Геометрическое моделирование линий и поверхностей теоретико-прикладного назначения на основе циклографического отображения

Во введении к диссертационной работе обоснована актуальность темы исследования, на основе анализа литературных источников оценена степень разработанности темы, определены и сформулированы цель и задачи исследования. Представлены научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов исследования, перечислены применяемые методы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе на основании анализа существующих научных и прикладных отечественных и зарубежных публикаций выявлены теоретико-прикладные задачи, решения которых актуальны как для практики, так и для инженерной геометрии в части развития и наполнения ее теоретичного базиса и в части расширения области ее практических применений.
В геометрической оптике известна задача по нахождению одного из элементов триады «источник-отражатель-приемник» при задании двух других, не имеющая полного решения. Анализ циклографического метода отображения показывает, что элементы, составляющие циклографическую проекцию пространственной кривой, обладают оптическими свойствами триады «источник-отражатель-приемник». Поэтому исследование и решение указанной задачи геометрической оптики на основе циклографического отображения актуально.
В современных подходах к проектированию автомобильных дорог различного назначения существуют задачи проектирования, где от модели требуется целостность и выполнение определенных математических условий, например, высокий порядок гладкости стыковки элементов модели, что не всегда возможно в случае используемой в большинстве САПР-АД триангуляционной модели. Если обратиться к циклографической модели пространственной кривой, то можно заметить, что пространственная кривая, ее циклографическая проекция и поверхностные формы циклографической модели соответствуют оси дороги, ее проекции в плане и поверхностным формам проезжей части автомобильной дороги. Учитывая, что в циклографической модели пространственной кривой отсутствует необходимость в приближенных вычислениях, а все элементы модели взаимосвязаны и тем самым определяют целостность модели, становится очевидной актуальность исследований построения поверхностных форм автомобильной дороги на основе циклографической модели пространственной кривой линии.
В теории измерения псевдодальностей в спутниковых системах локации известна математическая модель определения координат приемника на поверхности Земли. Модель представляет собой систему из четырех квадратичных уравнений, решение которой выполнятся приближенно. Достижение максимальной точности решения системы актуально, поскольку погрешности вычислений в совокупности с погрешностями измерений приводят к существенным ошибкам локации. Поскольку каждому уравнению системы может быть дана циклографическая интерпретация в пространстве R4, то совместное рассмотрение четырех циклографических интерпретаций поможет преобразовать систему уравнений до получения аналитического решения. В этой связи задача исследования существующей математической модели и ее преобразование до получения аналитического решения является также актуальной.
Установлено, что для решения вышеприведенных задач с помощью метода циклографического отображения необходимо проведение теоретических исследований, ориентированных на специализацию и расширение возможностей метода циклографического отображения для решения каждой из рассмотренных задач.
Во второй главе рассматриваются вопросы теоретического развития метода циклографического отображения. На основании аналитического алгоритма образования циклографической α-проекции (полуугол α при вершине проецирующего конуса равен 45°) получены параметрические уравнения β- и β(t)-проекций пространственной кривой
линии P(t)(x(t),y(t),z(t)); tR: T0 tT гладкости Ck , k 1, 2, … . В случае β- проекции полуугол β при вершине проецирующего конуса принадлежит интервалу 0    90 . В случае β(t)-проекции полуугол β определяется монотонной, непрерывной и дифференцируемойфункциейf(t),tR:T0tT,гдеB0(t)B,BB0,B0 0,
B  90 . Уравнения β(t)-проекции можно считать обобщенными циклографической проекции. Эти уравнения имеют следующий вид:
x(t)/ (z(t)/ e(t)e(t)/ z(t)) y(t)/ x(t)(1,2)(t)x(t)z(t)e(t) (x(t)/)2 (y(t)/)2
y(t)/ (z(t)/ e(t)e(t)/ z(t)) x(t)/ y(t)(1,2)(t) y(t)z(t)e(t) (x(t)/)2 (y(t)/)2
N N
уравнения ,
(1)
,
Для β(t)-проекции на основании равенства углов между нормалями, проведенными к
где N (x(t)/)2 (y(t)/)2 (z(t)/ e(t)e(t)/ z(t))2, e(t)tg(t).
