Глобальная структура сплетенных решений уравнений Эйнштейна с электромагнитным полем и космологической постоянной
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава 1. Уравнения общей теории относительности для метрики
двойного сплетенного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Действие Эйнштейна-Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Решение уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Уравнения Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Случай (A). Произведение поверхностей постоянной кривизны 24
Глава 2. Случай (B). Пространственно симметричные решения 27
2.1. Локальное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Глобальные сферически симметричные решения (ℎ) = 1 . . . 39
2.3. Глобальные планарные решения (ℎ) = 0 . . . . . . . . . . . . . 55
2.4. Глобальные гиперболические решения (ℎ) = −1 . . . . . . . . 62
Глава 3. Случай (C). Лоренц-инвариантные решения . . . . . . 64
3.1. Локальное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Глобальные лоренц-инвариантные решения ( ) = 1 . . . . . . 69
3.3. Глобальные решения с плоскостью Минковского ( ) = 0 . . . 77
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Диссертация состоит из введения трех глав и списка литературы. Текст
занимает 87 страниц и содержит 9 рисунков.
Перечислим основные определения и обозначения, используемые в дис
сертации. Пространством-временем мы называем четырехмерное гладкое мно
гообразие с метрикой лоренцевой сигнатуры [6, 11, 15]. Предполагается, что
четырехмерное пространство-время является сплетенным произведением двух
поверхностей: M = U × V, где U и V – поверхности с лоренцевой и римано
вой сигнатурами метрик, соответственно. Метрика сплетенного произведения
имеет вид:
̂︀ = ⊕ ℎ,(1)
где и – скалярные поля, заданные на V и U, соответственно. Метрика
задана на U, метрика ℎ задана на V.
̂︀ , где M пространственно
Глобальным решением мы называем пару (M, )
временное многообразие и ̂︀ метрика на M такая, что она удовлетворяет урав
нениям Эйнштейна, и многообразие M максимально продолжено вдоль гео
дезических: всякая геодезическая линия на M либо может быть продолжена
до бесконечного значения канонического параметра в обе стороны, либо за
канчивается в сингулярной точке, где один из геометрических инвариантов
обращается в бесконечность.
В работе встречаются объекты, заданные как на всем четырехмерном про
странстве-времени, так и объекты, заданные только на одном из сомножителей
в сплетенном произведении. Первые отмечены шляпкой, вторые записываются
без шляпки.
Через ( ), = 0, 1 и ( ), = 2, 3 обозначены локальные координаты
на U и на V, соответственно. Координаты на U индексируются буквами из
начала греческого алфавита, , , …, координаты на V – из середины грече
ского алфавита, , , … Координаты на всем M мы индексируем латинскими
), = 0, 1, 2, 3, причем (̂︀
буквами , , … и обозначаем через (̂︀ ) := ( , ).
Мы рассматриваем следующее действие:
∫︁(︂)︂
√︀1
= HE + EM = 4
̂︀ |̂︀
| ̂︀ − 2Λ − ̂︀2 ,(2)
| – модуль определителя метрики пространства-времени, Λ – космологи
где |̂︀
ческая постоянная и ̂︀2 := ̂︀ ̂︀ – квадрат тензора электромагнитного поля
̂︀ [13]:
̂︀ −
̂︀ := ̂︀ .(3)
Вариация действия по метрике и электромагнитному полю приводит к системе
уравнений Эйнштейна-Максвелла:
̂︀ + ̂︀ Λ = − 1 ̂︀EM ,
̂︀ − 1 ̂︀
(︁√︀)︁
|̂︀
| ̂︀
= 0.(4)
Мы предполагаем, что электромагнитный потенциал задан в виде:
̂︀ = ( ( ), ( )) .(5)
Тогда смешанные компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного
поля равны нулю: ̂︀ = 0. Следовательно, в правых частях уравнений Эйн
штейна со смешанными индексами ( ) стоят нули, и возникает три качествен
но различных случая:
(A) = const ̸= 0 и = const ̸= 0,
(B) = const ̸= 0 и ̸= const,
(C) ̸= const и = const ̸= 0.
