Формирование когерентного излучения многоатомными системами

Во введении обсуждается актуальность темы работы, научная новизна, указаны
цели работы и положения, выносимые на защиту.
В первой главе дан обзор литературы, относящейся к теме работы.
Во второй главе исследуется поведение систем с активными средами при накачках ниже порога генерации когерентного излучения. Известно, что взаимодействие активной среды с ЭМ полем приводит к гибридизации поляризации активной среды и мод ЭМ поля. В диссертации показано, что при некотором подпороговом значении накачки в результате синхронизации мод свободного пространства происходит формирование выделенной моды ЭМ поля, локализованной на активной среде. При этом степень локализации растет с увеличением накачки. При ещё большем значении накачки в локализованной моде начинается когерентная генерация.
В рамках диссертации показано, что образование выделенной моды связано с наличием в пространстве параметров системы так называемой исключительной точки (exceptional point). Исключительная точка (ИТ) – это набор параметров, при которых несколько собственных мод в системе становятся линейно зависимыми, а их собственные частоты совпадают [17]. Ранее ИТ рассматривали лишь в системах с несколькими выделенными модами резонатора или волновода [17]. В диссертации показано, что ИТ наблюдаются в системах с активной средой без резонатора. Показано, что собственные частоты пары гибридизованных мод ЭМ поля и активной среды ниже ИТ начинают сближаться, и две из них слипаются или подходят друг к другу очень близко (см. рис. 1). Выше ИТ структура полей мод, соответствующих сталкивающимся частотам, начинает меняться, а сами частоты отталкиваются с ростом накачки. При этом одна из этих двух мод становится сильно локализованной на активной среде, а ее частота движется вверх в комплексной плоскости, а все остальные частоты, включая вторую столкнувшуюся,
начинают двигаться вниз. Заметим, что ИТ-подобный переход наблюдается как в системах с резонатором, так и в системах без резонатора. Таким образом, явление формирования сильно локализованной моды в ИТ подобном переходе охватывает широкий круг систем и является предвестником когерентной генерации в системе. В связи с этим ИТ переход предложено называть предпорогом когерентной генерации.
Рис. 1. Поведение собственных частот в распределенной системе в зависимости от скорости накачки активной среды. Горизонтальная прямая характеризует начало лазерной генерации.
В третьей главе представлено исследование когерентных свойств излучения активных сред с пренебрежимо малым отражением на границе. В таких средах при больших накачках, когда инверсия населенности среды становится положительной, спонтанно испущенные фотоны покидают активную среду, но при распространении по активной среде вызывают дополнительные индуцированные переходы [18]. Если коэффициент усиления среды достаточно велик, то индуцированные переходы приводят к тому, что интенсивность излучения на выходе из активной среды значительно превышает суммарную интенсивность спонтанного излучения отдельных атомов. При ещё больших накачках, когда инверсия населенности приближается к единице, начинает сказываться нелинейность активной среды, и рост мощности излучения с ростом накачки замедляется. Иными словами, зависимость выходной мощности от мощности накачки имеет S- образную форму, что напоминает поведение выходной интенсивности лазера. Необходимо отметить, что в активных средах с пренебрежимо малым отражением наблюдается сужение спектра излучения с ростом накачки вследствие частотной дисперсии [19]. Сужение линии с ростом накачки наблюдается и у лазеров, но отличие состоит в том, что у сред без отражения на границе ширина линии уменьшается лишь до конечного предела, определяемого размером среды, в то время как у лазеров линия излучения сужается обратно пропорционально интенсивности излучения, в соответствии с законом Шавлова-Таунса [1].
Изменение интенсивности и ширины линии излучения в зависимости от накачки свойственно и лазерам, однако в лазерах перегиб S-образной кривой генерации и сужение линии всегда обусловлены началом когерентной генерации (см. рис. 2а). Напротив, в активных средах с пренебрежимо малым отражением на границе перегиб S-образной кривой и сужение линии могут как наблюдаться без начала когерентной генерации, так и сопутствовать когерентной генерации (см. рис. 2б). Более того, возможна ситуация, когда когерентная генерация в системе присутствует, но происходит не в точке перегиба, а при значительно большей накачке (см. рис. 2в). В третьей главе рассмотрен вопрос, как связаны наличие порога когерентности в системе с пренебрежимо малым отражением и S- образная зависимость выходной мощности от накачки.
Рис. 2. (а) Кривые генерации для одномодового лазеров с порогом генерации γP =1.6γD
(зеленая сплошная линия) и для одномодового лазера, где порог генерации недостижим (синяя пунктирная кривая). (б) Кривые генерации для системы с пренебрежимо малым отражением с порогом генерации γP =3.8γD (черная сплошная линия) и для системы с
пренебрежимо малым отражением, где порог генерации недостижим (красная пунктирная кривая). (в) Кривые генерации для системы с пренебрежимо малым отражением с порогом генерации γP =3.8γD (черная сплошная линия) и для системы с
порогом генерации γ P = 9.1γ D (красная пунктирная кривая). Кривые получены численным моделированием уравнений Максвелла-Блоха с шумом.
В первом параграфе третьей главы исследовано поведение излучения системы, в которой предпорога нет. А именно, исследуется зависимость от накачки значения автокорреляционной функции второго порядка излучения при нулевом запаздывании,
g(2)(0)= I2 / I 2 (1)
Здесь I – интенсивность излучения. Показано, что даже в том случае, когда в системе наблюдается S-образная зависимость выходной мощности от накачки, g(2) (0) = 2 ,
независимо от мощности накачки. Из этого следует, что появление когерентности второго порядка не связано с истощением инверсии населенности активной среды. Сравнение поведения излучения в системах с отражением и без отражения осуществлено при
помощи численного решения распределенных уравнений Максвелла-Блоха с шумом [20]. Результаты представлены на рис. 3a. В обеих системах наблюдается резкий рост выходной мощности, начиная с некоторой накачки, однако лишь у лазера функция когерентности второго порядка начинает спадать при дальнейшем увеличении накачки [20].
Рис. 3. Сравнение когерентности второго порядка излучения активной среды с пренебрежимо малым отражением, где отсутствует предпорог (а) и где присутствует предпорог (б).
Во втором разделе параграфе третьей главы показано, что в системе из активной среды с пренебрежимо малым отражением возможна генерация когерентного света. Необходимым условием когерентной генерации является достижение порога появления моды с локализованным на активной среде полем (см. первую главу). В этом случае моды ЭМ поля свободного пространства синхронизируются с поляризацией активной среды, что приводит к резкому увеличению силы взаимодействия между ЭМ полем и активной средой. Тем самым обеспечивается обратная связь и становится возможной когерентная генерация. Численное моделирование распределенных уравнений Максвелла-Блоха с шумом [20] показало, что для достижения режима когерентной генерации в активной среде с пренебрежимо малым отражением необходим большой коэффициент усиления. Например, в одномерном случае необходимо, чтобы выполнялось условие Gl > 5 , где G – коэффициент усиления активной среды, l – длина участка активной среды. Результаты численного моделирования поведения свойств излучения для системы с Gl ≈ 25 изображены на рис. 3б. Сначала наблюдается перегиб в кривой генерации, при больших накачках g(2) (0) выходного излучения начинает падать с 2 до 1.
Таким образом, в рамках второй главы показано, что в активных средах с
пренебрежимо малым отражением возможно падение g(2)(0) до 1 с ростом накачки,
однако данное изменение не связано с S-образной формой кривой генерации. Так, перегиб в кривой генерации может как наблюдаться в отсутствии когерентной генерации, так и наблюдаться при значительно меньшей накачке, чем необходимо для начала когерентной генерации. В этом состоит принципиальное отличие систем с пренебрежимо малым
отражением от лазеров, где наличие перегиба в кривой генерации связано с началом генерации. Для активных сред с пренебрежимо малым отражением на границе перегиб кривой генерации связан с нелинейностью среды, а начало когерентной генерации связано с формированием выделенной гибридизованной моды.
Отметим, что для корректного описания активной среды, помещенной в свободное пространство, необходимо рассматривать бесконечное число мод, так как взаимодействие каждой отдельной моды с активной средой стремится к нулю при увеличении L. Аналитическому исследованию данной задачи посвящена следующая глава диссертации.
В четвертой главе выявлена роль локальной плотности состояний электромагнитного поля оптической структуры в генерации когерентного излучения.
Для квантования ЭМ поля в диссертации, в соответствии с подходом из [21], свободное пространство моделируется при помощи трехмерного «ящика» конечного размера с идеально отражающими стенками. Для системы, состоящей из активной среды, оптической структуры и «ящика», уравнения Максвелла-Блоха на комплексные амплитуды an мод электромагнитного поля (n – номер моды), комплексные поляризации
σm атомов активной среды и на инверсии населенности Dm атомов активной среды (m – номер атома) выглядят следующим образом [1]:
где ωn
– собственная частота n-ой моды ЭМ поля. ωTLS – частота рабочего перехода
dan /d−t= (+γa iωn)−an iΩ∑ ∗ σ ,
(2)
dσ/d−t=(+γ iω)+σ iDΩ∑a,
mDmmm
nm n m nm n m n,m
nm m m
(3) dD /dt=−γ (D +1)−γ (D −1)+2i∑(Ω aσ −Ω aσ ), (4)
m σTLSmm
n
nm n
pump ∗∗ *
атомов активной среды. γσ – скорость поперечной релаксации атомов активной среды; γD
– скорость продольной релаксации атомов активной среды; γ pump – скорость некогерентной
m
накачки m-ого атома активной среды; γa – скорость потерь в каждой из мод ЭМ поля. Ωnm
– константа связи n-ой моды ЭМ поля с m-ой частицей активной среды, величина которой определяется произведением амплитуды поля n-ой моды в точке расположения m-ого атома на дипольный момент m-ого атома.
Для того чтобы электромагнитное излучение, испущенное активной средой, не возвращалось в активную среду после отражения от границ «ящика» и не влияло на процесс генерации, были введены малые дополнительные потери во все моды γa (см.
уравнение (2)). При таком подходе излучение системы покидает резонатор и не 12

возвращается даже при конечном размере «ящика» т.е. фактически на границе активной среды поставлены абсолютно поглощающие граничные условия.
В диссертации аналитически проведено исключение амплитуд мод ЭМ поля в бесконечной системе уравнений (2)-(4). Затем был произведен переход к пределу бесконечного «ящика», а дополнительные потери в модах были устремлены к нулю. Такой предел соответствует решению, в котором происходит излучение волн из активной среды в свободное пространство [22]. В итоге мы приходим к интегральному уравнению на среднюю поляризацию активной среды S (x) в окрестности точки x :
3 Ω (x,k)∫d3yn(y)Ω* (y,k)S(y) dkαα
∑
α (2π)  γ +i(ω −ω ) γ +i(ck−ω )
S(x)=D0(x) ∫ (  (5)
)( 
σ TLS g
где n(y) – концентрация атомов в окрестности точки y, D0(x) – средняя инверсия
населенности атомов, создаваемая некогерентной накачкой в окрестности точки x; Ωα (k,x) – константа связи между модой электромагнитного поля с волновым вектором k
и поляризацией α и активными атомами в точке x ; ωg – частота, на которой происходит
когерентная генерация. Отметим, что по отдельности каждая из мод свободного пространства даёт пренебрежимо малый вклад в интеграл (5), т.е. в рассматриваемой системе генерация на одной моде невозможна.
Суть уравнения (5) заключается в том, что для заданного D0(x) наличие нетривиального решения интегрального уравнения (5) означает наличие генерации при
данном D0 (x) . В случае оптической структуры, в которой имеющиеся максимумы
плотности состояний позволяют выделить одну моду, величина порога, предсказываемая выражением (5), совпадает с предсказаниями теории одномодового лазера [1, 20]. Однако, выражение (5) предсказывает когерентную генерацию и в системе без максимумов плотности состояний, когда одномодовая теория не предсказывает генерации.
Для случая активной среды, заключенной в субволновом объеме, значение пороговой инверсии населенности можно найти аналитически:
Dth =γσ /Nγsp (6)
где N – полное число атомов активной среды; Dth – стационарная инверсия населенности
активной среды, создаваемая некогерентной накачкой; γsp – скорость спонтанного
излучения для единичного атома активной среды, находящегося в рассматриваемой оптической структуре.
ag
)

Условие (6) соответствует возникновению в системе незатухающих синхронизованных колебаний ЭМ поля и поляризации активной среды. Существенно, что полученное условие может выполняться для среды, помещенной в свободное пространство, где выделенные моды, на которых могла бы происходить генерация, изначально отсутствуют. В этом случае для достижения генерации необходимо, чтобы сами атомы активной среды создавали максимум плотности состояний ЭМ поля (см. главу 2). Таким образом, для когерентной генерации в активной среде необязательно помещать среду в структуру с максимумами в плотности состояний.
Отметим, что в соответствии с условием (6) формально Dth может принимать значения больше единицы, т.е. порог может быть недостижим. Однако, так как входящая в
(6) величина γsp зависит от локальной плотности состояний (эффект Парселла [23]), то
увеличивая эту плотность можно сделать порог генерации достижимым за счет добавления структур, увеличивающих плотность состояний. Например, известно, что для ε  1 плотность состояний вблизи диэлектрической поверхности может в 2 раза превосходить таковую в вакууме, таким образом, характерная скорость излучения молекул красителя может достигать γ sp = 2 1×0−6 ω . Для характерных скоростей затухания
красителей γσ = 0.05ω получаем, что для N = 4 1×04 молекул порог генерации составляет
Dth ≈ 0.6 . При концентрации n = 5 1×018 cm−3 такое количество молекул помещается в
объем с характерным размером 200нм , т.е. в субволновом объеме. Важно отметить, что без диэлектрической пластины при тех же прочих параметрах порог генерации равен
Dth ≈ 1.2 , т.е. является недостижимым.
Таким образом, в четвертой главе показано, что резонатор (или иная структура, влияющая на плотность состояний) не является необходимым для формирования когерентного излучения в активной среде. Роль резонатора сводится к уменьшению порога когерентной генерации в среде за счет увеличения локальной плотности состояний.
В пятой главе представлен новый подход к генерации когерентного излучения за счет параметрической неустойчивости в системе с активной средой, помещенной в одномодовый резонатор.
Существованию параметрической неустойчивости лазер обязан наличию т.н. исключительной точки в пространстве параметров. Как упоминалось ранее, исключительной точкой называют определенное значение параметров системы, при котором её собственные вектора совпадают [24]. В системе, состоящей из одномодового
резонатора и активной среды с совпадающими частотами, исключительная точка
находится при отрицательном значении инверсии населенности, равном
D −= (−γ γ )2Ω/4 2N , где γ – скорость потерь в резонаторе, γ – дефазировка EP aσ Rat a σ
частиц активной среды, ΩR – константа связи частиц активной среды с модой резонатора,
Nat – количество активных частиц в резонаторе. Необходимо отметить, что поведение
мод в системе с активной средой в одномодовом резонаторе и в системе с активной средой без резонатора (рассмотренной в главе 2) совпадают вблизи ИТ (см. рис. 1).
