Дифракция электромагнитных волн на вращающихся осесимметричных телах : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.04.03

Неугасающий интерес к изучению процессов дифракции электромагнит­ ных волн на телах разных форм и состояний наблюдается с момента появления теории Гюйгенса о волновой природе света, которая была дополнена, спустя более чем сто лет, принципом Френеля. Это дополнение было введено, во мно­ гом, для возможности описания дифракции света. Принцип Гюйгенса-Френеля в строгой математической форме был записан Кирхгофом, а уже в середине XX века, Фейнман обобщил этот принцип и для квантовой механики. В процессе развития темы видоизменилось даже само определение эффекта, во многом из­ за того, что постановка задачи все более и более усложнялась. В современной терминологии дифракция трактуется как любое изменение характеристик вол­ ны, вызванное неоднородностью в среде распространения. В настоящее время ряд актуальных проблем достаточно широк, среди них можно выделить: ди­ фракцию на телах произвольной сложной формы, дифракцию на шероховатых телах, дифракцию на неоднородных телах, дифракцию на объектах случайной формы и состояния, дифракцию на телах, изготовленных из современных мате­ риалов (метаматериалы, аморфные металлы, диэлектрики с мелкодисперсными примесями и т.д.). В особый класс задач выделяются динамические системы, состояние которых изменяется во времени. Такое изменение может вызываться движением материи в пространстве, ее деформацией или переносом вещества в ней и т.д.
Настоящая работа относится к разделу релятивистской электродинамики, хотя линейные скорости вращения рассматриваемых целей далеки от скорости света в вакууме. Сущность релятивизма заключается в необходимости учета эффектов возникающих вследствие движения среды распространения, а так­ же неинерциальности системы отсчета, связанной с ней, относительно которой наблюдатель находится в покое. Эти эффекты оказываются малыми на фоне прочих, но являются целевыми в данном исследовании. Актуальность такой постановки заключается в возможности реализации точной неразрушающей радиодиагностики вращающихся элементов роторных машин. Затронутый во­ прос также актуален для бесконтактной радио расходометрии движущихся по трубам жидкостей или газов. Для космических исследований может оказаться полезным мониторинг за хвостами комет. В глобальных системах позициониро­
5
вания введение поправок на релятивистские эффекты, позволило существенно увеличить точность определения координат объекта. Для теоретических и фун­ даментальных исследований предложенная автором методология может быть использована в изучении электромагнитно-гравитационного взаимодействия не только на уровне полей, но и на уровне волн. Это особо интересно в свете недав­ но полученных сведений об успешном детектировании гравитационных волн. Фактически, такое взаимодействие на полевом уровне уже достаточно давно и успешно применяется на практике для изучения космоса. В целом, благодаря со­ временным высокочувствительным средствам измерения и новым алгоритмам обработки больших данных, нулевой порог принятия решения для наблюдате­ ля стремительно приближается к фактическому нулю, а это, в свою очередь, указывает на необходимость создания физико-математического аппарата, мето­ дологий численного анализа и правил компьютерного моделирования, вместе с программными комплексами, которые бы учитывали и позволяли достовер­ но верифицировать малые целевые эффекты и в частности релятивистские. В качестве пояснений вышеизложенному следует указать, что такое изучение объясняется принципиальной достижимостью детектирования релятивистских эффектов электродинамики в лабораторных условиях.
Литературный обзор по затронутой теме, логично начать с работы, появ­ ление которой явилось причиной изучения электродинамики движущихся тел. Символично, что именно так и назван первый труд Эйнштейна по СТО [1]. Основополагающими, являются утверждения о том, что электромагнитные по­ ля подвергаются определенному воздействию, со стороны движущегося тела, а также, что даже ‘нейтральная‘ материальная точка, может обладать харак­ терной массой, ибо она может быть превращена в электрон, путем присоеди­ нения к ней сколь угодно малого электрического заряда. Спустя менее трех лет, Минковским были получены материальные уравнения Максвелла для дви­ жущейся среды, являющиеся основой решения любой дифракционной задачи [2]. Все новейшие положения электродинамики того времени, изложены в фун­ даментальном труде Зоммерфельда 1949 года, который был переведен, в том числе и на русский язык [3]. Не будет преувеличением сказать, что эта работа не теряет своей актуальности до сих пор. В равной степени то же самое мож­ но утверждать о многотомнике по теоретической физике Ландау и Лифшица, второй том, которого, можно смело отнести к важнейшему источнику знаний по затронутой проблеме [4].