Мы используем следующие обозначения для констант интегрирования
уравнений Максвелла и Эйнштейна. Через и обозначены постоянные ин
тегрирования уравнений Максвелла, через – постоянная интегрирования
уравнений Эйнштейна. При этом, постоянные и входят в тензор энер
гии-импульса электромагнитного поля только как слагаемые в выражении
2 + 2 . Поэтому, при решении уравнений Эйнштейна, для краткости за
(︀)︀
писи, мы используем замену 2 + 2 → 2 .
(︀)︀
Приведем краткое содержание работы. Во Введении обосновывается ак
туальность темы, приводятся ссылки на более ранние работы по глобальным
решениям в общей теории относительности, а также ссылки на работы автора
по данной тематике. Здесь мы определяем цель диссертации, ставим задачи,
перечисляем методы исследования и основные результаты, приводим ценность
работы и апробацию результатов, указываем положения, выносимые на защи
ту. Также во Введении мы приводим краткое описание работы и основные
определения, обозначения и соглашения.
В Главе 1 мы постулируем действие Эйнштейна-Максвелла и записываем
систему уравнений Эйштейна-Максвелла для метрики сплетенного произведе
ния. Здесь получено общее решение уравнений Максвелла в предположении,
что электромагнитный потенциал задан в виде (5). Также здесь найдено об
щее решение уравнений Эйнштейна при указанных выше предположениях и
построены глобальные решения в случае (A), когда оба скалярных поля и
постоянны. Всего в указанном случае мы получили 4 глобальных решения
с сигнатурой метрики (+ − −−), соответствующих различным значениям по
стоянных и Λ.
Показано, что в случае (A) для разрешимости уравнений Эйнштейна необ
ходимо, чтобы обе поверхности U и V были поверхностями постоянной кривиз
ны. Последнее означает, что U является либо однополостным гиперболоидом
L2 , вложенным в трехмерное пространство Минковского R1,2 (или его универ
сальной накрывающей), либо плоскостью Минковского R1,1 , а поверхность V
– либо сферой S2 , либо евклидовой плоскостью R2 , либо плоскостью Лобачев
ского H2 . При этом наличие симметрии метрики заранее не предполагается.
Она возникает в качестве следствия уравнений Эйнштейна и требования мак
симального продолжения решения вдоль геодезических (спонтанное появление
симметрии).
В Главе 2 рассматривается случай (B), когда постоянно только поле .
В этом случае из уравнений Эйнштейна следует, что риманова поверхность
V является поверхностью постоянной кривизны (спонтанное появление про
странственной симметрии). Мы строим общее решение уравнений Эйнштейна
и показываем, что лоренцева поверхность U обладает дополнительным век
торным полем Киллинга (обобщенная теорема Бирхгоффа). Далее мы стро
им максимально продолженные лоренцевы поверхности U и представляем их
диаграммами Картера-Пенроуза, вид которых зависит от соотношения между
параметрами , и Λ. При этом рассматриваются случаи обеих сигнатур
(+ − −−) и (− + ++). Всего здесь построено 44 топологически различных
глобальных решения. Среди них имеется не изученное ранее глобальное сфе
рически симметричное решение, которое обладает интересными физическими
свойствами. Показано, что оно описывает изменение топологии пространствен
ных сечений во времени.
Также здесь обсуждается физический смысл постоянных интегрирования
уравнений Максвелла. Показано, что в сферически симметричном случае при
нулевой космологической постоянной константы и имеют смысл электри
ческого и магнитного зарядов, соответственно.
В Главе 3 разбирается случай (C), когда постоянно только поле . В этом
случае из уравнений Эйнштейна следует, что лоренцева поверхность U явля
ется поверхностью постоянной кривизны (спонтанное появление лоренцевой
симметрии). Здесь получено общее решение уравнений Эйнштейна и постро
ены соответствующие максимально продолженные римановы поверхности V.
Как и в Главе 2 мы рассматриваем случаи обеих сигнатур (+−−−) и (−+++).
