Аппроксимация конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.01.02

Диссертация посвящена разработке и обоснованию аппроксимаций функцио- нально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов си- стемами обыкновенных дифференциальных уравнений. Развивается подход, осно- ванный на использовании таких аппроксимаций для решения задач конфликтного и гарантирующего управления в динамических системах, описываемых функцио- нально-дифференциальными уравнениями.
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Ис- торически, возникновение задач конфликтного управления обусловлено исследо- ванием реальных процессов, в которых управление динамической системой про- исходит в условиях неконтролируемых помех со стороны окружающей среды или сознательного противодействия некоторого лица (противника). При этом, целью управления зачастую является достижение некоторого качества процесса, кото- рое во многих случаях можно описать при помощи подходящего показателя. Воз- никает задача о нахождении управления, которое способно обеспечить показате- лю качества оптимальный гарантированный результат. Такие задачи формали- зуются в рамках теории дифференциальных игр, становление которой относится к началу 1960-х годов и связано с именами Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеничного, R.Isaacs, W.H.Fleming и A.Friedman (см., например, [3,29,30,33, 70,72,112–114]). Существенный вклад в развитии этой теории внесли Э.Г.Альбрехт, В.И.Жуковский, А.Ф.Клейменов, А.Н.Красовский, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, А.А.Меликян, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян, В.Г.Пименов, Е.С.Половинкин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Tарасьев, В.Е.Tретьяков, В.И.Ухоботов, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрий, С.В.Чистяков, E.N.Barron, T.Basar, L.D.Berkovitz, P.Bernhard, A.Blaquiere, A.Bryson, P.Cardaliaguet, R.J.Elliot, A.Halanay, Y.C.Ho, N.J.Kalton, G.Leitmann, M.Quincampoix, E.Roxin, P.Saint-Pierre, и многие другие ученые (см., например, работы [4,12,13,15,16,20,22,32–36,39–42,55,58,60–65,76–82,88–90,100– 102,104,107,115,118,121,123,126,129,133] и библиографию к ним). В результате этих исследований была достаточно полно сформирована теория дифференциаль-
3
ных игр для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также была иниции- рована активно развивающаяся и по сей день теория дифференциальных игр для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными урав- нениями. Представленная диссертация направлена на дальнейшее развитие этого направления и касается динамических систем, описываемых функционально-диф- ференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов.
Исследования функционально-дифференциальных уравнений были инициированы процессами, для полного описания которых не хватало теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, часто встречаются процессы, эволюция которых зависит не только от состояния процесса в текущий момент времени, но и от состояний в прошлом (истории). Такие процессы могут быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений запаз- дывающего типа или, в другой терминологии, наследственных систем или систем с последействием. К таким процессам относятся, например, процесс деформации упругопластичных материалов, процесс развития биологических сообществ, про- цесс распространении эпидемии или последействий экологических катастроф. В случае же, если помимо зависимости эволюции от состояний есть также диффе- ренциальная зависимость от динамики процесса в прошлом, то такие процессы могут быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. Примерами таких процессов служат нелинейные колебания малой амплитуды в электрической сети, торсионные волны, возникающие при вращении бурильной колонны, поведение напряжения в сети при отрицательном сопротивлении. Также указанные типы функционально-дифференциальных урав- нений привлекаются для описания и других социально- и эколого-экономических, химико-технологических, теплоэнергетических процессов и т.д. Соответствующие примеры и библиографию можно найти в работах [14,23,53,86,94,103,105,122].
Первые примеры рассмотрения функционально-дифференциальных уравнений, а именно, дифференциальных уравнений с запаздыванием, были у Бернулли, Эйлера, Лапласа, позднее у Вольтера, но целенаправленное исследо- вание различных функционально-дифференциальных уравнений как запаздыва- ющего, так и нейтрального типов началось в 1950-х годах и связано с именами Н.Н.Красовского, А.Д.Мышкиса, R.Bellman, K.L.Cook, J.K.Hale. Большой вклад в
4