6
Неразрывная связь неинерциальных систем с изучением и исследованием космоса, в котором релятивистские эффекты наиболее значительны, подтвер­ ждается уже самыми ранними трудами. Так в [5] приведены формулы транс­ формации уравнений Максвелла при переходе в движущиеся системы отсче­ та. Особо важным для данного изложения, являются, выведенные в [6], выра­ жения для постоянной распространения электромагнитных волн в движущей­ ся проводящей среде. Вместе с полученной в том же году записью теоремы Пойтинга для переноса энергии в движущейся системе отсчета [7], эти работы формируют физико-математическую концепцию расчета полевых параметров в условиях поступательного движения среды. Аналитический подход к решению задач распространения электромагнитных волн в поступательно движущейся изотропной среде был дополнен применением тензорных функций Грина для получения полевых характеристик [8]. Функции Грина были также примене­ ны для решения задачи излучения электромагнитных волн в движущейся сре­ де, что соответствует частному случаю, при котором поступательная скорость движения среды выше, чем фазовая скорость электромагнитных волн в ней [9]. Законы электродинамики во вращающихся системах отсчета изложены в статье [10]. Автор делает акцент, что сама формулировка проблемы распро­ странения электромагнитных волн во вращающихся системах отсчета является источником сомнений и разногласий в научных кругах того времени. Упоми­ нается ошибочные предположения выдвинутые ранее. Примечательно, что в этой работе уравнения Максвелла во вращающихся системах отсчета приво­ дятся для микроскопических полей, что в свою очередь, может трактоваться, как уравнения, записанные для вакуума. Вопрос об обоснованности такого под­ хода становится особенно остро, принимая во внимание тот факт, что одним из постулатов в [1], являлась невозможность присвоения ненулевого вектора скорости ‘пустой‘ точке в пространстве. В работе [11], описывается проблема получения точного электродинамического решения во вращающихся системах отсчета, связанная с тем, что принцип эквивалентности ОТО может быть при­ менен только при известном положении центра массы (в том числе эквивалент­ ной энергии) материи. Эта формулировка, является определенной предпосыл­ кой для сегментирования неоднородных движущихся сред, с целью описания их электродинамических параметров. Особое внимание в [11] заслуживает рас­ смотрение т.н. единицы силы, действующей на пробную массу, помещенную во вращающуюся систему отсчета. Материальные уравнения первого порядка для

7
движущейся (в том числе вращающейся) системы отсчета приводятся в [12]. Де­ тальное и всестороннее рассмотрение электродинамики вращающихся систем, в том числе для эффектов распространения порядка более первого, изложены в работах [13], [14], [15]. Уточнения для случая движущейся хиральной среды даны в работе [16]. В работе [17] обсуждается вопрос перехода от записи уравне­ ний Максвелла для 3-х мерного Эвклидова пространства к (3+1)-мерному про­ странству Минковского. Примечательно то, что данный переход предлагается для расчета характеристик распространения в ускоряющихся системах отсче­ та, что полностью соответствует принципу эквивалентности ОТО. В контексте технических приложений, в работе [17] сделан важный вывод об эквивалентно­ сти трансформации Галилея и Лоренца при низких частотах распространяю­ щихся электромагнитных волн в среде, вне зависимости от скорости движения системы отсчета. Данное утверждение может быть расширено введением соот­ ветствующих коэффициентов соотносимости между линейной частотой волны и линейной частотой вращения среды ее распространения, для формулировки рекомендуемых подходов к решению тех или иных прикладных задач. Особая трансформация кинематических параметров предложена в работе [18].
Решение задачи падения электромагнитных волн на движущуюся грани­ цу раздела двух сред, является важнейшим этапом развития затронутой про­ блемы. В работе [19] аналитическим способом, были получены коэффициенты отражения волн разных поляризаций при падении на границу полупростран­ ства, движущуюся сонаправлено и противоположно направлено волновому век­ тору. Квазистационарная аппроксимация отраженных от движущегося зеркала электромагнитных волн, приведена в [20]. Спустя короткое время, была решена задача рассеяния электромагнитных волн на однородном цилиндре, движущем­ ся вдоль своей оси симметрии [21]. Логичным развитие данной проблемы, яви­ лось решение задачи дифракции электромагнитных волн на движущемся вдоль своей оси симметрии неоднородном цилиндре, с магнитными свойствами [22]. В работе [23] рассматривается осевое движение эллиптического многослойного цилиндра. Следующим этапом, явилось решение проблемы рассеяния на вра­ щающемся бесконечном круглом цилиндре с различными электрофизическими свойствами ([18], [24], [25], [26], [27]). Решение дифракционной задачи враща­ ющейся сферы, было получено, с использованием различных аналитических техник, как для диэлектрического, так и для проводящего рассеивателя ([13], [28], [29]). Примечательно, что во всех перечисленных работах, поля первого

