![](https://expert-mik.ru/wp-content/themes/24author/assets/img/work/work-img.png)
Операторный подход к построению комплексных и отражающихся случайных процессов
Введение 4
1 Комплексное броуновское движение 12
1.1 Случайные функционалы и операции над ними . . . . . . . . .
1.2 Аппроксимация решения задачи Коши для уравнения −2iut =
∆u средними значениями функционалов от пуассоновского то-
чечного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Аппроксимация решения задачи Коши для уравнения −iut =
∆u/2 средними значениями функционалов от случайных блуж-
даний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Конструкция комплексного броуновского движения в d-мер-
ном шаре с отражением или поглощением на границе шара 23
2.1 Конструкция комплексного броуновского движения с поглощени-
ем на границе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Конструкция комплексного броуновского движения с отражени-
ем от границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Операторный подход к построению разложения Скорохода
вещественного броуновского движения в шаре с отражением
на границе 34
3.1 Операторные семейства, порождённые броуновским движением
в шаре с отражением на границе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Конструкция случайного накопленного импульса . . . . . . . . . 39
3.3 Случайное блуждание в шаре с отражением на границе . . . . . . 41
3.4 Предельные теоремы о сходимости операторов . . . . . . . . . . . 44
4 Конструкция симметричных скачкообразных процессов Леви
в гладких ограниченных областях с отражением на границе 47
4.1 Операторные семейства, порождённые скачкообразным процес-
сом Леви с отражением на границе . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Граничный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Конструкция случайного накопленного импульса . . . . . . . .
4.4 Симметричные устойчивые процессы . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение 61
Приложение 1. Свойства собственных функций оператора Лап-
ласа–Дирихле и Лапласа–Неймана 62
4.5 Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Собственные функции оператора Лапласа с условиями Дирихле
или Неймана в d-мерном шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Собственные функции оператора Лапласа в ограниченной глад-
кой области с условиями Неймана на границе . . . . . . . . . .
Приложение 2. Специальное разложение W22 (D) в ортогональ-
ную сумму пространств 69
Литература 72
Во Введении предложен краткий обзор существующих подходов к определе-
нию понятия отражающегося процесса и связанных с этими подходами задач.
Обоснована актуальность диссертационной работы и подчёркнута научная но-
визна исследований.
В первой главе строится вероятностная аппроксимация решения Коши
для уравнения Шрёдингера
(
−iut = ∆u/2,
u(0, x) = ϕ(x)
для ϕ ∈ L2 (Rd ). Отвечающие этому уравнению распределения являются ком-
плексными мерами в Rd и, соответственно, не могут быть получены как рас-
пределение какой-либо случайной величины. Чтобы обойти эту трудность, в
первом параграфе второй главы вводится специальный класс случайных функ-
ционалов (обобщённых случайных величин), который расширяет понятие слу-
чайной величины. Обозначим чере з RV(Rd ) пространство d-мерных случайных
векторов на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P), снабжённое то-
пологией сходимости по распределению. Мы будем действовать по аналогии со
стандартным определением [17], гл. 2, §1. В качестве класса пробных функций
возьмём пространство Z0 (Rd ) функций, являющихся обратными преобразова-
ниями Фурье зарядов конечной полной вариации с финитным носителем
Z
ϕ(x) =d
e−ipx Φ(dp),
b(3)
(2π) Rd
Z0∗w
снабжённое топологией ϕn −→bn −
0, если Φ→ 0.
Обобщённой случайной функцией будем называть непрерывное линейное
отображение ξ : Z0 (Rd ) → RV(R). Действие ξ на ϕ ∈ Z0 (Rd ) обозначаем через
ξ[ϕ]. Множество обобщённых функций будем обозначать GRV(Rd ).
Нам потребуется особое вложение пространства RV(Rd ) в GRV(Rd ). Имен-
но, для каждой ξ ∈ RV(Rd ) определим обобщённую случайную функцию ξe ∈
GRV(Rd ), действующую на ϕ ∈ Z0 (Rd ) по правилу ξ[ϕ]
e = ϕ(−ξ). Для простоты
обозначений мы будем опускать волну над ξ.
Для обобщённых случайных функций мы определяем ряд стандартных опе-
раций и понятий: умножение на число, математическое ожидание, характе-
ристическую функцию, проекции, декартово произведение, семиинварианты и
независимость. В силу специфики нашей задачи эти операции не всегда совпа-
дают с определениями из [17].
Нам также потребуются две особые операции, специфичные для рассмат-
риваемой задачи. Пусть семиинварианты sα обобщённой случайной функции
ξ ∈ GRV(Rd ) корректно определены и функция
α
X s i |α|
b 1 , p2 , . . . , pd ) = exp −
B(ppα
α!
|α|=1, 3
лежит в классе L1 (Rd ). Тогда вторым центрированием ξ будем называть слу-
чайный функционал ξ (2) , определяемый равенством
ξ (2) [ϕ] = ξ[ϕ ∗ B].
Для ξ ∈ GRV(R1 ) определим обобщённую случайную функцию ξ F , дей-
ствующую на ϕ ∈ D(R1 ) по правилу
ξ F [ϕ] = ξ[(IP+ + P− )ϕ],
где I – это оператор инверсии Iφ(x) = φ(−x), а P± – это проекторы Рисса.
Распространим это определение на класс GRV(Rd ), полагая
ξ F = (ξ1F , . . . , ξdF ).
