Полиномиальная интерполяция на симплексах : диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук : 01.01.01

📅 2018 год
Байдакова, Н. В.
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Список обозначений 3

Введение 6

Глава 1. Константа и функция Лебега для интерполяционных
многочленов Лагранжа на d -симплексах 47
§ 1.1. Порядок роста констант Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 1.2. Оценка снизу функции Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Глава 2. Оценки погрешности аппроксимации производных
в случаях простой и кратной интерполяции
на треугольниках и тетраэдрах 76
§ 2.1. Оценки сверху для простых конечных элементов . . . . . . . 76
§ 2.2. Оценки снизу для простых конечных элементов . . . . . . . 119
§ 2.3. Оценки сверху для составного конечного элемента . . . . . . 139
§ 2.4. Оценки снизу для составных конечных элементов . . . . . . 150

Глава 3. Об оценках погрешности аппроксимации производ-
ных в случае интерполяции Лагранжа на d -симплексах 165
§ 3.1. Новая геометрическая характеристика симплекса и ее срав-
нение с характеристикой П. Жамэ . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 3.2. Оценки снизу погрешности аппроксимации производных . . 172
§ 3.3. Линейная интерполяция на тетраэдре . . . . . . . . . . . . . 194

Заключение 198

Список литературы 200

Предметом изучения диссертации являются вопросы, связанные с по-
линомиальной интерполяцией и аппроксимацией функций многих пере-
менных на d -симплексе в равномерной норме (рассматриваются случаи
d = 2, 3 или d ∈ N ). Способы интерполяции на произвольном симплек-
се выбираются таким образом, чтобы результирующий сплайн, определен-
ный на триангулированной области, обладал свойством непрерывности или
гладкости порядка m, m ≥ 1 (под сплайном мы понимаем функцию, ко-
торая на каждом симплексе из триангуляции области Ω является алгеб-
раическим многочленом, причем эти многочлены задаются таким образом,
чтобы результирующая кусочно-полиномиальная функция на всей области
обладала свойством непрерывности или гладкости заданного порядка; под
гладкостью порядка m — существование и непрерывность всех производ-
ных до порядка m включительно). В первой и третьей главах рассматри-
вается интерполяция Лагранжа (интерполируются значения приближае-
мой функции) в равномерных узлах симплекса. Такой выбор интерполяци-
онных условий часто используется в методе конечных элементов, но может
также представлять самостоятельный интерес как способ аппроксимации
функции. Во второй главе рассмотрен ряд способов интерполяции Эрмита
и Биркгофа (интерполируются значения приближаемой функции и значе-
ния ее производных: последовательных — в случае интерполяции Эрмита,
и с пропусками — в случае интерполяции Биркгофа) с интерполяцией про-
изводных высокого порядка в связи с изучением возможности применения
соответствующих сплайнов, построенных на триангулированой исходной
области, в методе конечных элементов.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
Для интерполяционного процесса Лагранжа исходной функции по рав-
номерным узлам d -симплекса многочленами степени не выше n по сово-
купности переменных найден точный порядок роста констант Лебега Ldn
по n при фиксированном d . Получена поточечная оценка снизу для верх-
него предела последовательности функций Лебега для указанного интер-
поляционного процесса.
Предложен ряд способов интерполяции функции f ∈ W n+1 M (∆) при
d = 2, 3 , позволяющих получать непрерывные или гладкие сплайны на
триангулированной области. Для построенных таким образом простых (не
составных) конечных элементов получены оценки аппроксимации величин
d
En,s , являющиеся более точными, чем оценки в случаях известных ранее
d
способов интерполяции. Аналогичная задача оценки величины En,s решена
для составного элемента типа Сие-Клафа-Точера при d = 2 с выбором
дополнительной точки в центре вписанной окружности треугольника.
Показано, что требование гладкости результирующей кусочно-
полиномиальной функции на триангулированой области не позволяет
полностью исключить ”условие наименьшего угла” треугольников из
требований к триангуляции, если необходимо аппроксимировать производ-
ные порядка два и выше на множестве функций W n+1 M . Рассмотрены
простые и составные конечные элементы.
Введена новая характеристика d -симплекса, позволяющая контролиро-
вать качество триангуляции и являющаяся более простой для вычисления
и использования на практике, чем классическая характеристика П. Жамэ.
С помощью этой характеристики доказано, что в случае интерполяции
Лагранжа по равномерным узлам d -симплекса оценки П.Жамэ являются
близкими к оптимальным и должны приниматься во внимание при иссле-
довании и использовании величины Edn,s .
Полученные результаты могут использоваться при решении краевых
задач методом конечных элементов, позволяя, в частности, накладывать
меньшие ограничения на триангуляцию исходной области.