8
порядка, вычислялись субтрактивно, при нахождении полей для неподвижной сферы при помощи теории Ми [30].
Активное развитие численных методов электродинамики, обусловленное непрерывным нарастанием доступных вычислительных ресурсов, привело к своеобразной революции, как в постановке, так и в решении внешних и внутрен­ них задач электродинамики. Существовавшие ранее интерпретации и модели физических процессов, были успешно применены к системам, не подающимся аналитическому подходу. Задачи релятивистской направленности не явились исключением, а, напротив, в определенной мере, стимулировали и стимулиру­ ют до сих пор совершенствование и адаптацию существующих вычислительных подходов к все более и более сложным объектам и средам. В труде [31] приво­ дится описание релятивистских эффектов первого порядка для сред с неодно­ родной скоростью движения, для этих целей авторы, в частности, применяют лучевую интерпретацию и метод эйконала. Принципы геометрической оптики для вращающихся сред, также изложены в [15].
Цилиндр и сфера, явились основными геометриями для аналитических решений задач дифракции на вращающихся телах. Применение численных ме­ тодов электродинамики для анализа тел сложных форм – суть современного развития проблемы. В работе [32] описывается методология решения задачи дифракции на идеально проводящем вращающемся цилиндре произвольного сечения. Сама формулировка проблемы указывает на изучение эффектов, за­ висящих от времени, таких как релятивистский эффект Допплера. Очевидным решением проблемы дифракции на вращающихся проницаемых телах сложной формы, является применение МКЭ. Так в статье [33] описывается методология, и приводятся численные результаты для проблемы рассеяние электромагнит­ ных волн на вращающемся диэлектрическом цилиндре произвольного сечения. Немного позже МКЭ был применен для электромагнитного моделирования дви­ жущегося вдоль своей оси цилиндра произвольного сечения со специфическим окружением [34].
Обоснованное методологическими возможностями желание исследовате­ лей, в том числе и автора этого текста, является создание алгоритма решения за­ дачи дифракции электромагнитных волн на вращающихся телах произвольной формы. Статья [35] описывает первые полученные результаты от разрабатыва­ емого решателя для таких проблем, использующего МКЭ. Основная сложность заключается в том, что сравнить полученные результаты для вращающихся тел

