Бигармонические аттракторы внутренних волн
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 История развития интереса к явлению внутренних волн
и текущее состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Общая теория внутренних гравитационных волн . . . . 16
1.2.1 Стратификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Генерация внутренних волн . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Математические модели для изучения внутрен
них гравитационных волн . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Линеаризованная теория внутренних гравитаци
онных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Аттракторы внутренних волн . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Методы исследования аттракторов внутренних волн . . . . . . 28
2.1 Исследование свойств волновых течений с помощью
трассировки лучей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Критические частоты и диапазон существования
аттракторов внутренних волн . . . . . . . . . . . 30
2.2 Экспериментальные исследования . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Экспериментальная установка . . . . . . . . . . . 35
2.3 Численные исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Численное моделирование аттракторов внутрен
них волн с помощью метода спектральных эле
ментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Численное моделирование аттракторов внутрен
них волн с помощью метода контрольного объема 42
2.4 Исследование аттракторов внутренних волн на базе ква
зигидродинамического подхода . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1 Квазигидродинамические уравнения . . . . . . . 52
2.4.2 Аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.3 Реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.4 Верификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.5 Валидация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Волновые движения в замкнутом резервуаре при воздействии с
двумя частотами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1 Кинетическая энергия для монохроматического и бигар
монического режимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Работа состоит из введения, где обозначены цели и задачи, сфор мулирована теоретическая значимость и практическая применимость проведенного исследования. Также описаны методы, используемые в ра боте, обозначен личный вклад автора, перечислены выносимые на защи ту положения.
Первая глава посвящена обзору существующих исследований в области аттракторов внутренних волн и стратифицированной жидкости. Обзор литературы содержит в себе историю развития теории внутренних
волн и описание основных событий, которые заострили внимание науч
ной общественности на этом явлении. Описаны механизмы возникнове ния внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости и их свойства. Приведена классическая математическая модель описания ди намики стратифицированной жидкости, включающая в себя уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска:
⃗⃗⃗1 ⃗⃗ + ( · ∇ ) = − ∇ ˆ + ∆ + ,
уравнение переноса соли
+ ⃗ · ∇ = ∇ · ( ∇ ) ,
уравнение неразрывности
∇ · ⃗ = 0 .
Дисперсионное соотношение для плоских волн малой амплитуды для приведенной системы при постоянной частоте плавучести можно запи
сать в виде:
= ± .
Здесь ⃗ – вектор скорости с компонентами , ; – кинематическая
вязкость жидкости; – значение плотности на верхней границе; –
добавка к плотности обусловленная наличием солености; приведенное
давление ˆ = − 0, разница между полным и гидростатическим давле
нием; ⃗ = Δ ⃗ – восстанавливающая сила; число Шмидта представляет
собой отношение кинематической вязкости и коэффициента диффузии: = ; – частота колебаний вонопродуктора, – частота плавучести, – угол распространения внутренних волн.
В этой главе дается определение аттракторов внутренних волн как геометрической области притяжения пучков внутренних волн. Для моделирования фокусировки внутренних волн в лабораторных и числен ных экспериментах используется трапециевидный резервуар (рис. 1), ко торый заполняется линейно стратифицированной жидкостью. Благода ря свойству фокусировки волновые лучи сходятся к параллелограмму
и волновая энергия циркулирует по его сторонам (рис. 2). Физически
аттрактор внутренних волн представляет собой зону интенсивного дви жения жидкости (рис. 3).
1 = 40 cm
2 =60cm
⃗
Рис. 1 — Вычислительная область для моделирования аттракторов внутренних волн, красным показана линия пробы, пунктиром показана предполагаемая форма аттрактора
Рис. 2 — Результат многократного отражения двух параллельных лучей внутренних волн
Во второй главе приводится обзор методов исследования ат тракторов внутренних волн. Прежде всего, это предсказание траекторий
= 40 cm
Рис. 3 — Поле горизонтальной компоненты скорости, пунктиром показана линия пробы
групповых скоростей с помощью метода трассировки лучей – простого и мощного инструмента моделирования аттракторов внутренних волн. Его суть заключается в геометрическом вычислении зоны притяжения волновых лучей после множественных отражений (рис. 2). Метод позво ляет предсказывать форму аттрактора внутренних волн, но не позволяет получить значение гидродинамических полей. Такой подход полезен для анализа зависимости геометрии волновых аттраторов от частоты внеш них воздействий и расположения наклонных границ.
Раздел с экспериментальными исследованиями посвящён лабора торным установкам и способам получения внутренних волн в лаборатор ных условиях. Упоминаются коллективы во Франции, Голландии, США и России, которые занимаются проблемами аккумуляции энергии внут ренних волн.