Для обычных случайных величин ξ ∈ RV(Rd ) последнее равенство может быть
переписано как ξ F [ϕ] = ϕ+ (ξ) + ϕ− (−ξ).
Наконец, мы поставим каждой обобщённой случайной функции в соответ-
ствие некоторый оператор. Положим для ξ ∈ GRV(Rd )
Qξ ϕ(x) = E ξ[ϕ(x + · )].(4)
Во втором параграфе мы применим этот аппарат для доказательства пре-
дельной теоремы для последовательности сложных пуассоновских процессов,
слабо сходящихся к броуновскому движению. Для ε > 0 определим сложный
пуассоновский процесс
Z t Zeε
ξ1ε (t) =x ν(dt dx),
0ε
где ν(dt, dx) – пуассоновская случайная мера на (0, ∞)2 с интенсивностью
Eν(dt, dx) = dt dx /x3 . Пусть ξkε (t), k = 2, . . . , d – независимые копии ξ1ε (t).
При фиксированных t > 0, ε > 0 определим обобщённую случайную функцию
η ε (t) ∈ GRV(Rd ), полагая
F, (2)
η ε (t) = σξ1ε (t), σξ2ε (t), . . . , σξdε (t)
Для каждого ε > 0 определим полугруппу операторов Pεt , полагая Pεt = Qηε (t) .
Теорема 1. Существует постоянная C > 0 такая, что для любой ϕ ∈
W24 (Rd ) и всех t > 0 справедливо неравенство
it
Pεt ϕ − e 2 ∆ ϕ6 Ctε2 kϕkW24 .
L2
В третьем параграфе первой главы мы доказываем предельную теорему
такого же типа для последовательности случайных блужданий, слабо сходя-
щихся к броуновскому движению. Пусть {ξj }∞ j=1 – последовательность незави-
симых одинаково распределённых случайных d-мерных векторов с общим рас-
пределением P, сосредоточенном на Rd+ . Будем предполагать, что случайный
вектор ξ1 имеет единичную матрицу ковариации и конечные моменты третьего
порядка. Пусть η(t) – стандартный пуассоновский процесс, не зависящий от
последовательности {ξj }∞n ∞
j=1 . Определим последовательность {ζ }n=1 сложных
пуассоновских процессов, полагая
η(nt)
n1 X
ζ (t) = √ξj .(5)
n j=1
Определим при каждом фиксированном t обобщённую случайную функцию
η n (t) ∈ GRV(Rd ), полагая
F, (2)
η n (t) = σζ1n (t), σζ2n (t), . . . , σζdn (t).
Для каждого n ∈ N определим полугруппу операторов Pnt , полагая Pnt = Qηn (t) .
Теорема 2. Существует постоянная C > 0 такая, что для любой функции
ϕ ∈ W23 (Rd ) и всех t > 0 справедливо неравенство
itCt
Pnt ϕ − e 2 ∆ ϕ6 √ kϕkW23 .(6)
L2n
Результаты первой главы опубликованы в работе [13].
Во второй главе мы строим операторным методом комплексное броунов-
ское движение с отражением или поглощением в d-мерном шаре. При помощи
этих процессов мы строим аппроксимацию решений начально-краевых задач
Дирихле (напомним, что arg σ ∈ [0, π/4])
ut = σ ∆u/2, x ∈ D,
u(0, x) = f (x),(7)
u
∂D
= γ0 f,
и Неймана
ut = σ 2 ∆u/2, x ∈ D,
u(0, x) = f (x),
(8)
∂u∂f
∂n= γ0 .
∂D∂n
3/2
В последних формулах оператор γ0 : W22 (D) → W2 (D) – это замкнутый с
Cc∞ (Rd ) оператор сужения на ∂D.
Пусть начальная функция f задачи (7) принадлежит классу W22 (D) и пусть
{ξj }j≥1 – последовательность н.о.р. вещественных d-векторов. Будем предпола-
гать, что их общее распределение P инвариантно относительно поворотов, слу-
чайный вектор ξ1 имеет единичную матрицу ковариации, а также для некото-
рого β > 0 конечен экспоненциальный момент E exp(β|ξ1 |). Пусть, кроме того,
η(t) – стандартный пуассоновский процесс, не зависящий от {ξj }j≥1 . Определим
сложный пуассоновский процесс ζn (t) аналогично формуле (5).
Рассмотрим задачу Дирихле. Обозначим через chλµ коэффициенты разложе-
ния γ0 f по базису {Yλµ }, составленному из сферических гармоник. Для каждого
M > 0 определим
X
M
fh (x) =chλµ xλ Yλµ (x̂), fh = (W22 ) lim fhM ,(9)
M →∞
λ≤M 1/d
P 3 h 2
причём справедливоλ |cλµ | < ∞.
Определим функциюf0 , полагая f0 = f − fh . Ясно, что f0 ∈ W22,0 (D). Раз-
ложим f0 по собственным функциям оператора Лапласа с условиями Дирихле
X
M
f0 (x) =c0m sm (x), f0 = (W22 ) lim f0M .(10)
M →∞
m≤M
Функция f0M является аналитической функцией d переменных. Наконец, поло-
жим
f M = f0M + fhM .
Теорема 3. Пусть f ∈ W22 (D), M (n) = nd/4 и un (t, x) = Ef M (n) (x + σζn (t)).
