методы исследования процессов в системах формирования и ускорения пучков [11,14].
В числе авторов, разрабатывающих математические методы моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц, следует отметить проф. Д.А. Овсянникова и его учеников [7-10]. Эти исследователи формулируют задачи выбора параметров электрофизических устройств как задачи оптимального управления ансамблем траекторий специальных динамических систем. Такой подход позволяет строить эффективные методы оптимизации, в том числе направленные.
Одно из направлений в рамках данного подхода предложено А.Д. Овсянниковым [8]: эволюция пучка описывается как совокупность программного движения и семейства возмущенных движений (или, как вариант, семейства движений частиц пучка). Такой подход широко используется и другими специалистами [15,19-21], применяется он и в настоящей работе. В этом случае задачи оптимизации параметров ускоряющих систем формулируются как задачи совместной оптимизации выделенного движения и семейства возмущённых движений.
Указанные математические методы моделирования и оптимизации динамики пучков реализованы в виде программных комплексов, которые находят применение в науке, технике и образовательном процессе. [3, 19] [18].
Оптимизация процессов в ускоряющих структурах часто осуществляется при использовании методов Монте-Карло [2]. Среди них можно отметить многокритериальную оптимизацию [12, 14] и генетические стохастические алгоритмы:
[15, 17, 24, 25]
В настоящей работе также применяется стохастический алгоритм оптимизации (Химмельблау) – метод случайных направлений: для выбора направления убывания критерия качества в многомерном пространстве параметров используется статистическое моделирование.

Постановка задачи

• Представить математическую модель, описывающую продольную динамику пучка частиц в линейном волноводном ускорителе;
• Осуществить параметризацию амплитуды поля ускоряющей волны и синхронной фазы. Разработать программное обеспечение с целью реализации модели, а также проведения оптимизации динамики пучка;
• Выполнить численное моделирование продольного движения;
• Провести оптимизацию продольного движения, используя стохастический метод поиска по случайным направлениям в пространстве управляющих параметров;
• Провести сравнительный анализ динамики пучка до и после оптимизации.