В следующем разделе проведен обзор методов численного моде лирования аттракторов внутренних волн. Описаны особенности метода спектральных элементов при моделировании аттракторов внутренних волн. Однако, при том, что метод спектральных элементов является мощ ным инструментом высокого порядка точности, его применение сопря
жено со значительными трудностями для моделирования аттракторов
внутренних волн в естественных условиях сложной топологии морско го дна и при наличии примесей описываемых частицами в воде. Ранее было показано, что применение этого метода позволяет получить гидро динамические поля давления и скорости, очень близко соответствующее результатам экспериментальных исследований. Прямое численное моде лирования с помощью метода спектральных элементов используется в качестве основы для верификации других численных подходов.
Альтернативный подход – метод конечных объемов. Он позволяет проводить численные эксперименты в условиях, приближенных к реаль ным, включая сложную геометрию морского дна и осаждение приме сей. Однако, его реализация на одной из самых популярных платформ OpenFOAM не демонстрирует сеточной сходимости, количественного соответствия экспериментальным данным и расчетам на основе мето да спектральных элементов. Стандартные средства популярных инстру ментов моделирования несжимаемых течений не могут количественно воспроизвести эффекты множественной фокусировки внутренних волн (рис. 4).
Подход на основе квазигидродинамических уравнений (QHD) представляет из себя простой для понимания вычислительный алгоритм, который позволил получить количественное совпадение результатов чис ленного моделирования с результатами, полученными при помощи мето да спектральных элементов.
В главе также сказано о реализации квазигидродинамического подхода, верификации разработанного алгоритма и валидации на при мере задачи формирования аттрактора внутренних волн, сравниваются результаты работы алгоритма PISO и QHD. Результаты количественно сравнивались с эталонным решением, полученным при помощи метода спектральных элементов, рис. 5.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие вы воды:
— На верификационных задачах моделирования течений в скошен ной каверне, обратном уступе и в условиях естественной конвекции оба
·10−3 1.5
1 0.5 0 −0.5 −1
PISO 225×300 PISO 300×450 PISO 450×600
NEK 5000
0
5 · 10−2
0.1 0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
Рис. 4 — Сравнение горизонтальной компоненты скорости, полученной при различных размерах расчетной сетки для алгоритма PISO и при помощи метода спектральных элементов (nek5000). Время = 300 с.
·10−3 1.5
1 0.5 0 −0.5 −1
QHD 225×300 QHD 300×450 QHD 450×600
NEK 5000
0
5 · 10−2
0.1 0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
Рис. 5 — Сравнение горизонтальной компоненты скорости, полученной при различных размерах расчетной сетки для алгоритма QHD и при помощи метода спектральных элементов. Время = 300 с.
14
0.8 0.6 0.4 0.2
0 −0.2 −0.4 −0.6
−0.80 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Линия пробы · 10−3
Рис. 6 — Сеточная сходимость результатов моделирования QHD.
метода ведут себя одинаково адекватно, наблюдается сеточная сходи мость численных результатов, что говорит об устойчивости методов на деформированных сетках.
— На задаче о моделировании формирования аттрактора гравитаци онных внутренних волн QHD алгоритм показывает результаты как ко личественно, так и качественно воспроизводящие это явление на малых и на больших временах. Алгоритм PISO воспроизводит явление лишь качественно и только на небольших временах.
— QHD алгоритм показывает сеточную сходимость и сходимость по регуляризационному настроечному параметру (рис. 6). PISO алгоритм не демонстрирует сеточной сходимости при сгущении пространственной сетки.
— QHD алгоритм, построенный на базе квазигидродинамических уравнений, не требует дополнительных коррекций вычисленных скоро стей и давлений в отличие от алгоритма PISO.
— OpenFOAM реализация квазигидродинамического подхода пока зала более высокую производительность на многопроцессорной, системе чем реализация алгоритма PISO.
NEK500 QHDFoam 480×320 QHDFoam 240×160 QHDFoam 240×160 · 2
/ · 10−3
Исходя из вышесказанного можно констатировать преимуще
ства алгоритма QHD при моделировании аттракторов внутренних волн по сравнению со стандартными средствами, ранее реализованными в OpenFOAM на базе алгоритма PISO.
Глава номер три посвящена количественной оценке режимов те чения в резервуаре с моно и бигармоническими воздействиями на стра тифицированную жидкость. Для определения диапазона параметров с сильной аккумуляцией волновой энергии выполнено подробное исследо вание генерации аттракторов при монохроматическом возмущении, в ре зультате чего определен частотный диапазон, в котором возникают ат тракторы с одним отражением от горизонтальной и вертикальной гра ниц. Для моделирования бигармонического аттрактора внутренних волн используется специальное граничное условие для скорости на левой стен ке трапециевидного резервуара:
(︂ )︂ (︂ )︂
= 1 1 ( 1 ) + 2 2 ( 2 ).
