О резольвентах Чеха-де Рама в теории многомерных вычетов
Введение 3
1 Резольвенты комплекса Чеха – де Рама 18
1.1 Двойной комплекс Чеха – де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Резольвенты для U-цепей и U-коцепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Спаривание между U-цепями и U-коцепями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Резольвенты в случае конечного покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Разделяющие циклы, связанные с резольвентами . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Исследование разделяющих циклов с помощью резольвент 46
2.1 Локальные вычеты и разделяющие циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Резольвенты, связанные с локальными вычетами . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Доказательство теоремы Циха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 О принципе разделяющих циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Примеры разделяющих циклов в теории узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Разделение тропических гиперповерхностей
и теорема Гельфонд – Хованского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Гипотеза о разделяющих циклах в многообразиях Штейна 71
3.1 Гипотеза Южакова – Циха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 О разделении особенностей голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Одно обобщение теоремы Южакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Случай центрированного (n + 1)-набора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Другие примеры, подтверждающие гипотезу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Список литературы 89
В рамках комплексного анализа теория многомерных вычетов предполагает исследование
¯
интегралов ∂-замкнутых форм бистепени (p, q) на n-мерном комплексном многообразии
X. В случае p = n такие формы автоматически d-замкнуты (замкнуты по де Раму), поэто-
му их естественно интегрировать по (n + q)-мерным циклам с компактными носителями
(или с замкнутыми, если формы остаются интегрируемыми на цепях в подходящей ком-
пактификации многообразия X). Особое внимание уделяется формам с особенностями на
аналитических множествах, в частности, рациональным дифференциальным формам в Cn
или CPn (см. [39], [1], [51]).
В одномерном случае (n = 1) имеется два эквивалентных определения вычета в изо-
лированной особой точке a ∈ C функции g(z) (дифференциальной формы ω = g(z) dz).
Вычет — это коэффициента c−1 ряда Лорана функции g(z), либо интеграл формы (2πi)−1 ω
по окружности малого радиуса с центром в точке a. В многомерной ситуации диапазон
определений вычета значительно расширяется. Так, в теории Лере вычет формы — это
снова форма, но меньшей степени. Но даже в рамках концепции вычета как числа имеется
несколько подходов к его определению.
Наиболее распространен взгляд, согласно которому вычет — это коэффициент ря-
да Лорана c−I = c−1,…,−1 мероморфной функции g(z) (дифференциальной формы ω =
g(z) dz1 ∧ . . . ∧ dzn ). Этот коэффициент получается в результате интегрирования формы
(2πi)−1 ω по «торическому» циклу вида
[1] Айзенберг, Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном
анализе / Л.А. Айзенберг, А.П. Южаков. – Новосибирск: Наука, 1979.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (373 отзыва)
5 (9 отзывов)
4.6 (30 отзывов)
4 (15 отзывов)
5 (21 отзыв)
4.5 (80 отзывов)
5 (285 отзывов)
4.2 (6 отзывов)
4.5 (9 отзывов)