Всего в указанном случае построено 19 топологически неэквивалентных гло
бальных решений. Отличительной особенность данного случая является то,
что фиксированному набору параметров , и Λ в общем случае соответству
ет не одно, а несколько глобальных решений, причем с разными сигнатурами
метрик.
Заключение
В работе мы изучили глобальную структуру точных решений уравнений
общей теории относительности с электромагнитным полем и космологической
постоянной для метрики сплетенного произведения при различных значениях
параметров , и Λ. Константы и изначально не входят в действие
рассматриваемой модели, а возникают в результате интегрирования системы
уравнений Эйнштейна-Максвелла. Вид глобальных решений зависит от соот
ношений между параметрами , и Λ.
Мы предполагали, что максимально продолженное четырехмерное про
странственно-временное многообразие имеет вид сплетенного произведения ло
ренцевой и римановой поверхностей U и V, соответственно: M = U × V. Мы
показали, что если электромагнитный потенциал задан в виде (5), то хотя бы
одна из поверхностей сплетенного произведения должна быть поверхностью
постоянной кривизны (случаи (A), (B) и (C)). При этом никакая симметрия
метрики заранее не предполагалась. Симметрия метрики возникала в каче
стве следствия уравнений общей теории относительности и требования макси
мального продолжения решения вдоль геодезических (“ спонтанное появление
симметрии”). Более того, мы показали, что в случае (B) лоренцева поверх
ность U обладает дополнительным векторным полем Киллинга. Тем самом,
доказано обобщение теоремы Бирхгоффа на случай решений, инвариантных
относительно групп симметрии ISO(2) и SO(1, 2), а также присутствия элек
тромагнитного поля. Также доказано наличие векторного поля Киллинга на
римановой поверхности V в случае (C).
Мы построили глобальные решения во всех трех случаях: (A), (B) и (C).
В случае (A) мы получили 4 топологически неэквивалентных глобальных ре
шения с сигнатурой метрики (+ − −−). Здесь обе поверхности U и V являются
поверхностями постоянной кривизны и имеют ровно по 3 векторных поля Кил
линга. Всего глобальные решения в случае (A) имеют по 6 векторных полей
Киллинга и являются максимально симметричными решениями, представимы
ми в виде сплетенного произведения поверхностей.
В случае (B) мы построили 44 различных глобальных решений с простран
ственной симметрией с сигнатурой метрики (+−−−) и (−+++). В этом случае
каждое глобальное решение имеет по 4 векторных поля Киллинга. Глобальные
решения представлены диаграммами Картера-Пенроуза для лоренцевой по
верхности U. Сюда включены важные с физической точки зрения сферически
симметричные решения (SO(3)–симметрия). Всего мы получили 16 глобаль
ных сферически симметричных решений. Среди них имеется новое интересное
сферически симметричное глобальное решение, описывающее изменение топо
логии пространственных сечений пространственно-временного многообразия с
течением времени, причем в рамках классической модели гравитации. Наряду
со сферически симметричными решениями здесь получены также планарные
(ISO(2)–симметрия) и гиперболические (SO(1, 2)–симметрия) решения.
В случае (C) мы получили 19 топологически различных глобальных реше
ний, имеющих по 4 векторных поля Киллинга с сигнатурами (+ − −−) и (+ −
++). Сюда включены лоренц-инвариантные решения (SO(1, 2)–симметрия) и
решения с плоскостью Минковского (ISO(1, 1)–симметрия). Глобальные реше
ния представлены диаграммами, изображающими римановы поверхности V
с точностью до отождествления вдоль пространственной координаты. В дан
ном случае глобальные решения имеют интересную физическую интерпрета
цию. Они описывают космические струны и доменные стенки сингулярностей
кривизны. Интересным также является следующее обстоятельство: фиксиро
ванному набору значений , и Λ в общем случае соответствует не одно, а
несколько глобальных решений.
Благодарности
Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору
физико-математических наук, Катанаеву Михаилу Орионовичу, за поставлен
ную задачу, помощь и поддержку при написании диссертации.
