Анализ влияния нелинейных эффектов на течение флюидов в пористых средах

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цель и основные задачи, обозначены основные положения, выносимые на защиту, показаны научная новизна и практическая ценность результатов работы, и сформулированы основные защищаемые положения.
В первой главе диссертационной работы выполнен литературный анализ, в котором рассмотрены особенности нелинейного течения флюидов в пористых средах. Подробно описаны случаи отклонения от закона Дарси, связанные с эффектом Клинкенберга и Форхгеймера, а также границы их применимости.
Исследованиям течения флюидов в пористых средах посвящены работы многих известных ученых и специалистов в области геологии, геофизики, гидромеханики и разработки месторождений, таких как Павловский Н.Н., Миллионщиков М.Д., Щелкачев В.Н., Чарный И.А., Желтов Ю.П., Мирзаджанзаде А.Х., Гиматудинов Ш.К., Лапук Б.Б., Золотухин А.Б., Бедриковецкий П.Г., Басниев К.С., Михайлов Н.Н., Кадет В.В., Закиров С.Н., Назарова Л.Н., Арсеньев-Образцов С.С., Кравченко М.Н., Slichter C., Muscat M., Heid J.G., Ergun S., Cornell D., Katz D.L., Hubbert M.K., Irmay S., Bear J., Geertsma J., Holditch S.A., Firoozabadi A., Kadi K.S., Tessem R., Torsæter O., Jones S.C.,Hartman K.J., Cooper J.W., Skjetne E., Blunt M. и др.
Прогнозирование свойств пористых сред, как абсолютная проницаемость, является непростой задачей, имеющей фундаментальное и практическое значение. Обычно для определения проницаемости сред используют инертный газ, не реагирующий с пористой средой. Однако многочисленные исследования показывают, что при течении газа в пористых средах с низкой проницаемостью (плотные песчаники, угольные пласты и сланцевый газ) проницаемость, измеренная во время экспериментов, больше, чем абсолютная проницаемость и данная разница увеличивается с уменьшением среднего порового давления. Чтобы отличить замеренную проницаемость от абсолютной проницаемости, был введен термин кажущейся газовой проницаемости, который был предложен Клинкенбергом (1941).
Уравнение Клинкенберга легко использовать для расчета эффекта проскальзывания газа, однако значение коэффициента Клинкенберга трудно определяемо для различных пористых сред. Необходимы более совершенные
модели для расчета коэффициента Клинкенберга, правильно учитывающие параметры пористых сред и флюидов.
При более высоких скоростях течения флюидов нарушается линейная зависимость между скоростью течения и градиентом давления, и закон Дарси обычно заменяется уравнением Форхгеймера (1901), которое учитывает инерционные силы. Известно, что коэффициент Форхгеймера в двучленном уравнении Форхгеймера учитывает инерционное сопротивление в пористых средах и зависит от геометрии пор и свойств флюидов. Поэтому определение коэффициента Форхгеймера требует особого внимания ввиду его значимости при использовании сжимаемых жидкостей. На рис. 1. представлен график различных режимов течения от эффекта проскальзывания газа (первая часть области 1) до проявления турбулентного потока (Skjetne, 1995).
Существуют различные критерии, разделяющие и количественно описывающие полный диапазон течения жидкости в пористой среде. Два типа критерия были введены для определения количественного эффекта отклонения от закона Дарси: число Рейнольдса и число Форхгеймера
.
Рисунок 1 – Режимы течения флюида в пористой среде: 1 – закон Дарси; 2 –слабая инерция; 3 – модель Форхгеймера (сильная инерция); 4 – переходный режим от модели Форхгеймера к турбулентному режиму; 5 –
турбулентность (Skjetne, 1995)
По результатам проведенного в работе литературного обзора рассмотрены законы течения флюидов в пористых средах, такие, как закон Дарси, уравнение Форхгеймера и эффект Клинкенберга, и критерии их применимости. Различными авторами были проведены оценки исходных уравнений течения и предложены эмпирические зависимости. Основной вывод, вытекающий из проведенного обзора, свидетельствует о том, что

