Метод статического учета высших форм колебаний в задачах динамики конструкций

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи, определены объект и предмет исследования,
указана научная новизна, теоретическая и практическая значимость и положения, выносимые на защиту.
В первой главе представлен краткий обзор развития методов динамического расчета зданий и сооружений. Результаты обзора научных работ по тематике исследования подтвердили актуальность проблем реализации метода статического учета вклада выших форм колебаний для решения задач динамики конструкций при произвольных динамических воздействиях. До настоящего времени не разработана такая форма реализации этого метода, которая ориентирована на применение существующих программных комплексов и не требует написания и использования дополнительных подпрограмм.
В второй главе изложена теоретическая основа метода статического учета вклада высших форм колебаний и разработанный алгоритм, позволяющий применить этот метод для решения задач динамики конструкций с использованием стандартных программных комплексов по расчету строительных конструкций. В последних параграфах главы на примерах, имеющих аналитическое решение, показано применение метода статического учета вклада высших форм колебаний для задач с гармонической и нестационарной динамической нагрузками.
Использование метода конечных элементов позволяет записать уравнения движения вынужденных колебаний конструкции с N степенями свободы в форме:
соответственно, размерами N x N; X , X , X – векторы-столбцы искомых перемещений, скоростей и ускорений узлов системы, соответственно; F(t) – вектор-столбец внешней динамической нагрузки.
Собственные частоты и формы колебаний недемпфированной системы определяются из уравнения:
(K 2M) 0. (2) Отсюда можно определить: 1,2,…N – собственные частоты и
 
MX СX KX F(t), (1) где M, С, K – матрицы масс, демпфирования и жесткости системы,
 
1,2 ,…N – столбцы собственных форм размером N x 1; Введем матрицу  (N x N) собственных форм
(1 2 … N) Собственные формы имеют следующие свойства
(3)
T M  diag(i ); T K  diag(ii2 ) . (4)
Ограничимся случем пропорционального демпфирования. В этом случае можно считать, что матрица С удовлетворяет условиям
T C   diag 2   , (5) iii
где  j – относительное модальное демпфирование (в долях от критического). В дальнейшем предполагается, что конструкция закреплена как жесткое
целое и матрица жесткости K – неособенная, т.е. существует обратная матрица K1. В этом случае из второй формулы (4), следует
1 K1 diag T .
ii
При расчете сооружений от различных воздействий, вызывающих динамический характер их НДС, наиболее часто используют решение системы уравнений (1), методом разложения в ряд по собственным формам колебаний (модальная суперпозиция):
N
X(t) kqk(t)q(t), (7)
k 1
где q(t) – столбец модальных координат размером N x 1.
Тогда уравнение (1) стандартным образом приводится к диагональному виду

iii Выразим из системы (1) X (t) :
i

 
(6)
1
q diag(2  )q  diag(2 )q  diag  T F(t).
(8) X(t)K1F(t)K1(MX CX). (9)
Оставим в разложении (7) только n первых форм колебаний ( n  N ) n ~~
X(t)kqk (t)q(t), (10) ~k1 ~
где  – усеченная матрица собственных форм (Nn), q(t) – соответствующий столбец модальных координат (n1).
Тогда
Подставляя в (9) выражения (11) и используя формулы (6) и (10), получим
 
 ~~  ~~
X(t)q(t); X(t)q(t). (11)
~~1 ~1~T X(t)q(t)K F(t)diag2  F(t).
(12)
ii
Сравнив последнее слагаемое в (12) с формулой (6), можно заключить,
что это слагаемое представляет собой приближенное выражение для матрицы
~ ~ 1~ K1,полученноесучетомnпервыхсобственныхформ:K1 diag T.
ii
Таким образом, можно дать следующую интерпретацию слагаемых ~~
формулы (12): q(t) – приближенное динамическое решение при учете n первыхсобственныхформколебаний; K1F(t) –точноестатическоерешение;
~1
K F (t ) – приближенное статическое решение, полученное методом
разложения по собственным формам колебаний с учетом первых n форм. Формулу (12) можно записать в виде
где матрица G:
~~ X(t)q(t)GF(t),

 