становление и развитие качественной теории функционально-дифференциальных уравнений внесли Н.В.Азбелев, Р.Ф.Габасов, Е.С.Жуковский, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова, В.Б.Колмановский, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, В.В.Малыгина, А.А.Мартынюк, Г.И.Марчук, Ю.А.Митропольский, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов, Б.С.Разумихин, Л.Ф.Рахматуллина, А.Л.Скубачевский, С.Н.Шиманов, Г.Л.Харатишвили, Л.Э.Эльсгольц, H.T.Banks, T.A.Burton, C.Corduneanu, M.C.Delfour, R.D.Driver, A.Halanay, H.J.Kushner, T.Yoshizawa и многие другие ав- торы (см., например, [1,2,5,7,10–12,15,17,19,21,23,25,26,36,37,39,50–52,56,58–60, 74,83–86,91,92,98,99,106,108,110,120,122,124,128,130–132,134]). Эти исследования, в частности, показали, что динамические системы, описываемые функционально- дифференциальными уравнениями обладают существенными особенностями и к ним неприменимы напрямую результаты, полученные для обыкновенных диф- ференциальных уравнений. С другой стороны, было показано, что при должном осмыслении поведение таких систем можно характеризовать на основе методов и конструкций, во многом аналогичных наработанным в теории обыкновенных диф- ференциальных уравнений. Таким образом, для динамических систем, описыва- емых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и ней- трального типов были изучены множество задач, в том числе задачи программ- ного и позиционного управления. Для систем запаздывающего типа такие задачи рассматривались, например, в работах [5,11,12,15,18,52,83,92,97,99,108,122], а для систем нейтрального типа — в работах [21,54,84,85,98,120,124,128,130–132,134]. В основном, эти исследования посвящены задачам о стабилизации, управляемости и наблюдаемости таких систем, задачам оптимального управления и синтеза с вы- ходом к соответствующим уравнениям Гамильтона-Якоби-Беллмана. Задачи кон- фликтного управления и теория дифференциальных игр для систем запаздываю- щего типа были достаточно полно исследованы в работах [12,15,39,41,42,60,118]. В частности, в работах [41, 42] для систем запаздывающего типа была развита теория минимаксных (обобщенных) решений функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными. Заметим, однако, что тео- рия дифференциальных игр для систем нейтрального типа на данный момент представляется еще не сформировавшейся и достаточно малоизученной областью
5

математики. Здесь можно отметить работы [6,9,51,58]. Таким образом, рассмат- риваемые в диссертации вопросы, связанные с задачами конфликтного управле- ния и теорией дифференциальных игр для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа, в настоя- щий момент, являются открытыми и представляются актуальными.
Методология и методы исследования. Как уже было отмечено выше, в ос- нове полученных в диссертации результатов лежит использование аппроксимаций систем функционально-дифференциальных уравнений системами обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Такие аппроксимации вос- ходят к работам [27,28,37,73,75], где с их помощью были даны решения некоторых задач об устойчивости и об управлении в системах дифференциальных уравнений с запаздыванием. Обоснование такой аппроксимации для линейных стационарных систем и постоянных запаздываний дано в [27]. В [73] этот результат распростра- нен на нелинейные нестационарные системы, а в [37] — на случай переменных запаздываний. Позднее подобные аппроксимации, их обобщения и приложения к различным задачам развивались в работах [8, 36, 50, 59, 95, 96, 111, 125, 134]. Отметим, что в работах [59,111,125] были рассмотрены аппроксимации систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа.
В диссертации развивается подход, представленный в работе [31], где было предложено использовать аппроксимирующие системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений в качестве моделирующих систем-поводырей [30,33] для ре- шения задач конфликтного управления динамическими системами, описываемы- ми функционально-дифференциальными уравнениями с сосредоточенным запаз- дыванием. В основе такого подхода лежит процедура взаимного отслеживания между движением исходной конфликтно-управляемой системы и движением мо- делирующей системы. Идейно процедура взаимного отслеживания осуществля- ется так, что нужная близость движений гарантируется при помощи полезного управления в исходной системе и определенной части управляющих воздействий моделирующей системы. Оставшаяся часть управляющих воздействий моделиру- ющей системы может быть при этом использована для компенсации неконтроли- руемых помех и обеспечения требуемого качества всего процесса. Таким образом, процедура взаимного отслеживания позволяет опосредовано, через моделирую-
6