основной проблемой в современной науке является вывод простых уравнений, описывающих сложные физические явления в природе. Задача построения простых моделей течения флюидов, основанных на классических подходах и современных технологиях и которых можно использовать при гидродинамическом моделировании, является чрезвычайно актуальной.
Во второй главе приведено новое уравнение течения флюидов, которое учитывает эффект проскальзывания газа и инерционные силы для широкого диапазона изменения параметров пористых сред и градиентов давления. Отметим, что уравнение получено с использованием современных комплексных методов, таких, как анализ размерностей, методы нормирования и машинного обучения.
В работе использованы такие методы машинного обучения, как искусственные нейронные сети (ИНС) и множественная регрессионная модель (МРМ). Для определения коэффициента Форхгеймера при обработке экспериментальных данных необходимо было заранее задать приблизительное значение абсолютной проницаемости. Для этой цели использовались ИНС, в которых в качестве входных параметров задавались свойства пористых сред (пористость , длина образца , перепад давления и скорость течения флюидов ), а в качестве выходного параметра обучающей модели – проницаемость (рис. 2 а).
аб Рисунок 2 – Архитектура модели ИНС
Создание модели ИНС осуществлялось на программном языке Python. Архитектуру модели ИНС выбрана на основании представленной на рис. 2 б зависимости количества скрытых слоев и количества нейронов в каждом скрытом слое. В результате удалось обучить нейронную сеть с 4 скрытыми слоями, содержащими по 11 нейронов в каждом. Коэффициент детерминации
между расчетной и фактической проницаемостью керна составил 0,92.

На основании этих результатов была выбрана модель ИНС для прогнозирования проницаемости пористых сред.
Второй метод, МРМ в сочетании с анализом размерностей, нашел свое применение при получении универсального полуаналитического уравнения течения флюидов в пористых средах. Применение данного метода позволило обеспечить высокое значение коэффициента детерминации . Полученное при этом универсальное уравнение течения флюидов выглядит следующим образом:
*() + √̅ (1)
где – проницаемость, м2; – пористость; – вязкость флюида, Па∙с; – плотность в стандартных условиях, кг/м3; – стандартное давление, Па; и – давление на входе и выходе, Па; – коэффициент Клинкенберга, Па; – массовая скорость течения флюида с учетом эффектов Клинкенберга и Форхгеймера, кг/(с∙м2); ̅ ; – извилистость поровых каналов, которое
рассчитывается по следующей формуле:
() (2) где ;
Сравнивая уравнение Форхгеймера и соотношение (1), получено следующее выражение для коэффициента Форхгеймера:
()√ (3)
Оценка кажущейся проницаемости на основе работы (Золотухин, 1996) и методов машинного обучения позволили получить наилучшую аппроксимацию коэффициента Клинкенберга , рассчитываемую по формуле:
() (4)
На основе экспериментальных данных, проведенных для образцов с проницаемостью 0,000017-5,05 мД (Wu и др., 1998; Amao, 2007) и эмпирических зависимостей, была проведена оценка полученного уравнения (4). Данная оценка, представленная на рис. 3, показала, что соотношение (4) (Золотухин и Гаюбов) наилучшим образом описывает эффект Клинкенберга в пористых средах с низкой проницаемостью.

На рис. 4 приведены графики зависимости коэффициентов Форхгеймера (левая колонка) и Клинкенберга (правая колонка) от параметров пористой среды, таких как пористость (а, б), проницаемость (в, г) и извилистость (д, е) на основе экспериментальных данных (Tessem 1980, Torsæter и др. 1981, Wu и др. 1998, Amao 2007). На графиках видно, что параметры и обратно пропорциональны пористости (слабая корреляция) и абсолютной проницаемости (сильная корреляция). Также наблюдается линейная зависимость между коэффициентами Клинкенберга и Форхгеймера, и извилистостью, т.е. с увеличением извилистости поровых каналов значения параметров и линейно возрастают.
Рисунок 3 – Сравнительный анализ коэффициента Клинкенберга, полученного с помощью уравнения (4)
Использование вышеуказанных методов позволило получить уравнение для расчета числа Рейнольдса, которое впервые было получено в работе (Золотухин и Шулев, 2018):
Также в качестве критерия отклонения от закона Дарси было предложено использовать число Форхгеймера. Используя уравнения (3) и (5), получено новое определение числа Форхгеймера в терминах извилистости и числа Рейнольдса:
√
(5)
√
(6)
√
Хотя число Рейнольдса играет важную роль в формировании различных режимов течения жидкости, число Форхгеймера является более общим, поскольку оно включает в себя, как число Рейнольдса, так и параметр извилистости. Поэтому в данной работе число Форхгеймера рассмотрено, как критерий проявления инерционных сил в пористой среде.
аб
вг
де
Рисунок 4 – Зависимость коэффициентов Форхгеймера (а, в, д) и Клинкенберга (б, г, е) от основных свойств пористой среды, таких как пористость (а, б), проницаемость (в, г) и извилистость (д, е)

