Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме

Первая глава
В первой главе (она же введение) обосновывается актуальность диссертации, формули-
руются цели работы, аргументируется научная новизна проведённых исследований, обос-
новывается теоретическая значимость полученных результатов. Кроме того, приводятся
формулировки основных теорем и положений, выносимых на защиту, снабжённые необхо-
димыми для понимания определениями.

Вторая глава
Вторая глава диссертации посвящена описанию вида Литтлвуда–Пэли пространства
BMO. Приведём точную формулировку полученной теоремы.

Теорема 1. Пусть {ψn }n∈Z — набор равномерно ограниченных функций на Rd , имеющих
все обобщённые производные в смысле Соболева порядков не выше a = [d/2] + 1. Наложим
на эти функции следующие условия:
1)
P
n∈Z ψn (x) ≡ 1 для всех x 6= 0;
2) supp ψn ⊂ {x ∈ Rd : 2n−1 ≤ |x| ≤ 2n+1 };
3) (2−nd |Dα ψn (ξ)|2 dξ)1/2 ≤ K2−n|α| для 0 ≤ |α| ≤ a.
R

Здесь K — константа, которая не зависит от n. Определим оператор ∆ˆ
n f := ψn f и
d
норму
1 ZX 1/2
kf kD := sup|∆n f (x)|2 dx.(2)
Q |Q| Q −n
2≤l(Q)

Здесь рассматривается супремум по всем кубам Q (с гранями, параллельными координат-
ным плоскостям), а через l(Q) обозначена длина ребра куба Q.
Тогда для всякой интегрируемой функции f выполняется соотношение kf kD kf kBMO .

Отметим, что похожее описание пространства BMO также доказывается в статье [18] —
однако существенное отличие состоит в том, что в сформулированной теореме накладыва-
ются условия на функции ψn , а не на их преобразования Фурье. Кроме того, выражение,
похожее на правую часть равенства (2), можно найти в книге [16] на странице 93.

Третья глава
В третьей главе диссертации доказывается неравенство Литтлвуда–Пэли–Рубио де Фран-
сиа для систем Виленкина. Прежде чем перейти к формулировке основного результата
третьей главы, приведём необходимые определения.
i=1 — последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше,
Пусть {pi }∞
чем 2. Обозначим произведение p1 p2 . . . pl через ml (и будем считать, что m0 = 1). Разделим
отрезок [0, 1] на p1 равных отрезков и через r1 обозначим функцию, равную e2πik/p1 на k-ом
отрезке (мы считаем, что нумерация отрезков начинается с нуля). Далее, с каждым из по-
лученных отрезков проделаем аналогичную операцию: разделим его на p2 частей и через r2
обозначим функцию, равную e2πik/p2 на k-ой части. Повторяя эти операции, получаем по-
следовательность функций ri , являющихся аналогами классических функций Радемахера.
Все функции из системы Виленкина являются произведениями построенных обобщённых
функций Радемахера. А именно, всякое число n ∈ N0 (этот символ обозначает множество
целых неотрицательных чисел) запишем в “(m)-ичной системе счисления”, то есть пред-
ставим в виде n = α1 + α2 m1 + . . . αk mk−1 , где 0 ≤ αi ≤ pi − 1. В таком случае, функция
Виленкина wn равна r1α1 r2α2 . . . rkαk . Описанное представление и нумерация систем Виленкина
содержится, например, в работе [35].
Приступим теперь к формулировке основного результата. Мы будем считать, что после-
довательность pi ограничена: pi ≤ M для некоторого M > 2. Такие системы Виленкина на-
зываются ограниченными. Символом fb обозначим последовательность коэффициентов раз-
ложения f по системе Виленкина: fb(n) = (f, wn ) = f w̄n . Ясно, что тогда f = n∈N0 fb(n)wn
RP

(в случае, если f ∈ L2 ).

Теорема 2. Пусть {Is } — набор попарно не пересекающихся конечных интервалов в N0 ,
а функции fs таковы, что supp fbs ⊂ Is (таким образом, каждая функция fs — полином
Виленкина). Тогда при 1 < p ≤ 2 справедливо следующее неравенство: X X 1/2 fs.|fs |. pp ss Отметим, что соответствующее утверждение для функций Уолша (которые являются частным случаем функций Виленкина — когда все pi равны 2) было доказано в работе [29]. Однако, оказалось, что основное комбинаторное построение из статьи [29] напрямую на случай систем Виленкина не обобщается, поэтому несколько лет теорема 2 оставалась открытым вопросом. Кроме того, классическое неравенство Рубио де Франсиа (1) было позднее доказано и для p = 1 Бургейном в работе [13], а также для всех p ∈ (0, 2] Кисляковым и Парило- вым в работе [7]. Некоторые замечания на этот счёт в контексте систем Виленкина также можно найти в конце третьей главы настоящей диссертации. А именно, там доказывается следующее утверждение. Теорема 3. В условиях теоремы 2 для интервалов Is = [as , bs ) при 0 < p ≤ 2 выполняется неравенство X fs . k{wa−1s fs }s kHp (`2 ) + k{wb−1 s fs }s kHp (`2 ) . p s В последнем параграфе третьей главы приведены также некоторые открытые вопросы, касающиеся данной темы. Четвёртая глава В четвёртой главе диссертации исследуется обобщение неравенства Литтлвуда–Пэли– Рубио де Франсиа для функций Уолша, доказанное в работе [29], на случай функций, при- нимающих значения в некоторых банаховых пространствах. Приведём основные определе- ния, а также формулировки утверждений, доказательству которых посвящена глава 4. Для произвольного множества целых неотрицательных чисел A ⊂ N0 мы будем исполь- зовать обозначениеX PA f =(f, wn )wn = (χA fb)∨ . n∈A Как мы уже упоминали выше, аналог неравенства Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для функций Уолша (напомним, что функции Уолша являются частным случаем функций Виленкина, определение которых приведено выше — достаточно подставить все pi = 2) был доказан в работе [29]. Сформулируем его ещё раз, теперь для p ≥ 2: если {Is } — набор попарно не пересекающихся отрезков в N0 , то для всякой функции f ∈ Lp [0, 1] выполняется неравенство: X 1/2 |PIs f |2. kf kLp .(3) Lp s Цель четвёртой главы диссертации — обобщить это неравенство на функции f , принимаю- щие значения в некотором банаховом пространстве X. Напомним, что система Уолша является частным случаем систем Виленкина, речь о которых идёт выше (достаточно подставить все pi равными 2). Обозначим через εs после- довательность функций Радемахера (мы считаем, что они определены на некотором веро- ятностном пространстве Ω). Если X — банахово пространство, а f — X-значная функция, то аналог неравенства (3) имеет следующий вид: X ε s PI s f. kf kLp (X) .(4) Lp (RadX) s Символом RadX обозначено замыкание в Lp (Ω; X) множества X-значных функций вида k X εj (ω)xj ,xj ∈ X. j=1 Известно, что определение пространства RadX не зависит от p, если 1 ≤ p < ∞. Кроме того, из неравенства Хинчина следует, что для X = R неравенства (3) и (4) равносильны. Приведём теперь следующее определение (из работы [T2]). Определение. Будем говорить, что банахово пространство X обладает свойством LPRw p, если неравенство (4) выполняется для всякой функции f ∈ Lp (X). Это естественный аналог свойства LPRp , которое было аксиоматизировано в работе [12], для контекста функций Уолша. Свойство LPRp (которое естественно обобщает неравенство для стандартного преобразования Фурье из работы [33] на случай банаховозначных функ- ций) изучалось в том числе в работах [21], [32]. В четвёртой главе диссертации доказываются аналоги результатов из работы [32] для функций Уолша. Перейдём теперь к конкретным формулировкам. Теорема 4. Если X — такая банахова решётка, что ассоциированная с ней 2-вогнутая ре- шётка X(2) является банаховой решёткой со свойством UMD, то X обладает свойством LPRw p для 2 < p < ∞. Напомним, что решётка X(2) задаётся следующей нормой: kxkX(2) = k|x|1/2 k2 . Она действительно будет являться банаховой решёткой, если решётка X 2-выпукла. Более подробную информацию о банаховых решётках можно найти в книге [28], а все необходимые определения приведены в четвёртой главе диссертации. Теорема 5. Если X — банахово пространство, обладающее свойством LPRw p для некото- w рого p ≥ 2, то X также обладает свойством LPRq для всякого q > p.

Отметим также, что, по всей видимости, аналогичные результаты можно получить и
для более общих систем Виленкина вместо системы Уолша (используя более громоздкую
комбинаторную конструкцию из работы [T1]). Однако, этот вопрос оставлен за рамками
диссертации — отчасти для того, чтобы сделать изложение более ясным, отчасти чтобы бо-
лее явно продемонстрировать методы, позволяющие обобщать неравенства нетригономет-
рического гармонического анализа на функции со значениями в банаховых пространствах.
Пятая глава
В пятой главе диссертации исследуются некоторые свойства банаховых пространств
гладких функций на многомерном торе.
Напомним, что для набора дифференциальных операторов T = {T1 , T2 , . . . , TJ }, про-
странство C T (Tn ) задаётся при помощи следующей полунормы на тригонометрических по-
линомах f :
kf kT = max kTj f kC(Tn ) .
1≤j≤J