щую систему-поводырь, применить результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению задач конфликтного управления дви- жением более сложных функционально-дифференциальных систем.
Цели и задачи. Диссертация направлена на развитие и обоснование выше- указанного похода для конфликтно-управляемых динамических систем, описыва- емых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и ней- трального типов, а также, на применение такого подхода для решения дифферен- циальных игр в системах нейтрального типа.
Краткое содержание работы.
В главе I рассматривается конфликтно-управляемая динамическая система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа. Описание этой системы приведено в разделе 1. Конфликтно-управляемся природа системы выражается в наличии в ней полезного управляющего воздей- ствия u и воздействия неконтролируемой помехи v. Функционально-дифферен- циальная структура уравнения характеризуется зависимостью его правой части от функциональной переменной, которая описывает историю движения системы некоторой заданной длинны. В дальнейшем, такую функциональную переменную будем также называть элементом запаздывания движения. В постановке зада- чи предполагается, что начальные условия системы определяются непрерывной функцией. Также предполагается, что для правой части системы выполнены стан- дартные условия, обеспечивающие существование и единственность решения, и так называемое «условие седловой точки в маленькой игре», известное также в теории дифференциальных игр как условие Айзекса.
Раздел 2 носит вспомогательный характер и может предоставлять самостоя- тельный интерес для исследователей. Он посвящен аппроксимации элемента за- паздывания заданной входной функции решениями систем обыкновенных диффе- ренциальных уравнений большой размерности. Отметим, что обоснование такой конечномерной аппроксимации для липшицевой входной функции было дано в [73]. Основываясь на операторном представлении решений аппроксимационной си- стемы, в разделе 2 дается обоснование аппроксимации в случае непрерывной вход- ной функции. Этот результат позволяет применять конечномерную аппроксима- цию к системам, решениями которых являются непрерывные функции и, в част-
7

ности, к рассматриваемой в первой главе системе, описываемой функционально- дифференциальным уравнением запаздывающего типа.
Используя такую конечномерную аппроксимацию, на основе конфликтно- управляемой системы из раздела 1, в разделе 3 строится моделирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющими воздействиями p и q. В ней вместо элемента запаздывания движения в правую часть подставляется линейный сплайн, построенный по фазовому вектору системы. Приводятся неко- торые вспомогательные утверждения о предкомпактности и об аппроксимацион- ных свойствах решений моделирующей системы, пользуясь которыми в разделе 4 доказывается теорема о близости решений исходной конфликтно-управляемой системы и моделирующей системы при достаточно большой размерности модели- рующей системы в случае равенств воздействий u и p, и воздействий v и q. Дока- зательство теоремы основано на использовании функционала Ляпунова, оценива- ющего рассогласование движений исходной и моделирующей системы в равномер- ной метрике. Отметим, что эта теорема может быть использована для сведения задач конфликтного управления системами функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа к задачам конфликтного управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений, но только в случае, если реализа- ция воздействий помехи v заранее известна управляющему лицу, распоряжающе- муся воздействиями u, p и q. В случае же, если помеха неизвестна, то аналогич- ное сведение можно осуществить пользуясь процедурой взаимного отслеживания между движениями исходной функционально-дифференциальной и моделирую- щей систем. Описанию этой процедуры посвящен раздел 5. Процедура взаимного отслеживания реализуется с использованием управляющих воздействий u и q в исходной и моделирующей системах соответственно, на основе экстремального сдвига в направлении градиента функционала Ляпунова в дискретной по време- ни цепи обратной связи. Доказывается, что при достаточно большой размерности моделирующей системы, при осуществлении процедуры взаимного отслеживания, для любых допустимых реализаций управляющего воздействия p и воздействия помехи v, движения исходной и моделирующей систем будут близки в равномер- ной метрике. Показывается, что этот результат устойчив к неточностям измерений и вычислительным погрешностям. Приводится модификация процедуры взаимно-
8

