Глобальная структура сплетенных решений уравнений Эйнштейна с электромагнитным полем и космологической постоянной

Нахождение точных решений уравнений Эйнштейна является одной из
центральных задач общей теории относительности. Под точным решением по­
нимают метрику пространства-времени, удовлетворяющую уравнениям Эйн­
штейна, заданную в локальных координатах. Известно много точных решений
в общей теории относительности [47]. Однако для физической интерпретации
решения недостаточно знать одну только метрику, удовлетворяющую уравне­
ниям Эйнштейна. Для этих целей требуется также иметь представление о гло­
бальной структуре пространства-времени [2].
Глобальным решением в общей теории относительности мы называем па­
̂︀ , где M – четырехмерное пространственно-временное многообразие,
ру (M, )
̂︀ – заданная на нем метрика, удовлетворяющая уравнениям Эйнштейна, и
такая, что M является максимально продолженным вдоль геодезических мно­
гообразием. Последнее означает, что всякая геодезическая линия на M либо
может быть продолжена до бесконечного значения канонического параметра
в обе стороны, либо заканчивается в сингулярной точке, где один из геометри­
ческих инвариантов обращается в бесконечность.
Наиболее известным примером глобального решения в общей теории от­
носительности является расширение Крускала-Секереша для решения Шварц­
шильда [48, 63]. В этом случае глобальная структура пространства-времени
представляет собой произведение, M = U × S2 , лоренцевой поверхности U
на двумерную сферу S2 (сферически симметричный случай). Лоренцева по­
верхность представляется хорошо известной диаграммой Картера-Пенроуза
[21, 65]. Благодаря представлению о глобальной структуре данного решения в
общей теории относительности возникли понятия черной и белой дыры [8, 16].
Еще одним примером служит решение Рейсснера-Нордстрема [50, 57, 66],
которое представляет собой точное сферически симметричное решение систе­
мы уравнений Эйнштейна-Максвелла с нулевой космологической постоянной.
В этом случае глобальная структура пространства-времени также изучена [35].
Известно три типа диаграмм Картера-Пенроуза: решение Рейсснера-Нордстре­
ма с двумя горизонтами, экстремальная черная дыра и голая сингулярность.
Тип диаграммы зависит от соотношения между массой и зарядом . Обоб­
щение решения Рейсснера-Нордстрема на случай ненулевой космологической
постоянной также известно [38], но глобальная структура пространства-време­
ни в этом случае не была полностью исследована.
В настоящей работе дано явное описание и классификация всех глобаль­
ных решений уравнений общей теории относительности с электромагнитным
полем и космологической постоянной в предположении, что пространство-вре­
мя является сплетенным произведением двух поверхностей: M = U × V, где
U и V – максимально продолженные поверхности с лоренцевой и евклидовой
сигнатурами метрик, соответственно [34, 55, 62]. Также предполагается, что
электромагнитный потенциал задан в специальном виде: ̂︀ = 1 ⊕ 2 , где
1 и 2 определены на U и V, соответственно. При таких предположениях из
уравнений Эйнштейна следует, что хотя бы одна из поверхностей в сплетен­
ном произведении является поверхностью постоянной кривизны. В результате
возникает три случая:

В работе мы изучили глобальную структуру точных решений уравнений
общей теории относительности с электромагнитным полем и космологической
постоянной для метрики сплетенного произведения двух поверхностей при раз­
личных значениях параметров , и Λ. Константы и изначально не
входят в действие рассматриваемой модели, а возникают в результате интегри­
рования системы уравнений Эйнштейна-Максвелла. Вид глобальных решений
зависит от соотношений между параметрами , и Λ.