 2 ~  n1 n1
0 
 T
1
GK1K1n1 … N 01
… n1 … N,  2
 NN
называется матрицей остаточной податливости. Выражение GF (t ) дает
статический учет высших форм колебаний, которые не учтены в первом ~~
слагаемом q(t)формулы (12).
Обратим внимание, что статический учет вклада высших форм может быть найден без нахождения самих этих форм колебаний.
Вычисление первых двух слагаемых формулы (12) можно провести на любом стандартном программном комплексе для расчета строительных конструкций. Для этого, чтобы изложить, как можно вычислить последнее слагаемое в (12) на стандартном программном комплексе рассмотрим действие на конструкцию вспомогательной гармонической нагрузки.
Рассмотрим произвольный момент времени t  t . Пусть на систему действует нагрузка P(t)  P sin(t), где P  F(t).
Запишем соответствующее произвольному номеру «к» уравнение из
системы (8):
где
1 2 Ak ,tg kk .
q  ( t )  2   q ( t )   2 q ( t )  f s i n (  t ) , kkkkkk
Стационарное решение уравнения (13), можно записать в виде q(t)fk Asin(t),
( 1 3 )
(14)
(15)
k0 где f  T P .
k
k

k2k k k
 22  2 k 1 2  2k 
2 1 
k
 k  k
Таким образом, каждая модальная координата qk колеблется с частотой
вынуждающей силы  , но имеет свой сдвиг по фазе k по отношению к нагрузке. Следовательно, максимальное значение каждой координаты qk достигается в разные моменты времени и простое суммирование амплитуд
qk мах невозможно.
Предлагается следующий приближенный способ вычисления третьего
слагаемого в формуле (12). Из формул (15) следует, что при   0 , Ak  1 и
tgk 0(азначитиk 0).Вэтомслучаеиз(14)следует,чтоqkмах fk /k2,
что соответствует статическому решению уравнения (13) относительно амплитуды qk мах .
Таким образом, при малой частоте  вспомогательного гармонического
воздействия по отношению к собственной частоте k сдвигом по фазе и
изменением амплитуды можно пренебречь. Примеры расчетов, приведенные дальше показали, что приемлемая точность результатов достигается, если частота  равна 0,00010,001 рад/с. Также в дальнейшем будет обоснована рекомендация о количестве n собственных форм, которые нужно учесть динамически: собственная частота последней учитываемой динамически формы колебаний должна превосходить основную частоту воздействия как минимум в 2 – 3 раза.
Рисунок 1 – Расчетная схема динамической задачи
рассмотрим аналитического задачи о гармоническом воздействии
распределенной нагрузки. Рассмотрим задачу о гармоническом воздействии
распределенной нагрузки p(x,t) на шарнирно-опертую однопролетную балку
(см. рисунок 1).
На систему передается вибрационная нагрузка, заданная в следующем
Далее, пример
решения
виде:
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
p(x,t)  P(x)sin(t) 22u 2u
(16) x2 EIx2 mxt2 Pxsint, (17)
где u(x,t) – искомое перемещение;  – масса единицы длины балки; EI –
жесткость балки на изгиб.
Решение уравнения (17), соответствующее установившимся колебаниям,
имеет вид:
L
 1 P(x)Xi (x)dx
u(x,t)sin(t) 0
i1 (2 2)L 2
X (x), (18) i
i
m(x)X (x)dx i
где i – собственная частота колебаний, соответствующая форме колебаний Xi(x), L – длина балки. Для шарнирноопертой балки:Xixsinix и
Изгибающий момент и перерезывающая сила могут быть найдены из выражений:
d2u(x,t) dM(x,t)
M (x,t)  EI dx2 , Q(x,t)  dx . (19)
i 
i22 EI 2
при i = 1; 2; 3…
Lm
L

Для метода статического учета необходимо выполнить решение вспомогательной статической задачи. Решение задачи статики будем выполнять с помощью разложения по формам собственных колебаний. Рассмотрим статическую задачу о действии распределенной нагрузки P(x) на
однопролетную шарнирно-опертую балку.
Для задачи статики дифференциальное уравнение имеет вид:
EIuIV P(x). (20) Решение неоднородного уравнения будем искать в виде суммы
перемещений, возникающих по всем формам колебаний:
ux  Bi Xi x, (21)
i1
где Xi (x)– собственные формы колебаний, Bi – амплитудное значение i-той
моды колебаний Xi (x).
Решение уравнения (20) имеет вид:
L P(x)
 EIX(x)dx
i i1 L 2
u(x) 0
i 4
X (x). (22) i
  X (x)dx
i
учета отброшенных форм колебаний: принять в формуле (18) небольшое число слагаемых n, а остальную часть (высшие моды колебаний) учесть в расчете статически.
Метод статического учета высших форм колебаний заключается в том, что искомое динамическое перемещение ищется по формуле:
uuдин uСТ uст, (23) nn
где u дин – приближенное решение динамической задачи с учетом n собственных n
форм (18); uCT – точное решение статической задачи (20); uст – приближенное n
решение статической задачи (20) по формуле (22) с учетом n собственных форм. Выражение в скобках в формуле (23) представляет собой вклад высших собственных форм колебаний в решение статической задачи (20).
Для поиска изгибающего момента и перерезывающей силы имеем аналогичные формулы:
MMдин MСТ Mст,QQдин QСТ Qст. (24) nnnn
Рассмотрим пример расчета задачи о действии на балку равномерно
распределенной гармонической нагрузки, меняющейся по закону
p(x,t)  P sin(t) . Пусть дана железобетонная балка со следующими 0
геометрическими параметрами: длина L = 8 м; сечения балки: h = 0,50 м; b=0,25 м; класс бетона: В25. Амплитуда силы P0 = 10 кН/м и круговая частота силы θ = 100 рад/с. Будем искать перемещение и изгибающий момент в середине пролета (x = L/2), перерезывающую силу в конце балки (x = L).
По результатам модального анализа первые собственные частоты системы соответственно равны 77,11; 308,43; 693,96; 1233,70; и 1927,66 рад/с.
L0
Предлагается подойти к решению данной задачи с помощью статического
Теперь по формулам (22), (23) и (24) получаем решение динамической задачи с помощью стандартного метода и метода статического учета отброшенных форм колебаний. Результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1 – Решение динамической задачи
Метод расчета
n
1 3 5 7 9 11
Стандартный метод
Предлагаемый метод
u, мм -10,049 -10,077 -10,075 -10,076 -10,076 -10,076
M, кН⸱м -121,07 -124,17 -123,53 -123,77 -123,65 -123,72
Q, кН 48,04 43,86 42,69 42,20 41,70 41,46
y, мм -10,075 -10,075 -10,075 -10,076 -10,076 -10,076
M, кН⸱м -123,63 -123,70 -123,70 -123,60 -123,69 -123,69
Q, кН 39,97 39,89 39,89 39,89 39,88 39,88
Точное решение задачи динамики таково: перемещение uT = -10,076 мм и изгибающий момент MT = -123,70 кН⸱м и перерезывающая сила QT = 40,11 кН.
В таблице 2 представленно
сравнение результатов решениия задачи по стандартному методу и по предлагаемому методу статического учета высших форм колебаний с точными результатами.
Как видно из таблицы 2, при учете всего 1-ой первой формы собственных колебаний, метод статического учета высших форм колебаний дает результаты с погрешностью менее 1% для перемещения и изгибающего момента, тогда как стандартный метод дает результат с погрешностью 2%. Для перерезывающей силы, предлагаемый метод при учете 1-ой формы дает погрешность менее 1%, а стандартный метод дает результат с погрешностью 20%.
Далее, рассмотрим аналитическое решение задачи под действием нестационарного
сосредоточенного момента
M(t)  M0t2 (рисунок 2). Для
этой задачи,
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
Таблица 2 – Сравнение решения задачи динамики с точными результатами
Cтандартный метод Предлагаемый метод
uMQuMQ δ, %
n
1 0,27 3 0,01 5 0,01 7 0,00 9 0,00
11 0,00
2,13 19,78 0,01 0,40 9,36 0,01 0,14 6,44 0,01 0,02 5,21 0,00 0,03 3,96 0,00 0,02 3,37 0,00
0,05 0,89 0,02 0,55 0,00 0,24 0,00 0,19 0,00 0,06 0,00 0,00
Рисунок 2 – Расчетная схема динамической задачи

EI
где δ’(x-l) – производная дельта-функции.
m
2u
4u
M t2'(xl), (25)
t2
Точное решение уравнения (25) имеет вид:
x4 0
u(x,t)M0 t2 2(1cost)X(l)X(x)

2Mt2 1 i ix
EI
– частота i-ой
X i (x)  sin(ix / 2l) – i-ая форма собственных колебаний.
Пусть дана железобетонная балка (см. рисунок 3) со следующими геометрическими параметрами: длина 2l = 8 м; ширина и высота прямоугольного поперечного сечения соответственно b = 0,25 м и h = 0,5 м. Материалом балки является железобетон класса В25. Величина M0 была выбрана равной 10 кН⸱м/с2. Рассмотрим нахождение прогиба и изгибающего момента на расстоянии x  0,5l в нескольких разных моментах времени. Результаты приведены в таблице 3.

ml
M(x,t) 0 cos sin 
i
  i1i 2 2l
ii
iii (26) 
где
i  i2 2
формы собственных колебаний;
4l2 m
64M l4m  1 i ix  0  (1cost)cos sin ,
(27)
5EIi1i5 i 2 2l
Таблица 3 – Решение задачи различными методами
Момент времени t, с 0,30 0,35 0,40 0,45
Точное решение
Стандартный метод при n = 2
Предлагаемый метод при n = 2
uT, мм -7,20 -9,80 -12,80 -16,20
MT, Н⸱м 224,21 305,24 398,62 504,63
un, мм -7,43 -10,11 -13,21 -16,72
Mn, Н⸱м 286,40 389,89 509,19 644,57
u, мм -7,43 -10,11 -13,21 -16,72
M, Н⸱м 224,92 306,21 399,89 506,24
Анализ результатов, приведенных
погрешности различных методов. Эти погрешности приведены в таблице 4.
Таблица 4 – Сравнение результатов разных методов с точным решением Момент Стандартный метод при n = 2 Предлагаемый метод при n = 2 времени un Mn u M
t,с % % % %
в таблице 3, позволяет найти
0,30 3,21 0,35 3,20 0,40 3,20 0,45 3,20
27,74 3,21 0,32 27,73 3,20 0,32 27,74 3,20 0,32 27,73 3,20 0,32
Анализ результатов, приведенных в таблице 4, позволяет сделать следующий вывод: Для перемещегия при решении динамической задачи с
нестационарной нагрузкой с учетом только 2-х форм колебаний метод статического учета высших форм дает результаты с погрешностью 3,2% по сравнению с точным решением; для изгибающего момента, предлагаемый метод дает результаты практически совпавшие с точным решением, стандартный метод при учете 2-х форм колебаний дает результаты с погрешностью 28%.
В третьей главе рассматриваются примеры применения метода статического учета высших форм колебаний при численном решении динамических задач с использованием программного комплекса. Показана возможность применения метода для задач с различными типами динамических воздействий: одна гармоническая нагрузка; несколько одновременно действующих гармонических нагрузок с разными частотами; нестационарная нагрузка (гармоническая нагрузка с экспоненциально убывающей амплитудой). Во всех примерах проведено сравнение результатов предлагаемого метода с результатами, полученными стандартным методом разложения по формам собственных колебаний. В задачах с нестационарной нагрузкой результаты сравнивались с решением, полученным методом прямого интегрирования уравнений движения системы (МПИ). Численное решение задач проводилось с использованием программмного комплекса SCAD Office. Примеры некоторых решенных задач приведены далее.
Первая задача. Рассмотрим пример расчёта конструкции под действием динамического воздействия (см. рисунок 3). Габаритные размеры расчетной пространственной рамы составляют 12 х 10 х 14 м, размеры поперечных сечений элементов: 20х20, 35х40, 50 х 50 см2 (см. рисунок 3). В качестве материала принят бетон В25. Для железобетонных конструкций, коэффициент неупругого сопротивления материала принят γ = 0,09. На раме в узле No15 действует гармоническая динамическая нагрузка p(t)=P0sin(θt) по направлению X с амплитудой силы
P0 = 100 кН и угловой частотой в двух вариантах θ1 = 8 рад/c и θ2 = 13 рад/c. По результатам модального анализа определено несколько первых собственных частот рамы равны 10,73; 11,40; 14,51; 23,82; 24,19; 25,89; 35,99 рад/с. Рассмотрено перемещение узлов 2 и 25 по направлению Х, а также изгибающий момент относительно оси Y, продольная сила N и перерезывающая сила Q относительно оси Z в элементе N57. Результаты расчета рамы на динамическую нагрузку приведены в таблице 5.
Рисунок 3 – Схема пространственной рамы

14 Таблица 5 – Решение динамической задачи
Решение
(1) Точное решение (при n = 160) -4,62
(2) Стандартный метод при n = 5 -4,25 (3) Погрешность между (2) и (1), % 8,04 (4) Предлагаемый метод при n =5 -4,59 (5) Погрешность между (4) и (1), % 0,75
u2, u25, N57, M57, Q57, мм мм кН кН⸱м кН
θ1 = 8, рад/с
-12,81 5,915
-106,58 -99,74 6,42 -105,96 0,59
-122,08 -128,89 5,58 -121,92 0,13
29,17 28,04 3,88 29,03 0,46
33,62 35,93 6,86 33,58 0,12
-12,05 7,138 5,93 20,68 -12,79 6,070
0,14 2,62
θ2 = (1) Точное решение (при n = 160)
(2) Стандартный метод при n = 7 (3) Погрешность между (2) и (1), % (4) Предлагаемый метод при n = 7 (5) Погрешность между (4) и (1), %
13, рад/с
-5,28 -5,55 5,09 -5,28 0,13
16,01 1,98 17,02 0,81
6,34 59,08 16,08 2,00 0,47 1,27
Анализ результатов, приведенных в таблице 5, позволяет сделать следующий вывод: применение метода статического учета высших форм колебаний позволяет значительно повысить точность результатов как по перемещениям, так и по усилиям, по сравнению со стандартным методом при сравнимых вычислительных затратах. Например, стандартный метод при учете 5 или 7 форм дает погрешности 5-8%, для продольной силы погрешность достигает 60%; предлагаемый метод при учете 5 или 7 форм даёт погрешности 0,5-3%.
Вторая задача. Рассмотрим пример расчёта конструкции под действием одновремено нескольких динамических воздействий (см. рисунок 3). На систему действуют одновремено три гармонические нагрузки
p (t)  P sin( t).Их параметры приведены в таблице 6. iii
Таблица 6 – Параметры вынуждающих динамических нагрузок
Номер узла
1 15 2 24 3 33
Направление действия силы
по оси X по оси X по оси Z
Амплитуда Вынуждающая частота (i )
i
силы (P0i ), кН Гц 100 2,1
50 3,0 150 5,0
рад/с 13,19 18,84 31,40
Далее в работе приводятся перемещения узлов 2 и 25 по направлению Х, перемещение узла 33 по направлению Z, а также изгибающий момент относительно оси Y в элементе N57. При решении задачи предлагаемым методом учитывалось 25 форм колебаний (25-ой форме колебаний соответствует собственная частота 96 рад/с).
Для оценки точности предлагаемого подхода исходная задача о действии одновременно трех сил была решена в программном комплексе SCAD Office с помощью МПИ. Результаты приведены в таблице 7, где обозначено: (1) – предлагаемый метод; (2) – МПИ; δ – относительная погрешность.
Таблица 7 – Сравнение результатов разных методов
Нагрузка
 pi (t) i1
Вид расчета
(1)
(2) δ (%)
u2x , мм 8,02
7,86 2,04
u25x , мм 35,50
35,05 1,28
u33z , мм 23,88
23,22 2,85
M57 , кН⸱м Max Min
241,62 97,67 236,61 93,29 2,12 4,70
Анализ результатов, приведенных в таблице 7, позволяет сделать следующие выводы: погрешность предлагаемого метода не превосходит 5 %. Достаточно высокая точность результатов достигается как по перемещениям, так и по усилиям.
Третья задача. Рассмотрим пример расчёта конструкции под действием нестационарной нагрузки (гармонической нагрузки с экспоненциально убывающей амплитудой). Пусть на конструкцию в узле 15 по направлению X действует нагрузка p(t) = P0e-αt sin(θt) (см. рисунок 3). Амплитуда силы P0 = 100
кН, угловая частота θ = 8 рад/c, α = 0,3; t0;20с. Такой тип нагрузки
потребуется в дальнейшем при решении задач сейсмостойкости контрукций. В таблице 8 приведены: перемещение u узла 2 по направлению Х, изгибающий момент М относительно оси Y, продольная сила N и перерезывающая сила Q относительно оси Z в элементе N57, полученные по
методу статического учета высших форм колебаний.
Таблица 8 – Результаты расчета рамы от силы
f (t)  P sin(t) 0
θ = 8 рад/с
N , кН M , кН⸱м
6,07 -105,96
Решение Динамическое решение со
статическим учетом форм при n = 5
u , мм -4,59
Q , кН 29,03
Решение задачи можно представить как сумму экспоненциально убывающих колебаний c собственными частотами и вынужденных колебаний с частотами приложенной нагрузки. Слагаемые с собственными частотами быстро затухают и начиная с некоторого момента времени вклад собственных колебаний в решение становится мал и его можно не учитывать. Для получения амплитудных значений при действии нагрузки p(t) достаточно решение задачи при действии f(t) умножить на e-αt. На рисунке 42, решение, полученное предлагаемым методом начинаются с момента времени t  2,87 с. В диссертации показано, что за это время амплитуда собственных колебаний уменьшается в 4 раза.
Для оценки точности предлагаемого подхода задача была решена с помощью МПИ. Сравнение результатов двух методов приведены на рисунке 4.
68
34 0 t,c0
t,c -30 5 10 15 20 -40 5 10 15 20
-6 -8
120 40
80 20
40 t,c t,c 00
-400 5 10 15 20 -200 5 10 15 20
-80
-120 -40
Рисунок 4 – Сравнение результатов двух методов
На основе анализа рисунка 4, можно сделать следующий вывод: при расчете задачи под действием гармонической нагрузки с убывающей амплитудой метод статического учета высших форм колебаний уже при учете 5-ти форм колебаний дает результаты с допустимыми погрешностиям по сравнению с МПИ.
В четвертой главе изложено применение метода статического учета высших форм колебаний в задачах анализа сейсмостойкости сооружений. Для генерации сейсмического воздействия с учётом особенностей сооружения использовалась модель Долгой А.А., по которой возможно определение самых опасных акселерограмм для сооружения. Модель Долгой А.А. представляет собой велосиграмму в виде суммы трёх затухающих синусоид. Соответствующая акселелограмма имеет вид:
(28)
где n – число учитываемых гармоник (n = 2, 3).
Частоты i назначается опасными для сооружения. Параметры Ai и i
подбираются таким образом, чтобы заданные величины характеристик воздействия (пиковые ускорения основания, коэффицент гармоничности, интенсивность по Ариасу, абсолютная кумулятивная скорость, плотность сейсмической энергии) обеспечивались с минимальной погрешностью. В свою очередь, величины этих характеристик назначаются пользователем в соответствии с величинами характеристик реальных землетрясений.
M, кН⸱м u, мм
Q, кН N, кН
 it
yn Ae costsint,
0iiiii i1
Расчеты проводились для конечноэлементной модели здания из 17 этажей (рисунок 5). Габаритные размеры здания 36,4 х 34,4 х 61,2 м, высота этажа 3,6 м. Толщина перекрытия – 0,20 м. Колонны имеют квадратное сечение 0,5×0,5 м. Балки перекрытий – прямоугольные 0,4×0,3 м. Толшина плит фундамента – 1 м. Конструкции выполнены из монолитного железобетона: бетон класса В25. Общее число узлов – 30346,
элементов – 37921. По результатам
модального анализа были
определены первые собственные
частоты: 2,75; 3,37; 3,89; 9,65; 14,24
рад/с.
Были рассмотрены перемещение узлов 435 и 786 по направлению Х, узла 26057 по направлению Z, а также продольные силы N, изгибающие моменты относительно оси X и Y, перерезывающие силы в элементах 9 и 554. Данные элементы указаны на рисунке 5 красным маркером.
Для определения параметров
модели Долгой А.А.
использовалась программа Уздина
А.М., Арещенко Т.С. и
Прокоповича С.В. При этом
использовались следующие
данные: категория грунта I; для расчетного землетрясения (РЗ) повторяемость землетрясения принята равной 76 лет, что соответствует его 90-процентной обеспеченности;
для контрольного
землетрясения
(КЗ) эта величина
принята равной
1667 годам, что
соответствует 10-
процентной
обеспеченности.
Результаты
генерации
расчётных
воздействий
представлены на
рисунках 6 и 7.
Рисунок 5 – Конечно-элементная модель
Рисунок 6 – Акселерограмма для РЗ (ПЗ)
Рисунок 7 – Акселерограмма для КЗ (МРЗ)

В таблице 9 приведены значения параметров процесса из выражения (28). Таблица 9 – Значение параметров процесса
Тип расчета РЗ
Параметры 1 2 3 1 2 3
Ai 1,500 -2,439 0,700
 it
p(t)3 p(t)p(t)e , (29)
КЗ
i
i
При расчете к узлам системы прикладывалась инерционная нагрузка
4,100 -8,558 0,300 1,600 2,754 3,365
4,100 4,100 3,887
0,323 0,85 0,600  i 2,754 3,365 3,887
и uis (t) суммировались по формуле:
 it
ic is i1
где p (t)  P cos( t) и p (t)  P sin( t). ic ic i is is i
Амплитуды сил p (t) и p (t) равны, сответственно, P  mA и ic is ic ii
P  mA  , где m – масса узла. is ii
По методу статического учета высших форм колебаний задача решалась от каждой из шести нагрузок pic (t) и pis (t). Полученные шесть решений uic (t)
u(x,t) 3 u costu sinte . (30)
ic i is i i1
Для определения точности метода статического учета высших форм колебаний при расчете сооружений на сейсмическую нагрузку было выполнено 3 дополнительных расчёта:
1.Динамический расчёт МПИ с использованием сейсмограммы в качестве входного процесса. При этом сейсмограмма была получена интегрированием сгенерированного расчётного воздействия. Для проверки точности результатов в этой задаче было проведено 2 расчета с разными шагами по времени: 0,00025 с; 0,0005 с. Время расчетов составило 2 ч. 30 мин. и 1 ч. 10 мин., соответственно. Результаты расчетов практически совпали. В дальнейшем результаты разных методов будут сравниваться с результатами расчета МПИ при шаге по времени 0,0005 с.
2. Динамический расчёт с использованием акселерограммы сгенерированного расчётного воздействия.
3.Расчёт по линейно-спектральной методике (ЛСМ) по СП 14.13330.2018.
При этом расчёты были выполнены на два уровня расчётного воздействия – РЗ и КЗ. Полученные разными методами максимальные значения перемещений и усилий и их погрешности приведены в таблице 10.
Таблица 10 – Результаты расчета разными методами
Метод расчета Время расчета
786_ Х, мм 435_Х, мм 26057_Z, мм 9_N, кН
9_My, кН⸱м 9_Qz, кН 554_Mx, кН⸱м/м 554_Qx, кН/м
786_ Х, мм 435_Х, мм 26057_Z, мм 9_N, кН
9_My, кН⸱м 9_Qz, кН 554_Mx, кН⸱м/м 554_Qx, кН/м
МПИ 70 мин.
717,33 470,24 11,99 2651,25 250,13 118,19 2,48 5,75
1448,43 689,29 37,97 11544,1 1030,10 421,70 10,16 21,77
По акс-ме (n=50 СФ)
10 мин. РЗ (ПЗ) 457,88 129,00
ЛСМ (n=50 СФ)
10 мин.
627,71 167,58 7,31
Предлагаемый метод (n=5 СФ)
4 мин.
763,48 475,00 12,05 2576,09 251,19 114,422 2,39 5,46
1450,09 682,81 37,14 11637,34 1035,35 441,998 10,78 22,86
6,56
1825,23 2422,34
79,11 31,33 0,58 1,10
106,30 41,29 0,78 1,48
КЗ (МРЗ)
1607,61 1793,45
457,91 19,63 6454,96 276,18 109,02 2,03 3,87
478,81 20,89 6920,98 303,72 119,77 2,22 4,22
Анализ результатов, приведенных в таблице 10, позволяет найти погрешности различных методов по сравнению с решением МПИ. Эти погрешности приведены на рисунках 8 и 9. Где: 1 – расчет по акселерограмме, 2 – расчет по ЛСМ, 3 – расчет по предлагаемыму методу.
100 80 60 40 20 0
Погрешность
786_ Х 435_Х 26057_Z 9_N 9_My 9_Qz 554_Mx 554_Qx
123 Метод расчета
Рисунок 8 – Сравнение результатов разных методов с точными решениями для РЗ (ПЗ)
δ, %
100
60
20
0
Погрешность
786_ Х 435_Х 26057_Z 9_N 9_My 9_Qz 554_Mx 554_Qx
123 Метод расчета
Рисунок 9 – Сравнение результатов разных методов с точными решениями для КЗ (МРЗ)
По данным рисунков 8 и 9 видно, что при учете только 5 форм колебаний метод статического учета высших форм колебаний дает результаты с допустимой погрешностью по сравнению с МПИ. Метод расчета по акселерограмме и по СП при учете 50 СФ, дают результаты с большей погрешностью.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные научные результаты, полученные при выполнении работы: 1.Обоснована недостаточная степень проработанности метода учета вклада высших форм колебаний. Хотя существует несколько методов прибиженного учета вклада высших форм колебаний, но эти методы разработаны, в основном, для решения задач расчета строительных конструкций на сейсмические воздействия, для других видов динамических нагрузок применение этих методов разработано недостаточно. Прямое использование этих методов невозможно на существующих программных
комплексах и требует написания дополнительных подпрограмм.
2. Сформулированы теоретические основы метода статического учета высших форм колебаний – «метода матрицы остаточной податливости» для задач с конечным числом динамических степеней свободы. Рассмотрены задачи: с учетом демпфирования и без учета; с гармонической нагрузкой и с произвольной нестационарной нагрузкой. Для всех задач метод статического учета высших форм колебаний сводится к основной трехчленной формуле. Первые два слагаемых формулы могут быть вычислены на любом стандартном программном комплексе для расчета строительных конструкций. Третье слагаемое основной формулы представляет собой приближенное статическое решение, полученное разложением по первым собственным формам колебаний. Для вычисления этого слагаемого предложен и обоснован способ замены нагрузки на гармоническую с очень малой частотой воздействия. Этот способ позволяет вычислить третье слагаемое основной формулы также на стандартном программном комплексе без необходимости
использования дополнительных подпрограмм.
δ, %
3. На примерах задач с гармонической и нестационарной динамической нагрузками, имеющих аналитическое решение, исследована точность предлагаемого метода учета высших форм колебаний. Показано, что предложенный метод дает высокую точность решения по сравнению со стандартным методом разложения по собственным формам колебаний. Высокая точность решения получается не только по перемещениям, но и по усилиям.
4. На примерах численного решения задач о вынужденных колебаниях различных типов строительных конструкций показана возможность применения метода статического учета высших форм колебаний при действии различных динамических нагрузок. Сформулированы рекомендации о количестве собственных форм колебаний, которые должны быть учтены динамически: собственная частота последней учитываемой динамически формы колебаний должна превосходить основную частоту воздействия как минимум в 2 – 3 раза; а также о величине малой частоты (  0,0001  0,001 рад/с) вспомогательного гармонического воздействия, которое используется для получения решения статической задачи в виде разложения по собственным формам колебаний.
5. Показана возможность применения разработанного алгоритма метода статического учета высших форм колебаний для решения задач расчета конструкций от сейсмических воздействий. На конкретном примере показано, что метод статического учета высших форм колебаний позволяет получить достаточно точные результаты при существенном сокращении времени решения задачи, по сравнению с другими методами анализа сейсмостойкости строительных конструкций.
Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы.
Дальнейшие исследования предполагается проводить в направлении развития методики применения метода статического учета высших форм колебаний к задачам расчета строительных конструкций на устойчивость к прогрессирующему обрушению.