Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Аттракторы и бифуркации в кусочно-линейной

системе лоренцевского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Кусочно-линейная модель и её свойства . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Склеивание траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Поглощающая область . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Скользящие движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Построение отображения Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Динамика одномерного ведущего отображения . . . . . . . . . . . 1.4 Динамика полного двумерного отображения . . . . . . . . . . . . 1.5 Возвращение к динамике потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Отображение Пуанкаре при наличии скользящих 1.6.1 Аналитический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Полное двумерное отображение . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Одномерное ведущее отображение: стандартная 1.7 Гомоклинические бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Классическая бифуркация гомоклинической рождение седловых циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Неклассические скользящие гомоклинические
16
20
21
24
28
31
37
42
движений . . . 48
49
57
форма . . 58
59
бабочки:
60
/> /> 61
/> 65
. . . . . 71

Глава 2. Хаотические аттракторы в неавтономных системах . . . 74
2.1 Управляемые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.1 Логистическое отображение с периодической
управляющей функцией ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.2 Сингулярно-гиперболический аттрактор в управляемом
двумерном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.3 Пример гиперхаоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Стр.

2.1.4 Численное нахождение ляпуновских показателей . . . . . 84
2.2 Аттракторы-призраки в мигающих системах . . . . . . . . . . . . 85
2.2.1 Мигающая система Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.2 Мигающая система Хиндмарша-Роуза . . . . . . . . . . . 90

Глава 3. Синхронизация в ансамблях связанных фазовых

осцилляторов Курамото . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1 Сеть осцилляторов Курамото второго порядка . . . . . . . . . . . 93
3.2 Метод систем сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.1 Сведение к системе связанных уравнений маятникового
типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.2 Динамика кусочно-гладкой системы сравнения . . . . . . . 97
3.2.3 Существование и размер поглощающей области . . . . . . 102
3.3 Частичная синхронизация: основной результат . . . . . . . . . . . 109

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводи мых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна и практическая значимость представ ляемой работы.
В первой главе предложена и исследована трёхмерная кусочно линейная модель системы Лоренца, переключающаяся между тремя трёх мерными линейными системами ОДУ , и :
̇ = ,
̇ = − , ( , , ) ∈ ̇ = − ,
̇ =− ( +1)+ ( − ), ̇ = − ( + 1),
̇ =− ( +1)− ( − ),
делены на следующем разбиении фазового пространства , и
Нумерация разделов, формул, рисунков и утверждений сохранена в соответствии с основным текстом диссертации.
:
:
( , , ) ∈
(1.1)
:
̇ =− ( −1)− ( − ), ̇ = − ( − 1),
̇ = ( − 1) − ( − ),
( , , ) ∈
где , , , , и – положительные параметры. Эти подсистемы опре
соответственно:
😐 |<1, ∈R1, < , ⎧⎪ ≤−1 при ≤ , ⎧⎪ ≥1 при ≤ , ⎨⎨ : ≤−1 при > , ≥0, : ≥1 при > , <0, ⎪⎩ <1 при > , <0, ⎪⎩ >−1 при > , ≥0.
(1.2) Как и оригинальная система Лоренца, система (1.1) инвариантна относительно замены ( , , ) → (− ,− , ) и имеет три состояния равно весия: седло в начале координат с положительной седловой величиной
и симметричные фокусы , = {±1,±1, }.
В подразделе 1.1.2 доказана Лемма 1.1.1 о диссипативности систе
мы (1.1) и в явном виде выписана её поглощающая область .
В силу своей кусочно-линейной природы система (1.1) имеет устой чивые скользящие движения. В подразделе 1.1.3 получены условия (1.13) на параметры системы, при которых устойчивые скользящие движения не участвуют в формировании аттрактора. Этот результат сформулирован
в Теореме 1.1.1.
Теорема 1.1.1. В области параметров
ln2 √︂ 2 {︂ (︀ )︀}︂
> = , < =2 1+ 2 exp arctan + , (1.13) аттракторы системы (1.1) не содержат скользящих движений. В разделе 1.2 построено двумерное отображение Пуанкаре секу щей = {| | ≤ 1, | | ≤ 1, = } в себя, определённое решениями линейных подсистем , и системы (1.1). Отображение имеет явную форму : − 3 где = 2 и = 2 . (1.22) − 3 ̄ = ( ) ≡ 1 − + , ̄ = ( ) ≡ 1 − + , при > 0,
при < 0, ̄ = ( ) ≡ − 1 − | | , ̄ = ( , ) ≡ − 1 + | | , Отображение имеет треугольную форму, что говорит о наличии инвариантного слоения, аналогичного слоению в оригинальной системе Ло ренца, и позволяет отдельно провести полное исследование одномерного (“ведущего”) отображения ̄ = ( ). В разделе 1.3 были получены основ ные бифуркации этого одномерного отображения, включая бифуркации рождения и разрушения странного аттрактора (Теорема 1.3.1). В разделе 1.4 доказано, что динамика полного двумерного отображе ния определена динамикой ведущего отображения (1.25): Лемма 1.4.1. 1. Устойчивые неподвижные точки и одномерного ведущего отображения (1.25) в области параметров 0 < < −1 порож дают устойчивые неподвижные точки ( = −1, = −1) и = ( = 1, = 1) двумерного отображения (1.22). 2. Любая -периодическая (апе риодическая) орбита одномерного ведущего отображения, расположенная в интервале = (1− , −1) и не содержащая особую точку = 0, порож дает единственную седловую -периодическую (апериодическую) орбиту двумерного отображения (1.22). Эта лемма позволяет применять утверждения Теоремы 1.3.1 в отно шении динамики двумерного отображения и, в частности, строго описать гетероклиническую бифуркацию его неподвижных точек, приводящую к рождению сингулярно-гиперболического аттрактора (Следствие 1.4.1). Согласно Теореме 1.1.1 любая траектория кусочно-линейной си стемы (1.1) попадает в поглощающую область , делая секущую глобальной. Следовательно, динамика кусочно-линейной системы (1.1) внутри поглощающей области полностью определяется траекториями двумерного отображения : → (1.22). В результате бифуркационные маршруты рождения и исчезновения странного аттрактора в кусочно линейной системе (1.1) идентичны таковым в двумерном отображении (1.22), которое в свою очередь определяется одномерным ведущим отоб ражением (1.25). Таким образом, в разделе (1.5) мы приходим к одному из основных результатов первой главы, состоящем в строгом описании би фуркационного маршрута COD1 кусочно-линейной системы (1.1): Теорема 1.5.1 (о динамике кусочно-линейной системы лоренцевского ти па). A. В области параметров (область I на Рис. 1.8) 0< < h = exp3 2 система (1.1) имеет два устойчивых фокуса и [см. Рис. 1.9(A)]. B. Поверхность h = exp 3 2 соответствует гомоклинической бифуркации седла (гомоклинической бабочке) [см. Рис. 1.9(B)]. C. В области параметров (область II на Рис. 1.8) h =exp3 < < h = h exp3 , 2 2 где h - обратная функция для = 1 + ln 2−ln , устойчивые фокусы ln( −1) и сосуществуют с двумя симметричными седловыми циклами 1 и 2. Неустойчивые и устойчивые многообразия периодических орбит 1,2 пересекаются трансверсально, вызывая появление сложного канторова множества седловых орбит [см. на Рис. 1.9(C)]. D. Поверхность h = h exp 3 2 соответствует гетероклинической бифуркации образования двух сим метричных гетероклинических контуров, составленных из неустойчи вых многообразий седла , попадающих на устойчивые двумерные многообразия седловых предельных циклов 1 и 2 [см. Рис. 1.9(D)]. E. В области параметров (область III на Рис. 1.8) h ≤ < = −1 3 exp 2 (1.44) странный хаотический аттрактор лоренцевского типа, родившийся в ре зультате гетерклинической бифуркации при h , сосуществует с двумя устойчивыми фокусами и [см. Рис. 1.9(E)]. E-F. Поверхность = −1 exp 3 2 соответствует субкритической бифуркации типа Андронова-Хопфа, при которой седловой предельный цикл 1 ( 2) влипает в устойчивый фокус ( ) и исчезает, превращая ( ) в седло-фокус. F. В области параметров (область IV на Рис. 1.8) −1 3 √︂ 2 {︂ (︀ )︀}︂ exp2 ≤ <21+ 2exp arctan + странный аттрактор лоренцевского типа становится единственным аттрактором кусочно-линейной системы (1.1) [см. Рис. 1.9(F)]. G. Поверхность √︂ 2 {︂ (︀ )︀}︂ = =2 1+ 2exp arctan + соответствует появлению устойчивых скользящих движений внутри аттрактора, что разрушает его хаотичность. В разделе 1.6 построено двумерное отображение Пуанкаре → , которое учитывает наличие скользящих движений [т.е. условие (1.13) не 15 bcr bhet b II bh A COD 2 Рис. 1.8 — Бифуркационная диаграм ма системы (1.1) (к Теореме 1.5.1). Вертикальной штриховой линией = 0.65 изображён пример бифуркаци онного маршрута COD1 перехода к хаосу (см. Рис. 1.9). Штриховая кривая изображает маршрут, анало гичный маршруту COD2 перехода к хаосу через образование гомоклини ческой бабочки с нулевой седловой величиной в системе Лоренца. F IV E DC III B b=2 -1 I COD 1 Рис. 1.9 — Фазовые портреты системы (1.1) при различных . Портреты ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) и ( ) соответствуют точкам , , , , и диаграммынаРис.1.8.(A) =1.5.(B) = h =2.(C) =2.3.(D) = h = 2.557. (E) = 2.8. (F) = 3.4. Странный аттрактор (красный) является единственным аттрактором системы (1.1). Остальные параметры: = 2, = 0.65, = 0.294, = 2 и = 0.588. выполняется]. Новое отображение имеет вид ⎧⎪ ⎨ ̄ = ⎪⎩ ⎧⎪ ⎨ ̄ = ⎪⎩ (︁ − )︁ 1 при| |≤ (1− )sign (1− + | | )sign при| |>(︁ − )︁ ,
1( )+ ( )
(1− )sign − | | при| |>(︁ − )︁ ,