Тогда существует такое число C = C(T ) > 0, что справедлива оценка
C
sup ku(t, ·) − un (t, ·)kL2 (D) ≤ √ kf kW22 (D) ,(11)
0≤t≤Tn
где u(t, x) – это точное решение начально-краевой задачи Дирихле (7).
Рассмотрим задачу Неймана. Обозначим χ(x) = x2 /2|D|d. Функция χ оче-
видно является бигармонической Рассмотрим f ∈ W22 (D). Выделим из неё би-
гармоническую компоненту fb , полагая
Z
∂f
fb (x) = χ(x)dŷ.(12)
∂n
∂D
Функция f1 = f − fb удовлетворяет условию разрешимости задачи Неймана.
Пусть fh – это гармоническая функция в области D, имеющая ту же нормаль-
ную производную на границе ∂D, что и f1 . Обозначим через chλµ коэффициенты
разложения функции γ0 ∂n f1 по базису {Yλµ }. Для каждого M > 0 определим
гармонический полином fhM , полагая
λ
Xx
fhM (x)=chλµYλµ (x̂),fh = (W22 ) lim fhM ,(13)
λM →∞
06=λ≤M 1/d
при этом fh принадлежит классу W22 (D) и справедливо
P h 2
λ|cλµ | < ∞.
Рассмотрим теперь функцию f0 = f1 − fh . Ясно, что f0 удовлетворяет
γ0 ∂n f0 = 0. Разложим её в ряд по собственным функциям оператора Лапласа
с условиями Неймана
X
M
f0 (x) =c0m sem (x), f0 = (W22 ) lim f0M .(14)
M →∞
m≤M
Функция f0M является аналитической функцией d переменных. Наконец,
положим
f M = fb + f0M + fhM .(15)
Теорема 4. Пусть f ∈ W22 (D) и удовлетворяет условию разрешимости (??).
Положим M (n) = nd/4 и un (t, x) = Ef M (n) (x + σζn (t)), где функция f M (n)
определена формулой (15). Тогда существует такое C = C(T ) > 0, что спра-
ведлива оценка
C
sup ku(t, ·) − un (t, ·)kL2 (D) ≤ √ kf kW22 (D) ,(16)
0≤t≤Tn
где u(t, x) – это точное решение начально-краевой задачи Неймана (8).
Результаты второй главы опубликованы в работе [14].
В третьей главе мы применяем операторный подход к задаче о построении
разложения Скорохода для броуновского движения с отражением в d-мерном
шаре.
Нам потребуются два способа продолжать начальную функцию f ∈ W22 (D)
до класса W2,loc (Rd ). В стандартной конструкции (см. [18] или [1]) отража-
ющегося броуновского движения |w(t)| на [0, ∞) используется формула Та-
d
наки |w(t)| = w(t) + ζ(t), где ζ(t) – локальное время. В нашей конструк-
ции отражающийся процесс (аналог |w(t)|) будет связан с продолжением fe,
заданным равенством fe(x) = fe0 (x) + feb (x) + feh (x), тогда как продолжение
P∞
f (x) =(f, sm )sm (x) будет отвечать процессу в области (аналог w(t) в стан-
m=0
дартной конструкции). Определим отвечающие двум продолжениям полугруп-
пы P t и Rt , полагая для x ∈ D
(P t f )(x) = Efe(wx (t))и(Rt f )(x) = Ef (wx (t)).
Их генераторы выражаются через оператор A e = −∆/2 на области опреде-
ления D(A)e = W 2 (Rd ). Именно, генератором полугруппы P t является опе-
2,loc
ратор A с областью определения D(A) = W22 (D) и действующий по формуле
efe)(x) для x ∈ D. Генератор Rt – это оператор AN , заданный
(Af )(x) = (A
на области определения D(AN ) = ker γ1 формулой (AN f )(x) = (Afe )(x) для
x ∈ D. Далее мы будем обозначать N 0 (D) = ker γ1 .
Далее мы доказываем две леммы о разности полугрупп P t и Rt :
Лемма 1. Для f ∈ L2 (D) справедлива формула
Zt
P t f − Rt f = (L2 ) limP τ (A − AN Πm )f dτ.
m→∞
Этим соотношением мы будем пользоваться позднее для определения слу-
чайного оператора Qt . Вторая лемма о разности полугрупп P t и Rt :
Лемма 2. Для f ∈ L2 (D) справедливо соотношение
P t f (x) − Rt f (x) = (Qt γ1 f )(x),(17)
1/2
где Qt : W2 (∂D) → W22 (D) определён равенствами
ZZt
(Qt g)(x) =Qt (x, ŷ)g(ŷ) dS(ŷ),Qt (x, ŷ) =Rτ (x, ŷ) dτ,
∂D0
1/2
а оператор γ1 : W22 (D) → W2 (D) – это замкнутый с Cc∞ (Rd ) оператор взя-
тия нормальной производной на ∂D.
Из этой леммы следует, что разность полугрупп действительно “сосредото-
чена” на границе ∂D.
Другая полезная формула для Qt получается из (1):
Zt
(Qt g)(x) = limP τ (A − AN Πm )G(x) dτ,(18)
m→∞
где G(x) = gh (x) + gb (x).
Из доказанного выше следует, что справедливы теоремы 5, 6 и 7.
Теорема 5. Операторные семейства (Rt )t≥0 и (Qt )t≥0 удовлетворяют следу-
ющим эволюционным соотношениям Rt+s = Rt Rs и Qt+s = Qt + Rt Qs . При
этом R0 = I, Q0 = 0.