ветвям циклографической проекции P (t) и P (t), пересекающимися в их общей
(1)(t) (2)(t)
точке на ортогональной проекции P (t) исходной пространственной кривой P(t) (рисунок
1), и касательной, проведенной к линии P (t) , было доказано наличие оптического 1
свойства. Это свойство циклографической проекции заключается в следующем:
направленный по нормали от источника световой луч, в данном случае от линии P (t) , (1)(t)
отражаясь от линии-отражателя P (t) , также по нормали попадает на приемник P
1 (2)(t)
(t) . При совместном рассмотрении исходной кривой P(t) и циклографической проекции P (t )(1,2) (t) , можно получить линейчатую поверхность Φ (t ) , уравнения которой могут быть
записаны следующим образом:
Рисунок 1 – Циклографическая  (t) -проекция пространственной кривой
Полученные уравнения измененной циклографической проекции имеют вид:
преобразование перехода
X t,l xtlx txt, Φ,(t)  (t)(1,2) 
Y t,l ytly t yt, (2) Φ,(t)  (t)(1,2) 
ZΦ,(t) t,lzt1l,T0 tT,L0 lL.
Для решения определенного круга задач, в которых требуется, чтобы прямолинейные образующие поверхности (2) находились в плоскостях, перпендикулярных ортогональной проекции исходной кривой, была показана возможность перехода от циклографической проекции (1) к новой проекции – измененной циклографической проекции. Переход основан на «доворачивании» образующих прямых проецирующих β-конусов в нормальную по отношению к линии
P1 t
плоскость. На
z  0
путем образующих:
AС  AС 11 111
плоскости
происходит
проекций
A B  A B и 11 111
(рисунок 2).
x (t)  x(t)  Ψ,(t)(1,2)
y(t)/ (z(t)e(t)) (x(t)/)2 (y(t)/)2
,
(3) yΨ,(t)(1,2)(t)y(t) (x(t)/)2 (y(t)/)2 .
x(t)/ (z(t)e(t))
Уравнения (3) определяют кривую, которая может быть названа квазиэквидистантой по отношению к ортогональной проекции P1 t 
исходной кривой P t  , где роль переменного параметра, определяющего расстояния удаления
точки квазиэквидистанты от точки кривой P1 t  выполняет параметр (t)  z(t)e(t).
Очевидно, что уравнения (2) также применимы для получения линейчатых
Рисунок 2 – Схема образования измененной циклографической проекции

поверхностей, направляющими линиями которых являются кривая P(t) и найденная от
нее измененная циклографическая проекция. Из исследования полученных поверхностей по условию развертываемости установлено, что линейчатые поверхности, образованные в случае циклографических α- и β-проекций, являются развертывающимися, а поверхности, образованные в случае циклографической β(t)-проекции и изменой циклографической проекции – неразвертывающимися.
Если в качестве исходной пространственной кривой выступает сплайн a (рисунок 3), состоящий из сегментов (полиномиального, Безье, B-сплайна и др.), состыкованных по
гладкости Ck , k  N , возникает вопрос о гладкости на сегментах циклографической проекции этого сплайна. Стыковка по гладкости Ck , k  N , что означает, что в каждой т о ч к е Pn с т ы к о в к и п а р ы с е г м е н т о в a n и a n  1 в ы п о л н я ю т с я у с л о в и я р а в е н с т в а
непрерывных производных до порядка k включительно векторных функций Pn(t) и
P n1
(t ) , t 0,1, описывающих эти сегменты.