√
(8)
При малых градиентах давлениях, особенно в низкопроницаемых пористых средах, степень влияния эффекта проскальзывания газа характеризуется числом Кнудсена . В работе получено следующее уравнение для расчета числа Кнудсена, где – длина свободного пробега молекулы газа:
√⁄ (7)
Использование методов анализа размерностей и машинного обучения позволило сократить количество переменных, участвующих в анализе данных, повысить качество получаемых решений и в то же время упростить полученные уравнения и повысить достоверность анализа.
В третьей главе приводится обоснование результатов, полученных на основе анализа экспериментальных данных с помощью современных методов исследования.
На основе полученного универсального полуаналитического уравнения течения флюидов (уравнение (1)) и закона Дарси в работе проведена оценка влияния эффектов нелинейности на скорости течения флюидов на мезомасштабе, на котором проводится большинство лабораторных экспериментов и где принципы механики сплошных сред широко используются при гидродинамическом моделировании. Для этой цели уравнение (1) переписано в более удобном для оценки виде:
где√;̅; ()(̅)(9)
На рис. 5.1 и 5.2 представлены отношения массовых скоростей течения флюидов ( ⁄ ) для низкопроницаемых образцов (0,000017-5,05 мД) и высокопроницаемых образцов (12,14-1132 мД). По мере увеличения градиента давления соотношение скоростей значительно уменьшается.

Рисунок 5.1 – Зависимости соотношений ⁄ от градиента давления, построенных на основе экспериментальных данных (0,000017-5,05 мД), где массовые скорости течения флюидов рассчитаны с учетом эффектов Клинкенберга и Форхгеймера ( ) и Дарси ( )
Рисунок 5.2 – Зависимости соотношений ⁄ от градиента давления, построенных на основе экспериментальных данных (12,14-1132 мД), где массовые скорости течения флюидов рассчитаны с учетом эффектов Клинкенберга и Форхгеймера ( ) и Дарси ( )
Вышеуказанные соотношения в более компактной форме можно представить с помощью числа Форхгеймера на основе экспериментальных данных (рис. 6). Как видно из графика, все экспериментальные данные легли в одну универсальную кривую, описываемую соотношением:

(10)
Рисунок 6 – Зависимости отношений
на основе экспериментальных данных с проницаемостью 12,14-1132 мД
В работе представлены результаты исследований, использующие граничные условия первого и смешанного родов, как наиболее подходящие для рассматриваемых задач. На рис. 7 представлены графики отношений распределения давлений ⁄ и объемных скоростей ⁄ для низкопроницаемых (рис. 7 а и в) и высокопроницаемых образцов (рис. 7 б и г) с учетами эффектов Клинкенберга и Форхгеймера, когда значения давления задаются на границах области течения (граничные условия Дирихле).
( ̅)
⁄ от числа Форхгеймера
аб
Рисунок 7 – Граничное условие Дирихле (продолжение на обороте)
вг
Рисунок 7 – Граничное условие Дирихле: распределения давления ⁄ и скорости течения флюидов ⁄ для различных образцов
пористой среды с проницаемостью: 0,000017-5,05 мД (a и в) и 12,14-1132 мД (б и г)
На рис. 8 представлены графики отношений распределения давлений ⁄ и объемных скоростей ⁄ для низкопроницаемых (рис. 8 а и в) и высокопроницаемых образцов (рис. 8 б и г) при смешанных граничных
условиях.
аб
Рисунок 8 – Смешанные граничные условия (продолжение на обороте)