Нелинейные эффекты течения стратифицированной жидкости в условиях, соответствующих образованию бигармонического аттрактора, усиливаются по мере приближения частот 1 и 2 друг к другу.
На верхней стенке резервуара задается условие отсутствия вяз ких касательных напряжений, на остальных границах расчетной области условие прилипания.
Исследование поведения аттракторов при бигармоническом внеш нем воздействии показало, что в линейном случае справедлив принцип суперпозиции: аттракторы, генерируемые каждой из компонент бигармо нического возмущения, практически не взаимодействуют друг с другом. В нелинейном случае при бигармоническом внешнем воздействии наблю дается режим биений, сопровождающийся вспышками волновой турбу лентности (рис. 7), возникающей вследствие каскада триадных взаимо действий. При этом уровень пульсаций кинетической энергии на фазе роста огибающей амплитуды волнопродуктора, может на порядок пре вышать уровень, соответствующий спаду амплитуды колебаний волно
продуктора. Нелинейные эффекты становятся все отчётливей по мере
приближения частот друг к другу.
Выводы диссертационного исследования сформулированы в за
ключении.
Внутренние волны возникают в стратифицированных жидкостях
между слоями различной плотности. Самым распространенным приме
ром стратифицированной жидкости является океан. Внутренние волны
распространяются согласно дисперсионному закону [1], которое связыва
ет частоту волн и угол наклона волнового пучка по отношению к вектору
силы тяжести, но не содержит масштаба длины.
Подчиняясь дисперсионному соотношению внутренние волны при
отражении от наклонных поверхностях могут фокусироваться. Под фо
кусировкой подрузумевается увеличивающуюся амплитуду колебаний
стратифицированной жидкости. При определенных геометрически пара
метрах морского дна или резервуара со стратифицированной жидкостью
после многократных отражений внутренние волны начинают фииркули
ровать по замкнутой траектории. На этой траектории наблюдается мно
гократное увеличение амплитуды колебаний, а сама траектория называ
ется аттрактором внутренних волн.
Аттракторы в океанах оказывают влияние на процессы перемеши
вания, перераспределение кинетической энергии между течениями раз
личных масштабов, осаждения примесей, динамику спускаемых аппара
тов и миграцию живых организмов. Это обуславливает актуальность
изучения явления аттракторов внутренних гравитационных волн.
Важной задачей изучения аттракторов внутренних волн с помо
щью численных методов является обеспечение возможности проводить
численные эксперименты с геометрией, приближенной к геометрии ре
ального дна океана. Выполнение этой задачи ускорило и удешевило бы
процесс непостредственного поиска аттракторов внутренних волн в оке
ане, и изучение влияния аттркаторов на турбулентные режимы течения
в водоемах. Метод спектральных элементов, который обеспечивает доста
точную точность воспроизведения результатов эксперимента, ограничен
в своей реализации сложностью геометрии расчетной области. В свою
очередь, метод конечного объема позволяет работать со сложной гео
метрией, которая способна имитировать поверхность океанического дна,
но стандартные реализации не обладают достаточной точностью для ко
личественного воспроизведения эксперемента. Кроме того, монохрома
тический источника возмущений может не описывать реальные внеш
ние воздействия. Зачастую, при моделировании явлений, связанных с
образованием аттракторов в реальных условиях, необходимо учитывать
несколько приливных воздействий [2] и изменение стратификации.
Цель работы – изучение явления бигармонического аттракто
ра, которое возникает при воздействии на стратифицированную жид
кость двухчастотным волнопродуктором. С этой целбю были посталены
следующие задачи задачи:
1. Mowbray D. E., Rarity B. S. H. A theoretical and experimen-
tal investigation of the phase configuration of internal waves of small
amplitude in a density stratified liquid // J. Fluid Mech. –– 1967. ––
P. 1–16.
2. Garrett Christopher, Munk Walter. Space-Time scales of inter-
nal waves // Geophysical Fluid Dynamics. –– 1972. –– May. –– Vol. 3,
no. 3. –– P. 225–264. –– Access mode: https://doi.org/10.1080/
03091927208236082.
3. Encyclopedia of atmospheric sciences / Ed. by James R. Holton,
Judith A. Curry, J. A. Pyle. –– Amsterdam ; Boston : Academic Press,
2003. –– ISBN: 9780122270901.
4. Eckart Carl. Internal Waves in the Ocean // Physics of Fluids. ––
1961. –– Vol. 4, no. 7. –– P. 791. –– Access mode: https://doi.org/10.
1063/1.1706408.
5. Egbert G. D., Ray R. D. Significant dissipation of tidal energy
in the deep ocean inferred from satellite altimeter data // Nature. ––
2000. –– Jun. –– Vol. 405, no. 6788. –– P. 775–778. –– Access mode:
https://doi.org/10.1038/35015531.