Теорема 6. При всех t > 0 и f ∈ D(AN ) справедливо соотношение
∂ t1
R f = AN Rt f.
∂t2
1/2
Теорема 7. При всех t > 0 и g ∈ W2 (∂D) справедливо соотношение
Z
∂ t1
Qg=Rt (x, ŷ)g(ŷ) dS(ŷ).
∂t2
В третьем параграфе четвёртой главы мы пользуемся первой формулой для
разности полугрупп P t и Rt чтобы определить случайный оператор Qt , обоб-
щающий понятие интеграла по локальному времени.
Определим случайный оператор P τ = P τ [w(·)], полагая
(P τ sm )(x) = eiw1 (τ )κm sm (x),(19)
(P τ fb ) = feb (x + w(τ )),(20)
(P τ fh ) = feh (x + w(τ )),(21)
и определим оператор случайного накопленного импульса Qt = Qt [w(·)], поль-
зуясь формулой (18):
Zt
(Qt g)(x) = limP τ (A − AN Πm )G(x) dτ,(22)
m→∞
где G(x) = gh (x) + gb (x).
Теорема 8. Предел в правой части (22) существует в смысле L2 (H, µ), где
H = D × Ω и dµ = dx × dP.
Оператор Qt получается как усреднение операторов Qt по траекториям w(·).
Именно, справедливо следующее утверждение.
1/2
Теорема 9. Для любой функции g ∈ W2 (∂D) выполнено
E Qt g (x) = (Qt g)(x).
Наконец, в четвёртом параграфе мы доказываем предельные теоремы для
последовательности случайных блужданий, слабо сходящихся к броуновскому
движению. Именно, мы строим операторные семейства Pnt и Qtn , а так же их
случайные аналоги Pnt и Qtn , для процесса, определённого формулой (5) с (ξj )j≥1
– н.о.р. случайные d-вектора с общим распределением P, инвариантным отно-
сительно вращений, и E (ξ11 )2 = 1 (верхний индекс указывает на номер компо-
ненты), а (η(t))t≥0 – не зависящий от них стандартный пуассоновский процесс,
и доказываем аналоги первой и второй леммы о разности полугрупп.
По аналогии с (19) определим случайный оператор Pnτ = Pnτ [ζn (·)], и опера-
тор случайного накопленного импульса Qtn = Qtn [ζn (·)] по аналогии с (22).
Наконец, в пятом параграфе четвёртой главы мы доказываем предельные
теоремы о сильной сходимости Rnt и Qtn :
Теорема 10. Пусть f ∈ D(AN ). Тогда
√
C t
Rnt f − Rt fL2 (D)
≤ √ kf kW22 (D) .
n
Теорема 11. Существует такое число C > 0, что для любой функции g ∈
1/2
W2 (∂D) выполнено неравенство
Ct3/8
kQtn g
−Q≤ 3/8 kgk2W 1/2 (∂D) .
t
gk2L2 (D)
n2
Результаты третьей главы опубликованы в работе [15].
В четвёртой главе мы строим отражающуюся версию симметричного чи-
сто скачкообразного процесса Леви с единичной матрицей ковариации и ко-
нечным вторым моментом в произвольной гладкой ограниченной области. По
формуле Леви–Хинчина характеристическая функция такого процесса равна
Z
eip·x − 1 − ip · x dΠ(x),
ϕt (p) = exp(−tL(p)), L(p) = −(23)
Rd
причём мера Леви Π инвариантна относительно поворотов и имеет конечный
второй момент, cov ξ(1) = I. Генератором свободного процесса является нело-
кальный оператор L, заданный равенством
Z
− Lf (x) =f (x + y) − f (x) − f (x) · y dΠ(y)(24)
Rd
и с ядром Cc∞ (Rd ) ⊂ D(L), −L ≥ 0.
При этом справедливы формулы для разности полугрупп, аналогичные до-
казанным в четвёртой главе. Первая формула для разности:
Лемма 3. Для f ∈ W22 (D) и x ∈ D справедливо соотношение
Z t
ttτ
(P f )(x) − (R f )(x) = − limP L fM − f M (x, 0) dτ .
e
M →∞0
Указанный предел существует также в смысле W22 (D).
Вторая формула для разности полугрупп:
Лемма 4. Для f ∈ W22 (D) справедливо соотношение
(P t f )(x) − (Rt f )(x) = (Qt γ1 f )(x)
1/2
где Qt : W2 (∂D) → W22 (D) определён равенствами
1 t eτ
ZZ
ttt
(Q g)(x) = Q (x, ŷ)g(ŷ) dS(ŷ), Q (x, z) =R (x, z) dτ
2 0
∂D
и∞
X L(κl )
eτ
R (x, z) =e−tL(κl ) sl (x)sl (z).
κl2
l=0
Другая полезная формула получается из предыдущей леммы:
Z t
tτ
(Q g)(x) = limP L GM − GM (x, 0) dτ ,
e(25)
M →∞0
где G(x) = gh (x) + gb (x).
В пятом параграфе четвёртой главы мы строим случайный оператор, обоб-
щающий понятие интеграла по локальному времени на случай симметричных
процессов Леви с конечным вторым моментом.
Определим случайный оператор P τ = P τ [ξ(·)] на области определения
W22 (D) = N 0 (D) ⊕ BG2,02 (D), полагая
(P
τeiκm ξ1 (τ ) (f, sm )sm (x), для f ∈ N 0 (D),
(P f )(x) =
f (x + ξ(τ )),для f ∈ BG2,02 (D).