P n1
(t) выразить уравнения
a исходного сплайна, n1
Если (t)  x
P (t)  x (t), y (t), z (t) nnnn
n1 уравнению (1)
n1 n1
двух
получаем:
циклографических
P (t)x (t),y (t); P (t)x (t),y (t),
обозначить (t), y (t), z
проекций a ( n ) (n) (n) (n) (n1) (n1) (n1)
векторные функции
сегментов a и n
и а по и a ( n 1) , то
где
x (t)  F (x (t), x/ (t); y/ (t); z (t), z/ (t)), (n) x(n)n n n n n
y (t)F (x/(t);y (t),y/(t);z (t),z/(t)), (n) y(n)n n n n n
(4)
x (t)  F (x (t), x/ (t); y/ (t); z (t), z/ (t)), (n1) x(n1) n1 n1 n1 n1 n1
(5) при этом штрихами обозначены соответствующие производные по параметру t исходной
y (t)  F (x/ (t); y (t), y/ (t); z (t), z/
 (n1)  y(n1) n1 n1 n1 n1 n1
(t)),
кривой a. Функции F x(n) , F y(n) , F x(n1) , F y(n1) представляют собой каждая комбинации
арифметических операций с координатными функциями от параметра t, указанными в скобках.
Если в точке стыка исходных сегментов an и an1 выполняются гладкости C0 и C1 , то в соответствующей точке стыковки их циклографических проекций a ( n ) и a ( n 1)
выполняется гладкость C0 . Действительно, стыковка по гладкости C0 и C1 исходных 
сегментов обеспечивается условиями:
xn(t1)xn1(t0); yn(t1)yn1(t0); zn(t1)zn1(t0);
(6)
(7)
.
x/(t1)x/ (t0); y/(t1)y/ (t0); z/(t1)z/ (t0). n n1 n n1 n n1
Эти условия на основании (4) и (5) приводят к получению равенств: x(n)(t1)x(n1)(t0); y(n)(t1)y(n1)(t0),
обеспечивающих гладкость C0 стыковки циклографических сегментов a и a
 (n) (n1)
Очевидно, что последовательное добавление к условиям (6) новых условий гладкости
приводит последовательно к появлению гладкостей соответственно C1 ,C2,…,Сk1 в точке 
стыковки циклографических сегментов a ( n ) и a ( n 1) . Вышеизложенное позволяет
сформулировать следующее утверждение для пространственной полиномиальной сплайн- кривой с закрепленными граничными условиями: последовательное выполнение в точках
стыковки сегментов P(t)   A ti сплайн-кривой равенств непрерывных производных
векторных функций до k -го порядка включительно, описывающих сегменты, достаточно для достижения гладкости С k 1 в точке стыковки циклографических образов этих
сегментов.
В случае пространственной полиномиальной сплайн-кривой со свободными, т.е. без
k1
i i0

закрепления, граничными условиями получаем, что последовательное выполнение в k1
точках стыковки сегментов P(t)   A ti сплайн-кривой равенств непрерывных
i i0
производных векторных функций до (k 1) -го порядка включительно, описывающих сегменты, достаточно для достижения гладкости Сk в точках стыковки
циклографических проекций этих сегментов.
Полученные во второй главе теоретические результаты положены в основу решения
прикладных задач геометрической оптики и формообразования поверхностных форм автомобильной дороги.
Третья глава посвящена изучению конструктивных задач геометрической оптики. В этих задачах выделяется оптическая триада геометрических объектов, состоящая из источника излучения, отражателя и приемника преобразованных световых лучей. Если рассматривать триаду «источник-отражатель-приемник» как один цельный объект с его взаимозависимыми объектами: источником, отражателем и приемником, то естественной является задача определения одного из этих объектов по двум заданным.

Рисунок 3 – Сплайн a и его циклографический образ a
Источники излучения в геометрической оптики на плоскости принято задавать пучками прямых. Точечный источник изображается центральным пучком прямых, а бесконечно удаленный источник, лучи которого параллельны между собой – параллельным пучком прямых. Существует также рассеянный пучок прямых, которому на плоскости ставится в соответствие кривая линия, представляющая собой волновой фронт излучения, лучи которого направлены по нормали в каждой точке этой кривой. Преобразование одного пучка прямых в другой осуществляется с помощью
элемента, называемого отражателем.
В циклографическом моделировании пространственной кривой существует прямая и
обратная задачи. Прямая задача заключается в том, что по заданной пространственной кривой P(t) требуется найти ее циклографический образ P (1,2) (t) . Обратная задача
заключается в определении прообраза P(t) (пространственной кривой) по ее заданному циклографическому образу P (1,2) (t) . Таким образом, задачу определения неизвестного
элемента оптической триады по двум заданным можно решить на основе решения прямой или обратной задачи циклографического моделирования пространственной кривой.
Решение прямой и обратной задач циклографического моделирования применительно к задачам геометрической оптики определяет пространственный циклографический образ каждого из применяемых пучков прямых. Отметим, что для простоты решения здесь и

далее будем использовать циклографическую α-проекцию. Использование β-проекции также возможно, но с соответствующей поправкой на tg . Центральному пучку прямых
поставим в соответствие прямолинейные образующие α-конуса. На плоскости проекций центральный пучок задается окружностью – основанием α-конуса, а центр пучка есть ортогональная проекция вершины конуса. Пространственный образ параллельного пучка прямых – пучок параллельных α-прямых, наклоненных к плоскости проекций под углом 45°, образующих плоскость. След данной плоскости является носителем параллельного пучка на плоскости проекций. Пространственным образом рассеянного пучка являются образующие торсовой α-поверхности, где направляющими этой поверхности являются исходная кривая линия на плоскости и пространственная кривая, ортогональной проекцией которой является эволюта исходной кривой, а координатой z – радиусы кривизны в каждой точки этой эволюты.
Рассмотрим теперь алгоритм решения прямой задачи в общем виде. Дана одна из ветвей циклографической проекции, например P (1) (t) , и ортогональная проекция
пространственной кривой P1(t) , при этом необходимо определить кривую P (2) (t) .
Примем кривую P (1) (t) за источник излучения, кривую P1 (t) за отражатель.
1. Источнику излучения ставится в соответствие его пространственный циклографический образ – α-поверхность Φ(1) и ее уравнение. Отражателю – кривой
P1(t), пространственный образ – проецирующая цилиндрическая поверхность Γ и ее уравнение, где кривая P1(t) играет роль направляющей.
2. Определяется пространственная линия P(t), как результат совместного решения уравнений поверхностей Φ (1) и Γ .
3. По уравнениям (1) определяется циклографическая α-проекция кривой P(t), в
которой одна из ветвей, в данном случае P (1) (t) совпадет и источником излучения, а
другая – P (2) (t) будет искомым приемником излучения. На рисунке 4 показана последовательная визуализация решения прямой задачи в случае заданного центрального источника излучения A0 и криволинейного отражателя P1 .
абв
Рисунок 4 – Пример решения прямой задачи: а) исходные данные – центральный
источник A0 и криволинейный отражатель P1 ; б) пространственная визуализация решения прямой задачи; в) итоговый результат – искомый приемник P ( 2 )
Рассмотрим алгоритм решения обратной задачи, в которой по циклографическому образу P (1,2) (t) требуется восстановить в пространстве кривую P(t) .
1. Заданным на плоскости проекций z  0 кривым P (1) (t) и P (2) (t) ставится в соответствие их пространственные циклографические образы – α-поверхности Φ(1) и
Φ (2) соответственно.
2. Определяется пространственная линия пересечения поверхностей
P(t)Φ Φ . (1) (2)
3. Ортогональная проекция P1(t) полученной пространственной кривой P(t) , исходя из оптического свойства циклографической проекции, будет являться искомым отражателем для пары источник-приемник P (1,2) (t) .
На рисунке 5 представлен пример циклографического решения обратной задачи оптического преобразования рассеянного пучка прямых в параллельный.
абв
Рисунок 5 – Пример решения обратной задачи: а) исходные данные – рассеянный пучок
P (1)
и параллельный пучок P ( 2 ) ; б) пространственная визуализация решения обратной задачи; в) итоговый результат – искомая отражательная линия P1
В случае, когда исходные или
Рисунок 6 – Множество приемников при нахождении катакаустики оптической системы
найденные
проектировании
оказываются
действительные лучи при отражении от отражателя фактически на эти приемники не попадут, необходимо найти катакаустику оптической системы. На рисунке 6 представлен пример решения прямой задачи при заданном точечном источнике K(x0,y0) и криволинейном
отражателе f0 (xf (t), yf (t)) в
соответствии с вышеописанным алгоритмом. Из рисунка 6 очевидно, что полученный приемник a12 является мнимым, т.к. расположен за отражателем. Циклографическим образом приемника, в данном случае линии a12 , является α- поверхность. Для ее определения
приемники при оптических систем «мнимыми», т.е.

строится эволюта b . Очевидно, что по отношению к эволюте b можно построить 12 12
однопараметрическое множество эвольвент, одной из которых и является кривая a12 .
Уравнения эвольвенты известны в дифференциальной геометрии кривых линий.
Таким образом, полученное множество эвольвент представляет собой модель
волнового фронта, отраженного от отражателя f , а эволюта b будет являться 0 12
катакаустикой данной оптической системы. Очевидно, что отраженные лучи будут всегда направлены по нормали к любому из найденных приемников, т.к. приемники являются эвольвентами одной эволюты, что предоставляет возможность широкого выбора приемников при проектировании оптических систем подобного типа.
В четвертой главе рассматривается формообразование поверхностных форм автомобильных дорог методом циклографического отображения. Для этих целей используется измененная циклографическая проекция, т.к. она наиболее полно удовлетворяет отечественным типовым проектным решениям в области проектирования автомобильных дорог. Однако применение классической циклографической проекции при этом не исключается.
Пусть ось дороги задана пространственной кривой P(t)  (x(t), y(t), z(t));
tR:T0 t T , гладкости Ck , k 1, 2, … . По уравнениям (3) получаем измененную
циклографическую проекцию кривой P(t), и, соответственно, по уравнениям (2)
линейчатую поверхность Ψ  (t ) . Очевидно, что для придания требуемой ширины проезжей
части необходимо выполнить обрезку полученной линейчатой поверхности Ψ  (t ) . Обрезка
этой поверхности выполняется вертикальной цилиндрической поверхностью, полученной на линиях P t, представляющих собой квазиэквидистанты, найденные по уравнению
(3) и построенные от ортогональной проекции P1 t  оси дороги P(t) . Полуширина
e(1,2)
проезжей части h, а соответственно и длина образующей линейчатой поверхности проезжей части, постоянны, следовательно, расстояние до кривой P t  от линии P t 
e(1,2) 1
на плоскости проекций фактически является ортогональной проекцией образующей поверхности проезжей части и определяется коэффициентом t (см. уравнение (3)).
Тогда при известных значении полуугла  при вершине проецирующего конуса циклографического отображения и полуширине проезжей части h, коэффициент  t  можно выразить следующим образом: sin(t)h.
Таким образом, на линиях P t строятся проецирующие цилиндрические e(1,2)
поверхности, которые в пересечении с поверхностью Ψ  (t ) образуют искомые пространственные линии – кромки проезжей части (рисунок 7). Полученные уравнения
кромки проезжей части имеют вид:
xb(1,2) x(t) (x/(t))2 (y/(t))2 ,
(sin(t)h)x/ (t)
yb(1,2)y(t) (x/(t))2(y/(t))2, (8)
zb(1,2) z(t)(h/e(t)), T0 tT.
Ось дороги и полученная кромка (8) являются направляющими для линейчатой поверхности проезжей части. Кромка проезжей части в дальнейшем служит исходной пространственной линией для получения бровки обочины и ее поверхности. В завершении
(sin (t)h) y/ (t)

формообразования поверхностей выполняется проектирование поверхности откосов (насыпей) дороги, при этом в качестве направляющей линии используется граничная бровка обочины.
Рисунок 7 – Схема получения кромки проезжей части автомобильной дороги
переходные
называемые
осуществляется
двухскатного
профиля
прямолинейном в плане участке к односкатному круговому в плане участку. На этих участках
в уравнении
полуугла 
(8) значение
должно быть
Чтобы найти изменения угла прямолинейных поверхности   f (t) ,
представляющую
плавную кривую, воспользоваться любым из известных сплайнов. Гладкость
переменным. функцию наклона образующих проезжей
части
собой можно
Относительно гладкости отсеков дорожного полотна, полученных методом циклографического отображения, очевидна неоднозначность, т.к. одна из направляющих поверхностей имеют гладкость стыковки
сегментов Ck , а другая Ck1 . Из анализа уравнений поверхности проезжей части, следует, что частные производные по параметру l, начиная со второй, обращаются в ноль. Значит
определения стыковки поверхностей
определяющими, в этом случае, будут частные производные по параметру t. Очевидно, что на границе отсеков стыкуемых поверхностей, исходя из зависимостей гладкости стыковки сегментов исходного сплайна и его циклографической проекции, гладкость
стыковки линий, принадлежащих этим поверхностям, не может быть меньше C k 1 . Следовательно, можно сделать вывод: гладкость стыковки отсеков линейчатых поверхностей, образованных при помощи метода циклографического отображения, по их общей образующей, равна гладкости стыковки сегментов циклографической проекции исходной пространственной кривой.
Наиболее сложными в получении поверхностных форм автомобильных дорог являются
Рисунок 8 – Пример визуализации поверхностей автомобильной дороги, выполненных на основе измененной циклографической проекции
участки, отгонами, где переход от поперечного дороги на

стыковки вводимой функции на ее концах будет определять и гладкость стыковки отсеков линейчатых поверхностей, в которых будет использована данная функция.
Таким образом, параметрические уравнения (8) определяют основные линии (кромку проезжей части, бровку обочины), участвующие в образовании поверхностных форм автомобильной дороги на любом участке автомобильной дороги. Дальнейшее получение поверхности проезжей части по уравнениям (2) позволяет формировать поверхностные формы автомобильной дороги с требуемыми геометрическими параметрами (рисунок 8).
В пятой главе рассматриваются элементы пространственной циклографии и циклографическая интерпретация решений системы n-квадратичных уравнений. На основе этой интерпретации предложено решение задачи определения псевдодальностных расстояний в системах спутниковой локации.
Под псевдодальностью понимается величина расстояния между спутником и приёмником на момент передачи и приёма радиосигналов с применением псевдослучайных кодовых посылок, генерируемых на спутнике и в приёмнике. Первые кодовые посылки формируются на основе показаний спутниковых часов, вторые – на основе показаний часов приёмника. Как известно, на орбите пространство-время имеет меньшее искривление из-за уменьшения гравитационного влияния Земли, из-за чего время там несколько отличается от земного, что вызывает погрешности в величинах измеряемых расстояний.
С учетом этих особенностей в теории измерения псевдодальностей получена и используется система квадратичных уравнений, в которой присутствуют четыре неизвестных: координаты точки стояния приемника (x1, x2 , x3 ) и поправка на уход часов
x4 . Для определения неизвестных необходимо, чтобы искомый объект находился под
одновременным наблюдением не менее четырёх спутников, что в свою очередь приводит к системе из четырех квадратичных уравнений, соответствующих расстояниям от приемника до каждого спутника соответственно. Представим эти уравнения в следующем виде:
F2(x,x ,x ,x )(x a )2 (x a )2 (x a )2 (x a )2 0, (9) i 1 2 3 4 1 i1 2 i2 3 i3 4 i4
где i 1,2,3,4. Коэффициенты ai1,ai2,ai3 – координаты одного из четырех спутников, ai4
– откорректированные значения псевдодальности до соответствующего спутника. Геометрическая интерпретация системы (9) известна и заключается в построение сферы, касательной к четырем заданным, и относится к задаче Ферма. Для получения аналитического решения этой системы выполним следующие действия. Вычитая последовательно, начиная со второго, каждое уравнение из первого, получим
эквивалентную систему уравнений [3]:
K2,3: F2(x,x,x,x)0, 1 11234
P3 : F2 F2  x  x  x  x  0, 1,2 1 2 111 122 133 144 15
P3:F2F2xxxx 0, 1,3 1 3 211 222 233 244 25
P3:F2F2xxxx 0. 1,4 1 4 311 322 333 344 35
(10)
В циклографической интерпретации в пространстве R4 систему (10) можно
представить следующим образом: первое уравнение системы описывает -гиперконус