вг
Рисунок 8 – Смешанные граничные условия: распределения давления ⁄ и скорости течения флюидов ⁄ для различных образцов
пористой среды с проницаемостью: 0,000017-5,05 мД (а и в) и 12,14-1132 мД (б и г)
Проведенный в работе анализ позволяет сделать следующие выводы к 3 главе:
1. При решении задачи для граничного условия Дирихле распределение давления по длине высокопроницаемых образцов остается практически неизменным (рис. 7 б), однако для образцов с проницаемостью 0,000017-0,000044 мД разница составила 6,5% (рис. 7 а). Более существенную разницу можно увидеть в отношении объемных скоростей
⁄ для супернизкопроницаемых образцов, продемонстрировавших 9- 12 кратное отличие (рис. 7 в).
2. При решении задачи при смешенных граничных условиях получается принципиально другой результат: при заданном равном массовом расходе ( ) расчетные значения распределения давления ⁄ существенно различаются. Для низкопроницаемых образцов (0,000017-5,05 мД) отношение ⁄ возрастает до 2 (рис. 8 а). Наиболее интересный эффект наблюдается у образца с самой высокой проницаемостью (1132 мД): распределение давления, рассчитанное с учетом эффектов Клинкенберга и Форхгеймера, становится ниже давления, рассчитанного по закону Дарси, в 0,75 раз (рис. 8 б).
3. По мере увеличения градиента давления разница отношений массовых скоростей ( ⁄ ) значительно уменьшается (рис. 5.1 и 5.2).
4. Важно отметить, что экспериментальные данные для широкого диапазона значений проницаемостей хорошо коррелируют с описываемым уравнением (10) и кривой, изображенной на рис. 6.
Четвертая глава посвящена применению предложенного универсального уравнения течения флюидов на макроуровне с помощью аналитических методов.
В дополнение к мезомасштабной модели, рассмотренной в 3 главе, была построена макроскопическая модель притока к скважине (плоско- радиальное течение). В данной задаче приведена оценка влияния основных параметров коллектора (пористость, проницаемость и извилистость поровых каналов), флюидов (вязкость и плотность газа) и технологических параметров (депрессия на пласт и плотность сетки скважин) на эффективность разработки месторождения. Для этой цели уравнение (1) для радиального течения переписано в более удобном для оценки виде:
√
(11)
где √ ̅( ) ; ; ( ̅) (12)
На рис. 9.1 и 9.2 представлены результаты расчета зависимости отношения дебитов ( ⁄ ) от различных плотностей сетки скважин.
Рисунок 9.1 – Зависимости отношения дебитов ⁄ от плотности сетки скважин (0,000017-5,05 мД)

Рисунок 9.2 – Зависимости отношения дебитов ⁄ от плотности сетки скважин (12,14-1132 мД)
Зависимость отношений дебитов ( ⁄ ) от плотности сетки скважин на рис. 9.1 и 9.2 аналогична полученной при линейной геометрии течения флюидов, изображенных на рис. 5.1 и 5.2 Отношение дебитов ( ⁄ ) варьируется в диапазоне от 100,7% (для проницаемости 0,000017 мД) до 28% (для проницаемости 1132 мД). Данная зависимость от плотности сетки скважин проявляется в меньшей степени по сравнению с изменением проницаемости. Соотношение ⁄ предполагает, что оба нелинейных эффекта взаимно компенсируются, и закон Дарси можно использовать для описания течения флюида в пористой среде. Данное явление в пористой среде можно увидеть на примере образца синтетической породы с проницаемостью 0,8 мД, в котором ⁄ . Отношение
⁄ предполагает, что при движении жидкости преобладает эффект проскальзывания (рис. 9.1). Таким образом, в таких случаях можно инерционным эффектом пренебречь. Однако этот эффект становится значительным, когда проницаемость поровой среды увеличивается до 10-12 м2 (рис. 9.2).
На рис. 10 представлены результаты расчетов распределения давлений ⁄ и объемных дебитов ⁄ , выполненных для граничного
условия Дирихле при депрессии 50 атм.
Как следует из расчетов, чем выше проницаемость пласта, тем большие
отклонения от закона Дарси наблюдается для распределений давления и
дебитов (рис. 10 б и г). Например, соотношение дебитов при проницаемости 12,14 мД варьируется от 0,956 до 0,970, а при проницаемости 1132 мД это соотношение уменьшается до 0,28-0,3 (рис. 10 г). Отметим, что наибольшие различия указанных параметров наблюдаются в интервале от 25 см до 15 м, что существенно превышает размеры призабойной зоны скважин (10-50 см).
аб
вг
Рисунок 10 – Граничное условие Дирихле: распределения давления ⁄ и дебита ⁄ для коллекторов с проницаемостью 0,000017-5,05 мД (а и в) и 12,14-1132 мД (б и г)
По аналогии с линейной моделью (глава 3) в этой главе представлено решение задачи для смешанных граничных условий ( ). На рис. 11 представлены графики отношений распределения давлений ⁄ и объемных дебитов ⁄ для низкопроницаемых (рис. 11 а и в) и высокопроницаемых образцов (рис. 11 б и г).

аб
вг
Рисунок – 11 Граничное условие второго рода на забое скважины (задача Неймана): отношение распределения давления ⁄ и дебита ⁄
для коллекторов с проницаемостью 0,000017-5,05 мД (а и в) и 12,14-1132 мД (б и г)
В работе достигнуты следующие цели: (1) получено универсальное уравнение течения флюидов, учитывающее нелинейные эффекты в пористых средах, и (2) проведена оценка модели с использованием имеющихся в открытом доступе лабораторных данных. Проведенный в работе анализ позволяет сделать следующие выводы:
1. Многочисленные исследования показывают, что числовые значения коэффициента , определенные экспериментальным способом, могут изменяться в десятки тысяч раз. Данное поведение указывает на то, что коэффициент Форхгеймера не является коэффициентом, а это есть параметр,

зависящий от свойств пористой среды. В работе представлен корреляционный анализ между ключевыми параметрами пористой среды и коэффициентом с использованием точечных графиков (рис. 4). Исследования показали, что параметры и обратно пропорциональны пористости (слабая корреляция) и абсолютной проницаемости (сильная корреляция). На графиках наблюдается линейная зависимость между коэффициентами Клинкенберга и Форхгеймера, и извилистостью, т.е. с увеличением извилистости поровых каналов значения параметров и линейно возрастают. Кроме этого, в работе получена новая корреляционная зависимость коэффициента (уравнение (3)), выраженная через такие параметры, как проницаемость, пористость и извилистость поровых каналов.
2. В работе получено новое соотношение для параметра, называемого извилистостью пористой среды, в компактной безразмерной форме (уравнение (2)). Данный параметр является одним из важных составляющих пористых сред, влияющих на отклонение от закона Дарси при проявлении инерционных эффектов. В дальнейшем необходимы дополнительные лабораторные эксперименты для более точной оценки извилистости поровых каналов не только на линейных кернах, но и на образцах с различной геометрией течения и при больших перепадах давлений.
3. Результаты макро моделирования показали, что в случае газового пласта течение флюидов отличается от закона Дарси во всей его площади. Как следует из расчетов, чем выше проницаемость пласта, тем большие отклонения от закона Дарси наблюдаются в распределении давлений и дебитов. Из рис. 9.1 и 9.2 видно, что отклонение от линейного закона наблюдается для всех значений проницаемости пласта даже при умеренной депрессии (50 атм.). Из анализа следует, что эффекты Клинкенберга и Форхгеймера могут быть очень существенными при течении флюидов в реальных пористых средах (особенно в газовых коллекторах), и пренебрежение ими может приводить к заниженным либо завышенным значениям прогнозируемых дебитов.
4. Анализ моделирования на макроуровне показал интересный эффект: разница между распределениями давления, рассчитанными с использованием универсального полуаналитического уравнения, достигает наибольшего значения в интервале от 25 см до 15 м, что значительно больше размеров призабойной зоны скважин (10-50 см).
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
1. В работе получено универсальное полуаналитическое уравнение течения флюидов, а также проанализирована важность нелинейных эффектов в описании особенностей течения, определяющих их параметров пористой среды и диапазон их значений.
2. Полученное уравнение в сочетании с новыми корреляционными зависимостями позволяют дополнять базы данных месторождений, относящихся к группе трудноизвлекаемых (арктические, морские, сланцевые и т.д.), цифровыми (синтетическими) данными. Последнее обстоятельство имеет важное значение при прогнозировании показателей разработки месторождений, базы данных которых либо не полны, либо пока отсутствуют.
3. На основе обширного литературного обзора в работе проанализированы эмпирические соотношения для описания коэффициентов Клинкенберга и Форхгеймера , составляющих основу рассмотренных нелинейных процессов. Использование подхода, основанного на анализе размерностей и методов машинного обучения, позволило выразить коэффициенты и простой комбинацией параметров пористых сред и флюидов (уравнение (3) и (4)).
4. Анализ экспериментальных данных показал, что число Форхгеймера играет ключевую роль при описании течения флюидов в пористых средах. Использование числа Форхгеймера позволило получить универсальный закон течения флюидов в простой аналитической форме, которая может быть использована для любой геометрии течения (уравнение (10)).