Нахождение точных решений уравнений Эйнштейна является одной из
центральных задач общей теории относительности. Под точным решением по
нимают метрику пространства-времени, удовлетворяющую уравнениям Эйн
штейна, заданную в локальных координатах. Известно много точных решений
в общей теории относительности [47]. Однако для физической интерпретации
решения недостаточно знать одну только метрику, удовлетворяющую уравне
ниям Эйнштейна. Для этих целей требуется также иметь представление о гло
бальной структуре пространства-времени [2].
Глобальным решением в общей теории относительности мы называем па
̂︀ , где M – четырехмерное пространственно-временное многообразие,
ру (M, )
̂︀ – заданная на нем метрика, удовлетворяющая уравнениям Эйнштейна, и
такая, что M является максимально продолженным вдоль геодезических мно
гообразием. Последнее означает, что всякая геодезическая линия на M либо
может быть продолжена до бесконечного значения канонического параметра
в обе стороны, либо заканчивается в сингулярной точке, где один из геометри
ческих инвариантов обращается в бесконечность.
Наиболее известным примером глобального решения в общей теории от
носительности является расширение Крускала-Секереша для решения Шварц
шильда [48, 63]. В этом случае глобальная структура пространства-времени
представляет собой произведение, M = U × S2 , лоренцевой поверхности U
на двумерную сферу S2 (сферически симметричный случай). Лоренцева по
верхность представляется хорошо известной диаграммой Картера-Пенроуза
[21, 65]. Благодаря представлению о глобальной структуре данного решения в
общей теории относительности возникли понятия черной и белой дыры [8, 16].
Еще одним примером служит решение Рейсснера-Нордстрема [50, 57, 66],
которое представляет собой точное сферически симметричное решение систе
мы уравнений Эйнштейна-Максвелла с нулевой космологической постоянной.
В этом случае глобальная структура пространства-времени также изучена [35].
Известно три типа диаграмм Картера-Пенроуза: решение Рейсснера-Нордстре
ма с двумя горизонтами, экстремальная черная дыра и голая сингулярность.
Тип диаграммы зависит от соотношения между массой и зарядом . Обоб
щение решения Рейсснера-Нордстрема на случай ненулевой космологической
постоянной также известно [38], но глобальная структура пространства-време
ни в этом случае не была полностью исследована.
В настоящей работе дано явное описание и классификация всех глобаль
ных решений уравнений общей теории относительности с электромагнитным
полем и космологической постоянной в предположении, что пространство-вре
мя является сплетенным произведением двух поверхностей: M = U × V, где
U и V – максимально продолженные поверхности с лоренцевой и евклидовой
сигнатурами метрик, соответственно [34, 55, 62]. Также предполагается, что
электромагнитный потенциал задан в специальном виде: ̂︀ = 1 ⊕ 2 , где
1 и 2 определены на U и V, соответственно. При таких предположениях из
уравнений Эйнштейна следует, что хотя бы одна из поверхностей в сплетен
ном произведении является поверхностью постоянной кривизны. В результате
возникает три случая:
В работе мы изучили глобальную структуру точных решений уравнений
общей теории относительности с электромагнитным полем и космологической
постоянной для метрики сплетенного произведения двух поверхностей при раз
личных значениях параметров , и Λ. Константы и изначально не
входят в действие рассматриваемой модели, а возникают в результате интегри
рования системы уравнений Эйнштейна-Максвелла. Вид глобальных решений
зависит от соотношений между параметрами , и Λ.
Мы предполагали, что максимально продолженное четырехмерное про
странственно-временное многообразие имеет вид сплетенного произведения ло
ренцевой и римановой поверхностей U и V, соответственно: M = U × V. Мы по
казали, что если электромагнитный потенциал задан в виде (1.17), то хотя бы
одна из поверхностей сплетенного произведения должна быть поверхностью
постоянной кривизны (случаи (A), (B) и (C)). При этом никакая симметрия
метрики заранее не предполагалась. В результате симметрия метрики возни
кала в качестве следствия уравнений общей теории относительности и требова
ния максимального продолжения решения вдоль геодезических (“спонтанное
появление симметрии”). Более того, мы показали, что в случае (B) лоренце
ва поверхность U обладает дополнительным векторным полем Киллинга. Тем
самом, доказано обобщение теоремы Бирхгоффа на случай решений, инвари
антных относительно групп симметрии ISO(2) и SO(1, 2), а также присутствия
электромагнитного поля. Также доказано наличие векторного поля Киллинга
на римановой поверхности V в случае (C).