K 2,3 , остальные три линейных уравнения описывают гиперплоскости P3 , P3 , P3 . Три 1 1,2 1,3 1,4
гиперплоскости в пространстве R4 пересекаются по некоторой прямой линии e. Таким образом, результатом решения системы (10) будут координаты двух точек (x , x , x , x ) и
(x *, x *, x *, x *) , образованных в пересечении прямой e и -гиперконуса K 2,3 . Тогда при 1234 1
фиксированных значениях коэффициентов aij :i, j 1,2,3,4 в уравнениях (10) получаем в
1234
пространстве R3 две сферы S2,2(x,x,x,R x ) и S2,2(x*,x*,x*,R x *),
x123 4 x*123 4 касательных к четырем заданным. Наличие двух сфер говорит о двух решениях системы уравнений (9), из которых, исходя из условия задачи измерения псевдодальностей, оставляется одно решение, представляющее собой координаты (x1, x2 , x3 ) приемника и
значения поправки x4 .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Выполнено обобщение метода циклографического отображения на основе введения β- и β(t)-проекций. Получены уравнения β- и β(t)-проекций пространственной кривой с полууглом β при вершине проецирующего конуса, как принадлежащим
интервалу 0    90 , так и определенного монотонной, непрерывной и дифференцируемой функцией  (t) . При этом у полученных проекций выявлено
оптическое свойство триады элементов, образующих каждую из проекций; сформулировано утверждение, определяющее зависимость значения гладкости стыковки сегментов исходной пространственной кривой, заданной в виде сплайн-кривой, и сегментов ее циклографической проекции; получен класс линейчатых поверхностей, как элементов модели циклографического отображения, и выполнено исследование этих поверхностей на наличие свойства развертываемости. Полученные результаты исследований развивают теоретические основы метода циклографического отображения и позволяют решать задачи формообразования линий и поверхностей в области геометрической оптики и получения поверхностных форм автомобильных дорог.
2. Построена геометрическая модель измененной циклографической проекции пространственной кривой. При этом образующие прямые линейчатой поверхности – элемента модели измененной циклографической проекции, находятся в плоскостях, перпендикулярных ортогональной проекции исходной кривой. Это обстоятельство позволяет применять измененную циклографическую проекцию при проектировании автомобильных дорог с выполнением существующих норм и правил дорожного строительства. Измененная циклографическая проекция может быть использована при проектировании поверхностных форм автомобильных дорог, как общего, так и специального назначения, при проектировании кровель заданий, сооружений и других объектов строительства.
3. Выполнена систематизация задач геометрической оптики на плоскости по определению неизвестного элемента триады «источник-отражатель-приемник» по двум заданным на основе прямой и обратной задач циклографического моделирования пространственной кривой и разработаны соответствующие алгоритмы решения этих задач. Полученные алгоритмы позволяют получать аналитические решения во всех “триадных” задачах предложенной систематизации, при этом в качестве геометрической модели отражателя, источника или приемника может быть любая гладкая кривая. Эти алгоритмы могут быть использованы в тех областях науки и техники, где допустимы решения на основе законов геометрической оптики, например, таких как проектирование осветительных приборов и телескопов, проектирование рефлекторов, работающих в СВЧ- диапазоне.
4. Разработана геометрическая модель формообразования поверхностных форм автомобильных дорог на основе циклографической и измененной циклографической проекции. Модель является целостной и обобщенной, что проявляется в возможности получения двух видов линейчатых поверхностей автомобильной дороги: развертывающихся и неразвертывающихся. Она позволяет стыковать отсеки получаемых поверхностей по требуемому порядку гладкости. Предложенная геометрическая модель формообразования поверхностных форм автомобильных дорог может быть положена в

основу разработки геометрического ядра специализированных САПР для проектирования автомобильных дорог общего и специального назначения.
5. Выполнено преобразование математической модели определения псевдодальностей в системах спутниковой локации на основе циклографической интерпретации системы уравнений, составляющих эту модель. В отличие от существующего приближенного решения системы уравнений, предложенное решение является аналитическим и способствует более точному определению координат местоположения искомого объекта на поверхности Земли.