Регуляризующие алгоритмы на основе методов ньютоновского типа и нелинейных аналогов -процессов : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.01.07

Актуальность темы исследования.
Теория некорректно поставленных задач и методы их решения относятся
к важнейшим направлениям исследования современной вычислительной мате­
матики, что обусловлено потребностями различных областей естествознания,
техники и медицины, где эти проблемы возникают в форме обратных задач.
Решение практических задач требует обработки больших объемов данных.
Для уменьшения времени счета используются параллельные алгоритмы и мно­
гопроцессорные вычислители.
Степень разработанности темы исследования. Ж. Адамар в 1902 г. [7]
впервые определил условия корректности задачи математической физики. За­
дачи, не отвечающие этим условиям, то есть некорректные, Ж. Адамар считал
лишенными физического смысла. В течение многих лет обратные задачи реша­
лись методами без строгого математического обоснования.
Первой работой по теории некорректных задач является работа академика
А.Н. Тихонова 1943 г. [110], в которой он доказал устойчивость некоторых об­
ратных задач при условии принадлежности решения компактному множеству.
Также в этой работе он решил одну из актуальных обратных задач разведочной
геофизики. В дальнейшем теория некорректных задач оформилась в самостоя­
тельный раздел современной математики. В конце 50-х годов и начале 60-х го­
дов появились работы, посвященные решению некоторых некорректных задач
с помощью идей регуляризации, выдающихся отечественных ученых: А.Н. Ти­
хонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова. Их исследования в этой области по­
служили созданию трех научных школ: московской, сибирской и уральской.
Началось исследование устойчивых методов решения некорректно поставлен­
ных задач, представляющих собой актуальную проблему.
В большом цикле работ, выполненных начиная с 1963 г., А.Н. Тихонов
сформулировал принцип устойчивого решения некорректно поставленных за­
дач, ввел понятие регуляризирующего оператора и предложил ряд эффектив­
ных методов построения таких операторов, легко реализуемых на ЭВМ [111—
114]. Метод регуляризации А.Н. Тихонова был применен для решения большо­
го количества фундаментальных математических и актуальных прикладных
задач. Тихоновским методом регуляризации были решены операторные уравне­
ния первого рода, обратные задачи теории потенциала и теплопроводности.
М.М. Лаврентьеву принадлежит идея замены исходного уравнения близ­
ким ему в некотором смысле уравнением, для которого задача нахождения ре­
шения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой
правой части [76]. Он доказал теоремы сходимости регуляризованного решения
к точному [74]. Основополагающие результаты для интегральных уравнений
Фредгольма первого рода получены в работах [75; 77—79], где для решения
линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регу­
ляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву.
В работах В.К. Иванова, выполненных в 1960–1970-е годы, введено понятие
квазирешения [66; 67], заложены основы двусторонних оценок регуляризующих
алгоритмов [68], установлены связи между вариационными методами регуля­
ризации, развит единый подход к трактовке линейных некорректных задач в
топологических пространствах [69].
Отметим, что не все некорректные задачи возможно регуляризовать. Рос­
сийский математик Л.Д. Менихес [86] привел пример интегрального операто­
ра с непрерывным замкнутым ядром, действующего из пространства [0, 1] в
2 [0, 1], обратная задача для которого нерегуляризуема. Проблемам регуляри­
зуемости посвящены работы Ю.И. Петунина и А.Н. Пличко [92].
Систематическое изучение регулярных методов решения некорректных за­
дач началось с работ А.Б. Бакушинского, где сформулирован принцип итера­
тивной регуляризации итерационных процессов, в которых исходная задача ре­
гуляризуется параметром , меняющимся на каждом шаге итерации по опреде­
ленному правилу. А.Б. Бакушинский, Б.Т. Поляк сформулировали общие прин­
ципы построения регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах [49].
Метод обобщенной невязки был предложен А.В. Гончарским, А.С. Леоновым,
А.Г. Яголой [58]. Монография А.Б. Бакушинского, А.В. Гончарского [48] по­
священа итеративной регуляризации вариационных неравенств с монотонны­
ми операторами, которые единообразно описывают многие постановки задач
с априорной информацией. В работах [46; 47] А.Б. Бакушинский предложил
итеративную регуляризацию методов Ньютона – Канторовича и Гаусса – Нью­
тона и исследовал их сходимость. Различные обобщения результатов А.Б. Ба­
кушинского по методу Гаусса – Ньютона были получены в работах B. Blaschke,
A. Neubauer, O. Scherzer, B. Kaltenbacher, A.G.Ramm [4; 14]. Исследования мето­
дов наискорейшего спуска и минимальной ошибки решения нелинейных некор­
ректных задач проведены A. Neubauer, O. Scherzer в работах [21; 22; 27],
Для построения регуляризующих алгоритмов при решении прикладных
задач требуется использовать дополнительную информацию о свойствах иско­
мого решения, заданную в виде равенств и неравенств, вытекающих из физиче­
ской сущности задачи. В своей монографии [87] В.А. Морозов, А.И. Гребенни­
ков обобщили опыт решения многих прикладных некорректных задач с учетом
дополнительной информации. Получило развитие построение регуляризующих
алгоритмов вариационными методами.
Регуляризующие алгоритмы, предназначенные для решения плохо обуслов­
ленных систем линейных уравнений, интегральных уравнений Фредгольма при­
водятся в монографии А.Н. Тихонова, А.С. Леонова и А.Г. Яголы [115]. В при­
ложениях А.Г. Ягола рассмотрел различные обратные задачи колебательной
спектроскопии, оптики [19; 24; 45; 90].
Методам решения операторных уравнений первого рода посвящены рабо­
ты В.П. Тананы [104—106]. Он предложил метод -регуляризации, представля­
ющий собой разновидность метода Тихонова, расширивший класс регуляризуе­
мых задач [107; 108], доказана сходимость решения -регуляризованной вариа­
ционной задачи к решению исходного операторного уравнения [108].
Регуляризующие алгоритмы в пространствах функций ограниченной вари­
ации были впервые предложены М.Г. Дмитриевым, В.С. Полещуком [60], И.Ф.
Дорофеевым [61]. В работах А.В. Гончарского и В.В. Степанова [59], А.Л. Аге­
ева [36] доказана равномерная сходимость приближенных решений. Подход, из­
ложенный в [120], основан на идее двухэтапного алгоритма: построении прибли­
женного решения исходного операторного уравнения из условия минимизации
регуляризованной невязки на априорном множестве, где привлекается инфор­
мация о неотрицательности, монотонности и выпуклости решения. На втором
этапе для решения корректно поставленной экстремальной задачи применяются
методы градиентного типа, линеаризованные методы и алгоритмы, специально
ориентированные на определенный класс априорных ограничений.
Для решения систем нелинейных уравнений в условиях регулярности пред­
ложены методы в работах Л.В. Канторовича [71], Б.Т. Поляка [93], J. M. Ortega
и W. C. Rheinboldt [25], M.J.D. Powell [26], J.E.Dennis, R.B. Schnabel, P.D. Frank
[5], C.T. Kelley [15], R.B. Schnabel и P.D. Frank [29] для решения систем урав­
нений с сингулярной или плохо обусловленной матрицей Якоби, J.C. Gilbert,
J. Nocedal, S.J. Wright [6; 23]. Термин « -процессы», характеризующий класс
нелинейных итерационных методов (где оператор шага нелинеен) для решения
линейного уравнения с ограниченным самосопряженным положительно полу­
определенным оператором, был введен в монографии М.А. Красносельского,
Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко [72]. Нелинейные модифицированные аналоги