6. Сyдольский А.С. Динамические явления в водоемах. — – Л.:
Гидрометеоиздат, 1991. — С. 263 с.
7. Морские вести России статья «Как выйти сухим из «мертвой
воды»?». — http://morvesti.ru/themes/1700/53300/.
8. Старший. Плиний. Вопросы техники в «Естественной исто
рии». — Вестн. древ. истории., 1946. — 3.
9. Vasseur Romain, Mercier Matthieu, Dauxois Thierry. Dead Wa-
ters: Large amplitude interfacial waves generated by a boat in a strat-
ified fluid. –– 2008. –– 11.
10. Dead water video. –– https://www.youtube.com/watch?v=
bzcgAshAg2o&t=1s.
11. Gardner Wilford D. Periodic resuspension in Baltimore canyon
by focusing of internal waves // Journal of Geophysical Research. ––
1989. –– Vol. 94, no. C12. –– P. 18185. –– Access mode: https://doi.
org/10.1029/jc094ic12p18185.
12. Maas Leo R. M., Lam Frans-Peter A. Geometric focusing
of internal waves // Journal of Fluid Mechanics. –– 1995. –– Oct. ––
Vol.300. –– P. 1–41. –– Access mode: https://doi.org/10.1017/
s0022112095003582.
13. Rainville Luc, Pinkel Robert. Propagation of Low-Mode In-
ternal Waves through the Ocean // Journal of Physical Oceanogra-
phy. –– 2006. –– Jun. –– Vol. 36, no. 6. –– P. 1220–1236. –– Access mode:
https://doi.org/10.1175/jpo2889.1.
14. DAUXOIS THIERRY, YOUNG W. R. Near-critical reflection
of internal waves // Journal of Fluid Mechanics. –– 1999. –– Jul. ––
Vol. 390. –– P. 271–295. –– Access mode: https://doi.org/10.1017/
s0022112099005108.
15. Nikurashin Maxim, Vallis Geoffrey. A Theory of the Interhemi-
spheric Meridional Overturning Circulation and Associated Stratifica-
tion // Journal of Physical Oceanography. –– 2012. –– May. –– Vol. 42,
no. 10. –– P. 1652–1667. –– Access mode: https://doi.org/10.1175/
jpo-d-11-0189.1.
16. Munk Walter, Wunsch Carl. Abyssal recipes II: energetics of
tidal and wind mixing // Deep Sea Research Part I: Oceanographic
Research Papers. –– 1998. –– Dec. –– Vol. 45, no. 12. –– P. 1977–2010. ––
Access mode: https://doi.org/10.1016/s0967-0637(98)00070-3.
17. Ivey G.N., Winters K.B., Koseff J.R. Density Stratification,
Turbulence, but How Much Mixing? // Annual Review of Fluid Me-
chanics. –– 2008. –– Jan. –– Vol. 40, no. 1. –– P. 169–184. –– Access mode:
https://doi.org/10.1146/annurev.fluid.39.050905.110314.
18. Polzin K. L. Spatial Variability of Turbulent Mixing in the
Abyssal Ocean // Science. –– 1997. –– Apr. –– Vol. 276, no. 5309. ––
P. 93–96. –– Access mode: https://doi.org/10.1126/science.276.
5309.93.
19. Tang Wenbo, Peacock Thomas. Lagrangian coherent structures
and internal wave attractors // Chaos: An Interdisciplinary Journal
of Nonlinear Science. –– 2010. –– Mar. –– Vol. 20, no. 1. –– P. 017508. ––
Access mode: https://doi.org/10.1063/1.3273054.
20. Tidally generated internal-wave attractors between double
ridges / P. ECHEVERRI, T. YOKOSSI, N. J. BALMFORTH,
T. PEACOCK // Journal of Fluid Mechanics. –– 2011. –– Jan. ––
Vol. 669. –– P. 354–374. –– Access mode: https://doi.org/10.1017/
s0022112010005069.
21. Guo Yuan, Holmes-Cerfon Miranda. Internal wave attractors
over random, small-amplitude topography // Journal of Fluid Me-
chanics. –– 2015. –– Dec. –– Vol.787. –– P. 148–174. –– Access mode:
https://doi.org/10.1017/jfm.2015.648.
22. Drijfhout Sybren, Maas Leo R. M. Impact of Channel Geometry
and Rotation on the Trapping of Internal Tides // Journal of Physical
Oceanography. –– 2007. –– Nov. –– Vol. 37, no. 11. –– P. 2740–2763. ––
Access mode: https://doi.org/10.1175/2007jpo3586.1.
23. Manders Astrid M M, Maas Leo R M. On the three-dimensional
structure of the inertial wave field in a rectangular basin with one slop-
ing boundary // Fluid Dynamics Research. –– 2004. –– Jul. –– Vol. 35,
no. 1. –– P. 1–21. –– Access mode:https://doi.org/10.1016/j.
fluiddyn.2004.03.004.
24. Observations on the robustness of internal wave attractors
to perturbations / Jeroen Hazewinkel, Chrysanthi Tsimitri, Leo
R. M. Maas, Stuart B. Dalziel // Physics of Fluids. –– 2010. –– Oct. ––
Vol. 22, no. 10. –– P. 107102. –– Access mode: https://doi.org/10.
1063/1.3489008.
25. Observation of an internal wave attractor in a confined, stably
stratified fluid / Leo R. M. Maas, Dominique Benielli, Joël Sommeria,
Frans-Peter A. Lam // Nature. –– 1997. –– Aug. –– Vol. 388, no. 6642. ––
P. 557–561. –– Access mode: https://doi.org/10.1038/41509.
26. Manders A., Maas Leo. Inertial Wave Focusing and Attraction
in a Rectangular Tank With a Sloping Boundary. –– 2003. –– 04.
27. Veronis G. The Analogy Between Rotating and Stratified Flu-
ids // Annual Review of Fluid Mechanics. –– 1970. –– Jan. –– Vol. 2,
no. 1. –– P. 37–66. –– Access mode:https://doi.org/10.1146/
annurev.fl.02.010170.000345.
28. Lam Frans-Peter A, Maas Leo R M. Internal wave focusing re-
visited; a reanalysis and new theoretical links // Fluid Dynamics Re-
search. –– 2008. –– Feb. –– Vol. 40, no. 2. –– P. 95–122.
29. Internal wave attractors examined using laboratory experiments
and 3D numerical simulations / C. Brouzet, I. N. Sibgatullin, H. Scolan
et al. // Journal of Fluid Mechanics. –– 2016. –– Mar. –– Vol. 793. ––
P. 109–131. –– Access mode: https://doi.org/10.1017/jfm.2016.
119.
30. Energy cascade in internal-wave attractors / C. Brouzet,
E. V. Ermanyuk, S. Joubaud et al. // EPL (Europhysics Letters). ––
2016. –– feb. –– Vol. 113, no. 4. –– P. 44001. –– Access mode: https:
//doi.org/10.1209%2F0295-5075%2F113%2F44001.
31. Direct numerical simulation of internal gravity wave attractor in
trapezoidal domain with oscillating vertical wall / C. Brouzet, T. Daux-
ois, E. Ermanyuk et al. // Proceedings of the Institute for System
Programming of RAS. –– 2014. –– Vol. 26, no. 5. –– P. 117–142. –– Access
mode: https://doi.org/10.15514/ispras-2014-26(5)-6.
32. Elizarova Tatiana G. Quasi-Gas Dynamic equations. –– Springer,
2009. –– ISBN: 978364200295.
33. OpenFOAM High Performance Computing Solver for Simula-
tion of Internal Wave Attractors in Stratified Flows Using Regularized
Hydrodynamic Equations / Matvey Kraposhin, Daniil Ryazanov, Ta-
tiana Elizarova et al. // 2018 Ivannikov Ispras Open Conference (IS-
PRAS). –– IEEE, 2018. –– Nov. –– Access mode: https://doi.org/10.
1109/ispras.2018.00027.
34. С.В.Калесник. Энциклопедический словарь географических
терминов. — Москва: Советская Энциклопедия, 1968.
35. Saha Kshudiram. The Earth’s atmosphere : its physics and
dynamics. –– Berlin London : Springer, 2008. –– ISBN: 9783540784272.
36. С.П. Хромов, Л.И. Мамонтова. Метеорологический словарь.
3-е изд. — Л., Гидрометеоиздат, 1974.
37. C. Garrett. Ocean science. Enhanced: internal tides and ocean
mixing. // Science. –– 2003. –– Sep. –– Vol. 301(5641), no. 1858-9.
38. Ferrari Raffaele, Wunsch Carl. Ocean Circulation Kinetic En-
ergy: Reservoirs, Sources, and Sinks // Annual Review of Fluid Me-
chanics. –– 2009. –– Jan. –– Vol. 41, no. 1. –– P. 253–282. –– Access mode:
https://doi.org/10.1146/annurev.fluid.40.111406.102139.
39. Nazarenko Sergey. Wave turbulence. –– Springer Science & Busi-
ness Media, 2011. –– Vol. 825.
40. Yarom Ehud, Sharon Eran. Experimental observation of steady
inertial wave turbulence in deep rotating flows // Nature Physics. ––
2014. –– Jun. –– Vol. 10, no. 7. –– P. 510–514. –– Access mode: https:
//doi.org/10.1038/nphys2984.
41. Perlin Marc, Choi Wooyoung, Tian Zhigang. Breaking Waves
in Deep and Intermediate Waters // Annual Review of Fluid Me-
chanics. –– 2013. –– Jan. –– Vol. 45, no. 1. –– P. 115–145. –– Access mode:
https://doi.org/10.1146/annurev-fluid-011212-140721.
42. Garrett Chris, Kunze Eric. Internal Tide Generation in the
Deep Ocean // Annual Review of Fluid Mechanics. –– 2007. –– Jan. ––
Vol. 39, no. 1. –– P. 57–87. –– Access mode: https://doi.org/10.
1146/annurev.fluid.39.050905.110227.
43. BÜHLER OLIVER, MULLER CAROLINE J. Instability and
focusing of internal tides in the deep ocean // Journal of Fluid Me-
chanics. –– 2007. –– Sep. –– Vol. 588. –– P. 1–28. –– Access mode: https:
//doi.org/10.1017/s0022112007007410.
44. Thierry Dauxois, Young W. R. Near-critical reflection of in-
ternal waves // Journal of Fluid Mechanics. –– 1999. –– Vol. 390. ––
P. 271–295.
45. Mathur Manikandan, Peacock Thomas. Internal wave beam
propagation in non-uniform stratifications // Journal of Fluid Mechan-
ics. –– 2009. –– Vol. 639. –– P. 133–152.
46. MacKinnon Jennifer. Mountain waves in the deep ocean //
Nature. –– 2013. –– Sep. –– Vol. 501, no. 7467. –– P. 321–322. –– Access
mode: https://doi.org/10.1038/501321a.
47. Nikurashin Maxim, Ferrari Raffaele. Overturning circulation
driven by breaking internal waves in the deep ocean // Geophysical
Research Letters. –– 2013. –– Jun. –– Vol. 40, no. 12. –– P. 3133–3137. ––
Access mode: https://doi.org/10.1002/grl.50542.
48. Experimental study of parametric subharmonic instability for
internal plane waves / Baptiste Bourget, Thierry Dauxois, Syl-
vain Joubaud, Philippe Odier // Journal of Fluid Mechanics. –– 2013. ––
Apr. –– Vol. 723. –– P. 1–20. –– Access mode: https://doi.org/10.
1017/jfm.2013.78.
49. Gayen Bishakhdatta, Sarkar Sutanu. Turbulence During the
Generation of Internal Tide on a Critical Slope // Physical Review
Letters. –– 2010. –– May. –– Vol. 104, no. 21. –– Access mode: https:
//doi.org/10.1103/physrevlett.104.218502.
50. Lamb Kevin G. Internal Wave Breaking and Dissipation Mech-
anisms on the Continental Slope/Shelf // Annual Review of Fluid Me-
chanics. –– 2014. –– Jan. –– Vol. 46, no. 1. –– P. 231–254. –– Access mode:
https://doi.org/10.1146/annurev-fluid-011212-140701.
51. Buoyancy frequency profiles and internal semidiurnal tide turn-
ing depths in the oceans / Benjamin King, Mark Stone, H. P. Zhang
et al. // Journal of Geophysical Research: Oceans. –– 2012. –– Apr. ––
Vol. 117, no. C4. –– P. n/a–n/a. –– Access mode: https://doi.org/
10.1029/2011jc007681.
52. Elizarova T.G. Квазигазодинамические уравнения и методы
расчета вязких течений. — 2018. — 02. — ISBN: 978-589-176-42-00.
53. Rarefied Gas Flow Simulation Based on Quasi Gas Dynamic
Equations / T.G. Elizarova, I.A. Graur, J.C. Lengrand, A. Chpoun //
AIAA Journal. –– 1995. –– Vol. 33, no. 12. –– P. 2316–2324.
54. Elizarova T.G. Time Averaging as an Approximate Technique
for Constructing Quasi-Gasdynamic and Quasi-Hydrodynamic Equa-
tions // Computational Mathematics and Mathematical Physics. ––
2011. –– Vol. 51, no. 11. –– P. 1973–1982.
55. Brouzet christophe. Internal wave attractors : from geometrical
focusing to non-linear energy cascade and mixing : Theses : 2016LY-
SEN012 / christophe Brouzet ; Université de Lyon. –– 2016. –– Jul. ––
Access mode: https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01361201.
56. Laboratory and numerical simulation of internal wave attrac-
tors and their instability. / Christophe Brouzet, Thierry Dauxois,
Evgeny Ermanyuk et al. // Nature (London). –– 1997. –– Vol. 388. ––
P. 557.
57. Hazewinkel Jeroen, Grisouard Nicolas, Dalziel Stuart B. Com-
parison of laboratory and numerically observed scalar fields of an in-
ternal wave attractor // European Journal of Mechanics – B/Flu-
ids. –– 2011. –– Jan. –– Vol. 30, no. 1. –– P. 51–56. –– Access mode:
https://doi.org/10.1016/j.euromechflu.2010.06.007.
58. Instabilities of Internal Gravity Wave Beams / Thierry Daux-
ois, Sylvain Joubaud, Philippe Odier, Antoine Venaille // Annual Re-
view of Fluid Mechanics. –– 2018. –– Vol. 50, no. 1. –– P. 131–156. ––
https://doi.org/10.1146/annurev-fluid-122316-044539.
59. NEK5000 Oficial website. –– https://nek5000.mcs.anl.gov/.
60. Ferziger Joel. Computational Methods for Fluid Dynamics. ––
Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2002. –– ISBN: 978-3-
642-56026-2.
61. Issa R.I. Solution of the implicitly discretised fluid flow equa-
tions by operator-splitting // Journal of Computational Physics. ––
1986. –– Jan. –– Vol. 62, no. 1. –– P. 40–65. –– Access mode: https:
//doi.org/10.1016/0021-9991(86)90099-9.
62. Görtler H. Über eine Schwingungserscheinung in Flüssigkeiten
mit stabiler Dichteschichtung // ZAMM – Zeitschrift für Angewandte
Mathematik und Mechanik. –– 1943. –– Vol. 23, no. 2. –– P. 65–71. ––
Access mode: https://doi.org/10.1002/zamm.19430230202.
63. Mowbray D. E., Rarity B. S. H. A theoretical and experi-
mental investigation of the phase configuration of internal waves of
small amplitude in a density stratified liquid // Journal of Fluid Me-
chanics. –– 1967. –– Apr. –– Vol. 28, no. 1. –– P. 1–16. –– Access mode:
https://doi.org/10.1017/s0022112067001867.
64. Bordes G. Interactions non-linéaires d’ondes et tourbillons en
milieu stratifié ou tournant. –– 2012.
65. Bourget Baptiste. Ondes internes, de l’instabilité au mélange.
Approche expérimentale : Theses : 2014ENSL0912 / Baptiste Bourget ;
Ecole normale supérieure de lyon – ENS LYON. –– 2014. –– Jul. –– Access
mode: https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01073663.
66. Horne Ernesto. Transport properties of internal gravity waves :
Ph. D. thesis / Ernesto Horne. –– 2015. –– 10.
67. A novel internal waves generator / L. Gostiaux, H. Didelle,
S. Mercier, T. Dauxois // Experiments in Fluids. –– 2006. –– Oct. ––
Vol. 42, no. 1. –– P. 123–130. –– Access mode: https://doi.org/10.
1007/s00348-006-0225-7.
68. New wave generation / MATTHIEU J. MERCIER, DE-
NIS MARTINAND, MANIKANDAN MATHUR et al. // Journal of
Fluid Mechanics. –– 2010. –– Jul. –– Vol. 657. –– P. 308–334. –– Access
mode: https://doi.org/10.1017/s0022112010002454.
69. Shmakova Natalia D., Flór Jan-Bert. Nonlinear aspects of fo-
cusing internal waves // Journal of Fluid Mechanics. –– 2019. –– Jan. ––
Vol.862. –– Access mode: https://doi.org/10.1017/jfm.2018.
1020.
70. Shmakova Natalia, Ermanyuk Evgeny, Flór Jan-Bert. Genera-
tion of higher harmonic internal waves by oscillating spheroids // Phys-
ical Review Fluids. –– 2017. –– Nov. –– Vol. 2, no. 11. –– Access mode:
https://doi.org/10.1103/physrevfluids.2.114801.
71. Ermanyuk E. V., Shmakova N. D., Flór J.-B. Internal wave
focusing by a horizontally oscillating torus // Journal of Fluid Me-
chanics. –– 2017. –– Jan. –– Vol.813. –– P. 695–715. –– Access mode:
https://doi.org/10.1017/jfm.2016.871.
72. OpenFOAM Oficial website. –– https://www.openfoam.com/.
73. Patera Anthony T. A spectral element method for fluid dynam-
ics: Laminar flow in a channel expansion // Journal of Computational
Physics. –– 1984. –– Jun. –– Vol. 54, no. 3. –– P. 468–488. –– Access mode:
https://doi.org/10.1016/0021-9991(84)90128-1.
74. Issa R.I, Gosman A.D, Watkins A.P. The computation of com-
pressible and incompressible recirculating flows by a non-iterative im-
plicit scheme // Journal of Computational Physics. –– 1986. –– Jan. ––
Vol. 62, no. 1. –– P. 66–82. –– Access mode: https://doi.org/10.
1016/0021-9991(86)90100-2.
75. Computation of convective flows using the quasihydrodynamic
equations / T. G. Elizarova, I. S. Kalachinskaya, A. V. Klyuch-
nikova, Yu. V. Sheretov // Computational Mathematics and Model-
ing. –– 1999. –– Apr. –– Vol. 10, no. 2. –– P. 160–171. –– Access mode:
https://doi.org/10.1007/bf02359229.
76. Sheretov Yurii V. Continuum Dynamics under Spatiotemporal
Averaging. –– SPC Regular and Chaotic Dynamics. (Moscow-Izhevsk,
2009, in Russian), 2009.
77. Elizarova Tatiana G., Sheretov Yurii V. Theoretical and numeri-
cal analysis of quasi-gasdynamic and quasi-hydrodynamic equations //
J. Computational Mathematics and Mathematical Physics. –– 2001. ––
Vol. 41, no. 2. –– P. 219–234.
78. Peric Milovan.NUMERICAL METHODS FOR COMPUT-
ING TURBULENT FLOWS // Technical Report VKI LS 2004-
06. –– 2003. –– Access mode: http://www.staff.city.ac.uk/~ra600/
Modelling/Peric-CFDlecture.pdf.
79. Ferziger Joel H., Peric Milovan. Computational Methods for
Fluid Dynamics. –– Springer, 1996.
80. Development of OpenFOAM Solver for Compressible Vis-
cous Flows Simulation Using Quasi-Gas Dynamic Equations /
Matvey V. Kraposhin, Daniil A. Ryazanov, Elena V. Smirnova et al. //
2017 Ivannikov ISPRAS Open Conference (ISPRAS). –– IEEE Xplore,
2017. –– Nov. –– Access mode: https://doi.org/10.1109/ispras.
2017.00026.
81. Istomina Maria Alexandrovna, Shilnikov Evgeny Vladimirovich.
About approximation of stream sizes on spatial grids of irregular struc-
ture // Keldysh Institute Preprints. –– 2019. –– no. 86. –– P. 1–22. –– Ac-
cess mode: https://doi.org/10.20948/prepr-2019-86.
82. Development of a new OpenFOAM solver using regularized gas
dynamic equations / Matvey V. Kraposhin, Elena V. Smirnova, Ta-
tiana G. Elizarova, Maria A. Istomina // Computers & Fluids. ––
2018. –– Apr. –– Vol.166. –– P. 163–175. –– Access mode: https:
//doi.org/10.1016/j.compfluid.2018.02.010.
83. Hines Jonathan. A Comparative Study of the SIMPLE and
Fractional Step Time Integration Methods for Transient Incompressible
Flows. –– 2008. –– 01.
84. Erturk E., Dursun B. Numerical solutions of 2-D steady incom-
pressible flow in a driven skewed cavity // ZAMM. –– 2007. –– May. ––
Vol. 87, no. 5. –– P. 377–392. –– Access mode: https://doi.org/10.
1002/zamm.200610322.
85. Sparrow E. M., Chuck W. PC SOLUTIONS FOR HEAT
TRANSFER AND FLUID FLOW DOWNSTREAM OF AN
ABRUPT, ASYMMETRIC ENLARGEMENT IN A CHANNEL //
Numerical Heat Transfer. –– 1987. –– Jul. –– Vol. 12, no. 1. –– P. 19–40. ––
Access mode: https://doi.org/10.1080/10407788708913572.
86. Kim J, Moin P. Application of a fractional-step method to
incompressible Navier-Stokes equations // Journal of Computational
Physics. –– 1985. –– Jun. –– Vol. 59, no. 2. –– P. 308–323. –– Access mode:
https://doi.org/10.1016/0021-9991(85)90148-2.
87. Hackman L. P., Raithby G. D., Strong A. B. Numerical predic-
tions of flows over backward-facing steps // International Journal for
Numerical Methods in Fluids. –– 1984. –– Aug. –– Vol. 4, no. 8. –– P. 711–
724. –– Access mode: https://doi.org/10.1002/fld.1650040802.
88. Experimental and theoretical investigation of backward-
facing step flow / B. F. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira,
B. Schönung // Journal of Fluid Mechanics. –– 1983. –– feb. –– Vol.
127, no. -1. –– P. 473. –– Access mode: https://doi.org/10.1017/
s0022112083002839.
89. Numerical modelling convective flows in Function of stream,
velocity vorticity, temperature / P.N. Vabishevich, M. M. Makarov,
V. V. Chudanov, A. G. Churbanov // 2018 Ivannikov Ispras Open
Conference (ISPRAS). –– IEEE, 1993. –– NASA Technical Memoran-
dum 84521.
90. Internal wave attractors: different scenarios of instability /
C. Brouzet, E. Ermanyuk, S. Joubaud et al. // Journal of Fluid Me-
chanics. –– 2016. –– Dec. –– Vol.811. –– P. 544–568. –– Access mode:
https://doi.org/10.1017/jfm.2016.759.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (17 отзывов)
4.8 (30 отзывов)
5 (49 отзывов)
4.7 (18 отзывов)
5 (91 отзыв)
5 (428 отзывов)
4.5 (80 отзывов)
5 (154 отзыва)
4.2 (6 отзывов)