Очевидно, что P t = EP t . Определим теперь оператор Qt = Qt [ξ(·)], пользуясь
формулой (25):
Z t
tτ
(Q g)(x) = limP L GM − GM (x, 0) dτ ,
e(26)
M →∞0
где G = Gb + Gh ∈ W22 (D).
Теорема 12. Предел в правой части (26) существует в смысле L2 (H, µ), где
H = D × Ω и dµ = dx × dP.
Оператор Qt получается как усреднение операторов Qt по траекториям ξ(·).
1/2
Теорема 13. Для любой функции g ∈ W2 (∂D) справедливо
E(Qt g)(x) = (Qt g)(x).
Наконец, в шестом параграфе четвёртой главы мы показываем, что в слу-
чае симметричного α-устойчивого процесса, который не обладает конечным
вторым моментом, оператор Qtα не может быть определён однозначно. Имен-
но, первая формула для разности полугрупп остаётся такой же, как в случае
процессов Леви, а во второй возникает важное изменение:
Лемма 5. Для f ∈ N 0 (D) ⊕ G22 (D) справедливо соотношение
Z
(Pαt f )(x) − (Rαt f )(x) =Qtα (x, z)(γ1 f )(z) dS(z),
∂D
где в качестве ядра Qtα можно взять
Zt
Qtα (x, z)=C+eαt (x, z) dτ ,
R
α0
eαt определено формулой
с любым вещественным C, а ядро R
∞
eαt (x, z) =
X1−tκl /αα
R2−α esm (x)sm (z).
l=1
κl
Невозможность выбрать Qtα однозначно означает, что средний накопленный
импульс определяется лишь с точностью до константы, и корректно определены
лишь разности накопленного импульса в разных точках.
Определим аналогично тому как это делалось выше случайные операторы
τ
Pα = Pατ [ξα (·)] на области определения N 0 (D) ⊕ B22 (D) и Qtα = Qtα [ξα (·)], по
аналогии с формулой (26).
Теорема 14. Предел в определении Qt существует в смысле L2 (H, µ), где
H = D × Ω и dµ = dx × dP.
Справедлив также результат, аналогичный теореме 13 о том, что оператор
t
Q является средним случайных операторов Qt .
1/2,0
Теорема 15. Для любой функции g ∈ W2(∂D) справедливо
E(Qt g)(x) = (Qt g)(x).
Результаты четвёртой главы опубликованы в работе [16].
В Заключении кратко изложены основные результаты диссертации.
В Приложении введены общие для второй и третьей главы обозначения,
касающиеся краевых задач во многомерных ограниченных гладких областях.
Пусть ξx (t) – это однородный марковский процесс со значениями в Rd с услови-
ем ξx (0) = x, переходная функция P (t, x, A) которого порождает C0 -полугруп-
пу T t : C0 (Rd ) → C0 (Rd ), где
Z
t
(T f )(x) = f (y) P (t, x, dy) = Ef (ξx (t)).
A
Такие процессы называются феллеровскими. Это весьма широкий класс,
при этом обладающий многими хорошими свойствами, выгодно отличающими
его от общего случая марковского процесса. Полугруппа однозначно определя-
ется своим генератором
Tt − I
L = lim .
t→0+ t
Именно, полугруппа T t сопоставляет функции ϕ решение задачи Коши
ut = Lu (0.1)
с начальным условием u|t=0 = ϕ. Таким образом, всякий однородный фелле-
ровский процесс даёт интегральное представление решения задачи Коши (0.1).
При этом семейство его одномерных распределений есть фундаментальное ре-
шение задачи (0.1).
Класс процессов, который фактически будет рассматриваться, это класс
симметричных процессов Леви. В этот класс входит как процесс броуновского
движения с генератором
L = ∆,
так и класс скачкообразных процессов Леви с мерой Леви Π, имеющей конеч-
ный второй момент и инвариантной относительно вращений. В этом случае
генератор соответствующей полугруппы имеет вид
Z
− Lf (x) = f (x + y) − f (x) − f (x) · y dΠ(y) (0.2)
Rd
с ядром Cc∞ (Rd ) ⊂ D(L), −L ≥ 0, где Cc∞ (Rd ) – это множество бесконечно-
дифференцируемых функций на Rd с компактным носителем.
Сам процесс ξ(t) мы будем называть свободным, имея в виду, что его полу-
группа T t сопоставляет функции ϕ решение задачи Коши ut = Lu с начальным
условием u|t=0 = ϕ. Отметим, что введённый термин “свободный процесс” не
имеет отношения к широко известному понятию свободной вероятности. “Вер-
сиями” ξ(t) мы будем называть процессы, соответствующие другим задачам
для оператора L.
В частности, начально-краевая задача Дирихле для оператора ∆/2 приво-
дит к версии винеровского процесса, остановленного в момент первого дости-
жения границы. Задача Неймана для того же оператора приводит к отражаю-
щейся версии винеровского процесса.
Существует два подхода к построению версий свободных процессов. Первый
подход (Леви, Ито, Скороход) можно условно назвать потраекторным: версии
процессов строятся при помощи преобразований траекторий свободного про-
цесса. Главным преимуществом этого подхода является ясный вероятностный
смысл. Однако возможности этого подхода ограничены с точки зрения класса
генераторов, для которых удаётся строить версии. Именно, генератор должен
удовлетворять принципу максимума, или, что практически то же самое, соот-
ветствующее фундаментальное решение должно быть вероятностным распре-
делением.
