Многомерные периодические системы всплесков

Первая глава содержит обозначения и предварительные сведения,
необходимые для изложения материала диссертации.
Вторая глава содержит результаты исследований систем всплесков,
определённых на единичном торе Td . Для формулировки результатов нам
понадобятся некоторые обозначения.
Через M мы будем обозначать матричный коэффициент растяжения
размера d × d, m = | det M | > 1. D(M ) обозначает множество цифр мат-
рицы M . Множество, которое мы будем обозначать H(M ) := Zd ∩ M Td ,
также является множеством цифр матрицы M . Для любой последова-
тельности функций {fj }j∈Z+ ⊂ L2 (Td ) введём обозначение для сдвигов
fjk := fj (· + M −j k). Системой всплесков мы будем называть систему сдви-
гов {fjk }j∈Z+ ,k∈D(M j ) , ассоциированную с последовательностью функций
{fj }j∈Z+ ⊂ L2 (Td ), и обозначать её {fjk }j,k . При наличии нескольких по-
(ν)
следовательностей {fj }j∈Z+ , ν = 1, . . . , n, n ∈ N, систему, представля-
ющую собой объединение систем всплесков каждой последовательности,
(ν)
также будем называть системой всплесков и обозначать {fjk }j,k,ν . При
необходимости уточнения множеств индексов будем обозначать объедине-
(ν)
ние последовательностей как, например, {fjk }j∈Z+ ,k∈D(M j ),ν=1,…,n .
Множество функций {fk }k∈S (где S – не более чем счётное множе-
ство индексов) называется бесселевым в L2 (Td ), если существует константа
B > 0 такая, что
X
|⟨f, fk ⟩|2 ⩽ B||f ||2 , ∀f ∈ L2 (Td ).
k∈S

(ν)
Множество функций {ψjk } ⊂ L2 (Rd ), ν = 1, . . . , r, образует фрейм всплес-
ков в L2 (Td ), если существуют такие константы A, B > 0, что
r X
(ν)
XX
A||f || ⩽|⟨f, ψjk ⟩|2 ⩽ B||f ||2 ,∀f ∈ L2 (Td ).
ν=1 j∈Z+ k∈D(M j )

(ν)(ν)
Две системы функций {ψjk }, {ψejk } ⊂ L2 (Rd ), ν = 1, . . . , r, образуют
двойственный фрейм всплесков в L2 (Td ), если каждая из них является
фреймом и имеет место следующее разложение
r X
(ν) (ν)
XX
f=⟨f, ψejk ⟩ψjk ,∀f ∈ L2 (Td ).
ν=1j∈Z+ k∈D(M j )
Сходимость в суммах безусловная. Таким образом, фреймы являются си-
стемами представления, но, в отличие от базисов, разложение по двой-
ственным фреймам не единственное. Фрейм, являющийся базисом, назы-
вается базисом Рисса.
Основным инструментом для построения систем всплесков является
кратномасштабный анализ. В рамках этой главы мы используем опреде-
ление многомерного ПКМА, данное И. Максименко и М. Скопиной в [19]
(см. также [13, глава 9]).

Определение 1 ([13], Определение 9.1.1). Пусть Vj ⊂ L2 (Td ), j ∈ Z+ . Бу-
дем говорить, что совокупность {Vj }∞ j=0 является периодическим крат-
номасштабным анализом, если выполнены следующие свойства (аксиомы):
MR1. Vj ⊂ Vj+1 ;
S∞
MR2. j=0 Vj = L2 (Td );
MR3. dimVj = mj ;
MR4. dim{f ∈ Vj : f (· + M −j n) = λn f ∀n ∈ Zd } ⩽ 1, ∀{λn }n∈Zd , λn ∈ C;
MR5. f ∈ Vj ⇔ f (· + M −j n) ∈ Vj ∀n ∈ Zd ;
−1
P
MR6. a) f ∈ Vj ⇒ f (M ·) ∈ Vj+1 ; b) f ∈ Vj+1 ⇒s∈D(M ) f (M·
−1
+M s) ∈ Vj .

Последовательность функций {φj }j∈Z+ , φj ∈ Vj , будем называть мас-
штабирующей, если функции φjk , k ∈ D(M j ), образуют базис простран-
ства Vj для всех j ∈ Z+ .
В работе [16] Н. Атреас показал, что ключевым условием для того, что-
бы система всплесков являлась фреймом, явлется её бесселевость. Главный
результат в §2.1 устанавливает достаточные условия бесселевости системы
всплесков.

Теорема 1. Пусть коэффициенты Фурье функций ψj ∈ L2 (Td ), j ∈ Z+ ,
удовлетворяют условиям
no
cj (l)| ⩽ C min |M ∗−j l|−( d2 +ε) , |M ∗−j l|α
∀j ∈ Z+ , l ∈ Zd |mj/2 ψ

для некоторых C > 0, ε > 0, α > 0. Тогда система всплесков {ψjk }j,k
является бесселевой.

Основываясь на данном результате, были найдены алгоритмы для по-
строения двойственных базисов и фреймов всплесков. Следующая теорема
из §2.2 формулирует условия, налагаемые на входные данные для алго-
ритма построения базисов: требуется найти последовательность тригоно-
метрических полиномов определённого вида. Сам алгоритм построения в
явном виде сформулирован в доказательстве теоремы.

Теорема 2. Пусть матрица M такая, что выполнено условие Td ⊂
M ∗ Td , и последовательность тригонометрических полиномов {φj }∞
j=0 удо-
влетворяет условиям:

 A ⩽ |mj/2 φcj (k)| ⩽ B, при k ∈ H(M ∗j ),
φcj (k) = 0,при k ̸∈ H(M ∗j ),
где A, B > 0. Тогда
1. {φj }∞
j=0 образуют масштабирующую последовательность.
2. Для каждого j ∈ Z+ существует разбиение множества H(M ∗j+1 )
(ν)
H(M ∗j ) на подмножества Nj , такое что система всплесков {φ0 } ∪
(ν)
{ψjk }j∈Z+ , k∈D(M j ), ν=1,…m−1 , где
(ν)√X
ψj = m(ξN (ν) ∗ φj+1 ),ξN (ν) =eik· ,
jj
(ν)
k∈Nj

является базисом Рисса в L2 (Td ).
(ν)
3. Существует базис всплесков {φ e0 }∪{ψejk }j,k,ν , биортогональный с бази-
(ν)
сом {φ0 } ∪ {ψjk }j,k,ν , который также состоит из тригонометрических
полиномов.

Результатом исследований §2.3 является похожий алгоритм для постро-
ения двойственных фреймов всплесков. Однако, он требует гораздо более
простых для выполнения условий: нужно найти лишь одну функцию, чьи
равные нулю коэффициенты Фурье расположены друг относительно друга
определённым образом, а не равные нулю достаточно быстро убывают на
бесконечности. Сам алгоритм построения сформулирован в явном виде в
доказательстве теоремы.

Теорема 3. Пусть M – изотропная матрица, такая что Td ⊂ M ∗ Td , и
коэффициенты Фурье функции φ1 ∈ L2 (Td ) удовлетворяют условиям

 a0 ,если l = 0,


1 α
φ
c1 (l) =al ( |l| ) ,еслиl ̸∈ Zd0,M ∗ , l ∈ Q,


0,в остальных случаях,

где α > d/2, 0 < C1 ⩽ |al | ⩽ C2 при l = 0 и l ∈ Q, где множество Q ⊂ Zd такое, что Q ∩ Zd0,M ∗ = ∅, H(M ∗ ) ⊂ Q и удовлетворяет условию (Z) Если l ̸∈ Q и l ∈ H(M ∗j ) для некоторого j ∈ N, то l + M j k ̸∈ Q для всех k ∈ Zd . Тогда существуют масштабирующие последовательности {φj }∞ej }∞ j=0 , {φj=0 , (ν)(ν) порождающие системы всплесков {φ0 } ∪ {ψ }j,k,ν и {φe0 } ∪ {ψ }j,k,ν , ко- jk e jk торые являются двойственными фреймами. Третья глава содержит результаты исследований периодических си- стем всплесков, определённых на целочисленной решётке. Различные кон- кретные примеры систем всплесков для дискретного периодического слу- чая уже рассматривались в литературе (например, см. [17, 18]), но общая теория или схема построения таких систем в этих работах отсутствует. Определение кратномасштабного анализа, наиболее близкое к рассмат- риваемому нами, и определение соответствующих систем всплесков бы- ли даны А. П. Петуховым для одномерного случая в работе [14]. Однако, это определение налагает на масштабирующие последовательности, кото- рые порождают КМА, некоторые условия, исключающие из рассмотрения многие периодические объекты, «заслуживающие» называться системами всплесков. В третьей главе автором даны более общие определения дис- кретного периодического КМА и ассоциированных с ними систем всплес- ков, а также найдены компактные формулы для вычисления прямого и об- ратного всплеск-преобразования, ассоциированного с полученными всплес- ками. Мы будем называть функцию f от d целочисленных переменных M n - периодической, если равенство f (x) = f (x + M n k) выполняется для всех x, k ∈ Zd . Через C e M n обозначим пространство M n -периодических ком- плекснозначных функций от d целочисленных переменных. Оператор сдви- га на Ce M n определим по формуле S j f (x) := f (x + M n−j k). Для функции k f ∈C e M n определим дискретное преобразование Фурье как X−n fb(k) :=f (s)e−2πi(k,Ms) . s∈D(M n ) Также определим оператор G формулой 1X∗(−n) Gf :=fb(M ∗ k)e2πi(Mk,·) . mn−1 k∈D(M ∗(n−1) ) В §3.1 автором введено определение дискретного периодического крат- номасштабного анализа. Определение 2. Последовательность линейных пространств {Vj }nj=0 ⊂ e M n называется кратномасштабным анализом в пространстве C Ce M n , если она удовлетворяет следующим условиям: MR1. V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn . MR2. Vn = C eMn . MR3. a) dim Vj = mj , для всех j = 0, . . . , n; b) V0 состоит из констант. MR4. dim{f ∈ Vj : Spj f = λp f для всех p ∈ Zd } ⩽ 1 для любого набора комплексных чисел {λp }p∈Zd . MR5. f ∈ Vj ⇔ Spj f ∈ Vj , p ∈ D(M j ). MR6. a) если f ∈ Vj , то g(·) := f (M ·) ∈ Vj+1 ; b) если f ∈ Vj+1 , то Gf ∈ Vj . Также дано определение масштабирующей последовательности. Определение 3. Пусть {Vj }nj=0 – КМА в пространстве Ce M n . После- n довательность функций {φj }j=0 , φj ∈ Vj , называется масштабирующей последовательностью, если функции Spj φj , p ∈ D(M j ), образуют базис про- странства Vj для каждого j = 0, . . . , n. В следствии 4 показано, что в любом КМА существует масштабирую- щая последовательность. Основным результатом §3.1 является характери- зация кратномасштабных анализов в терминах свойств масштабирующих последовательностей, представленная в следующей теореме. Теорема 4. Функции {φj }nj=0 ⊂ Ce M n образуют масштабирующую после- довательность для некоторого КМА в Ce M n тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: S1. φc0 (k) = 0 для всех k ̸= 0; S2. для каждого j = 0, . . . , n и l ∈ D(M ∗j ) существует k ≡ l (mod M ∗j ), k ∈ D(M ∗n ), такой что φcj (k) ̸= 0; S3. для каждого k ∈ D(M ∗n ) существует j = 0, . . . , n, такой что φ cj (k) ̸= 0; S4. для каждого j = 1, . . . , n и l ∈ D(M ∗n ) существует µjl , такой что j φ [cj (k) для всех k ≡ l (mod M ∗j ); j−1 (k) = µl φ S5. для каждого j = 0, . . . , n − 1 и l ∈ D(M ∗n ) существует γlj ̸= 0, такой ∗j cj (k + M ∗(n−1) s) для всех k ≡ l (mod M ∗j ), P что φ[j+1 (M k) = γls∈D(M ∗ )φ k ∈ D(M ∗(n−1) ); (ν)(ν) В §3.2 представлен способ построения систем функций {ψj }j,ν , {ψej }j,ν с помощью кратномасштабных анализов, соответствующих введённому опре- (ν) f (ν) делению, а также определены пространства Wj , Wj . Основная теорема §3.2 демонстрирует, что эти системы функций обладают свойствами, кото- рые аналогичны присущим классическим системам всплесков непрерывно- го аргумента. Теорема 5. Пусть {Vj }nj=0 , {Vej }nj=0 – пара КМА в Cej }nj=0 e M n , {φj }n , {φ j=0 – их масштабирующие последовательности, и {Srj φj }r∈D(M j ) , {Skj φej }k∈D(M j ) – биортонормированные системы. Тогда (ν) 1. Wj ⊂ Vj+1 для всех ν = 1, . . . , m − 1; 2. любая функция fj+1 ∈ Vj+1 может быть представлена в виде fj+1 = Pm−1 (ν)(ν)(ν) fj + ν=1 fj , где fj ∈ Vj , fj ∈ Wj , ν = 1, . . . , m − 1; (ν)f (ν) ⊥ Vj для всех ν = 1, . . . , m − 1; 3. W j⊥ Vej , Wj (ν)f (ξ) для всех ν ̸= ξ, ν, ξ = 1, . . . , m − 1; 4. Wj⊥Wj (ν)(ν) 5. ⟨Srj ψj , Skj ψej ⟩ = δrk для всех ν = 1, . . . , m − 1, r, k ∈ D(M j ). Всплеск-преобразование раскладывает сигнал на аппроксимирующие (низкочастотные) и детализирующие (высокочастотные) компоненты. Об- ратное преобразование выполняет восстановление сигнала. Эти преобразо- вания есть основной способ применения теории всплесков в анализе и сжа- тии данных. В §3.3 найдены удобные формулы для прямого и обратного всплеск-преобразования, ассоциированного с введёнными ранее системами всплесков. e M n , положим C f := ⟨f, S j φj ⟩, Df,(ν)(ν) Для f ∈ Cj,kkj,k:= ⟨f, Skj ψj ⟩. e M n , {φj }n , {φ Теорема 6. Пусть {Vj }nj=0 , {Vej }nj=0 – пара КМА в Cj=0ej }nj=0 (ν)(ν) – их масштабирующие последовательности, {S j ψ }j,k,ν , {S j ψe }j,k,ν – kjkj двойственные системы всплесков, порождённые данными КМА, {Srj φj }r∈D(M j ) , {Skj φ ej }k∈D(M j ) – биортонормированные системы, и пусть f ∈ C e M n . Тогда f1Xf Cj−1,k =θk,r Cj,r , mj r∈D(M j ) f,(ν)1X(ν) f Dj−1,k =ηk,r Cj,r , mj r∈D(M j ) для всех ν = 1, . . . , m, k ∈ D(M j−1 ), j = 1, . . . , n, где ∗−j(ν)∗−j θk,r = l∈D(M ∗j ) µjl e2πi(M l,r−M k) и ηk,r = l∈D(M ∗j ) αlν,j−1 e2πi(M l,r−M k) . PP e M n , {φj }n , {φ Теорема 7. Пусть {Vj }nj=0 , {Vej }nj=0 – пара КМА в Cj=0ej }nj=0 (ν)(ν) – их масштабирующие последовательности, {S j ψ }j,k,ν , {S j ψe }j,k,ν – kjkj двойственные системы всплесков, порождённые этими КМА, {Srj φj }r∈D(M j ) , {Skj φ ej }k∈D(M j ) – биортонормированные системы, и пусть f ∈ C e M n . Тогда m−1 f1X(0) X(ν) f,(ν) Cj,k =σk,p Cj−1,p +σk,p Dj−1,p , mjν=1 p∈D(M j−1 ) (0)∗−j ejs e2πi(M s,M p−k) , для всех k ∈ D(M j ), j = 1, . . . , n, где σk,p = s∈D(M ∗j ) µ P (ν)∗−j esν,j−1 e2πi(M s,M p−k) for ν = 1, . . . , m − 1. P и σk,p = s∈D(M ∗j ) α В замечании 3 выписан матричный вид этих формул. Четвёртая глава посвящена изучению свойств сепарабельного базиса Хаара, определённого на единичном торе Td . Широко известен классический пример системы всплесков – ортонор- мальный базис Хаара на прямой, состоящий из кусочно-постоянных пе- риодических функций, и свойства которого изучались многими авторами. Стандартным способом распространения одномерных базисов на случай многих переменных является тензорное произведение базиса на себя. Такие многомерные базисы Хаара также широко изучались в литературе, однако, они обладают нежелательным, в некоторых случаях, свойством: локализа- ция в пространственной области по одной переменной не гарантирует ло- кализации по другим переменным. Поэтому, с точки зрения теории всплес- ков, интерес представляет другой подход. Если имеется базис всплесков в L2 (R), построенный по схеме кратномасштабного анализа (КМА) {Vj }j∈Z , N то рассматривается тензорное произведение {VjVj }j∈Z этого кратно- масштабного анализа на себя. Полученная конструкция является КМА в L2 (R2 ) и носит название сепарабельного КМА. Теперь, если мы определим пространства всплесков {Wj }j∈Z , следуя стандартной схеме, то получим, в отличие от одномерного случая, не одну, а несколько всплеск-функций, сжатия и целочисленные сдвиги которых образуют базис в L2 (R2 ). Подроб- нее этот процесс построения описан, например, в [13, §2.1]. Применяя этот подход к базису Хаара, естественным образом пронумеровав и периоди- зировав получившуюся систему функций (весь процесс детально описан в главе 4), мы получим систему {ψn , n ∈ N}, которая и является предметом изучения этой главы. Неравенство типа Джексона для наилучших приближений полиномами Хаара одной переменной En (f ) ⩽ Cω f ;, n с константой C = 12 следует из результатов Б. Сёкефальви-Надя [20]. Позднее Б. Голубов доказал [11], что константа C = 1 является точной в данном неравенстве. Он также доказал следующую обратную теорему ω f;≤ 6En (f ). n Результаты §4.1.1 представляют собой прямые аппроксимационные тео- ремы для введённого базиса {ψn , n ∈ N}. В полученных оценках точ- ными являются как константы, так и порядок шага модуля непрерывно- сти. Частный модуль непрерывности ωk по k-й переменной определён как ωk (f ; h) = sup |xk −yk |⩽h |f (x) − f (y)|. xj =yj , j̸=k Теорема 8. Пусть f ∈ C(Td ), n ∈ N. Тогда d X11 En (f ) ⩽ωk f ; √⩽ d max ω k f ; √, d nkd n k=1 и, более того, 1. d является точной константой, и правую сторону неравенства 1λ нельзя заменить на K max ωk (f ; γn ), где γn = o √, или на d max ωk (f ; √), kd nkd n где λ < 1; d P1Pd1 2. сумму√ ωk f ; dнельзя заменить наck ωk f ; d√, где k=1nk=1n Pd ck < 1 хотя бы для одного из номеров k, или на Kωk (f ; γnk ), где k=1 d 1Pλk γnk = o √хотя бы для одного из номеров k, или наωkf ; √, d nk=1 d n где λk < 1 хотя бы для одного из номеров k. В следующей прямой теореме рассмотрен частный случай при d = 2 и найден интересный феномен: несмотря на точность констант в общем случае, при определённом выборе порядка многочленов n эти константы можно уменьшить. Для всех типов номеров n найдены соответствующие точные постоянные. Теорема 9. Пусть f ∈ C(T2 ), n = 4i + 3l + r, i ∈ N, l = 0, . . . , 4i − 1, r = 1, 2, 3. Тогда    ω1,i+1 + ω2,i+1 , l = 0, . . . , 4i − 2, r = 1, 2, 3,(1)  1  i  2 ω1,i+1 + ω2,i+1 , l = 4 − 1, r = 1,(2)    En (f ) ⩽13  αω1,i+1 + βω2,i+1 , α, β ⩾ , α + β = , l = 4i − 1, r = 2, (3)      11  ω1,i+1 + ω2,i+1 , l = 4i − 1, r = 3,  (4)  где ωj,m = ωj (f ; 2−m ). Более того, (1) оценки (1), (2), (4) точны, то есть ни одна из констант при мо- дулях непрерывности не может быть уменьшена; (2) оценка в (3) точна, и правую сторону неравенства нельзя заме- нить на α′ ω1,i+1 + β ′ ω2,i+1 , где min{α′ , β ′ } < 21 . В §4.1.2 представлены обратные аппроксимационные теоремы для ша- гов непрерывности различного вида. Теорема 10. Пусть f ∈ C(Td ), m = 1, . . . , d, n = 2di + (2d − 1)l + r, i ∈ Z+ , l = 0, . . . , 2di − 1, r = 1, . . . , 2d − 1. Тогда 1 ωm f ; i+1 ⩽ 4En (f ),(5) где 4 является точной константой в (5). Теорема 11. Если f ∈ C(Td ), m = 1, . . . , d, n ∈ N, то 1 ωm f ; √⩽ 8En (f ). d n Для всякой непрерывной 1-периодической вещественнозначной функ- ции f ∈ C(T) справедливо очевидное соотношение 1max f − min f En (f ) ⩽ E1 (f ) =ω(f ; 1) =. Здесь ни при каком h > 0 в неравенстве Джексона

En (f ) ⩽ K · ω(f ; h)
нельзя взять K < . Однако здесь шаг можно уменьшить при сохранении константы : если n = 2i + l + 1, i ∈ Z+ , l = 0, . . . , 2i − 1, то [10, § 10.1.2] En (f ) ⩽ ω f ; i .(6) Для функций нескольких переменных неравенство, аналогичное (6), сразу следует из теоремы 9: d X 11 En (f ) ⩽ωk f ; i , k=1 did где n = 2 +(2 −1)l+r, i ∈ Z+ , l = 0, . . . , 2di −1, r = 1, . . . , 2d −1. Основной результат §4.1.3 демонстрирует, что константуни в одном слагаемом нельзя уменьшить, даже если увеличить шаг модулей непрерывности. Теорема 12. Для любого n ∈ N и любого набора вещественных коэффи- циентов ck , k = 1, . . . , d, хотя бы один из которых меньше , найдётся такая функция f ∈ C(Td ), что d X En (f ) >ck ωk (f ; 1).
k=1

Через Sn (f ) обозначим частичные суммы ряда Фурье по рассматрива-
емой нами ортонормированной системе. Для одномерного случая следую-
щая оценка хорошо известна:
1
∥f − Sn (f )∥∞ ⩽ Kω f ;,(7)
n
где ω(f ; t) – модуль непрерывности функции f . В книге [12, с. 81] указано
значение константы в данном неравенстве: K = 3, но, используя результат
Хорошко [15]
−i
Z2
sup ∥f − Sn (f )∥∞ = 2iω(t)dt,
f ∈Hω
n = 2i + j,Hω = {f ∈ C : ω(f ; t) ⩽ ω(t), t ∈ [0, 1]},

нетрудно получить значение константы K = 3/2 и непосредственно дока-
зать, что оно точное. Основной результат §4.2 представляет собой аналог
оценки (7) для функций двух переменных. В полученных оценках точны-
ми являются как константы, так и порядок шага модуля непрерывности.
Модуль непрерывности ω∞ здесь определён как

ω∞ (f ; h) =sup|f (x(1) ) − f (x(2) )|.
∥x(1) −x(2) ∥∞ ⩽h

Теорема 13. Пусть f ∈ C(T2 ), n ∈ N. Тогда
7 1
∥f − Sn (f )∥∞ ⩽ω∞ f ; √ .(8)
4n

1. Правая часть неравенства (8) не может быть одновременно для
1
всех n заменена на Kω∞ (f ; γn ), где K ∈ R, γn = o √ .
n
2. Константа в неравенстве (8) не может быть одновременно для
всех n заменена меньшей.

Теорема 14. Пусть n ⩾ 4, n = 4i + 3l + r, i ∈ Z+ , l = 0, . . . , 4i − 1,
r = 1, 2, 3. Тогда
7
, l = 0, . . . , 4i − 2, r = 1, 2, 3;



∥f − Sn (f )∥∞ 
sup= 3 , l = 4i − 1, r = 1, 2;
f ∈C(T ) ω
1
∞ f ; i+12




1, l = 4i − 1, r = 3.