9
сложных форм, попросту не с чем. Адаптированный метод конечных разностей во временной области для моделирования задач дифракции электромагнитных волн на вращающихся телах представлен в работе [36]. Принимая во внимание тот факт, что любая движущаяся среда, по отношению к распространяющимся в ней электромагнитным волнам, является бианизотропной, техника моделиро­ вания таких сред также входит в сферу рассмотрения данного обзора. Наиболее показательной в данном контексте является работа [37]. Аппроксимация мето­ дом PIC для решения задач распространения электромагнитных волн в плазме, как в бианизотропной среде, изложено в работах [38] и [39].
Проведение вычислительного эксперимента, особенно с априорно высокой требуемой точностью, всегда имеет набор оптимизационных алгоритмов для до­ стижения требуемых апостериорных метрологических значений. Совсем недав­ но появившаяся статья [40] ученого из Италии Мирко Раффетто, занимающего­ ся проблемой численного анализа релятивистских эффектов со своей научной группой уже более десяти лет, является одной из первой (если не первой), в которой приводится детальный и развернутый анализ вносимых в результат вычислений, погрешностей, при использовании конечно-элементной аппрокси­ мации объекта из идеального диэлектрика, в случае его движения. Как уже указывалось выше, малость целевых эффектов устанавливает высокую план­ ку по необходимой точности моделирования, а значит анализ и минимизация ошибок и погрешностей, в данном контексте, является актуальной задачей.
В рамках научного обзора по проблеме диссертационной работы, видится логичным привести труды, описывающие сопутствующие вращению тела элек­ тродинамические эффекты. В [41] описан процесс собственного излучения вра­ щающегося тела, а в публикации [42], того же автора приводится объяснение процесса усиления электромагнитных волн в таких системах. Статья [43] по­ священа аналитическому решению задачи распространения электромагнитных волн во вращающемся волноводе. Электродинамические эффекты, сопутству­ ющие вращению массивных тел, представляют особый интерес в космологии. Такие системы одновременно являются неинерциальными и с внешним гравита­ ционным полем, в них проявляется эффект Лензе-Тирринга – один из эффектов гравитомагнетизма. Большое количество научных изысканий по этому вопросу изложены в сборнике [44]. В публикации [45] рассматриваются релятивистские эффекты, поправки на которые были сделаны в глобальной системе позицио­ нирования GPS, что позволило существенно повысить ее точность. Проблема

10
учета релятивистских положений при организации космических систем связи развивается в [46]. В работе [47] того же автора рассматриваются преломляю­ щие свойства Земли.
Электродинамика движущихся тел, зачастую является отдельной главой или разделом в книгах по электромагнетизму или смежных областей ([3], [5], [48], [49]). В издании [50] приводится полное описание релятивистской электро­ динамики с акцентом на прикладное и инженерное применение. В учебном по­ собии [51], непосредственно посвященном затронутой теме, приводится всесто­ роннее рассмотрение электродинамических вопросов, обусловленных вращени­ ем системы отсчета. Автор подробно излагает вывод уравнений Максвелла для вращающихся систем отсчета, дается решение основных граничных задач, как рассеяния, так и излучения электромагнитных волн на телах основных форм, в том числе для сложной кинематики. Приводится рассмотрение вращающих­ ся излучателей, а так же проблемы возбуждения вращающихся тел. В статье [52] предлагаются обобщения по взаимодействию электрических полей с движу­ щейся средой, делается акцент на образовательную компоненту и, особенно в направлении экспериментальной физики.
Подводя итог обзора, можем заключить следующее: любое взаимодействие электромагнитных волн с поступательно движущейся средой, когда и наблюда­ тель и объект наблюдения находятся в инерциальных системах отсчета име­ ют либо строгие решения, либо допустимые приближения первого порядка, а также ряд численных методик анализа с неконтролируемой точностью полу­ чаемых результатов, однако в силу того, что в системе отсутствуют эффекты неинерциальности, априорные параметры точности могут быть исключены из рассмотрения. В случае же вращающихся тел ситуация обстоит иначе. Подав­ ляющее большинство работ рассматривают только эффекты первого порядка, не устанавливая обоснованную границу по скорости, выше которой эффектами второго порядка пренебрегать уже нельзя. Данная тенденция справедлива и для случая поступательного движения. При анализе условий распространения электромагнитных волн во вращающейся системе отсчета, в большинстве ра­ бот эффектами неинерциальности пренебрегали, как на макроскопическом, так и на микроскопическом уровне. Аналитические решения задач дифракции элек­ тромагнитных волн на вращающемся бесконечном круглом цилиндре и сфере, являются единственными данными для верификации численных методов анали­ за, априорная оценка точности которых является актуальной задачей. Автором