го отслеживания в случае невыполнения «условия седловой точки в маленькой игре». Численное моделирование процедуры приведено в разделе 6.
В главе II рассматривается конфликтно-управляемая динамическая система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением нейтрального ти- па в форме Дж. Хейла. Отличие этого уравнения от уравнения запаздывающего типа заключается в появлении в его левой части под знаком производной функ- ционала, зависящего от элемента запаздывания движения. Детальное описание динамической системы и условий на нее приведено в разделе 7. Отметим, что из-за того, что в уравнениях нейтрального типа элемент запаздывания движения необходимо дифференцировать, в качестве начальных условий для таких уравне- ний выбираются липшицевы функции и следовательно решения рассматриваются тоже в пространстве липшицевых функций.
Разделы 8-11 главы II идейно следуют той же схеме, что и разделы 3-6 гла- вы I. На основе конечномерной аппроксимации строится моделирующая система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями. Доказываются вспомогательные утверждения относительно предкомпактности и аппроксимиру- ющих свойств решений этой системы. Доказывается теорема о том, что при до- статочно большой размерности моделирующая система аппроксимирует исходную конфликтно-управляемую систему в случае равенств соответствующих управля- ющих воздействий в этих системах. Отметим, что в отличие от аналогичной тео- ремы для систем запаздывающего типа (раздел 4), в этой теореме, принимая во внимание липшицевость решений, удается получить оценку сходимости. На ос- нове подходящего функционала Ляпунова приводится и обосновывается проце- дура взаимного отслеживания по принципу обратной связи между движениями исходной конфликтно-управляемой системы нейтрального типа и моделирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В разделе 6 представлен пример, иллюстрирующий реализацию такой процедуры.
Глава III посвящена конфликтно-управляемой системе, описываемой линей- ным функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа. Пер- вой особенностью рассматриваемого уравнения является измеримость матриц- функций, стоящих перед запаздываниями производной движения. Отметим, что согласно этому условию такие уравнения могут не содержаться в классе рас-
9

сматриваемых в главе II уравнений нейтрального типа в форме Дж. Хейла. Вто- рой особенностью являются то, что начальные условия для движения системы и для производной движения могут задаваться двумя независимыми измеримыми функциями. Зачастую такая постановка называется краевой задачей для систем нейтрального типа (см., например, [1,2]).
Для получения аналогичных главам I, II результатов для таких динамических систем недостаточно обоснования конечномерной аппроксимации элемента запаз- дывания движения. Необходимо также аппроксимировать его производную, ко- торая, вообще говоря, является лишь измеримой функцией. Поэтому в разделе 13 рассматривается соответствующая конечномерная аппроксимация элемента за- паздывания измеримой входной функции. Пользуясь результатами из раздела 2, такую аппроксимацию удается обосновать. При этом сходимость здесь понимает- ся в некотором смысле в интегральной метрике, в отличие от раздела 2, где она понималась в равномерной метрике. Тем не менее, такого характера сходимости оказывается достаточно для доказательства дальнейших утверждений.
Вследствие отсутствия связи между начальными условиями для движения си- стемы и его производной, соответствующая моделирующая система состоит из двух аппроксимационных звеньев. Одно звено отслеживает элемент запаздывания движения, а другое — элемент запаздывания производной движения. Описание этой системы и ее аппроксимационные свойства приведены в разделе 14.
В разделе 15 доказывается теорема о близости между движениями исходной системы и моделирующей системы при реализации процедуры взаимного отсле- живания на основе экстремального сдвига в направлении градиента функцио- нала Ляпунова, соответствующего рассматриваемым линейным функционально- дифференциальным системам. При этом доказательство того факта, что из мало- сти такого функционала вдоль движения следует малость самого движения, опи- рается на вспомогательную лемму, идущую перед указанной теоремой. Эту лемму можно также трактовать как некоторый аналог леммы Гронуолла-Беллмана. Чис- ленное моделирование процедуры взаимного отслеживания для рассматриваемых линейных систем приведено в разделе 16.
В главе IV рассматривается дифференциальная игра на конечном промежут- ке времени, в которой конфликтно-управляемая динамическая система описыва-
10

ется функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла из главы II. Управляющие воздействия игроков стеснены геометриче- скими ограничениями. Качество процесса управления определяется показателем, оценивающим историю движения, сложившуюся к терминальному моменту вре- мени. Игра формализуется в классе стратегий управления с поводырем в рамках позиционного подхода [30,33]. Формализация игры приведена в разделе 17.
В разделе 18 строится аппроксимационная дифференциальная игра в классе чистых позиционных стратегий, в которой движение конфликтно-управляемой системы описывается соответствующей моделирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а показатель качества является терминальным. В разделе 19 показано, что цена аппроксимационной игры сходится к некоторой предельной величине. В разделе 20 показывается, что эта предельная величина совпадает с ценой исходной игры, при этом оптимальные стратегии в исходной дифференциальной игре могут быть построены на основе использования в каче- стве поводырей оптимальных движений аппроксимационной дифференциальной игры. Завершается четвертая глава разделом 21, в котором приведен иллюстри- рующий пример численного решения дифференциальной игры.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании задач конфликтного управления и развитии теории дифференциальных игр в динамических системах, описываемых функционально- дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов, а так- же при разработке численных методов их решений.
Положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертацион- ной работы состоят в следующем:
1. Рассмотрена конфликтно-управляемая динамическая система, описы- ваемая функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа. На основе этой системы, используя конечномерную аппроксимацию элемента за- паздывания, построена моделирующая система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. Дано обоснование устойчивой к возмущениям процедуры вза- имного отслеживания по принципу обратной связи между движением исходной
11