Мы предполагали, что максимально продолженное четырехмерное про­
странственно-временное многообразие имеет вид сплетенного произведения ло­
ренцевой и римановой поверхностей U и V, соответственно: M = U × V. Мы по­
казали, что если электромагнитный потенциал задан в виде (1.17), то хотя бы
одна из поверхностей сплетенного произведения должна быть поверхностью
постоянной кривизны (случаи (A), (B) и (C)). При этом никакая симметрия
метрики заранее не предполагалась. В результате симметрия метрики возни­
кала в качестве следствия уравнений общей теории относительности и требова­
ния максимального продолжения решения вдоль геодезических (“спонтанное
появление симметрии”). Более того, мы показали, что в случае (B) лоренце­
ва поверхность U обладает дополнительным векторным полем Киллинга. Тем
самом, доказано обобщение теоремы Бирхгоффа на случай решений, инвари­
антных относительно групп симметрии ISO(2) и SO(1, 2), а также присутствия
электромагнитного поля. Также доказано наличие векторного поля Киллинга
на римановой поверхности V в случае (C).
Мы построили глобальные решения во всех трех случаях: (A), (B) и (C).
В случае (A) мы получили 4 топологически неэквивалентных глобальных ре­
шения с сигнатурой метрики (+ − −−). Здесь обе поверхности U и V являются
поверхностями постоянной кривизны и имеют ровно по 3 векторных поля Кил­
линга. Всего глобальные решения в случае (A) имеют по 6 векторных полей
Киллинга и являются максимально симметричными решениями, представимы­
ми в виде сплетенного произведения поверхностей.
В случае (B) мы построили 44 различных глобальных решений с простран­
ственной симметрией с сигнатурой метрики (+−−−) и (−+++). В этом случае
каждое глобальное решение имеет по 4 векторных поля Киллинга. Глобальные
решения представлены диаграммами Картера-Пенроуза для лоренцевой по­
верхности U. Сюда включены важные с физической точки зрения сферически
симметричные решения (SO(3)–симметрия). Всего мы получили 16 глобаль­
ных сферически симметричных решений. Среди них имеется новое интересное
сферически симметричное глобальное решение, описывающее изменение топо­
логии пространственных сечений пространственно-временного многообразия с
течением времени, причем в рамках классической модели гравитации. Наряду
со сферически симметричными решениями здесь получены также планарные
(ISO(2)–симметрия) и гиперболические (SO(1, 2)–симметрия) решения.
В случае (C) мы получили 19 топологически различных глобальных реше­
ний, имеющих по 4 векторных поля Киллинга с сигнатурами (+ − −−) и (+ −
++). Сюда включены лоренц-инвариантные решения (SO(1, 2)–симметрия) и
решения с плоскостью Минковского (ISO(1, 1)–симметрия). Глобальные реше­
ния представлены диаграммами, изображающими римановы поверхности V
с точностью до отождествления вдоль пространственной координаты. В дан­
ном случае глобальные решения имеют интересную физическую интерпрета­
цию. Они описывают космические струны и доменные стенки сингулярностей
кривизны. Интересным также является следующее обстоятельство: фиксиро­
ванному набору значений , и Λ в общем случае соответствует не одно, а
несколько глобальных решений.

[1] Д. Е. Афанасьев. Глобальная структура сферически симметричных реше­
ний уравнений Эйнштейна с электромагнитным полем. Математическая
физика и приложения. Сборник статей. К 95-летию со дня рождения
академика Василия Сергеевича Владимирова, Труды МИАН, 306, МИАН,
М., 2019, 16–27.
[2] В. А. Березин, А. Л. Смирнов. О черных дырах и замаскированных черных
дырах. – М.: ИЯИ РАН, 2008.
[3] В. А. Березин. Математические начала космологии. – М.: ИЯИ РАН,
2009.
[4] Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантовых полей. –
4-е изд., испр. – М.: Наука, 1984.– 600 с.
[5] С. Вайнберг. Гравитация и космология: Принципы и приложения Общей
теории относительности. пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова.
Под ред. Я. А. Смородинского. – М.: Мир, 1975.
[6] В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. – 4-е изд., – М.:
Наука, 1981.– 512 с.
[7] В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики:
Учебник для вузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 400
с.
[8] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия:
Методы и приложения. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука, 1986.– 760 с.
[9] М. О. Катанаев. Математические основы общей теории относительно­
сти. Часть 1 – М.: МИАН, 2017. – 312 с. – (Лекционные курсы НОЦ,
ISSN 2226-8782; Вып. 28)
[10] М. О. Катанаев. Математические основы общей теории относительно­
сти. Часть 2 – М.: МИАН, 2018. – 366 с. – (Лекционные курсы НОЦ,
ISSN 2226-8782; Вып. 29)
[11] M. O. Катанаев. Геометрические методы в математической физике. Ver.