Зафиксируем некоторый шаблон смешанной однородности, то есть гиперплоскость Λ в
R , пересекающую положительные координатные полуоси. Уравнение такой гиперплоско-
n

сти имеет вид hx, ρi = 1 для некоторого вектора ρ с положительными координатами. Будем
называть такую гиперплоскость допустимой, если всякий мультииндекс α, такой что моном
Dα участвует в одном из операторов Tj , лежит под Λ или на ней. Это равносильно тому,
что выполняется следующее неравенство:
N
X
ρj αj ≤ 1.
j=1

Теперь определим старшую часть оператора Tj как линейную комбинацию всех диф-
ференциальных мономов, участвующих в Tj , чьи мультииндексы лежат на Λ, а младшую
часть — как линейную комбинацию всех оставшихся мономов, входящих в состав Tj . Стар-
шую часть обозначим через σj , а младшую — через τj . В статье [24] доказывается, что если
среди старших частей есть хотя бы две линейно независимые, то пространство C T (Tn ) не
изоморфно дополняемому подпространству пространства C(S).
Отметим, что в случае, когда все операторы, входящие в набор T — мономы, теорема
о неизоморфности дополняемому подпространству пространства C(S) — не самое общее
известное утверждение. Приведём здесь некоторые определения из теории банаховых про-
странств. Говорят, что банахово пространство X имеет локальную безусловную структуру,
если существует такая константа C > 0, что для всякого конечномерного подпространства
F ⊂ X найдутся банахово пространство E с 1-безусловным базисом и два линейных опе-
ратора R : F → E и S : E → X, такие что SRx = x для всякого x ∈ F и kSk · kRk ≤ C.
Напомним также, что базис {en } называется 1-безусловным, если для любых чисел εn , та-
ких что |εn | ≤ 1, и всякой финитной последовательности (αn ) выполняется неравенство
k εn αn xn k ≤ k αn xn k. Отметим, что, вообще говоря, существование локальной без-
PP

условной структуры не сохраняется при переходе к замкнутым подпространствам (однако,
оно сохраняется, если подпространство дополняемо). Известно, что пространство X облада-
ет локальной безусловной структурой тогда и только тогда, когда его второе сопряжённое
вкладывается дополняемо в банахову решётку (см., например, [22]).
В работе [8], в случае, когда все операторы Tj — дифференциальные мономы, были до-
казаны следующие утверждения. Если, опять же, среди старших частей Tj найдутся хотя
бы две линейно независимые (поскольку все Tj — это мономы, старшая часть каждого их
операторов Tj равна либо нулю, либо самому оператору Tj ), то пространство C T (Tn ) не име-
ет локальной безусловной структуры. Кроме того, если пространство C T (Tn )∗ изоморфно
подпространству пространству Y с локальной безусловной структурой, то Y равномерно со-
держит пространства `k∞ . Это означает, что существуют подпространства Yk в Y , такие что
dim Yk = k, и обратимые операторы Tk : Yk → `k∞ , обладающие свойством kTk k · kTk−1 k ≤ C.
Ввиду того, что пространство C(S)∗ имеет локальную безусловную структуру, но не содер-
жит пространства `k∞ равномерно, из этих утверждений следует, что C T (Tn ) не изоморфно
факторпространству пространства C(S).
В пятой главе диссертации доказываются те же самые утверждения, но в описанном
выше более общем контексте. Перейдём к формулировке теоремы, доказательству которой
посвящена пятая глава.

Теорема 6. Предположим, что набор дифференциальных операторов T таков, что среди
старших частей этих операторов найдутся по крайней мере 2 линейно независимые (при
некотором выборе допустимой гиперплоскости Λ). Тогда C T (Tn ) не имеет локальной без-
условной структуры. Кроме того, если C T (Tn )∗ изоморфно подпространству простран-
ства Y с локальной безусловной структурой, то Y равномерно содержит пространства
`k∞ .

Положения, выносимые на защиту
Теорема 1, Теорема 2, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 5, Теорема 6.

Заключение
В заключение перечислим ещё раз результаты настоящей диссертации.

1. Установлено наиболее общее описание вида Литтлвуда–Пэли пространства BMO.

2. Доказано неравенство Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для ограниченных систем
Виленкина.

3. Получено обобщение неравенства Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для системы
Уолша на случай функций, принимающих значения в некоторых банаховых решётках.

4. Установлены геометрические свойства пространств гладких функций на торе — в част-
ности, доказано, что в таких пространствах нет локальной безусловной структуры.