конфликтно-управляемой системы и движением моделирующей системы.
2. Рассмотрены два класса конфликтно-управляемых динамических си- стем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями нейт- рального типа. Первый класс описывается нелинейными функционально-диффе- ренциальными уравнениями нейтрального типа в форме Дж. Хейла, а второй — линейными функционально-дифференциальными уравнениями при достаточ- но общих предположениях. Для каждого из рассматриваемых классов построена моделирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений, а также приведена и обоснована процедура взаимного отслеживания между движениями
исходной конфликтно-управляемой системы и моделирующей системы.
3. Для конфликтно-управляемой динамической системы, движение ко- торой описывается функционально-дифференциальным уравнением нейтрально- го типа в форме Дж. Хейла, и показателя качества, который оценивает исто- рию движения, реализовавшуюся к терминальному моменту времени, рассмотре- на дифференциальная игра в классе стратегий с поводырем. Построена аппрок- симационная дифференциальная игра в классе чистых позиционных стратегий, в которой движение описывается соответствующей моделирующей системой обык- новенных дифференциальных уравнений, а показатель качества является терми- нальным. Используя процедуру взаимного отслеживания между движениями ис- ходной конфликтно-управляемой и моделирующей системами, доказано, что цена аппроксимирующей игры в пределе дает цену исходной игры, при этом оптималь- ные стратегии игроков в исходной игре могут быть построены на основе исполь- зования в качестве поводырей оптимальных движений аппроксимационной игры. Степень достоверности и апробация результатов. Степень достоверно- сти результатов проведенных исследований подтверждена строгостью математи- ческих доказательств, приведенных с использованием методов теорий дифферен- циальных игр и оптимального управления, а также математического и функци- онального анализа. Результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры вычислительно математики и компьютерных наук Института естественных наук и математики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина и семинарах отдела динамических систем Института матема- тики и механики имени Н.Н.Красовского УрО РАН, а также представлялись на
12

научной конференции «Дифференциальные уравнения и оптимальное управле- ние» (Москва, 2012), на 43-ой и 44-ой Всероссийских школах-конференциях «Со- временные проблемы математики» (Екатеринбург, 2012 и 2013), на 6-ой Между- народной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013), на международной конференции «Динамика си- стем и процессы управления», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского (Екатеринбург, 2014), на «The 16-th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (CAO’2015)» (Germany, Garmisch-Partenkirchen, 2015), на XII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 2014), на вто- ром международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященному 70-летию академика А.И.Субботина (Екатеринбург, 2015) и на «The 20-th World Congress of the International Federation of Automatic Control» (France, Toulouse, 2017).
Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 14 научных ра- ботах [43–49,66–69,116,117,127]. Из них 5 работ ([44–46,48,69]) опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК, и 3 работы ([116, 117, 127]) — в изданиях, приравненных к изданиям из перечня ВАК. При этом работы [46,48,69] проиндек- сированы в международной реферативной базе данных Web of Science, а работы [46,48,69,116,117,127] — в базе данных Scopus.
Личный вклад автора. В работах [43–49, 127] научному руководителю Н.Ю. Лукоянову принадлежат постановки задач и общие схемы их исследова- ний, а соискателю А.Р. Плаксину точные формулировки и доказательства ре- зультатов. В работе [116] М.И. Гомоюнову принадлежат результаты всех разделов кроме раздела 5, а А.Р. Плаксину принадлежат результаты раздела 5. В работе [117] А.Р. Плаксину принадлежат результаты всех разделов кроме разделов 6 и 7, а М.И. Гомоюнову принадлежат результаты разделов 6 и 7. Все основные ре- зультаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из настоящего вве- дения, четырех глав, объединяющих 21 раздел, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 93 страницы, библиографический список включает 134 наименований, иллюстративный материал насчитывает 9 рисунков.