11
не было найдено работ, в которых бианизотропная форма вращающейся прово­ дящей среды имела бы зависимость от времени прошедшего с момента начала вращения.
Следует указать, что данная работа является логичным продолжением магистерской диссертации автора [53], без которой она бы не была возможна.
Целью данной работы является разработка полной и законченной мето­ дологии решения задач дифракции на вращающихся осесимметричных телах произвольной формы.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Получить строгую математическую запись для координатной зависи­ мости постоянной распространения электромагнитных волн во враща­ ющейся системе отсчета, с учетом ее неинерциальности.
2. Исследовать полуаналитическую границу строгих решений дифракци­ онных задач для аналитических форм вращающихся объектов.
3. Разработать алгоритм стратификации и сегментирования геометрии сложного осесимметричного рассеивателя, а также алгоритм оптимиза­ ции объемной конечно-элементной расчетной сетки над ним, с учетом степени малости целевых эффектов наблюдения.
4. Разработать и автоматизировать алгоритм постановки вычислительно­ го эксперимента по рассеянию электромагнитных волн от вращающих­ ся тел сложной осесимметричной формы.
Научная новизна:
1. Впервые была предложена и описана пространственно-временная де­
композиция системы с вращающемся рассеивателем для получения его эквивалентной статической модели, с учетом всех целевых эффектов наблюдения.
2. Было выполнено оригинальное исследование возможностей и способов оптимизации объемной конечно-элементной сетки над неоднородным объектом по параметру малости целевого эффекта наблюдения, с це­ лью получения априорного критерия точности получаемых результатов моделирования.
3. Впервые был предложен и описан алгоритм распределения функцио­ нального цикла моделирования с использованием формата обмена дан­

12
ными между САПР STEP, через модуль спецификации объекта изуче­
ния для постановки, в том числе мультифизического моделирования. Практическая значимость
1. Выдвигаемая работа является обобщением существующих подходов в
решении задач дифракции электромагнитных волн от вращающихся осесимметричных объектов, заключающимся в рассмотрении всех це­ левых эффектов, возникающих в неинерциальной системе отсчета во всем временном интервале наблюдения за объектом.
2. Созданный и апробированный метод стратификации среды неоднород­ ного рассеивателя может быть успешно применен для решения широ­ кого класса электродинамических задач, так как в нем не фигурирует причина в необходимости декомпозиции объекта, а только ожидаемая степень точности результатов расчета.
3. Разработанный метод объемной конечно-элементной оптимизации мо­ жет эффективно применяться при электродинамическом моделирова­ нии различных систем, в которых необходимо учитывать малые эф­ фекты и контролировать апостериорную точность результатов.
4. Алгоритм распределения функционального цикла моделирования, предложенный автором, является универсальным средством проведе­ ния мультфизического анализа системы.
Некоторые результаты работы использовались в ходе выполнения проекта No14-19-01396 «Разработка теории и технологии создания устройств мик­ роволнового диапазона с использованием композитных материалов ново­ го поколения», поддержанного Российским Научным Фондом, проекта No Н764.42Б.016/14 «Развитие техники и технологии перспективных средств те­ лекоммуникационных, радиолокационных и навигационных систем» и проекта 8.7863.2017/БЧ «Развитие перспективных средств радиолокационных, навига­ ционных и телекоммуникационных систем».
Mетодология и методы исследования. Синтез основного физико­ математического аппарата, применяемого для решения задач дифракции осу­ ществляется классическими аналитическими подходами. Временная декомпо­ зиция системы является следствием применения электронной теории Лоренца для вращающегося тонкого диска. Эффекты неинерциальности учитываются путем внесения в запись постоянной распространения электромагнитных волн в движущейся среде соответствующих поправок на углы отклонения волнового