Мы построили глобальные решения во всех трех случаях: (A), (B) и (C).
В случае (A) мы получили 4 топологически неэквивалентных глобальных ре
шения с сигнатурой метрики (+ − −−). Здесь обе поверхности U и V являются
поверхностями постоянной кривизны и имеют ровно по 3 векторных поля Кил
линга. Всего глобальные решения в случае (A) имеют по 6 векторных полей
Киллинга и являются максимально симметричными решениями, представимы
ми в виде сплетенного произведения поверхностей.
В случае (B) мы построили 44 различных глобальных решений с простран
ственной симметрией с сигнатурой метрики (+−−−) и (−+++). В этом случае
каждое глобальное решение имеет по 4 векторных поля Киллинга. Глобальные
решения представлены диаграммами Картера-Пенроуза для лоренцевой по
верхности U. Сюда включены важные с физической точки зрения сферически
симметричные решения (SO(3)–симметрия). Всего мы получили 16 глобаль
ных сферически симметричных решений. Среди них имеется новое интересное
сферически симметричное глобальное решение, описывающее изменение топо
логии пространственных сечений пространственно-временного многообразия с
течением времени, причем в рамках классической модели гравитации. Наряду
со сферически симметричными решениями здесь получены также планарные
(ISO(2)–симметрия) и гиперболические (SO(1, 2)–симметрия) решения.
В случае (C) мы получили 19 топологически различных глобальных реше
ний, имеющих по 4 векторных поля Киллинга с сигнатурами (+ − −−) и (+ −
++). Сюда включены лоренц-инвариантные решения (SO(1, 2)–симметрия) и
решения с плоскостью Минковского (ISO(1, 1)–симметрия). Глобальные реше
ния представлены диаграммами, изображающими римановы поверхности V
с точностью до отождествления вдоль пространственной координаты. В дан
ном случае глобальные решения имеют интересную физическую интерпрета
цию. Они описывают космические струны и доменные стенки сингулярностей
кривизны. Интересным также является следующее обстоятельство: фиксиро
ванному набору значений , и Λ в общем случае соответствует не одно, а
несколько глобальных решений.
[1] Д. Е. Афанасьев. Глобальная структура сферически симметричных реше
ний уравнений Эйнштейна с электромагнитным полем. Математическая
физика и приложения. Сборник статей. К 95-летию со дня рождения
академика Василия Сергеевича Владимирова, Труды МИАН, 306, МИАН,
М., 2019, 16–27.
[2] В. А. Березин, А. Л. Смирнов. О черных дырах и замаскированных черных
дырах. – М.: ИЯИ РАН, 2008.
[3] В. А. Березин. Математические начала космологии. – М.: ИЯИ РАН,
2009.
[4] Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантовых полей. –
4-е изд., испр. – М.: Наука, 1984.– 600 с.
[5] С. Вайнберг. Гравитация и космология: Принципы и приложения Общей
теории относительности. пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова.
Под ред. Я. А. Смородинского. – М.: Мир, 1975.
[6] В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. – 4-е изд., – М.:
Наука, 1981.– 512 с.
[7] В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики:
Учебник для вузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 400
с.
[8] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия:
Методы и приложения. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука, 1986.– 760 с.
[9] М. О. Катанаев. Математические основы общей теории относительно
сти. Часть 1 – М.: МИАН, 2017. – 312 с. – (Лекционные курсы НОЦ,
ISSN 2226-8782; Вып. 28)
[10] М. О. Катанаев. Математические основы общей теории относительно
сти. Часть 2 – М.: МИАН, 2018. – 366 с. – (Лекционные курсы НОЦ,
ISSN 2226-8782; Вып. 29)
[11] M. O. Катанаев. Геометрические методы в математической физике. Ver.
3, 2016. arXiv:1311.0733 [math-ph].
[12] Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. т. 1.:
Пер. с англ. – М.: Наука, 1981.– 344 с.
[13] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В
10 т. Т. II. Теория поля. – 7-е изд., испр. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
[14] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. Т.1–3. – М.: Мир, 1977.
[15] С. П. Новиков, И. А. Тайманов. Современные геометрические структуры
и поля. – 2-е изд., испр. – М.: МЦНМО, 2014.– 584 с.
[16] И. Д. Новиков, В. П Фролов. Физика черных дыр. – М.:Наука, 1986. – 328
с.
[17] И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд.
3-е, доп. – М.: Гос. Изд. Физ.-мат. л-ры, 1961.
[18] В. А. Рубаков.Классические калибровочные поля: Бозонные теории.
Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: КомКнига, 2005. – 296 с.
[19] А. А. Славнов, Л. Д. Фадеев. Введение в квантовую теорию калибровоч
ных полей. – 2-е изд. – М.: Наука, 1988.– 272 с.
[20] К. В. Степаньянц. Классическая теория поля. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.–
540 с.
[21] Р. М. Уолд. Общая теория относительности. – М.: Российский универ
ситет дружбы народов, 2008. – 694 с.
[22] В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. – М.: Гос. изд-во
технико-теорет. л-ры, 1955. – 504 с.
[23] С. Хоккинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства
времени. пер. с англ. Э. А. Тагирова. Под ред. Я.А. Смородинского. – М.:
Мир, 1977.
[24] D. E. Afanasev and M. O. Katanaev. Global properties of warped solutions in
General Relativity with an electromagnetic field and a cosmological constant.
Phys. Rev. D, 100 (2):024052, 2019.
[25] D. E. Afanasev and M. O. Katanaev. Global properties of warped solutions in
General Relativity with an electromagnetic field and a cosmological constant.
II Phys. Rev. D, 101 (12):124025, 2020.
[26] D. E. Afanasev and M. O. Katanaev. On global properties of warped solutions
in General Relativity with an electromagnetic field and a cosmological constant.
PoS, CORFU2019, 201, 2020.
[27] A. Barnes. On Birkhoff’s theorem in General Relativity. Commun. Math.
Phys., 33, 75–82, 1973.
[28] B. Bertotti. Uniform electromagnetic field in General Relativity. Phys. Rev.,
116, 1331–1333, 1959.
[29] G. D. Birkhoff. Relativity and modern physics. Cambridge, Harvard University
Press, Cambridge, 1923.
[30] C. Bona. A new proof of the generalized Birkhoff theorem. J. Math. Phys.,
29, 1440-1441, 1988.
[31] D. R. Brill, J. Louko and P. Peldan. Thermodynamics of (3+1)–dimensional
black holes with toroidal or higher genus horizons.Phys.Rev.D, 56,
3600—3610, 1997.
[32] D. R. Brill and S. A. Hayward Global structure of a black hole cosmos and its
extremes. Class. Quantum Grav., 11, 359—370, 1994.
[33] R.-G. Cai and Y.-Z. Zhang.Black plane solutions in four-dimensional
spacetimes. Phys. Rev. D, 54, 4891-–4898, 1996.
[34] J. Carot and J. da Costa. On the geometry of warped spacetimes. Class.
Quantum Grav., 10, 461–482, 1993.
[35] B. Carter. Black hole equilibrium states. In C. DeWitt and B. C. DeWitt,
editors, Black Holes, pages 58–214, New York, 1973. Gordon and Breach.
[36] H. Goenner.Einstein tensor and generalizations of Birkhoff’s theorem.
Commun. Math. Phys., 16, 34–47, 1970.
[37] J. C. Graves and D. R. Brill Oscillatory character of Reissner–Nordström
metric for an ideal charged wormhole. Phys. Rev., 120, 1507—1513, 1960.
[38] J. B.Griffiths, J. Podolsky. Exact Space-Times in Einstein’s General Relativity.
Cambridge University Press, New York, 2009.
[39] G. T. Horowitz. Topology change in classical and quantum gravity. Class.
Quantum Grav., 8, 587-601, 1991.