Второй подход (восходящий к работам Винера, Колмогорова, Феллера,
Иосиды, Дынкина) основан на более прямом использовании функционально-
аналитических методов.
Используемый в настоящей работе метод идейно близок ко второму подходу.
При построении версий свободных процессов мы будем использовать идеологию
теории обобщённых функций. Именно, мы будем рассматривать функционалы
от траекторий, и определять операции над траекториями через операции над
функционалами. Это позволит нам строить вероятностные представления (в
виде математического ожидания функционалов от случайных процессов) для
решения задачи Коши и начально-краевых задач в ситуации, когда фундамен-
тальные решения, вообще говоря, не являются вероятностными распределени-
ями. Данный подход является развитием идей работ И. А. Ибрагимова, Н. В.
Смородиной и М. М. Фаддеева. В работах [1], [2] и [3] они впервые предложили
описанный выше способ и приложили его к задаче о построении вероятностного
представления решений одномерной задачи Коши для уравнения Шрёдингера
(точнее, для уравнения теплопроводности с комплексным коэффициентом σ,
удовлетворяющим условию 0 < arg σ ≤ π/4). В работах [3] и [4] они исполь-
зовали эти же идеи для построения представлений решений начально-краевых
задач для оператора Лапласа с условиями типа Дирихле и Неймана. Наконец,
в работе [5] авторы обобщили эти построения на класс одномерных симметрич-
ных процессов Леви с конечным вторым моментом. В работах [6] и [7] похожие
идеи используются для описания невероятностных безгранично-делимых рас-
пределений (например, 2 < α-устойчивые) и строятся вероятностные представ-
ления решений задачи Коши для их генераторов. В работе М. Платоновой [8]
получены вероятностные представления решений задачи Коши для операторов
дифференцирования высокого порядка, а в работе [9] рассмотрены процессы,
связанные с оператором Римана–Лиувилля.
В настоящей диссертации эти результаты обобщаются на многомерный слу-
чай. В случае задачи Коши обобщение оказывается относительно несложным,
тогда как начально-краевые задачи требуют более тонких свойств собственных
функций генераторов (которые почти всегда не доступны в явной форме).
В первом параграфе первой главы настоящей диссертации излагается фор-
мальный аппарат для возникающих в этой теории невероятностных распреде-
лений.
Во втором и третьем параграфах первой главы мы строим версию броунов-
ского движения, соответствующую задаче Коши для уравнения Шрёдингера
−iut = ∆u/2. При этом семейство фундаментальных решений, очевидно, не
является вероятностным.
Во второй главе содержатся необходимые в дальнейшем сведения о свой-
ствах собственных функций операторов Лапласа–Дирихле и Лапласа–Неймана.
Следующие главы работы посвящены построению версий свободных про-
цессов, соответствующих начально-краевым задачам в гладких ограниченных
областях. В третьей главе мы строим версию броуновского движения, соответ-
ствующую начально-краевым задачам Дирихле и Неймана в d-мерном шаре
для уравнения Шрёдингера −2iut = ∆u, а также доказываем соответствую-
щие предельные теоремы.
В четвёртой главе работы мы используем операторный подход для постро-
ения разложения Скорохода для вещественного броуновского движения в d-
мерном шаре D. Именно, мы доказываем, что разность полугрупп отражаю-
щегося процесса и свободного процесса является оператором, действующим из
границы ∂D в область D. Мы называем этот оператор оператором среднего на-
копленного импульса. Этот оператор является аналогом среднего локального
времени. Во втором параграфе четвёртой главы мы показываем, что средний
накопленный импульс действительно является средним значением некоторого
оператора, который определён потраекторно. В третьем параграфе мы строим
накопленный импульс случайного блуждания и доказываем предельную теоре-
му о сходимости к накопленному импульсу броуновского движения.
В пятой главе результаты про броуновское движение с отражением в ша-
ре получают обобщение по двум направлениям: вместо шара рассматривает-
ся произвольная область с гладкой границей, а в качестве процесса ξ берётся
симметричный процесс Леви с единичной матрицей ковариации. По формуле
Леви–Хинчина характеристическая функция такого процесса равна
Z
eip·x − 1 − ip · x dΠ(x),
ϕt (p) = exp(−tL(p)), L(p) = − (0.3)
Rd
причём мера Леви Π инвариантна относительно поворотов и имеет конечный
второй момент, cov ξ(1) = I. В пятом параграфе мы рассматриваем случай сим-
метричных α-устойчивых процессов, которые уже не имеют второго момента.
Математическая мотивация для изучения процессов Леви и, в частности,
α-устойчивых процессов в ограниченных областях, как отмечают авторы [10],
связана с тем, что их предельные (α = 2) аналоги – броуновское движение с
поглощением/отражением – являются важными моделями в теории вероятно-
стей.
С точки зрения приложений, отражающиеся процессы играют важную роль
в теории стохастического управления и финансовой математике в моделях с
ограничениями на кредит или потребление (см. [11]). Кроме того, отражающие-
ся процессы являются удобным инструментом для изучения времени ожидания
в очередях с конечной пропускной способностью ([12], [13], [14], [15]), а также
дамб и моделей для жидкостей ([16], [17]).