при| |≤

(︁ − )︁ 1
(1.70)
где ( ) < 1, | | (︁ − )︁ < 1, а | | = = определяет границу области , 1 в зависимости от параметра (1.61). Полученное отображение имеет треугольную форму, при этом отображение для является сжимающим. Таким образом, мы можем распространить утверждение Леммы 1.4.1 из раздела 1.4 на отображение (1.70) и полностью описать аттракторы ку сочно-линейной системы (1.1) и их бифуркации с помощью одномерного ведущего отображения → ̄. В подразделе 1.7.2 изложен один из главных результатов первой гла вы. Он состоит в том, что бифуркации гомоклинических орбит седла с положительной седловой величиной при наличии скользящих движений могут приводить к рождению устойчивых орбит. Для удобства, одномерное отображение → ̄ было приведено к стан дартному одномерному отображению Лоренца ̄ {︂ (− + )sign при| |≤ 1 , = ( ) ≡ (− + | | )sign при | | > 1 ,
(1.72)
масштабированием переменных = с = −1 и введением новых
параметров = ( − 1) −1 , = ( − ) −1 . Результат сформулирован
следующим образом:
Теорема 1.7.1 (неустойчивая гомоклиническая орбита порождает устой чивый предельный цикл).
1. Перед бифуркацией. При < ≤ 0 две устойчивые неподвижные точки ( = ) и ( = − ) являются единственными аттракторами ведущего отображения (1.72). Кусочно-линейная система (1.1) имеет два устойчивых фокуса , и седло . 2. Гомоклиническая бифуркация со скользящим касанием. При = 0, = 0 особая точка = 0 отображается в себя, что соответствует двум неустойчивым гомоклиническим орбитам седла в кусочно-линей ной системе (1.1). Каждая из этих орбит касается своей скользящей полуплоскости 1+ или 2+. 3. После бифуркации. При > 0 увеличение ∈ ( , + 1/ ) приво дит к рождению устойчивой точки , периода 2 и двух неустойчивых неподвижных точек ( = ) и ( = = − ) в ведущем отоб ражении (1.72). Следовательно, кусочно-линейная система (1.1) имеет устойчивый предельный цикл периода 2 и два седловых предельных цикла, которые одновременно родились от гомоклинической орбиты. В отличие от классической бифуркации гомоклинической бабочки, ведущее отоб ражение (1.72) не содержит гиперболического канторова множества неустойчивых траекторий из-за наличия скользящих движений.
В разделе 1.8 получен бифуркационный маршрут рождения странно го аттрактора лоренцевского типа через бесконечную последовательность скользящих гомоклинических бифуркаций, вызывающих удвоение перио да устойчивых орбит.
При = 2 вводится бифуркационный параметр = − 1 ∈ (−1,1]. Приведём Теорему 1.8.1 в сокращённом виде:
Теорема 1.8.1 (скользящие многообходные гомоклинические орбиты и маршрут к хаосу).
1. При −1 < < 0 (0 < < 1) в кусочно-линейной системе (1.1) сосуществуют два устойчивых предельных цикла. 2. При = h1 = 0 (0 < = 1) образуется устойчивая гомоклини ческая бабочка седла . 3. При 0 < < 1, где 1 есть корень уравнения 2 + = 1, в систе ме (1.1) из гомоклинической бабочки рождается устойчивый предельный цикл периода 2. 4. При = 1 этот предельный цикл претерпевает суперкритиче скую бифуркацию “вилка”. Увеличение > 1 приводит к рождению двух
симметричных устойчивых орбит периода 2.
5. При = h2 = (︀1)︀ эти суперустойчивые орбиты периода 2 сли 2
ваются друг с другом в и образуют две симметричные двухобходные гомоклинические орбиты.
6. При h2 < < 2, где 2 - корень уравнения 2 − (︀1− )︀ = 1, 2 система (1.1) устойчивую орбиту периода 4, родившуюся при = h2. 7. Значения параметров для всех последующих многообходных гомо клинических бифуркаций определены рекуррентным соотношением (︂ h +1)︂ h( +1) = ( h ) = 2 , (1.75) где h( +1) и h - значения параметра , при которых образуются ( + 1)-обходные и -обходные гомоклинические орбиты соответственно. NB Рис. 1.19 — Общая двумерная бифуркационная диаграмма ку сочно-линейной системы (1.1), иллюстрирующая Теоремы 1.5.1, 1.7.1 и 1.8.1 (см. подробное описание в разделе 1.9). Остальные параметры кусочно-линейной системы (1.1) име ют значения = 1, = 0.8, = 0.588 и = 2. 8. Отображение (1.75) имеет устойчивую неподвижную точку h = 1, соответствующую странному аттрактору лоренцевского ти па в кусочно-линейной системе (1.1). Бесконечная последовательность многообходных гомоклинических бифуркаций, накапливающихся к пре дельному значению = 1, которая приводит к появлению аттрактора лоренцевского типа, имеет ренормирующий коэффициент (scaling factor) ∆=lim h − h( −1) = 1. (1.76) →1 h( −1) − h( −2) 2 Бифуркационная диаграмма на Рис. 1.19 даёт общую картину бифур каций, описанных в первой главе, и связывает их друг с другом, а также с областью параметров, где существует странный аттрактор лоренцевско го типа. Вторая глава посвящена исследованию неавтономных отображе ний с изменяющимися во времени хаотическими аттракторами, а также мигающим системам, порождённых случайным переключением между несколькими автономными потоками в каждый последовательный пери од времени. В разделе 2.1 введено определение нестационарного гиперболическо го аттрактора: Определение 2.1.1. Пусть : (‖ ‖ ≤ * , * = const) есть поглощающая область отображения [ ( ), ( )], ⊂ , ∀ ∈ Z+. Пусть в каждой точке ∈ определены одни и те же устойчивые и неустойчивые инва риантные конусы и . Обозначим линеаризацию отображения в любой фиксированной точке : ( , ) = [ , ( )]. Также предположим, что выполняется следующие условия. Оператор (оператор −1) растя гивает любой вектор ( ), выпущенный из точки и лежащий в неустойчивом конусе (в устойчивом конусе ) для любых ∈ и ∈ Z+. Тогда множество точек в , на котором действует отображе ние [ ( ), ( )] при неограниченно возрастающем времени , называется нестационарным гиперболическим аттрактором. В подразделе 2.1.2 рассмотрена задача о существовании такого ат трактора в конкретном неавтономном двумерном отображении с одной нелинейностью : ( +1) = ( )+ ( )+ [ ( )] ≡ ( , ), (2.8) ( +1) = ( ){ ( )+ [ ( )]} ≡ ( , , ), где управляющий параметр 0 < ( ) < 1 есть произвольная ограниченная функция, , , - положительные параметры, и ( ) - кусочно-линейная функция кубического типа ⎧⎨ 2+2 , <−12, ( ) = −2 , | | ≤ 21 , (2.9) ⎩−2+2 , >12.
Основной результат сформулирован в виде следующей теоремы.
Теорема 2.1.1. Пусть выполняются условия
0 < < 1 1+2 1+ 2 +√︁1+( 2 )2 где −= 1− 1− , Тогда отображение (2.8) имеет нестационарный сингулярно-гиперболи ческий аттрактор, локализованный в области :{| |< + −0.5,| |< }. 1− 1− В подразделе 2.1.3 доказано, что если в отображении (2.8) управ ляющий параметр ( ) задан динамической переменной одномерного отображения “тент”, то полученное трёхмерное автономное отображение имеет сингулярно-гиперболический аттрактор с двумя положительными показателями Ляпунова (Теорема 2.1.2). В разделе 2.2 рассмотрены мигающие системы вида ̇ = [ , ( )], (2.37) где ∈ R , ( ) - случайная дискретная скалярная величина, равная посто янной , = 1, 2, . . . , с вероятностью в каждый -ый момент времени ∈ [ ,( +1) ), ∈ Z+. Здесь = const это период переключения. Тра ектории системы (2.37) склеены в моменты времени = из траекторий автономных систем ̇ = ( , ), = 1,2,..., , (2.38) 20 , − < < +, 3− 2 +√︁( 2 −1)( 2 −9) += 1− 1− 1− 24 . заданных на каждом интервале ∈ [ ,( +1) ) с вероятностью . При достаточно быстром переключении ≪ 1 динамика неавтономной си стемы (2.37) может быть аппроксимирована с помощью аттрактора автономной усреднённой по времени системы ̇ = ∑︀ ( , ). =1 В мигающих системах возможно наблюдать появление т.н. “аттрак тора-призрака”, который в настоящей диссертации определён так: Определение 2.2.1. Если аттрактор усреднённой системы отли чается от каждого из аттракторов систем (2.38), то аттрактор называется аттрактором-призраком мигающей системы (2.37). В подразделах 2.2.1 и 2.2.2 приведены примеры аттракторов-призра ков в мигающих системах Лоренца и Хиндмарша-Роуза соответственно (Утверждения 2.2.1 и 2.2.2), а также изложен метод синтеза таких ат тракторов. В третьей главе рассматривается ансамбль связанных фазовых осцилляторов Курамото второго порядка (с инерцией). Методами каче ственной теории решается задача о частичной синхронизации, при которой часть осцилляторов синхронны, в то время как остальные составляют асин хронный кластер. Система уравнений ансамбля из осцилляторов имеет вид ∑︁ ̈ + ̇ = + где - фаза -го осциллятора, параметр > 0 отвечает за инерцию, а параметр > 0 представляет силу связи в топологии сети “каждый с каждым”. Фазовое пространство системы (3.1) есть R ×T . Осцилляторы имеют различные натуральные частоты , = 1,…, , выбранные из дискретного бимодального распределения. Допускается, что натуральные частоты являются ограниченными функциями времени ( ).
Задача о частичной синхронизации сформулирована и решена в пе ременных для разности фаз между любыми двумя осцилляторами
и таких, что = − , , = 1,2,…, , и в новых парамет
соответствуют фазовые разности с индексами , = 1,2,…, , осцилляторам некогерентного кластера – разности с индексами , = + 1, + 2,…, + = .
=1
sin( − ), =1,2,…, , (3.1)
рах ∆ = 2 , = √ . Осцилляторам когерентного кластера
−
21

Определение 3.2.1. Частичная -синхронизация в системе (3.6) устой чива, если для любого времени > 0 выполняется
| ( )| < /2 для , = 1,2,..., , кластера ∆ = max|∆ |, , = 1,2,..., и некогерентного кластера = min|∆ |, = 1,2,..., , = + 1, + 2,..., . Теперь можно изложить основной результат третьей главы: Теорема 3.3.1 (о достаточных условиях частичной синхронизации). Пусть > 1. Тогда частичная -синхронизация в системе Кура мото второго порядка (3.1) устойчива для двух следующих областей
параметров = √1 и ∆:
А.
> =2√︁(∆+1)/arcsinΔ, ∆<∆ =(︀ cos − )︀sin , 2 (3.27) где параметр определён в (3.10); Б. < = 2( 2 − ∆2)1/4, ∆ < ( ), (3.28) где ( ) – монотонно возрастающая функция ∈ (0, ) от (0) = 0. В заключении приведены следующие основные результаты работы: 1. для трёхмерного потока строго доказано существование каскада бифуркаций коразмерности 1, приводящего к рождению аттракто ра лоренцевского типа; 2. в системе лоренцевского типа рассмотрены скользящие гомоклини ческие бифуркации, приводящие к рождению устойчивых циклов и квазистранных аттракторов при положительной седловой вели чине; 3. для неавтономного двумерного отображения было доказано суще ствование нестационарного сингулярно-гиперболического аттрак тора без привлечения асимптотических методов; 4. для сети из произвольного числа связанных двумерных осцилля торов Курамото были получены достаточные условия частичной синхронизации.

Работа посвящена исследованию конкретных динамических систем, задан
ных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и отображе
ний. Центральными в работе являются вопросы о существовании, свойствах и
бифуркациях различных, в т.ч. и широко известных аттракторов. К таким си
стемам относятся системы лоренцевского типа, сети осцилляторов Курамото,
гиперхаотические динамические системы, модели нейрона, а также управляе
мые неавтономные динамические системы, моделирующие переключательную
активность.
Классический аттрактор Лоренца [1] более 50 лет является символом ха
отической динамики. Его открытие привело к формулировке общего понятия
странного аттрактора [2] – притягивающего инвариантного предельного множе
ства неустойчивых траекторий [3].
Детальные исследования потока траекторий системы Лоренца [4—12] поз
волили получить геометрические модели отображений, хорошо приближающие
отображение Пуанкаре. С помощью этих моделей было изучено бифуркаци
онное множество, существование которого в самой системе Лоренца было
установлено численно. К нему относятся два бифуркационных маршрута рожде
ния странного хаотического аттрактора Лоренца: а) главный маршрут (COD1)
– через бифуркацию коразмерности 1, при которой образуются две гетерокли
нические орбиты, “соединяющие” седло с двумя симметричными седловыми
предельными циклами [5; 6]; б) маршрут (COD2) – через бифуркацию кораз
мерности 2 “гомоклинической бабочки” с нулевой седловой величиной [9—11].
Детали этого бифуркационного множества, связанные с рождением, из
менением и исчезновением аттрактора Лоренца, исследовались с помощью
численных методов [5; 13—23]. К численным исследованиям системы Ло
ренца также относится детальный численный анализ существования счётного
множества периодических орбит со специальными символьными сигнатурами,
относящимися к гомоклиническим и гетероклиническим бифуркациям [13; 16;
18]. Численное доказательство существования хаотического аттрактора Лорен
ца было дано в работе [24], где было показано, что система Лоренца имеет
хаотический аттрактор в малой окрестности классических значений парамет
ров [13].
Развивая ранние результаты [9—11], относящиеся к бифуркационному
маршруту COD2, аналитическое доказательство существования аттрактора Ло
ренца в расширенной системе Лоренца было представлено в работе [25]. Это
доказательство основано на проверке критерия Шильникова [26] рождения
странного аттрактора. В работе [25] авторы рассматривали малую окрестность
бифуркации коразмерности 2, соответствующей гомоклинической бабочке с
нулевой седловой величиной. Эти результаты представляют значительное про
движение в “чистых” аналитических исследованиях системы Лоренца и её
обобщений.
Однако, строгое аналитическое исследование рождения аттрактора Лорен
ца через гетероклиническую бифуркацию коразмерности 1 (т.е. по маршруту
COD1) до сих пор остаётся нерешённой в силу сложности задачей. Несмотря на
то, что аналитическое доказательство [27] гомоклинической бифуркации (гомо
клинической бабочки) в системе Лоренца датировано 1984 годом, определение
явных бифуркационных параметров маршрута COD1 до настоящего времени
возможно только численно.
В настоящей диссертации эта задача рассматриваются под иным углом
зрения: вместо оригинальной системы Лоренца исследуется имитирующая ку
сочно-линейная система ОДУ, которая переключается между тремя линейными
системами и имеет качественно такие же структуру и хаотический аттрактор,
как и сама система Лоренца. Траектории кусочно-линейной системы “склеены”
из траекторий линейных систем, что делает возможным проведение аналитиче
ского исследования, в частности, позволяет явно указать параметры системы,
отвечающие гетероклинической бифуркации коразмерности 1 и главному марш
руту COD1.
Использование кусочно-линейной системы для строгого исследования
сложной хаотической динамики не случайно. Такие системы широко исполь
зуются в теории динамических систем в различных контекстах и приложе
ниях [28—31]. Их преимущество по сравнению с нелинейными системами
заключается в возможности получить явные решения в отдельных областях
фазового пространства, которые затем склеиваются на границах этих областей,
образуя явно заданные траектории системы. Традиционно, кусочно-линейные
динамические системы выводятся из нелинейных систем заменой нелиней
ностей на кусочно-линейные функции. Это осуществляется для того, чтобы
повторить динамику исходной нелинейной системы, при этом упросив её ана
лиз. Классический пример такой замены представлен в работе Левинсона [32],
где нелинейный член ( 2 − 1) уравнения Ван дер Поля был заменён кусочно
постоянной функцией. Такая замена позволила Левинсону строго обосновать
классический результат Картрайта и Литтлвуда о рождении сложного мно
жества периодических орбит в неавтономном уравнении Ван дер Поля [33],
которое часто рассматривается как первый пример детерминированной системы
с хаотическим поведением. Система Лоренца также исследовалась с помощью
кусочно-линейных систем. Среди примеров можно встретить кусочно-линейную
систему лоренцевского типа [34], а также частично и полностью линеаризован
ные версии системы Лоренца [35], предложенные для упрощения реализаций
хаотических электрических цепей в инженерных и физических задачах. Тем
не менее, строгих исследований бифуркационной структуры кусочно-линейных
систем Лоренца до сих пор не было.
Другой большой класс динамических систем это кусочно-гладкие дина
мические системы [28; 29; 36—39], фазовое пространство которых разделено на
насколько областей с различными векторными полями и задающими их дина
мическими правилами [29]. В механике кусочно-гладкие динамические системы
используются для моделирования взаимодействия тел при негладком контакте,
ударах, трении и переключении [40; 41], включая взаимодействия пешеходов
с мостом [42—44] и виброударные электрогенераторы [45]. В электротехнике
и системах управления кусочно-гладкие системы используются как модели ре
лейных систем, импульсных преобразователей мощности и сетей с коммутацией
пакетов [40; 46—49]. В биологии негладкая динамика проявляется в сети регу
ляции генов [50; 51], сетях импульсно-связанных нейронов [52] и др.
Введение разрывов в правые части может приводить ко множеству бифур
каций, некоторые из которых имеют гладкие аналоги (в том числе бифуркации
типа складки или типа Андронова-Хопфа), а другие связаны исключитель
но с негладкими явлениями, такими как касание (grazing) или скольжение
(sliding) [30; 39; 53—56]. Например, в кусочно-гладких динамических системах
предельные циклы, торы и хаотические аттракторы могут рождаться или ис
чезать фундаментально отличным образом [57—59]. Известны как минимум 20
различных геометрических механизмов локального рождения предельного цик
ла в двумерном кусочно-гладком потоке [60]. К локальным бифуркациям типа
Андронова-Хопфа, лежащим в основе этих механизмов, относятся бифуркации
равновесия на границе склейки и рождение предельных циклов из складок [39].
Теория локальных бифуркаций для кусочно-гладких систем со скользящи
ми движениями развита относительно хорошо, особенно для кусочно-гладких
отображений, где скачки мультипликаторов вызывают бифуркации столк
новения с границей (border-collision bifurcations [61], также известные как
С-бифуркации [62; 63]), а также негладкие аналоги бифуркации Неймарка
Сакера [57]. В то же время, теория глобальных бифуркаций кусочно-гладких
систем находится в зачаточном состоянии (см. обзор по разрывным бифурка
циям [64]). Большинство существующих аналитических результатов получены
для условий, при которых глобальные бифуркации в кусочно-гладких потоках
воспроизводят свойства своих классических аналогов в гладких системах [65;
66]. В их число входит версия теоремы Шильникова о седло-фокусе для систем
Филиппова, где скользящая гомоклиническая петля Шильникова к псевдо
устойчивому фокусу даёт счетное число скользящих седловых периодических
орбит [66]. Однако, общие условия и свойства многих других разрывных гло
бальных бифуркаций все ещё остаются открытой проблемой.
Одна из целей диссертации – восполнить этот пробел, предлагая точное
описание скользящих гомоклинических бифуркаций в системе лоренцевского
типа. Удалось установить, что такие бифуркации демонстрируют неожиданный
эффект, когда при разрушении гомоклинической орбиты седла с положитель
ной седловой рождается устойчивый (не седловой) предельный цикл. В данной
работе этот эффект положен в основу сценария разрушения аттрактора лорен
цевского типа через появление в аттракторе скользящих движений.
Другим объектом исследования диссертации являются сингулярно-гипер
боличические отображения. Теория гиперболических динамических систем
восходит к работам С.Смейла [67] и Д.В.Аносова [68]. Эта теория успешно
продолжает развиваться в работах нижегородских математиков В.З.Гринеса,
Е.В.Жужомы, О.В.Починки и др. Более 50 лет назад с помощью методов нели
нейной динамики и эргодической теории было показано, что странный гипербо
лический аттрактор порождает случайный стационарный процесс [69—73]. Это
вызвало большой интерес в физических приложениях, направленный на поиск
динамических систем с гиперболическими аттракторами. Ряд таких систем был
предложен в работах С.П. Кузнецова и соавторов [74—76].
Важным классом систем с гиперболическими свойствами являются си
стемы с сингулярно-гиперболическими аттракторами. К аналитически до
казанным сингулярно-гиперболическим аттракторам относятся аттракторы
лоренцевского типа [25], аттрактор Лози [77], Белых [78] и др. В работах [79—81]
рассматривался класс систем с одной нелинейностью (системы Лурье) и дис
кретным временем, для которых были предложены аналитические методы
нелокального анализа. Эти методы основаны на построении инвариантных
устойчивых и неустойчивых конусов [80—83] и позволяют доказать существо
вание сингулярно-гиперболического аттрактора.
Один из интересных примеров странных аттракторов, управляемых неав
тономным воздействием, встречается в теории управления хаосом [84—89].
Хорошо известным результатом управления хаосом является стабилизация пе
риодических орбит в системе Лоренца [87].
В настоящей диссертации исследуются неавтономные отображений с
переключающимися параметрами. А именно, для управляемых хаотических
отображений выводятся достаточные условия, при которых нестационарный ат
трактор остаётся хаотическим, т.е. не содержит устойчивых орбит.
В диссертации также рассматривается широко распространённый тип
неавтономных потоков со случайными переключениями. Такие системы исполь
зуются при моделировании динамики сети Интернет и электросетей, где со
временем происходит изменение топологии подключений по некоторому сто
хастическому правилу [90]. Случайные и короткие по времени взаимодействия
между нейронами и техническими устройствами также могут рассматриваться
в качестве изменений такого типа [91; 92].
В работе [93] такие случайные и независимые переключения были названы
миганием (blinking), а динамические системы с таким поведением – мигающи
ми системами. Один из центральных вопросов исследования мигающих систем
есть вопрос о существовании и свойствах установившихся динамических режи
мов, представленных в виде нестационарных аттракторов [80]. Общая строгая
теория нестационарной и асимптотической динамики мигающих систем при
быстром переключении была развита в работах [94; 95]. Эта теория проясни
ла отношения между стохастически мигающей системой и её усреднённым по
времени аналогом. В рамках этой теории было предложено понятие аттрак
тора-призрака – аттрактора, который существует в усреднённой системе, но
не инвариантен относительно мигающей системы. Траектория мигающей систе
мы может достигать малой окрестности аттрактора-призрака и проводить в
ней большую часть времени, если переключение достаточно быстрое. Недавние
примеры аттракторов-призраков были даны в работах [90; 96].
В диссертации рассмотрено появление хаотического аттрактора-призрака
в стохастически переключающихся системах Лоренца. Также исследуется ми
гающая система, составленная из систем Хиндмарша-Роуза (HR) [97] с двумя
разными наборами параметров.
Заключительная глава диссертации посвящена другому актуальному
направлению нелинейной динамики – теории синхронизации связанных осцил
ляторов.
Полная и кластерная синхронизации являются основными формами син
хронизированных колебаний. Устойчивость полной синхронизации идентичных
или почти идентичных осцилляторов сильно зависит от топологии сети [98—102]
. В случае неидентичных фазовых осцилляторов наиболее распространен
ным пространственно-временным паттерном, который возникает на пути к
полной синхронизации, является частичная синхронизация, при которой некото
рые осцилляторы синхронизируются внутри когерентной группы осцилляторов
(кластера), в то время как остальные асинхронные осцилляторы образуют
некогерентное состояние [103—105]. При кластерной синхронизации сеть раз
бивается на группы когерентных осцилляторов, но синхронизация между
кластерами отсутствует [106—113]. Устойчивости кластерной синхронизации и
её сохранению при расстройке параметров осцилляторов уделено большое вни
мание в литературе [106; 108; 111; 113—115].
В диссертации рассматривается сеть осцилляторов Курамото второго по
рядка (с инерцией) [116], более точно описывающая частичную синхронизацию
в реальных сетях осцилляторов, которые могут подстраивать свои частоты.
Такие сети имеют более богатую динамику [117—121], включая прерывистые
хаотические химеры [122], индуцированные инерцией гистерезисные переходы
от некогерентности к когерентности [123], бистабильность синхронных кла
стеров [124], уединенные состояния [125; 126] и хаотическую межкластерную
динамику [127]. Частичная синхронизация в модели неидентичных осциллято
ров Курамото второго порядка ранее изучалась методами теории среднего поля
в предположении бесконечно большого размера сети [123; 128]. Наиболее слож
ный случай конечного размера сети ранее не изучался и является предметом
настоящей диссертации.
В работе разработан метод доказательства устойчивости частичной син
хронизации в конечномерной модели связанных осцилляторов Курамото вто
рого порядка. Этот метод использует двумерную кусочно-гладкую систему
маятникового типа для разделения сети на когерентный и некогерентный
кластеры, а также для ограничения осциллирующих разностей фаз между
осцилляторами внутри когерентного кластера. Данный подход является нетри
виальным расширением качественных методов, ранее разработанных для сетей
Курамото [127; 129], в направлении частичной синхронизации неидентичных
осцилляторов Курамото второго порядка.
Основные результаты диссертации изложены в работах диссертан
та [157—164].
Целью данной работы является строгое математическое исследование
аттракторов и бифуркаций конкретных динамических систем со сложным по
ведением.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие
задачи:

В диссертации было проведено строгое исследование аттракторов и бифур
каций систем обыкновенных дифференциальных уравнений и отображений с
явно заданными правыми частями.
Первая глава диссертации посвящена исследованию динамики предло
женной трёхмерной кусочно-линейной системы лоренцевского типа, которая в
силу разрывности правых частей допускает наличие устойчивых скользящих
движений в аттракторах системы.
Доказано, что в отсутствие скользящих движений существует последова
тельность нелокальных бифуркаций, которая приводит к рождению странного
аттрактора лоренцевского типа и воспроизводит хорошо известный сценарий
рождения аттрактора в оригинальной системе Лоренца. Свойства построенной
модели позволили выразить соответствующие бифуркационные кривые явно че
рез параметры системы. В частности, аналитически найдена бифуркационная
кривая, соответствующая образованию двух симметричных гомоклинических
орбит седла, известных как “гомоклиническая бабочка”. Строго доказано, что в
предложенной системе, как и в исходной системе Лоренца, аттрактор лоренцев
ского типа рождается в результате бифуркации двух гетероклинических орбит,
“соединяющих” седло и два симметричных седловых предельных цикла. Дока
зано, что хаотический аттрактор может быть единственным притягивающим
множеством или сосуществовать с двумя устойчивыми фокусами.
Показано, что при наличии в притягивающем множестве скользящих
движений в системе возникает новый тип скользящих бифуркаций гомоклини
ческих орбит седла, при которых неустойчивые гомоклинические траектории
могут порождать устойчивые предельные циклы. В частности, доказано, что
появление бесконечно малого участка устойчивых скользящих движений на го
моклинической орбите седла с положительной седловой величиной порождает
устойчивую периодическую орбиту. Описаны последовательности чередующих
ся гомоклинических бифуркаций бабочки и бифуркаций “вилка”, которые
приводят к возникновению или разрушению странного аттрактора лоренцев
ского типа. Установлено, что возникновение сколь угодно малого скользящего
участка на траекториях аттрактора может привести к появлению устойчивых
орбит большого периода и рождению квазистранного аттрактора (квазиаттрак
тора).
Доказательства проводились с помощью явно полученного отображения
Пуанкаре, что позволило аналитически оценить показатели Ляпунова для
траекторий системы и доказать существование хаотического аттрактора ло
ренцевского типа. Исследование роли скользящих движений проведено путем
строгого вывода отображения Пуанкаре, которое учитывает наличие скользя
щих движений.
Построенная система позволяет проводить строгий анализ основных
свойств её хаотического аттрактора, что предполагает возможность изучения её
эргодических свойств и построения естественной инвариантной меры [151—153].
Используемое в диссертации геометрическое построение аналитически ис
следуемой кусочно-линейной динамической системы может быть применено
для воспроизведения и строгого доказательства бифуркаций хаотических ат
тракторов, аналогичных аттракторам Чуа, Рёсслера и т.д. Кроме того, строгое
описание скользящих гомоклинических бифуркаций седла может быть примене
но для поиска и описания подобных неклассических аналогов гомоклинических
бифуркаций Шильникова в кусочно-гладких динамических системах с седло
фокусом.
Также, использование предложенной модели в качестве узла динамиче
ской сети может обеспечить строгую основу для понимания сложной коллек
тивной динамики связанных систем. К ним относятся развивающиеся [154] и
динамические сети со стохастическим переключением [94], которые демонстри
руют весьма нетривиальную динамику в областях небыстрого переключения
(т.н. “окна возможностей” [90]), где синхронизация в сети становится устойчивой
даже если она неустойчива в усредненной и быстро переключающейся сетях. В
то время как появление окон возможностей было аналитически изучено для
сетей связанных хаотических отображений [155; 156], строгое доказательство
этого эффекта для сетей связанных систем ОДУ требует дальнейших исследо
ваний. Использование предложенной в диссертации кусочно-линейной модели
ОДУ с явными решениями и показателями Ляпунова может стать ключом к
строгому решению этой проблемы устойчивости.
Вторая глава посвящена исследованию аттракторов в конкретных неав
тономных системах ОДУ и отображениях.
Рассмотрены три примера хаотических неавтономных отображений. В
качестве первого примера взято логистическое отображение, управляемое пе
риодической функцией. Это отображение может служить простой моделью
нейронной активности. Выбранный набор параметров отвечает пачечным ос
цилляциям динамической переменной. Показано, что изменяя параметры этого
отображения, можно управлять периодами возбуждения и покоя, получая раз
личные типы активности.
Второй пример есть двумерное отображение с одной нелинейностью,
управляемое произвольной ограниченной функцией. Для этого отображения
доказана Теорема 2.1.1 о достаточных условиях существования нестационар
ного гиперболического аттрактора. Доказательство Теоремы 2.1.1 основано
на методе систем сравнения и построении инвариантных конусов. Далее, это
отображение было рассмотрено совместно с одномерным отображением “тент”,
траектория которого служила управляющим параметром. В этом случае отобра
жение являлось автономным трёхмерным отображением треугольной формы.
Для этого отображения доказана Теорема 2.1.2 о существовании области
параметров, для которой множество неблуждающих траекторий имеет два по
ложительных показателя Ляпунова, и, следовательно, аттрактор отображения
является гиперхаотическим. Строго доказанные гиперболические свойства со
провождены результатами численных экспериментов.
В качестве неавтономных систем ОДУ были рассмотрены т.н. мигающие
потоки, траектории которых образованы случайным переключением между дву
мя автономными подсистемами ОДУ. Представлены сценарии возникновения
аттракторов-призраков в двух мигающих системах, полученных из классиче
ской модели Лоренца и системы Хиндмарша-Роуза. Рассмотрен пример, когда
переключения между двумя системами Лоеренца с тривиальной устойчивой ди
намикой приводит к появлению странного аттрактора Лоренца, выступающего
аттрактором-призраком мигающей системы. При этом траектории мигающей
системы достигают аттрактор-призрак и остаются в его малой окрестности.
Мигающая система Хиндмарша-Роуза была получена из оригинальной модели
с помощью переключения внешнего стимула, значения которого были выбра
ны соответствующими глобально устойчивой тонической активности. Значения
стимула и вероятности переключения были подобраны таким образом, чтобы
траектории мигающей системы лежали в окрестности траекторий аттрактора
призрака, соответствующего пачечным осцилляциям.
Третья глава диссертации посвящена исследованию частичной синхро
низации в конечномерной сети связанных осцилляторов Курамото второго
порядка. Рассмотрены аналитические условия, при которых возникает ча
стичная синхронизация как функция рассогласования натуральных частот
осцилляторов, инерции и относительного размера когерентных и некогерент
ных кластеров. С помощью метода двумерных систем сравнения модель была
преобразована в систему связанных уравнений маятникового типа, которые
после были развязаны заменой сомножителя связи на постоянные коэффици
енты (оценки). Эта процедура привела к кусочно-гладкой системе сравнения
на плоскости, траектории которой определяют колебательную динамику разно
стей фаз внутри когерентного кластера и вращательную динамику разностей
фаз между осцилляторами из когерентного и некогерентного кластеров. Было
показано, что особое значение имеет наличие поглощающей области, которая
образована либо предельным циклом, либо гетероклиническими контурами.
Размер поглощающей области контролирует максимальную разность фаз ε
между когерентными осцилляторами и даёт явные оценки, которые связыва
ют максимально допустимое рассогласование натуральных частот и разности
фаз с инерцией и размером когерентного кластера. Эти оценки указывают на
наличие порога, после которого увеличение инерции разрушает частичную син
хронизацию.
Изложенный в этой главе метод систем сравнения может быть применен
для аналитических оценок (а) формирования более мелких кластерных раз
биений внутри когерентного кластера при наличии некогерентного кластера
и (б) кластерной синхронизации с несколькими когерентными кластерами с
отчётливой межкластерной и внутрикластерной колебательной динамикой. Из
ложенный метод потенциально можно расширить на случай более сложных
сетевых топологий [129].
В диссертации впервые получены следующие основные результаты:
1. для трёхмерного потока строго доказано существование каскада би
фуркаций коразмерности 1, приводящего к рождению аттрактора
лоренцевского типа;
2. в системе лоренцевского типа рассмотрены скользящие гомоклини
ческие бифуркации, приводящие к рождению устойчивых циклов и
квазистранных аттракторов при положительной седловой величине;
3. для неавтономного двумерного отображения было доказано существо
вание нестационарного сингулярно-гиперболического аттрактора без
привлечения асимптотических методов;
4. для сети из произвольного числа связанных двумерных осцилляторов
Курамото были получены достаточные условия частичной синхрониза
ции.
В заключение хочу выразить огромную благодарность моему научному руково
дителю проф. Владимиру Николаевичу Белых за научное руководство, помощь
в подготовке диссертации, а также за интересную совместную работу.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Публикации автора в научных журналах

Non-stationary attractors in the blinking systems: ghost attractor of Lorenz type

N. V. Barabash, V. N. Belykh // Cybernetics and Physics. — 2— Т. 8, No — С. 209—— (ВАК, Scopus).Barabash, N. V. Chaotic driven maps: Non-stationary hyperbolic attractor and hyperchaos [Текст] / N. V. Barabash, V. N. Belykh // The European Physical Journal Special Topics. — 2— Т. 229, No — С. 1071—1— (ВАК, Scopus, WoS).

Ghost attractors in blinking Lorenz and Hindmarsh–Rose systems

N. V. Barabash, T. A. Levanova, V. N. Belykh // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2— Т. 30, No — С. 081— (ВАК, Scopus, WoS).Белых, В. Бифуркации хаотических аттракторов в кусочно-гладкой си стеме лоренцевского типа [Текст] / В. Белых, Н. Барабаш, И. Белых // Автомат. и телемех. — 2— Т. 81, No — С. 1385—1— (ВАК, Scopus,WoS).

Sliding homoclinic bifurcations in a Lorenz-type system: Analytic proofs

V. N. Belykh, N. V. Barabash, I. V. Belykh // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2— Т. 31, No — С. 043— (ВАК, Scopus, WoS).Барабаш, Н. Пороги синхронизации в ансамбле фазовых осциллято ров Курамото со случайно мигающими связями [Текст] / Н. Барабаш, В. Белых // Известия вузов. Радиофизика. — 2— Т. 60, No — (ВАК, Scopus, WoS).

A Lorenz-type attractor in a piecewise-smooth system: Rigorous results

V. N. Belykh, N. V. Barabash, I. V. Belykh // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2— Т. 29, No — С. 103— (ВАК, Scopus, WoS).Partial synchronization in the second-order Kuramoto model: an auxiliary system method [Текст] / N. Barabash [и др.] // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2— Т. 31, No — С. 113— (ВАК, Scopus, WoS).

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.

#Кандидатские #Магистерские

21 Выполненная работа

После окончания института работала экономистом в системе государственных финансов. С 1988 года на преподавательской работе. Защитила кандидатскую диссертацию. Преподав... Читать все

После окончания института работала экономистом в системе государственных финансов. С 1988 года на преподавательской работе. Защитила кандидатскую диссертацию. Преподавала учебные дисциплины: Бюджетная система Украины, Статистика.

#Кандидатские #Магистерские

300 Выполненных работ

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.

#Кандидатские #Магистерские

5 Выполненных работ

Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские ди... Читать все

Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские диссертации, курсовые работы средний балл - 4,5). Всегда на связи!

#Кандидатские #Магистерские

138 Выполненных работ

Опыт в написании студенческих работ (дипломные работы, магистерские диссертации, повышение уникальности текста, курсовые работы, научные статьи и т.д.) по экономическо... Читать все

Опыт в написании студенческих работ (дипломные работы, магистерские диссертации, повышение уникальности текста, курсовые работы, научные статьи и т.д.) по экономическому и гуманитарному направлениях свыше 8 лет на различных площадках.

#Кандидатские #Магистерские

224 Выполненных работы

Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссе... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

31 Выполненная работа

Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Явл... Читать все

Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Являюсь действующим преподавателем одного из ВУЗов.

#Кандидатские #Магистерские

177 Выполненных работ

Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соот... Читать все

Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соответствии с Вашими требованиями.

#Кандидатские #Магистерские

12 Выполненных работ

Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно исполь... Читать все

Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно использую в работе графический материал (графики рисунки, диаграммы) и таблицы.

#Кандидатские #Магистерские

362 Выполненных работы