[40] C-G. Huang and C-B. Liang. A torus-like black hole. Phys. Lett. A, 201,
27—32, 1995.
[41] W. Israel. Event horizons in static vacuum space-times. Phys. Rev., 164,
1776-1779, 1967.
[42] W. Israel. Event horizons in static electrovac space-time. Comm. Math.
Phys., 8, 245—260, 1968.
[43] M. O. Katanaev, T. Klösch, and W. Kummer. Global properties of warped
solutions in General Relativity. Ann. Phys., 276:191–222, 1999.
[44] M. O. Katanaev. Global solutions in gravity. Lorentzian signature. Proc.
Steklov Inst. Math., 228:158–183, 2000.
[45] M. O. Katanaev. Global solutions in gravity: Euclidean signature. In D.
Vassilevich D. Grumiller, A. Rebhan, editor, In “Fundumental Interactions.
A Memorial Volume for Wolfgang Kummer”, pages 249–266, Singapore, 2010.
World Scientific. gr-qc/0808.1559.
[46] G. A. Korn and T. M. Korn. Mathematical Handbook. McGraw–Hill Book
Company, New York – London, 1968.
[47] D. Kramer, H. Stephani, M. MacCallum, and E. Herlt. Exact Solutions of the
Einsteins Field Equations. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1980.
[48] M. D. Kruskal. Maximal extension of Schwarzschild metric. Phys. Rev.,
119(5):1743–1745, 1960.
[49] H. Nariai. On a new cosmological solution of Einstein’s field equations of
gravitation. Sci. Rep. Tohoku Univ., 35, 62–67, 1951.
[50] G. Nordström. On the energy of the gravitational field in Einstein’s theory.
Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 20:1238–1245, 1918.
[51] H. Laue and M. Weiss. Maximally extended Reissner–Nordström manifold
with cosmological constant. Phys. Rev. D, 16, 3376—3379, 1977.
[52] J. P.S. Lemos. Two-dimensional black holes and planar General Relativity.
Class. Quantum Grav., 12, 1081—1086, 1995.
[53] J. P.S. Lemos.Three dimensional black holes and cylindrical General
Relativity. Phys. Lett. B, 353, 46—51, 1995.
[54] R. B. Mann. Pair production of topological anti-de Sitter black holes. Class.
Quantum Grav., 14, L109—L114, 1997.
[55] B. O’Neill.Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity.
Number 103 in Pure Appl. Math. Academic Press, New York-London, 1983.
[56] J. F. Plebanski and S. Hacyan. Some exceptional electrovac type D metrics
with cosmological constant. J. Math. Phys., 20, 1004–1010, 1979.
[57] H. Reissner.Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der
Einsteinschen Theorie. Ann. Physik (Leipzig), 50:106–120, 1916.
[58] I. Robinson. A solution of the Maxwell–Einstein equations. Bull.Acad.
Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 7, 351–352, 1959.
[59] H.-J. Schmidt.The tetralogy of Birkhoff theorems.Gen.Rel.Grav.,
45:395–410, 2013.
[60] Yakov M. Shnir. Magnetic Monopoles. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
2005.
[61] W. L. Smith and R. B. Mann. Formation of topological black holes from
gravitational collapse. Phys. Rev. D., 56, 4942—4947, 1997.
[62] O. Stoica.The geometry of warped product singularities.International
Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 14, 2017.
[63] G. Szekeres.On the singularities of a riemannian manifold.Publ. Mat.
Debrecen, 7(1–4):285–301, 1960.
[64] L. Vanzo. Black holes with unusual topology. Phys. Rev. D., 56, 6475—6483,
1997.
[65] M. Walker. Block Diagrams and the Extension of Timelike Two-Surfaces. J.
Math. Phys., 11, 2280, 1970.
[66] H. Weyl. Zur Gravitationstheorie. Ann. Physik., 54(359), 117–145, 1917.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
5 (188 отзывов)
4.9 (5 отзывов)
4.9 (35 отзывов)
5 (20 отзывов)
4.8 (105 отзывов)
5 (8 отзывов)
4.2 (6 отзывов)
4.7 (82 отзыва)
5 (22 отзыва)