Генератором процесса Леви ξ(t) является нелокальный оператор (теорема
31.5, [18]) Z
− Lf (x) = f (x + y) − f (x) − f (x) · y dΠ(y) (0.4)
Rd
с ядром Cc∞ (Rd ) ⊂ D(L), −L ≥ 0. Он порождает сильно-непрерывную полу-
группу (T t )t≥0 в пространстве C0 (Rd ) непрерывных функций, стремящихся к
нулю на бесконечности.
Вместо того, чтобы пытаться сузить оператор L (что само по себе затрудни-
тельно, так как L – не локальный) на функции, заданные в области D, мы, сле-
дуя за авторами [5], построим специальное продолжение функции f ∈ W22 (D)
до функции, fe, лежащей в D(L). При помощи этого продолжения, мы опреде-
лим полугруппу P t , полагая для f ∈ W22 (D)
P t f = T t fe.
Продолжение f 7→ fe будет строиться так, чтобы в него были “зашиты” кра-
евые условия для генератора, и тем самым была выполнена описанная выше
программа.
Дальнейшее исследование полугруппы P t является целью следующих ра-
бот. Отметим, что построение процесса по полугруппе является нетривиальной
задачей, которая однако может решаться сугубо аналитическими методами.
Примером исследования процесса, отвечающего квадратичной форме
Z
E(u, v) = ∇u · ∇v dx, D[E] = W21 (D)
D
в области D с гёльдеровой границей является работа [19]. Нетрудно заметить,
что эта форма – не что иное, как квадратичная форма оператора Лапласа с
условиями Неймана. Так как оператор Лапласа является генератором стан-
дартного броуновского движения в Rd , авторы рассматривают отражающееся
броуновское движение в смысле данного выше определения. В своём исследо-
вании Басс и Хсу ссылаются на общую теорию соответствия форм Дирихле
(симметричных замкнутых квадратичных форм с дополнительным свойством
марковости) процессам Ханта (квази-левонепрерывные строго марковские про-
цессы), возникшую в шестидесятых годах в работах Ханта, Дынкина, Бёрлинга,
Дени, и получившую свой законченный вид в книге Фукушима [20]. В частно-
сти, общая теория говорит, что каждой регулярной форме Дирихле соответ-
ствует процесс Ханта (теорема 6.2.1 из [20]). Если к тому же форма обладает
свойством локальности, то процесс может быть выбран непрерывным (теоре-
ма 4.5.1 из [20]). Наконец, авторы обобщают результат [21] о вероятностном
представлении решения задачи Неймана un = f ∈ B(∂D)
Z t
u(x) = lim E f (Xx (s)) dL(s),
t→∞ 2 0
где Xx (s) – отражающаяся версия броуновского движения в области D, а L(s)
– процесс локального времени (см. [22]). Для построения процесса локального
времени они так же пользуются техникой форм Дирихле (теорема 5.1.1 из [20]).
Однако теория форм Дирихле применима не только к процессам с непре-
рывными траекториями, но и к скачкообразным процессам. Общий вид замы-
каемой марковской формы в пространстве L2 (D) с ядром C0∞ (D) даётся так
называемой формулой Бёрлинга–Дени (теоремы 2.2.1 и 2.2.2 из [20]):
Z
E(u, v) = uxi (x)vxj (x) νij (dx) +
D
Z
+ u(x) − u(y) v(x) − v(y) J(dx × dy) +
D×Dδ
Z
+ u(x)v(x) k(dx)
D
для u, v ∈ D(E). Первое слагаемое интерпретируется как диффузионный вклад.
Семейство мер νij симметрично (νij = νji ) и положительно определено: для
любого компакта K ⊂ D и вектора ξ ∈ Rd выполнено неравенство
X
ξi ξj νij (K) ≥ 0.
ij
Вклад второго слагаемого интерпретируется как вклад скачков. При этом мера
J(dx × dy) должна быть положительной вне диагонали δ, и для любого ком-
пакта K ⊂ D удовлетворять
Z
|x − y|2 J(dx × dy) < ∞.
K×Kδ
Наконец, относительно k(dx) предполагается лишь, что это положительная ме-
ра, и третье слагаемое интерпретируется как поглощение процесса в среде.
Нас интересует только второе слагаемое в этой формуле, однако простран-
ство C0∞ (D) не плотно в W21 (D), а значит не является ядром формы, отвечаю-
щей отражающемуся процессу Леви.
Отметим ещё, что для отражения диффузий в случае достаточно гладкой
границы (скажем, C 3 -гладкой; см. [23]) есть способ конструктивного построения
траекторий отражающегося процесса, восходящий к работе Скорохода [24]. В
самом простом случае отражения броуновского движения w(t) от точки 0 на
полуоси [0, ∞) используется формула Танаки (см. [25] или [26])
d
|w(t)| = w(t) + ζ(t).
Здесь ζ(t) – это процесс локального времени. Процесс |w| является очевидным
кандидатом на роль отражающейся в [0, ∞) версии процесса, и можно убедить-
ся, что так оно и есть. В терминах траекторий (а не генераторов) это проверя-
ется при помощи леммы Скорохода. В случае D = [−1, 1] легко показать, что
рассматриваемая нами в третьей части работы конструкция отражающегося
броуновского движения совпадает с конструкцией Скорохода, хотя и получает-
ся из других соображений.
В пятой части работы мы в некоторой степени воспроизведём это семимар-
тингальное разложение (точного соответствия быть не может, так как процессы
Леви, вообще говоря, не обладают локальным временем). Для этого мы по-
строим не одно, а два продолжения f и fe до класса D(L) начальной функции
f ∈ W22 (D). По f мы определим полугруппу Rt , отвечающую процессу в об-
ласти (аналог w(t) в формуле Танака), а по fe – полугруппу P t , отвечающую
отражающейся версии процесса (|w(t)| в формуле Танака). При этом естествен-
но ожидать, что их разность будет сосредоточена на границе ∂D. Мы покажем,
что эту разность полугрупп удобно рассматривать в терминах некоторого опе-
ратора
1/2
Qt : W2 (∂D) → W22 (D).
Как заметили авторы [5], этому оператору естественно придать смысл среднего
накопленного границей в результате отражений процесса импульса. Мы пока-
жем, что накопленный импульс можно определить не только в среднем, но и
потраекторно (в смысле сходимости в L2 (dx × dP )).
Есть группа общих результатов, касающихся отражения общих процессов
Ханта в смысле форм Дирихле в гладкой области D. Они восходят к статьям о
reflected Dirichet spaces Сильверстейна [27] и Чена [28]. По аналогии с ортого-
нальным (по норме W21 (D)) разложением в прямую сумму (см. [29], гл. 2, §10,
теорема 4)
W21 (D) = W21,0 (D) ⊕ G12 (D), (0.5)
где G12 (D) – пространство гармонических функции из W21 (D), авторы рассмат-
ривают форму E с ядром Cc∞ (D) ⊂ D(E), определяют аналог понятия гармо-
ничности, отвечающий такой форме, и расширяют форму до
e12 (D).
D(E ref ) = D(E) ⊕ G
Процесс Ханта, отвечающий E ref можно назвать отражённым в смысле Силь-
верстейна-Чена.
В некоторых случаях удаётся продвинуться дальше. Авторы работы [10]
построили процессы, отвечающие форме Дирихле дробного оператора Лапласа
в области D
u(x) − u(y) v(x) − v(y)
Z Z
E(u, v) = dx dy
c D D |x − y|d+α
на области определения F, состоящей из функций u ∈ L2 (D) таких, что конечен
интеграл 2
u(x) − u(y)
Z Z
d+α
dx dy < ∞.
D D |x − y|
Они показали, что построенные ими процессы являются в точности отражением
с смысле Сильверстейна–Чена, а последнее неравенство определяет область
определения формы E ref .
Иной подход был предложен в работе [30]. Именно, авторы рассматривают
с квадратичной формой дробного оператора Лапласа в Rd
u(x) − u(y) v(x) − v(y)
Z Z
E(u, v) = dx dy,
c Rd Rd |x − y|d+α
а в качестве “граничного условия” ставят нелокальное условие Неймана
u(x) − u(y)
Z
Ns u(x) = d+α
dy = 0 для x 6∈ D.
D |x − y|
Такая постановка обладает многими преимуществами. Среди них ясная вероят-
ностная интерпретация. Процесс с таким генератором, выскакивая за пределы
области D, немедленно возвращается в случайную точку области с плотно-
стью пропорциональной |x − y|d+α .
Следует также упомянуть работу [31], в которой рассматривается дробный
лаплассиан в смысле спектральной теоремы (разложение по собственным функ-
циям оператора Лапласа с условиями Неймана в области).
Наконец, в работах [32] и [33] рассматривается детерминистический воз-
врат процесса в область, и доказывается связь с задачей типа Неймана для
нелокальных операторов.
Наша работа, наследующая работе [5], отличается от описанных выше ре-
зультатов тем, что мы работаем с генератором процесса Леви с классическим
условием Неймана. Иначе говоря, мы рассматриваем аналог AN генератора L
в области D, с областью определения D(AN ) = N (D), где
N (D) = u ∈ W22 (D) : γ1 u = 0 ,
1/2
а оператор γ1 : W22 (D) → W2 (D) – это замкнутый с Cc∞ (Rd ) оператор взятия
нормальной производной на ∂D.
В качестве мотивации для рассмотрения задачи в такой постановке можно
указать на тот факт, что любое решение u ∈ C ∞ (Rd ) уравнения
−∆u = κ 2 u
удовлетворяет уравнению
−Lu = L(κ)u,
где оператор L определён формулой (0.4), а через L(p) для p ≥ 0 обозначена
функция (0.3), которая для симметричного процесса Леви оказывается завися-
щей только от модуля p = |p|. При этом справедливо неравенство
|L(p)| ≤ Cp2
для всех p ≥ 0.
Подчеркнём, что во всех частях работы мы интересовались скорее методом,
нежели общностью результатов. Поэтому в пятой части мы ограничиваемся
случаем гладкой границы и чисто скачкообразного симметричного процесса
Леви с конечным вторым моментом. Добавить диффузионный член к чисто
скачкообразному процессу Леви не составляет труда. Процессы Леви, не име-
ющие второго момента (например, α-устойчивые процессы) также могут быть
рассмотрены этим методом, однако непосредственно изложенная в данной ра-
боте схема на них не распространяется. В конце пятой части мы сделаем серию
замечаний о том, что следует делать в этом случае. Симметричность процес-
са Леви на данный момент является существенным ограничением на приме-
нимость метода. В приложениях 1 и 2 приводятся необходимые обозначения и
стандартные факты о начально-краевых задачах в ограниченных многомерных
областях.
![](https://expert-mik.ru/wp-content/themes/24author/assets/img/signup-document.png)
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!