3, 2016. arXiv:1311.0733 [math-ph].
[12] Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. т. 1.:
Пер. с англ. – М.: Наука, 1981.– 344 с.
[13] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В
10 т. Т. II. Теория поля. – 7-е изд., испр. – М.: Наука, 1988. – 512 с.
[14] Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. Т.1–3. – М.: Мир, 1977.
[15] С. П. Новиков, И. А. Тайманов. Современные геометрические структуры
и поля. – 2-е изд., испр. – М.: МЦНМО, 2014.– 584 с.
[16] И. Д. Новиков, В. П Фролов. Физика черных дыр. – М.:Наука, 1986. – 328
с.
[17] И. Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд.
3-е, доп. – М.: Гос. Изд. Физ.-мат. л-ры, 1961.
[18] В. А. Рубаков.Классические калибровочные поля: Бозонные теории.
Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: КомКнига, 2005. – 296 с.
[19] А. А. Славнов, Л. Д. Фадеев. Введение в квантовую теорию калибровоч­
ных полей. – 2-е изд. – М.: Наука, 1988.– 272 с.
[20] К. В. Степаньянц. Классическая теория поля. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.–
540 с.
[21] Р. М. Уолд. Общая теория относительности. – М.: Российский универ­
ситет дружбы народов, 2008. – 694 с.
[22] В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. – М.: Гос. изд-во
технико-теорет. л-ры, 1955. – 504 с.
[23] С. Хоккинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства­
времени. пер. с англ. Э. А. Тагирова. Под ред. Я.А. Смородинского. – М.:
Мир, 1977.
[24] D. E. Afanasev and M. O. Katanaev. Global properties of warped solutions in
General Relativity with an electromagnetic field and a cosmological constant.
Phys. Rev. D, 100 (2):024052, 2019.
[25] D. E. Afanasev and M. O. Katanaev. Global properties of warped solutions in
General Relativity with an electromagnetic field and a cosmological constant.
II Phys. Rev. D, 101 (12):124025, 2020.
[26] D. E. Afanasev and M. O. Katanaev. On global properties of warped solutions
in General Relativity with an electromagnetic field and a cosmological constant.
PoS, CORFU2019, 201, 2020.
[27] A. Barnes. On Birkhoff’s theorem in General Relativity. Commun. Math.
Phys., 33, 75–82, 1973.
[28] B. Bertotti. Uniform electromagnetic field in General Relativity. Phys. Rev.,
116, 1331–1333, 1959.
[29] G. D. Birkhoff. Relativity and modern physics. Cambridge, Harvard University
Press, Cambridge, 1923.
[30] C. Bona. A new proof of the generalized Birkhoff theorem. J. Math. Phys.,
29, 1440-1441, 1988.
[31] D. R. Brill, J. Louko and P. Peldan. Thermodynamics of (3+1)–dimensional
black holes with toroidal or higher genus horizons.Phys.Rev.D, 56,
3600—3610, 1997.
[32] D. R. Brill and S. A. Hayward Global structure of a black hole cosmos and its
extremes. Class. Quantum Grav., 11, 359—370, 1994.
[33] R.-G. Cai and Y.-Z. Zhang.Black plane solutions in four-dimensional
spacetimes. Phys. Rev. D, 54, 4891-–4898, 1996.
[34] J. Carot and J. da Costa. On the geometry of warped spacetimes. Class.
Quantum Grav., 10, 461–482, 1993.
[35] B. Carter. Black hole equilibrium states. In C. DeWitt and B. C. DeWitt,
editors, Black Holes, pages 58–214, New York, 1973. Gordon and Breach.
[36] H. Goenner.Einstein tensor and generalizations of Birkhoff’s theorem.
Commun. Math. Phys., 16, 34–47, 1970.
[37] J. C. Graves and D. R. Brill Oscillatory character of Reissner–Nordström
metric for an ideal charged wormhole. Phys. Rev., 120, 1507—1513, 1960.