13
вектора, связанные с действием центробежной силы и силы Кориолиса, кото­ рые, с одной стороны, получаются, с использованием основного принципа экви­ валентности ОТО, а с другой стороны из классического закона Снеля и правил трансформации Лоренца. При анализе результатов применяются подходы ма­ тематических разделов, таких как теория возмущений и теория катастроф.
В работе используются программные продукты электродинамического мо­ делирования, такие как Altair FEKO, ANSYS HFSS и Keysight EMPro. Основ­ ные численные методы расчета – метод моментов и метод конечных элемен­ тов. Для повышения точности применяются элементы второго порядка. При постановке полуаналитической границы применяются символьные вычисления и арифметика повышенной точности.
Валидация аналитических и численных результатов проводится стандар­ тизированным методом FSV, с обозначением поточечной разницы всех индика­ торов сравнения.
Основные положения, выносимые на защиту: В соответствии с пунктами 2, 5 и 7 паспорта специальности 01.04.03 «Радиофизика»:
1. Полная интерпретационная модель распространения электромагнит­ ных волн во вращающейся системе отсчета, должна быть декомпозиро­ вана во времени и пространстве. Декомпозиция во времени объясняется тем, что бианизотропная форма материальных уравнений устанавлива­ ется спустя некоторый промежуток времени после раскручивания цели. Пространственная декомпозиция позволяет получать полную функци­ ональную запись распределения постоянной распространения электро­ магнитных волн во вращающейся материальной системе, с учетом ее неинецриальности.
2. Решение задач дифракции на вращающихся телах сложной формы, с требуемой степенью точности, возможно средствами автоматизирован­ ного проектирования с использованием стандартных численных мето­ дов электродинамики (таких, как ММ и МКЭ).
3. Целевыеэлектродинамическиеэффекты,возникающиеприраспростра­ нении электромагнитных волн в неинерциальных и эквивалентных им СО, могут быть достоверно обнаружены наблюдателем в лаборатор­ ных условиях при постановке высокочувствительного натурного экспе­ римента, а значит, могут быть применены на практике в области ра­

14
диодиагностики, радио расходометрии и дистанционного мониторинга
(гео-, гидросферы, ионосферы, магнитосферы и атмосферы). Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью под­ ходов и использованием стандартизированных техник валидации численных и аналитических данных. Анализ применимости ряда предлагаемых техник на за­ дачах электродинамики в других областях, оказался положительным. Результа­ ты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: II Международная молодежная научная конференция «Физика. Технологии. Инновации. ФТИ-2015» (Екатеринбург, 20.04.2015 – 24.04.2015). International siberian conference on control and communications SIBCON-2015 (Омск, 21.05.2015 – 23.05.2015). The IEEE world congress on information technology and computer applications WCITCA-2015 (Хаммамет, 11.06.2015 – 13.06.2015). 22nd international conference on applied electromagnetics and communications – ICECom 2016 (Дубровник, 19.09.2016 – 21.09.2016). Всероссийская молодёжная научно­ практическая конференция «Орбита молодёжи» и перспективы развития рос­ сийской космонавтики» (Томск, 18.09.2017 – 23.09.2017). 2018 ural symposium on biomedical engineering, radioelectronics and information technology USBEREIT (Екатеринбург, 7.05.2018 – 8.05.2018). IEEE MTT-S international conference on numerical electromagnetic and multiphysics modeling and optimization NEMO
(Рейкьявик, 08.08.2018 – 10.08.2018).
Личный вклад. Основной объем работы был выполнен автором лично.
Постановка проблемы, формирование исследовательского протокола и обсуж­ дение результатов полученных на каждом этапе работы осуществлялось с непо­ средственным участием научного руководителя. К решению ряда частных за­ дач были привлечены студенты. Апробация алгоритма стратификации объекта была проведена в тесной коллаборации с сотрудником Уральского Федерально­ го Университета.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 19 печатных изданиях, 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 9 — в тезисах докладов, 14 работ опубликовано без соавторства.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 153 страницы, вклю­ чая 50 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 124 наименования.

15
В первой главе решается задача синтеза (внутренняя задача электродина­ мики), целью которой является получение строгой координатной формулы для постоянной распространения электромагнитных волн в материальной неинер­ циальной системе отсчета. Во второй главе ставится задача анализа (внешняя задача электродинамики), результатами решения которой являются, с одной стороны, вторичные поля в системах с аналитической формой рассеивателя, и, с другой стороны, их готовые интерпретационные модели для численного симу­ лирования. Заключительная глава посвящена планированию эксперименталь­ ной верификации результатов, а также валидации численных и аналитических результатов. Тем самым, структура работы формирует законченное научное ис­ следование, состоящее из постановки проблемы, синтеза физико-математическо­ го аппарата для ее решения, анализа решения целевых задач с использованием этого аппарата и обоснования их достоверности и/или единственности.