При постоянной накачке генерация в обоих случаях будет происходить выше ИТ, при положительной инверсии населенности, когда собственная частота одной из мод переходит в верхнюю полуплоскость. В настоящей главе показано, что в лазере с одномодовым резонатором когерентная генерация может наблюдаться ниже ИТ, при отрицательной инверсии в активной среде. Ниже исключительной точки, D < DEP , спектр излучения лазера расщепляется на два пика [25] (так называемый режим сильной связи). Это соответствует тому, что действительные части частот собственных решений системы отличаются. В этом случае динамика системы сводится к затухающим колебаниям энергии между частицами активной среды и ЭМ полем резонатора. Частота этих колебаний зависит, в частности, от инверсии населенности активной среды. Периодически меняя инверсию населенности активной среды, можно динамически изменять частоту колебаний энергии и добиться эффекта параметрической раскачки, подобно тому, как это происходит в классическом осцилляторе с варьируемой частотой. За счет параметрической раскачки оказывается возможным преодолеть естественные потери, присутствующие в активной среде и в резонаторе. В этом случае, как показано в диссертации, система начинает излучать когерентный свет (см. рис. 4). При этом спектр излучения имеет форму двух узких пиков вблизи частоты перехода активной среды. Рис. 4. Сравнение ширин линий излучения (а) и функций когерентности второго порядка (б) для лазера в режиме параметрической раскачки (черная крива) и в режиме постоянной накачки (красная кривая). В шестой главе рассматривается явление сверхосцилляций Берри. Явление заключается в том, что при определенных соотношениях частот и амплитуд осциллирующие сигналы при интерференции дают сигнал, частота которого локально значительно превосходит любую из характерных частот исходных сигналов (см. рис. 5). Данное явление получило приложения как в классической оптике [26], так в квантовой физике [27]. Рис. 5. Функция f (t ) , испытывающая сверхосцилляции на частоте ω = 40 . Функция f (t ) представляет из себя косинусы с частотами от 1 до 10. Первый параграф шестой главы посвящен исследованию возможностей сверхосцилляций в оптике и радиофизике [12, 16]. А именно, рассматривается метод построения сверхосциллирующих функций, основанный на аппроксимации быстро осциллирующей гармонической функции медленно осциллирующими гармониками. Предложенный метод обеспечивает высокую степень гармоничности сверхосциллирующих колебаний (см. рис. 5). Показано, что для достижения сверхосцилляций, близких к гармоническим, необходимы большие амплитуды аппроксимирующих гармоник. При этом, с увеличением как длительности, так и частоты сверхосциллирующего цуга, необходимые амплитуды экспоненциально растут, что ограничивает применимость сверхосцилляций. Во втором параграфе шестой главы рассматривается возможность использования явления сверхосцилляций Ааронова-Берри для создания инверсии населенности в квантовой точке (КТ) за счет ближнепольного взаимодействия с другими КТ, обладающими низкими частотами перехода. Частоты перехода КТ, участвующих в создании инверсии населенности, несоизмеримы с частотой перехода КТ с большой частотой перехода, таким образом, многофотонные переходы исключены. Как видно на рис. 6, инверсия населенности КТ сначала испытывает осцилляции, затем достигает некоторого максимального значения, после чего амплитуда осцилляций значительно уменьшается, и далее инверсия населенности КТ затухает экспоненциально. Такое поведение обусловлено тем, что на начальном интервале времени ближние поля низкочастотных КТ складываются в сверхосциллирующий цуг, находящийся в резонансе с высокочастотной КТ. Этот цуг возбуждает КТ, а затем интервал сверхосцилляций заканчивается, и вне резонанса поле низкочастотных КТ слабо взаимодействует с высокочастотной КТ. Рис. 6. Динамика инверсии населенности высокочастотной квантовой точки, взаимодействующей с ансамблем низкочастотных КТ. В заключении приведены основные результаты диссертационной работы. Основные результаты работы. 1. Показано, что когерентной генерации предшествует гибридизация свободных мод ЭМ поля с поляризацией атомов активной среды вблизи ИТ-подобной точки, что приводит к формированию выделенной моды, локализованной на активной среде. 2. Показано, что если в системе не достигается порог формирования локализованной моды, то g(2) (0) равно 2 как ниже, так и выше изгиба кривой генерации. 3. Показано, что в активной среде возможна генерация когерентного излучения даже в том случае, когда среда находится в пустом пространстве, где отсутствуют выделенные частоты. Для начала генерации в такой среде необходимо, чтобы сформировалась локализованная мода. 4. Модуляция накачки в лазере ниже исключительной точки способна возбудить когерентное излучение при отрицательной инверсии активной среды. Найдены параметры, при которых такой эффект возможен. 5. Показано, что для создания гармонического сверхосциллирующего поля необходимы затраты энергии, экспоненциально растущие как с увеличением длины сверхосциллирующего интервала, так и с увеличением частоты сверхосциллирующего сигнала. 6. Показана возможность возбуждения высокочастотной квантовой точки ближними полями низкочастотных квантовых точек за счет явления сверхосцилляций.