[38] J. B.Griffiths, J. Podolsky. Exact Space-Times in Einstein’s General Relativity.
Cambridge University Press, New York, 2009.
[39] G. T. Horowitz. Topology change in classical and quantum gravity. Class.
Quantum Grav., 8, 587-601, 1991.
[40] C-G. Huang and C-B. Liang. A torus-like black hole. Phys. Lett. A, 201,
27—32, 1995.
[41] W. Israel. Event horizons in static vacuum space-times. Phys. Rev., 164,
1776-1779, 1967.
[42] W. Israel. Event horizons in static electrovac space-time. Comm. Math.
Phys., 8, 245—260, 1968.
[43] M. O. Katanaev, T. Klösch, and W. Kummer. Global properties of warped
solutions in General Relativity. Ann. Phys., 276:191–222, 1999.
[44] M. O. Katanaev. Global solutions in gravity. Lorentzian signature. Proc.
Steklov Inst. Math., 228:158–183, 2000.
[45] M. O. Katanaev. Global solutions in gravity: Euclidean signature. In D.
Vassilevich D. Grumiller, A. Rebhan, editor, In “Fundumental Interactions.
A Memorial Volume for Wolfgang Kummer”, pages 249–266, Singapore, 2010.
World Scientific. gr-qc/0808.1559.
[46] G. A. Korn and T. M. Korn. Mathematical Handbook. McGraw–Hill Book
Company, New York – London, 1968.
[47] D. Kramer, H. Stephani, M. MacCallum, and E. Herlt. Exact Solutions of the
Einsteins Field Equations. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1980.
[48] M. D. Kruskal. Maximal extension of Schwarzschild metric. Phys. Rev.,
119(5):1743–1745, 1960.
[49] H. Nariai. On a new cosmological solution of Einstein’s field equations of
gravitation. Sci. Rep. Tohoku Univ., 35, 62–67, 1951.
[50] G. Nordström. On the energy of the gravitational field in Einstein’s theory.
Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 20:1238–1245, 1918.
[51] H. Laue and M. Weiss. Maximally extended Reissner–Nordström manifold
with cosmological constant. Phys. Rev. D, 16, 3376—3379, 1977.
[52] J. P.S. Lemos. Two-dimensional black holes and planar General Relativity.
Class. Quantum Grav., 12, 1081—1086, 1995.
[53] J. P.S. Lemos.Three dimensional black holes and cylindrical General
Relativity. Phys. Lett. B, 353, 46—51, 1995.
[54] R. B. Mann. Pair production of topological anti-de Sitter black holes. Class.
Quantum Grav., 14, L109—L114, 1997.
[55] B. O’Neill.Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity.
Number 103 in Pure Appl. Math. Academic Press, New York-London, 1983.
[56] J. F. Plebanski and S. Hacyan. Some exceptional electrovac type D metrics
with cosmological constant. J. Math. Phys., 20, 1004–1010, 1979.
[57] H. Reissner.Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der
Einsteinschen Theorie. Ann. Physik (Leipzig), 50:106–120, 1916.
[58] I. Robinson. A solution of the Maxwell–Einstein equations. Bull.Acad.
Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 7, 351–352, 1959.
[59] H.-J. Schmidt.The tetralogy of Birkhoff theorems.Gen.Rel.Grav.,
45:395–410, 2013.
[60] Yakov M. Shnir. Magnetic Monopoles. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
2005.
[61] W. L. Smith and R. B. Mann. Formation of topological black holes from
gravitational collapse. Phys. Rev. D., 56, 4942—4947, 1997.
[62] O. Stoica.The geometry of warped product singularities.International
Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 14, 2017.
[63] G. Szekeres.On the singularities of a riemannian manifold.Publ. Mat.
Debrecen, 7(1–4):285–301, 1960.
[64] L. Vanzo. Black holes with unusual topology. Phys. Rev. D., 56, 6475—6483,
1997.
[65] M. Walker. Block Diagrams and the Extension of Timelike Two-Surfaces. J.
Math. Phys., 11, 2280, 1970.
[66] H. Weyl. Zur Gravitationstheorie. Ann. Physik., 54(359), 117–145, 1917.