[1] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, попол-
ненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собра-
ния задач, снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко.
М.: Наука, 1968. 912 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Мария Б. преподаватель, кандидат наук
    5 (22 отзыва)
    Окончила специалитет по направлению "Прикладная информатика в экономике", магистратуру по направлению "Торговое дело". Защитила кандидатскую диссертацию по специальнос... Читать все
    Окончила специалитет по направлению "Прикладная информатика в экономике", магистратуру по направлению "Торговое дело". Защитила кандидатскую диссертацию по специальности "Экономика и управление народным хозяйством". Автор научных статей.
    #Кандидатские #Магистерские
    37 Выполненных работ
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ
    Шиленок В. КГМУ 2017, Лечебный , выпускник
    5 (20 отзывов)
    Здравствуйте) Имею сертификат специалиста (врач-лечебник). На данный момент являюсь ординатором(терапия, кардио), одновременно работаю диагностом. Занимаюсь диссертац... Читать все
    Здравствуйте) Имею сертификат специалиста (врач-лечебник). На данный момент являюсь ординатором(терапия, кардио), одновременно работаю диагностом. Занимаюсь диссертационной работ. Помогу в медицинских науках и прикладных (хим,био,эколог)
    #Кандидатские #Магистерские
    13 Выполненных работ
    Сергей Н.
    4.8 (40 отзывов)
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.
    #Кандидатские #Магистерские
    56 Выполненных работ
    Татьяна М. кандидат наук
    5 (285 отзывов)
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    #Кандидатские #Магистерские
    495 Выполненных работ
    Дмитрий Л. КНЭУ 2015, Экономики и управления, выпускник
    4.8 (2878 отзывов)
    Занимаю 1 место в рейтинге исполнителей по категориям работ "Научные статьи" и "Эссе". Пишу дипломные работы и магистерские диссертации.
    Занимаю 1 место в рейтинге исполнителей по категориям работ "Научные статьи" и "Эссе". Пишу дипломные работы и магистерские диссертации.
    #Кандидатские #Магистерские
    5125 Выполненных работ
    Вики Р.
    5 (44 отзыва)
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написан... Читать все
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написание письменных работ для меня в удовольствие.Всегда качественно.
    #Кандидатские #Магистерские
    60 Выполненных работ
    Виктор В. Смоленская государственная медицинская академия 1997, Леч...
    4.7 (46 отзывов)
    Имеют опыт грамотного написания диссертационных работ по медицине, а также отдельных ее частей (литературный обзор, цели и задачи исследования, материалы и методы, выв... Читать все
    Имеют опыт грамотного написания диссертационных работ по медицине, а также отдельных ее частей (литературный обзор, цели и задачи исследования, материалы и методы, выводы).Пишу статьи в РИНЦ, ВАК.Оформление патентов от идеи до регистрации.
    #Кандидатские #Магистерские
    100 Выполненных работ
    Екатерина Д.
    4.8 (37 отзывов)
    Более 5 лет помогаю в написании работ от простых учебных заданий и магистерских диссертаций до реальных бизнес-планов и проектов для открытия своего дела. Имею два об... Читать все
    Более 5 лет помогаю в написании работ от простых учебных заданий и магистерских диссертаций до реальных бизнес-планов и проектов для открытия своего дела. Имею два образования: экономист-менеджер и маркетолог. Буду рада помочь и Вам.
    #Кандидатские #Магистерские
    55 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук