Модели гранулированных микрополярных жидкостей
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Глава 1. Течение микрополярной вязкопластической жидкости
в ячейке Хеле-Шоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Течение Куэтта между двумя плоскостями. . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Одномерные течения в ячейке Хеле-Шоу. . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Двумерные течения в ячейке Хеле-Шоу. . . . . . . . . . . . . . . . 28
Глава 2. Глобальная разрешимость одномерных уравнений
микрополярной жидкости при наличии осевой
симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Математическая формулировка задачи . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Глобальная теорема существования . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Доказательство глобальной теоремы существования . . . . . . . . 42
Глава 3. Односкоростная модель смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Термодинамика жидкости с концентрацией полярных частиц . . . 45
3.2 Определяющие уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Одномерные течения среды без предельного напряжения сдвига . 54
3.4 Одномерные течения среды с предельным напряжением сдвига . 60
3.5 Стационарные течения микрополярной жидкости Бингама . . . . 61
Глава 4. Двухскоростная модель смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 Равновесные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3 Вывод уравнений без диссипации . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.4 Диссипативные члены в уравнениях двухскоростного
раствора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Уравнения модели в случае постоянных физических плотностей . 82
4.3 Задача о седиментации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Численный алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, при
водится анализ степени разработанности данной области науки и обзор науч
ной литературы. Формулируются цели и задачи работы, описывается ее науч
ная новизна, теоретическая и практическая значимость. Приводятся методы
исследования и основные положения, выносимые на защиту. Обосновывает
ся достоверность результатов и описывается личный вклад автора. В конце
кратко излагается содержание диссертационной работы.
В первой главе исследуется модель микрополярной жидкости с пре
дельным напряжением сдвига. В параграфе 1.1 формулируются математиче
ская модель такой среды. Записываются законы сохранения
˙ + div v = 0, v̇ − div T = f ,
ṡ − div N = : T* + l
˙ = div (T* v + N* − q) + f · v + l · ,
˙ + div q = ,
где (div T) = / , — массовая плотность, v — скорость, T — тензор на
пряжений Коши, f — плотность массовых сил, точка означает материальную
производную, s — плотность момента импульса, N — тензор пар напряжений,
l — плотность пар внешних сил, = + v · v/2 + s · /2, — удельная внут
ренняя энергия, q — приток тепла, задаваемый законом Фурье, = 2 /
— давление, = / — температура, — производство энтропии.
Определяющие уравнения выбираются в виде, предложенном В.В. Ше
лухиным и М. Ружичкой в 2013 году. Тензоры B = v/ x − Ω, A = / x
являются тензорами скоростей деформаций микрополярной среды. Пусть че
рез M , M обозначены симметричная и антисимметричная части произволь
ного тензора M, тогда
2
B0 ≡ B + κB , κ =,(1)
2 1
2 3
A0 ≡ A + κ2 A + κ3 (tr ) , κ2 =,κ3 =.(2)
1 1
В формулах (1) и (2) через 1 обозначена классическая вязкость, через
2 — антисимметричная вязкость, а через 1 , 2 и 3 — угловые вязкости. В
случае классической жидкости вязкости 2 и (i= 1, 2, 3) равны нулю. Вяз
кая часть тензора напряжений и тензор пар напряжений связаны с тензорами
скоростей деформации по формулам
{︃
2 1 B + 2 + * |BB00 | , B0 ( ,x) ̸= 0,
S=(3)
S ( ,x),B0 ( ,x) = 0,
{︃
0
1 + 2 + 3 (tr ) I + | 0|
, 0 ( ,x) ̸= 0,
N=(4)
N ( ,x), 0 ( ,x) = 0.
Тензоры S и N подчиняются условиям |S | ≤ * , |N | ≤ , где |S|2 ≡
S : S.
В параграфе 1.2. даются определения сильной твердотельной зоны,
т.е. области ⊂ R3 такой, что B0 (x, ) = A0 (x, ) = 0, если x ∈ и слабой
твердотельной зоны, т.е. области ⊂ R3 такой, что B0 (x, ) ̸= 0, A0 (x, ) = 0,
если x ∈ .
Рассматривается одномерное стационарное течение микрополярной
среды Бингама вдоль оси между двумя параллельными плоскостями, рас
стояние между которыми равно 2 . В этом случае искомые характеристики
течения обладают свойствами
v = ( ( ),0,0) , = (0,0, ( )) ,
12 = 12 ( ), 21 = 21 ( ), 32 = 32 ( ), 23 = 23 ( ).
Затем для данной задачи аналитическими методами строятся решения с силь
ной (Рисунок 1) и слабой твердотельными зонами (Рисунок 2).
Рис. 1 — Течение с сильной твердотельной зоной. Слева направо: профили
угловых скоростей частиц и скорости для краевых условий | =± = ± 1 ,
1 > 0, | =± = 0.
Рис. 2 — Течение со слабой твердотельной зоной. Слева направо: профили
угловой скорости частиц и линейной скорости для краевых условий
| =± = 1 > 0, | =− = 0, | = = ( 1 ) < 0.
В параграфе 1.3 рассматриваются одномерные течения микрополяр
ной жидкости Бингама в ячейке Хеле-Шоу. Для этого течения ставятся гра
ничные условия прилипания для скорости
| =± = 0,
предполагается, что микровращения частиц на границе пропорциональны
макровращению всей среды
+ Λ | =± = 0,
где Λ = const, 0 < Λ < 1. Данное граничное условие для микровращений
было предложено в монографии Н.П. Мигуна и П.П. Прохоренко.
В предположении малости толщины канала выводится обобщенный
закон Дарси, который связывает среднюю по толщине скорость жидкости
∫︀
= (2 )−1 − и градиент давления:
⎧
* (1+κ)
⎨ 0,при | | ≤ √2
≡ ,
2(1+κ )
=−(5)
2
⎩
3 (| |, κ, , * ) ,при | | >
где кажущаяся вязкость имеет вид
(︂)︂2 (︂)︂
1 (1 + κ)111
=, ( 1 ) =1−2+.
( 1 )2 1 1
Показано, что для таких жидкостей имеет место эффект предельного гради
ента давления. Далее полученный закон обобщается на случай микрополяр
ной жидкости Хершель-Балкли. Показано, что учет вращения частиц среды
увеличивает предельный градиент давления и кажущуюся вязкость.
В параграфе 1.4. полученные результаты обобщаются для случая дву
мерных течении микрополярной жидкости Хершель-Балкли в ячейке Хеле
Шоу.
Во второй главе рассматривается осесимметричное течение микро
полярной жидкости между двумя соосными цилиндрами. В параграфе 2.1.
приведена математическая постановка задачи. В этом случае векторы скоро
сти и угловой скорости микровращений ищутся в виде
v = (0,0, ( , )) , = (0, ( , ),0) .
Уравнения микрополярной жидкости в области = Ω × (0, ) ≡ ( 1 , 2 ) ×
(0, ) принимают вид
)︁
(︁(︁ )︁
= − + (1 + κ) ++ 2 κ +,(6)
(︁ )︁(︁
)︁
= +− 2 − 4 κ+ ,(7)
2
ставятся условия прилипания на границе области
| = 1 = | = 2 = 0, | = 1 = 0, | = 2 = 0, ∈ (0, )
и начальные условия
| =0 = 0 , | =0 = 0 , ∈ Ω.(8)
В параграфе 2.2. дается определение нормы в пространстве Гёльдера
, /2 ( )
( )| ( 1 , ) − ( 2 , )|| ( , 1 ) − ( , 2 )|
| | = sup | ( , )|+sup
+sup /2
.
1 , 2 ∈Ω, ∈[0, ]| 1 − 2 | ∈Ω, 1 , 2 ∈[0, ]| 1 − 2 |
и формулируется теорема о разрешимости задачи (6) – (8).
Теорема 2.1 Пусть ∈ (0,1) и
0 ∈ 2+ (Ω), 0 ∈ 2+ (Ω), 0 | Ω = 0 | = 1 , 2 = 0, 0 | Ω = 0 | = 1 , 2 = 0.
Тогда существует слабое решение ( , ) ∈ 2+ ,1+ 2 ( ) задачи (6)-(8).
В параграфе 2.3 доказаны четыре вспомогательные леммы, позволяю
щие получить априорные оценки для решения системы (6) – (8).
Лемма 2.1 Решение ( , ) системы уравнений (6) − (8) удовлетворяет
оценкам
⃦ ⃦2
sup(‖ ‖22,Ω+‖ ‖22,Ω )+‖ ‖22, +‖ ‖22, +‖ ‖22, + ⃦ ⃦ ≤ ,(9)
⃦ ⃦
0< < 2,
‖ − ‖22, ≤ ,(10)
(︂⃦ ⃦2 )︂
sup‖ ‖22,Ω+⃦ ⃦+ ‖ ‖22, ≤ ,‖ ‖2, ≤ ,‖ ‖∞, ≤ , (11)
⃦ ⃦
0< < 2,Ω
‖ ‖4, ≤ ,‖ ‖4, ≤ .(12)
Лемма 2.2 Решение ( , ) системы уравнений (6) − (8) удовлетворяет
оценкам
sup ‖ ‖22,Ω + ‖ ‖22, ≤ ,‖ ‖22, ≤ ,‖ ‖∞, ≤ (13)
0< <
‖ ‖24, ≤ (14)
Лемма 2.3 Решение ( , ) системы уравнений (6) − (8) удовлетворяет
оценкам
( )( )( )( )
| | ≤ , | | ≤ , | | ≤ , | | ≤ ,(15)
для некоторого ∈ (0,1).
Лемма 2.4 Пусть ∈ (0,1) и
0 ∈ 2+ (Ω), 0 ∈ 2+ (Ω).(16)
Тогда решения ( , ) задачи (6)–(8) удовлетворяют неравенствам
(2+ )(2+ )
| | ≤ , | | ≤ .
В параграфе 2.4. на основе полученных априорных оценок доказыва
ется Теорема 2.1.
В третьей главе приводится вывод и исследование односкоростной
термодинамически согласованной модели жидкости с полярными частицами.
Модель выводится при помощи метода, предложенного Л.Д. Ландау и И.М.
Халатниковым для феноменологического описания течений жидкого гелия
вблизи критической точки. В параграфе 3.1. описаны основные принципы
данного метода, после чего приводится вывод уравнений односкоростной мо
дели. Для простоты сначала рассматривается среда без диссипации энергии,
затем в модель добавляется диссипация. Итоговые уравнения модели имеют
вид
+ div v = 0,(17)
( v) + div( v ⊗ v) = −∇ + div ,(18)
{( ) + div[ ⊗ ( v + l)]} = div − : ,(19)
( ) + div( v) = −div l.(20)
(︁q )︁
+ div v += ,(21)
где — тензор напряжений, — тензор пар напряжений, а — вязкая часть
тензора напряжений, — плотность, v — скорость, — давление, — угло
вая скорость микровращений частиц, Θ = I — тензор инерции частиц, l —
диффузионный поток, — тензор Леви-Чивиты третьего ранга, — удельная
энтропия, — температура, q — тепловой поток, — производство энтропии.
= − + , = −Π1 , = − 1 + ⊗ l.
Основная особенность предложенной модели состоит в том, что диф
фузионный поток концентрации зависит не только от концентрации, темпе
ратуры и давления, но и от микровращений частиц. Впервые такая гипотеза
была предложена А.С. Попелем, С.А. Регирером и П.И. Усиком в 1974 году.
В рамках текущей работы показано, что вид потока
l = − −1 ⟨ 3 ∇ + 1 ∇ + 2 ∇ − 3 rot − 4 rot × b⟩(22)
где b = − rotv2 — относительная угловая скорость частиц, а = =
1−1 − 2 : b согласуется с неравенством ≥ 0 при 1 > 0. Определяющие
уравнения для тензора напряжений и тензора пар напряжений для среды с
предельным напряжением сдвига записываются в параграфе 3.2.
Далее в главе рассматриваются одномерные стационарные течения сре
ды между двумя плоскостями в направлении оси . Причиной течения яв
ляется постоянный перепад давления = const < 0, вдоль , при этом
= = 0. Для несжимаемой среды = const, в этом случае закон сохра
нения массы имеет вид divv = 0 и в рассматриваемом одномерном случае
выполнен тождественно. Вектор скорости ищется в форме v = ( ( , ),0,0) ,
где — поперечная координата (− < < ), а — время. Вектор угловых
скоростей частиц ищется в виде = (0, 0, ( , )) , а диффузионный поток
концентрации в виде l = ( 1 ( , ), 2 ( , ), 0) .
На границах = ± ставятся условия прилипания для скорости = 0
и микровращений = 0. В центре канала выполняются условия симметрии
течения
′ (0) = 0, (0) = 0,
концентрация удовлетворяет интегральному условию
∫︁ ∫︁
( ) = 2 ( ) = 0 ,
− 0
где 0 — суммарная по сечению концентрация полярных частиц, которая
является постоянной.
Поставленная задача обезразмеривается и решается численно. В пара
графе 3.3. построены решения для сред без предельного напряжения сдвига
и проведено исследование влияния параметров диффузии на вид решения.
На Рисунке 3 приведено распределение концентрации частиц по сечению для
различных параметров 30 и 40 . В случае 30 = 40 = 0, диффузионный поток
не зависит от вращения частиц, а концентрация достигает своего максимума
в центре канала ′ = 0, как показано на Рис. 3 (a). В случае 4 ̸= 0 (Рис. 3 (с)
и (d)), концентрация достигает максимума в точке между центром и грани
цей канала. Причем, точка максимума смещается к границе при увеличении
3 . На Рис. 3 (b) рассматривается случай, когда 40 = 0, т.е. диффузионный
Рис. 3 — Профили концентрации для различных значений параметров 3 и
4 : a) 3 = 4 = 0, b) 3 = 2, 4 = 0, c) 3 = 0, 4 = 2, d) 3 = 4 = 2
поток зависит от вращений частиц линейно. В этом случае максимум концен
трации достигается на границе, а эффекта Сегре-Сильберберга не наблюда
ется. Таким образом, можно заметить, что вид концентрации в стационарном
решении сильно зависит от величины коэффициентов диффузии. При этом
решения, согласующиеся с эффектом Сегре-Сильберберга можно получить
только если коэффициент 4 отличен от нуля, то есть если диффузионный
поток зависит от угловых скоростей частиц нелинейным образом.
В параграфе 3.5. построены решения для сред с предельным напря
жением сдвига и проведено исследование влияния предельного напряжения
сдвига на вид решения. На Рисунке 4 показано как изменяется профиль кон
центрации при изменении безразмерного предельного напряжения сдвига 1 .
Увеличение 1 ведет к появлению твердотельной зоны и сдвигу максимума
концентрации к стенке канала.
В четвертой главе рассматривается двухскоростной континуум, со
стоящий из взаимопроникающих несущей и дисперсной фазы. Несущей фазой
является вязкая жидкость с плотностью ¯ и вязкостью , дисперсная среда
является односкоростной суспензией одинаковых сферических частиц плот
Рис. 4 — Концентрация в случае 1* = 0 для различных значений 1 при
40 = 2−2
¯ 40 . Кривые сверху вниз соответствуют увеличению предельного
напряжения сдвига 1 = 0, 0.0081, 0.0243.
ностью , диаметром и геля плотностью . Вывод уравнений движения
проводится методом Ландау-Халатникова.
Предполагается, что объем содержит частицы обеих фаз. Вводятся
следующие обозначения: , и — части объема , занятые несущей сре
дой, частицами и гелем, соответственно, , и — массы этих частей,
, — давления, v — скорость несущей фазы, а v — скорость дисперсной.
Парциальные, физические плотности фаз, а также их массовые и объемные
доли выражаются по формулам
+
=, =, =, =,(23)
= , =, =,(24)
где = / — массовая концентрация частиц, а — объемная доля фазы
= , , . Заметим, что парциальные плотности и физические плотности
¯ связаны формулами
= ¯ , ¯ ≡, + = 1, = + = + + .
В параграфе 4.1. приведен вывод двухскоростной модели смеси. Ана
логично тому, как это было сделано в третьей главе, вывод модели делается
сначала для среды без диссипации, затем находятся диссипативные потоки. В
рамках полученной модели скорость твердой фазы v , скорость жидкой фазы
v , парциальные плотности и , массовая концентрация , температура
, удельная энтропия и давление удовлетворяют законам сохранения:
( v )
+ div ( v ⊗ v ) = − ∇ −∇u2 − u + div ,(25)
2
( v )
+ div ( v ⊗ v ) = − ∇ +∇u2 + u + div ,(26)
2
( )
+ div ( j + l) = 0, j = v + v , = + , (27)
(︂)︂
j q
+ div+= , + divj = 0, + div( v ) = 0, u = v − v
(28)
где тензоры напряжений фаз и имеют вид
= 2 ′ + 2 div v · , 2 = ∇v + (∇v )* , = , (29)
где ′ — девиатор тензора скоростей деформаций ,
′ = − div v · .
Символами и обозначены первая и вторая вязкости фаз и .
Поток концентрации l зависит от термодинамических переменных сле
дующим образом
l = − 3 ∇ + 1 ∇ + 2 ∇ + 4 ∇ u2 ,
(︀)︀
(30)
где — коэффициенты диффузии.
Термодинамические величины имеют вид
0 0
= − 0 + + + + |u|2 , =, =,(31)
0
=, 0 = + + ( ) + u · j0 ,(32)
( )
= + + + j0 · u, = + ,q = −κ∇ ,(33)
∇ = ∇ + ∇ + ∇ + (∇u)* ⟨j0 ⟩,(34)
= κ| |2 + : ∇v + : ∇v + |u|2 + |l|2 / 1 .(35)
В общем случае внутренняя энергия 0 — заданная функция от переменных
, , , и u. Предполагается также, что вид коэффициента межфазного
трения известен (например, из экспериментальных корреляций).
Во второй части четвертой главы рассматривается задача об оседании
тяжелых частиц в вертикальном сосуде Ω0 :
{0 < < 1 , 0 < < 2 },
и в наклоненном сосуде Ω , в котором стенки расположены под углом к век
тору e . Проведено обезразмеривание уравнений модели и описан алгоритм
численного решения.
В параграфе 4.5. приведены результаты численных расчетов в паке
те FreeFEM++ для случая вертикального и наклоненного сосудов. В начале
оседания в вертикальном сосуде, слой чистой жидкости = 0 возникает око
ло верхней горизонтальной границы = ℎ. Затем происходит дальнейшее
оседание примеси и объем чистой жидкости увеличивается, как показано на
Рис. 5. В случае наклонного процесс слой чистой жидкости возникает сразу
на двух стенках, а сам процесс оседания происходит гораздо быстрее Рис. 6,
что согласуется с известным эффектом Бойкотта.
Показано, что предложенная модель корректно описывает конвектив
ное течение жидкости в вертикальном и наклонном сосудах. Проведено ис
следование сходимости метода и сравнение с экспериментом.
В заключении приведены итоги исследования и сформулированы ос
новные результаты в соответствии с главами диссертационной работы.
a)b)c)
Рис. 5 — Концентрация дисперсной фазы в вертикальном сосуде на
различные моменты безразмерного времени: a) t = 0.5, b) t = 2, c) t = 4.
a)b)c)
Рис. 6 — Концентрация дисперсной фазы на различные моменты
безразмерного времени для наклоненного сосуда = 20∘ : a) t = 0.5, b) t =
2, c) t = 4
Заключение
В работе выполнен теоретический анализ ряда моделей микрополяр
ной жидкости. Для случая переменной концентрации полярных частиц вы
ведены термодинамически согласованные односкоростная и двухскоростная
модели, которые исследованы численно. Основные результаты диссертации
заключаются в следующем:
1. Методом Ландау-Халатникова построена односкоростная, термоди
намически согласованная модель смеси ньютоновской и микропо
лярной жидкости, построены численные решения модели, согласу
ющиеся с эффектом Сегре-Сильберберга.
2. Построена термодинамически согласованная двухскоростная мо
дель смеси, учитывающая диффузию частиц, в рамках модели чис
ленно решена задача об оседании в двумерной области. Показано,
что данное решение согласуется с экспериментальными данными
(эффект Бойкотта, конвективное течение, постоянная толщина тон
кого слоя чистой жидкости). Проведено исследование сходимости
метода и сравнение численного решения с экспериментальными дан
ными.
3. Для одномерных и двумерных течений микрополярной жидкости
Хершель-Балкли в ячейке Хеле-Шоу получена связь между средней
скоростью и градиентом давления.
4. Построены аналитические решения одномерных уравнений микро
полярной жидкости Бингама с различными типами твердотельных
зон.
5. Доказана глобальная теорема о существовании слабого решения од
номерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной
жидкости при наличии осевой симметрии.
Актуальность темы исследования
Во многих прикладных задачах переноса твердых частиц жидкостью необ
ходимо учитывать не только взаимодействие твердых частиц и жидкости, но
и взаимодействие частиц между собой. Примерами являются транспорт про
ппанта в трещине гидроразрыва пласта, вынос шлама при бурении скважин,
течение крови и других биологических жидкостей, движение селей и оползней,
заливка конструкций строительным бетоном и т.п. В диссертации такие среды
рассматриваются в рамках модели континуума Коссера или микрополярной
жидкости, в которой каждая материальная частица характеризуется не толь
ко положением в пространстве, но и ориентацией трех взаимно-ортогональных
направляющих векторов. В этом подходе учитываются внутренние моменты
количества движения, а тензор напряжений Коши в общем случае не является
симметричным. Целью работы является вывод и исследование моделей типа
континуума Коссера для случаев, когда среда имеет вязкопластическую рео
логию, концентрация полярных частиц не является постоянной, а частицы и
несущая жидкость имеют разную плотность.
Степень разработанности темы исследования
Впервые модель сплошной среды с дополнительными вращательными сте
пенями свободы частиц была предложена в начале прошлого века братьями
Эженом и Франсуа Коссера в работе [1]. Впоследствии данная модель получила
название континуума Коссера или модели микрополярной среды. В рамках этой
модели частицы сплошой среды рассматривались как твердые тела с поступа
тельными и вращательными степенями свободы, а наряду с полем напряжений
вводилось поле моментных напряжений. Через полвека эта теория была заново
открыта независимо несколькими авторами: в работе [2] методами статистиче
ской физики были получены некоторые законы сохранения для полярных сред,
в работах [3] и [4] рассмотрены модели упругих сред с учетом микрополярности.
Значительное развитие механика сред с полярными частицами получила
в работах К. Эрингена. В работе [5] была выведена и исследована линейная
модель упругой полярной среды, нелинейная теория упругости с моментными
напряжениями была разработана в работах [6] и [7]. Модель жидкой среды с
вращательными степенями свободы выведена в работе [8], а в [9] данная модель
была обобщена на случай жидкости с деформируемыми полярными частицами.
Основные результаты работ К. Эрингена по полярным средам приведены в
монографии [10].
В русскоязычной литературе механика микрополярной среды впервые по
лучила развитие в работах Э.Л. Аэро и соавторов. В работах [11] и [12] дан вы
вод основных уравнений теории упругости с вращательным взаимодействием
частиц. В работе [13] изучается модель жидкой среды с моментными напряже
ниями.
Следующим шагом в развитии теории моментных жидкостей стало обоб
щение данных моделей на случай сложной реологии. В работах [14;15] содержат
ся определяющие уравнения вязкоупругих моментных тел. В монографии [16]
рассмотрена кинематика микрополярной среды и развита теория определяю
щих соотношений для вязкоупругой микрополярной жидкости, там же решен
ряд задач о течении таких сред. В работе [17] предложена модель микропо
лярной жидкости с вязкопластической реологией, численно решена задача о
течении типа Пуазейля.
Важный для практики случай полярных сред — жидкие кристаллы рас
сматривались в работах [18–21]. Модели типа Коссера оказались полезными для
построения неклассических моделей стержней, пластин и оболочек [22–24]. В ра
боте [25] при помощи асимптотического перехода из общей трехмерной теории
Коссера получены уравнения для тонких упругих плит, а в работе [26] изуче
но влияние моментных напряжений на характеристики свободных колебаний в
тонких пластинах.
Вопросам механики микрополярных жидкостей посвящено большое ко
личество публикаций. В частности, в монографии [27] рассмотрены задачи о
течении микрополярной жидкости в каналах и её диссипативный нагрев, иссле
дованы процессы стационарного переноса тепла и предложена методика экспе
риментального определения микроструктурных параметров. В этой же работе
описаны возможности применения теории моментных жидкостей в фильтрации
и капиллярной дефектоскопии. В работе [28] исследуются различные краевые
условия для задач механики микрополярных жидкостей, показано, что для про
стейших течений при специальном выборе краевого условия модель допускает
решение, совпадающее с решением классических уравнений Навье-Стокса.
Исследованию конвективных течений микрополярной жидкости посвяще
ны работы [29–32]. В работе [33] рассматриваются течения моментных жидко
стей с пограничным слоем. В [34] построено точное решение для двухслойного
неизотермического течения ньютоновской и микрополярной жидкостей в верти
кальном канале. В работе [35] также рассмотрено совместное течение ньютонов
ской жидкости с тонким пристеночным слоем жидкости Коссера и при помощи
асимптотического метода получено условие проскальзывания для классической
жидкости. Методами группового анализа [36;37] в работе [38] построены точные
решения двумерных уравнений микрополярной жидкости.
В статье [39] рассмотрена задача о течении гранулированной среды по
склону под действием гравитации. Методами статистической физики для слу
чая малой концентрации полярных частиц были получены характерные соот
ношения между классической и микроструктурными вязкостями. Там же было
проведено сравнение численного решения, полученного по модели Коссера с ре
шением, полученным методом дискретного элемента и показано качественное
совпадение результатов расчета по двум моделям.
Неизотермические течения микрополярных сред в областях с проницае
мыми стенками изучались в работах [40; 41]. В работе [42] исследовано несколь
ко задач о неизотермическом течении микрополярной жидкости с вязкостью,
зависящей от температуры. Динамика магнитных жидкостей с учетом враща
тельного взаимодействия частиц обсуждалась в монографии [43]. В работе [44]
рассматривалась модель магнитной гидродинамики микрополярных сред. Во
просы механики жидкостей с несимметричным тензором напряжений изучают
ся в работах [45;46]. Возможное применение теории микрополярных жидкостей
в биомеханике описано в работах [47; 48].
В работах [49] и [50] экспериментально исследованы двумерные и трехмер
ные течения гранулированной среды в вертикальных каналах. Для двумерного
случая измерены угловые скорости частиц и показано, что они могут сильно
отличаться от макроскопической угловой скорости среды. Приведено качествен
ное сравнение экспериментальных результатов с расчетами по модели микропо
лярной жидкости. Показано, что модель микрополярной жидкости корректно
описывает вращение частиц при таком течении.
Математические проблемы механики микрополярных жидкостей были по
дробно изучены в монографии Г. Лукашевича [51], где была доказана одно
значная разрешимость ряда стационарных и нестационарных задач, а также
методом гомогенизации получен аналог закона Дарси для фильтрации такой
жидкости. В работе [52] доказана глобальная разрешимость двумерной зада
чи Коши для жидкости Коссера в случае, когда вращательная вязкость равна
нулю, то есть исчезают вторые производные в законе сохранения момента им
пульса. Корректность двумерных задач для уравнений микрополярной жидко
сти, в которой присутствует только вращательная диссипация изучалась в [53].
Глобальная разрешимость трехмерной задачи Коши для уравнений микропо
лярной жидкости со сглаживающими слагаемыми показана в [54]. В работе [55]
изучалась гладкость обобщенных решений уравнений микрополярной жидко
сти.
Математические свойства модели микрополярной жидкости с предельным
напряжением сдвига [17] изучались в работах [56] и [57]. В [56] доказана одно
значная разрешимость одномерной нестационарной начально-краевой задачи,
а в [57] доказана разрешимость стационарной трехмерной задачи. В данных ра
ботах при доказательстве использовался метод регуляризации уравнений жид
кости с предельным напряжением сдвига, предложенный в [58] и [59].
Последние две главы диссертации посвящены выводу и исследованию мо
делей с переменной концентрацией полярных частиц. Данные модели были по
лучены методом, предложенным в работах И.М. Халатникова [60], [61] и Л.Д.
Ландау [62] для построения модели сверхтекучего гелия вблизи критической
точки. Метод Ландау-Халатникова применялся в дальнейшем как для получе
ния моделей сверхтекучих жидкостей [63], так и для получения моделей класси
ческих многофазных сред [64], [65]. Важной особенностью метода является то,
что он позволяет получить термодинамически согласованную систему законов
сохранения и определяющих соотношений.
Следует упомянуть и другие методы выведения уравнений многофазных
сред. Самым известным из которых является метод геометрического осредне
ния, описанный в работах [66], [67] и [68]. Метод состоит в том, что к фазовым за
конам сохранения применяется подходящий оператор осреднения. Полученная
таким способом модель не является замкнутой, для её замыкания необходимы
дополнительные физические гипотезы. Модели, полученные методом осредне
ния, нашли широкое практическое применение в атомной [69], нефтяной [70;71]
и других видах промышленности. Также, как было показано в работах [72–75],
модели многофазной среды могут быть выведены из принципа наименьшего
действия.
Цели и задачи исследования
Цель работы заключается в построении новых моделей сред с микрострук
турой, а также в анализе этих моделей при помощи аналитических и численных
методов. Можно выделить следующие задачи:
– построение термодинамически согласованных моделей смеси ньютонов
ской и микрополярной жидкостей;
– численное решение полученных уравнений, оценка влияния параметров
и качественное сравнение с экспериментом;
– построение точных решений в задачах о течении микрополярной жидко
сти с предельным напряжением сдвига;
– исследование корректности начально-краевой задачи течения микропо
лярной жидкости между двух цилиндров.
Научная новизна
При решении задач были получены следующие новые результаты:
– Построена термодинамически согласованная односкоростная модель сме
си жидкости с частицами, учитывающая вращение частиц и вязкопластическую
реологию смеси. Замечено, что в общем случае поток концентрации в такой жид
кости зависит не только от градиентов температуры, давления и концентрации,
но и от микровращений частиц. Показано, что в одномерном течении при уче
те нелинейной зависимости потока концентрации от микровращений, решение
согласуется с эффектом Сегре-Сильберберга.
– Построена термодинамически согласованная двухскоростная модель сме
си, учитывающая диффузию частиц. В рамках полученной модели численно
решена задача об оседании в двумерной области, исследованы конвективные
течения, возникающие при наклоне сосуда и их влияние на ускорение оседания
(эффект Бойкотта).
– Впервые была исследована модель микрополярной жидкости с предель
ным напряжением сдвига [17]. Для одномерных течений такой жидкости в кана
ле были построены точные решения. Показано, что модель допускает течения с
двумя типами твердотельных зон. Для микрополярной жидкости, вязкость ко
торой подчиняется закону Хершель-Балкли, в ячейке Хеле-Шоу методом асимп
тотического анализа получена связь средней скорости течения и градиента дав
ления.
– В случае осевой симметрии доказана глобальная разрешимость одномер
ной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жидкости.
Теоретическая и практическая значимость
Диссертационная работа носит теоретический характер. Точные решения
и результаты о разрешимости, полученные в работе, могут применяться для
дальнейшего численного и теоретического анализа задач. Полученные модели
жидкостей с переменной концентрацией полярных частиц могут быть исполь
зованы для изучения течений селей и оползней, а также при моделировании
технологических процессов в химической, нефтяной и пищевой промышленно
стях.
Методология и методы исследования
Для решения поставленных задач в диссертационной работе использова
лись:
– методы механики сплошных сред;
– теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория
обобщенных функций, теория осреднения;
– метод искусственной сжимаемости, метод простой итерации, метод ко
нечных элементов, реализованные в пакете FreeFEM++, и методы численного
решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, ре
ализованные в пакете Mathematica.
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной
работы:
– построена односкоростная, термодинамически согласованная модель сме
си ньютоновской и микрополярной жидкости, построены численные решения
модели, согласованные с эффектом Сегре-Сильберберга;
– выведена двухскоростная термодинамически согласованная модель, учи
тывающая диффузию частиц, и построено численное решение, показывающее,
что предложенная модель позволяет описать эффект Бойкотта;
– построены точные решения одномерных уравнений микрополярной жид
кости Бингама с различными типами твердотельных зон;
– для одномерных и двумерных течений микрополярной жидкости Хер
шель-Балкли в ячейке Хеле-Шоу получена связь между средней скоростью и
градиентом давления;
– доказана глобальная теорема о существовании слабого решения одно
мерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жидкости при
наличии осевой симметрии.
Степень достоверности и апробация результатов
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается ис
пользованием устоявшихся в научном сообществе законов механики и основ
ных принципов термодинамики при выводе моделей. Аналитические резуль
таты диссертации в значительной мере опираются на методы, предложенные
Л.Д. Ландау [62], И.М. Халатниковым [61] и О.А. Ладыженской [76]. Коррект
ность результатов численного решения подтверждается проделанной проверкой
численных алгоритмов на сходимость, в том числе с использованием аналити
ческих решений. Основные результаты диссертационной работы прошли проце
дуру рецензирования и опубликованы в международных и российских журна
лах [77–81].
Доклады по теме работы были представлены и обсуждались
– на 51-й Международной научной студенческой конференции “Студент
и научно-технический прогресс” (Новосибирск, 2013), где был получен диплом
второй степени;
– на 53-й Международной научной студенческой конференции “Студент
и научно-технический прогресс” (Новосибирск, 2015), где был получен диплом
третьей степени;
– на Всероссийской конференции “Нелинейные волны: теория и новые при
ложения”, посвященной 70–летию со дня рождения чл.-корр. РАН В.М. Тешу
кова (Новосибирск, 2016);
– на Всероссийской конференции и школе для молодых ученых “Матема
тические проблемы механики сплошных сред”, посвященной 100–летию со дня
рождения акад. РАН Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2019);
– на Международной конференции “Coupled thermo-hydro-mechanical
problems of fracture mechanics” (Новосибирск, 2019);
– на семинаре под руководством д.ф.-м.н. С.Н. Антонцева Института гид
родинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2016);
– на семинаре “Краевые задачи механики сплошных сред” под руковод
ством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова и д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтова Института
гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2021);
– на семинаре “Прикладная гидродинамика” под руководством чл.-корр.
РАН В.В. Пухначева и д.ф.-м.н. Е.В. Ерманюка Института гидродинамики им.
М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2016, 2019, 2020 и 2021);
– на семинаре “Математическое моделирование ГРП” под руководством
д.ф.-м.н. С.В. Головина Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО
РАН (Новосибирск, 2019, 2021);
– на семинаре “Избранные вопросы математического анализа” под руко
водством д.ф.-м.н. Г.В. Демиденко Института математики им. С. Л. Соболева
СО РАН (Новосибирск, 2021);
– на 20-й Всероссийской конференции молодых ученых по математическо
му моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2019);
– на 10-й Международной конференции-школе молодых ученых “Волны и
вихри в сложных средах” (Москва, 2019);
– на 7-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых “Зада
чи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения” (Красноярск,
2020);
– на открытом заседании Ученого совета по рассмотрению важнейших
результатов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева (Новосибирск,
2020).
Личный вклад
Автор диссертационной работы принимал активное участие в получении
результатов, отражённых во всех совместных публикациях на равноправной
основе: постановке задачи, выводе математической модели, разработке и вери
фикации численного метода для ее решения, проведении численных экспери
ментов, обсуждении полученных результатов и их физической интерпретации,
а также оформлении результатов в виде публикаций и научных докладов. Ре
зультаты, изложенные во второй главе диссертации, были получены автором
самостоятельно и опубликованы без соавторов.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из 103 страниц, в которые входят введение, четы
ре главы, заключение и список литературы. В работе 16 рисунков, а список
литературы содержит 98 наименований.
Краткое содержание работы
В первой главе исследуется модель микрополярной жидкости с предель
ным напряжением сдвига, предложенная в [17]. Дается определение сильной
и слабой твердотельной зоны и аналитическими методами строятся решения
с двумя типами таких зон. В приближении ячейки Хеле-Шоу выводится обоб
щенный закон Дарси для жидкости Коссера-Бингама. Показано, что для та
ких жидкостей имеет место эффект предельного градиента давления. Далее
полученный закон обобщается на случай микрополярной жидкости Хершель
Балкли. Показано, что учет вращения частиц среды увеличивает предельный
градиент давления и кажущуюся вязкость.
Во второй главе рассматривается осесимметричное течение микрополяр
ной жидкости между концентрическими цилиндрами. Для такого течения яв
но выписывается вид тензоров напряжений и скоростей деформаций, ставится
начально-краевая задача. Получены априорные оценки для решения предло
женной задачи. В последнем параграфе второй главы доказывается глобаль
ная теорема о существовании слабого решения одномерной осесимметричной
начально-краевой задачи.
В третьей главе модель микрополярной жидкости обобщается на случай
произвольной концентрации полярных частиц. Рассматривается случай, когда
несущая жидкость и полярные частицы имеют одинаковую плотность и ско
рость. Модель смеси с переменной концентрацией выводится методом Ландау
Халатникова [60], [61], [62], что позволяет получить законы сохранения и опре
деляющие уравнения, согласующиеся с неотрицательным знаком производства
энтропии. При выводе предполагается, что правая часть закона сохранения
массы дисперсной фазы содержит диффузионный поток, который зависит не
только от градиентов давления, концентрации и температуры, но и от микро
вращений полярных частиц. Такое предположение впервые было предложено в
работе [48], где термодинамика микрополярной жидкости изучалась без учета
эффектов инерции и конвекции.
Во второй части третьей главы рассматривается течение Пуазейля между
двумя параллельными плоскостями. Было замечено, что при некоторых значе
ниях коэффициентов в обобщенном законе Фика максимум концентрации сме
щается в область между центром канала и его границами. Это согласуется с экс
периментальным эффектом Сегре-Сильберберга [82]. Показано, что если поток
концентрации в модели не зависит от микровращений, то эффект отсутствует.
В четвертой главе исследуется случай, когда частицы и несущая жидкость
имеют разные плотности и скорости. Методом Ландау-Халатникова проводит
ся вывод двухскоростной модели [80]. Для исследования полученной модели
рассматривается задача о седиментации частиц в двумерном сосуде. Методом
конечных элементов найдено численное решение задачи в случае вертикальной
и наклоненной области. Показано, что при наклоне сосуда фронт концентрации
ортогонален направлению ускорения свободного падения, а также, что части
цы в наклонной ячейке оседают быстрее, что согласуется с эффектом Бойкотта.
Численно изучены конвективные течения, возникающие при оседании. Показа
но, что в наклоненном сосуде конвективное течение имеет большую интенсив
ность, чем в вертикальном, что влияет на скорость оседания частиц и форму
фронта чистой жидкости. Проведено сравнение с экспериментальными данны
ми [83] и исследование сходимости метода, оценен порядок сходимости.
Благодарности
Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю
Шелухину Владимиру Валентиновичу за руководство при проведении исследо
ваний, помощь в научной и организационной работе.
В работе выполнен теоретический анализ ряда моделей микрополярной
жидкости. Для случая переменной концентрации полярных частиц выведены
термодинамически согласованные односкоростная и двухскоростная модели, ко
торые исследованы численно. Основные результаты диссертации заключаются
в следующем:
1. Методом Ландау-Халатникова построена односкоростная, термодина
мически согласованная модель смеси ньютоновской и микрополярной
жидкости, построены численные решения модели, согласующиеся с эф
фектом Сегре-Сильберберга.
2. Построена термодинамически согласованная двухскоростная модель
смеси, учитывающая диффузию частиц, в рамках модели численно ре
шена задача об оседании в двумерной области. Показано, что данное ре
шение согласуется с экспериментальными данными (эффект Бойкотта,
конвективное течение, постоянная толщина тонкого слоя чистой жид
кости). Проведено исследование сходимости метода и сравнение числен
ного решения с экспериментальными данными.
3. Для одномерных и двумерных течений микрополярной жидкости Хер
шель-Балкли в ячейке Хеле-Шоу получена связь между средней скоро
стью и градиентом давления.
4. Построены аналитические решения одномерных уравнений микропо
лярной жидкости Бингама с различными типами твердотельных зон.
5. Доказана глобальная теорема о существовании слабого решения одно
мерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жид
кости при наличии осевой симметрии.
1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformable. — Paris: Librairie
Scientifique A. Hermannet Fils, 1909.
Публикации автора в научных журналах
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.8 (9 отзывов)
0 (13 отзывов)
4.2 (25 отзывов)
4.8 (40 отзывов)
5 (9 отзывов)
4.5 (330 отзывов)
4.8 (30 отзывов)
4.7 (96 отзывов)
5 (154 отзыва)
