Исследование и разработка эффективных методов кодирования источника при преобразовании метрических пространств и действии помех

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, проведен анализ современного уровня разработанных научно-технических решений, определены цель, задачи и методы исследования. Конкретизируются научная новизна, личный вклад в работу, практическая значимость, сведения об апробации работы, публикациях автора, а также положения, выносимые на защиту.
В первом разделе показано, что при любых преобразованиях сигналов из одного вида в другой имеется возможность оптимизации данного выбора при сопоставлении элементов исходного сигнала с его отображением. При этом эффективность преобразования сигналов из одного вида в другой определяется не только скоростью кодирования, но и выбором метода сопоставления исходного сигнала и его отображения после преобразования.
Оптимизация метода отображения исходного сигнала в условиях действия помех позволяет получить заметный выигрыш по помехоустойчивости. При этом скорость кодирования осталась неизменной, что является важным и существенным фактором, поскольку достигаемый положительный эффект может быть получен без каких-либо дополнительных затрат, уменьшающих пропускную способность канала.
Виды помех, влияющие на появление ошибок в цифровом сигнале, необходимо учитывать, поскольку распределение ошибок оказывается существенным фактором при оптимизации выбора способа отображения исходного сигнала, что показано на примере нескольких способов.
На рисунке 1.а наглядно показано общее количество искажений из-за однократных, двукратных и трехкратных ошибок по каждому варианту кодирования. Количество искажений обозначено как k.
На рисунках 1.б – 1 г наглядно показаны встречающиеся величины искажений из-за однократных, двукратных и трехкратных ошибок
соответственно. Рассмотрены все 6 вариантов кодирования. Величина искажений обозначена как v.
Рисунок 1а – Сводная диаграмма для изученных кодов
Рисунок 1б – Искажения из-за однократных ошибок при различных вариантах кодирования
Рисунок 1в – Искажения из-за двукратных ошибок при различных вариантах кодирования
Рисунок 1г –Встречаемое количество искажений из-за трехкратных ошибок при различных вариантах кодирования
В известной литературе исследованы частные случаи анализа и оптимизации методов отображения исходного сигнала при его
преобразованиях в процессе передачи от источника к получателю и нет общего решения данной проблемы, которую в аналитическом виде можно представить как проблему оптимального отображения сигналов в различных метрических пространствах в условиях влияния мешающих факторов, искажающих элементы одного пространства, назовем его исходным, в результате чего элементы другого пространства, последующего, получат определенные искажения, величина которых нелинейно связана с ошибками или искажениями исходного пространства.
Во втором разделе предложена методика оценки эффективности преобразования различных сигналов в цифровой, которая позволяет получить количественные оценки энтропии источников сигналов с различной структурой.
Показана зависимость эффективности преобразования сигналов в цифровой при различных значениях точности отображения в виде введенного критерия качества, оцениваемого по величине искажений элементов исходного сигнала.
Полученные аналитические выражения предельной эффективности преобразования многоуровневого непрерывно-дискретного сигнала в цифровой показывают количественные значения данного преобразования в зависимости от числа уровней и точности отображения элементов исходного сигнала при условии ограничения только минимальной длительности элементов
ЭQ  1 (1)
нд
nlog2(Q1)(1n)log2(1n)(1n)log2(1n)log2 
где n – число двоичных символов в кодовой комбинации.
А также при условии ограничении не только минимальной, но и максимальной длительности элементов исходного непрерывно-дискретного многоуровневого сигнала
ЭQ  нд
n*  j n
n*
a a …a i i!
(2)
k1 
)(Q1)i1
nlog2(
Иллюстрации данных зависимостей представлены соответственно на
рисунке 2 и рисунке 3.
Рисунок 2 – Предельная эффективность преобразования Q-ичного непрерывно-дискретного сигнала в цифровой при ограничении
минимальной длительности элементов исходного сигнала
( 0 1 s
a12a2…SasS a !a!…a !
j0 i0 0 1 S
Рисунок 3 – Зависимости предельной эффективности преобразования Q-ичного непрерывно-дискретного сигнала в цифровой при ограничении минимальной и максимальной длительности элементов исходного сигнала.
Показано, что предельная эффективность преобразования различных сигналов в цифровой достигается при длине преобразуемого сигнала, стремящегося к бесконечности. Реально полученные значения эффективности при ограниченной длительности преобразуемого сигнала отличаются от теоретически достижимой эффективности на 7-10%. Точное непреодолимое отличие реальной эффективности от теоретически достижимой в условиях ограниченности длительности исходного сигнала зависит от точности отображения и вида сигнала.
В третьем разделе разработан метод анализа биекции множества A и множества B , соответствующий преобразованию элементов исходного
сигнала ai A в цифровые элементы bi B пространства Хэмминга, который позволяет провести количественные расчеты с целью выбора наилучшего
метода биекции, обеспечивающего минимальную величину дополнительных искажений, возникающих в элементах ai A из-за ошибок в элементах bi B.
Предложены «хорошие» и «плохие» методы биекции, которые дают возможность получить оценки диапазона выигрыша по минимизации
дополнительных искажений, возникающих в элементах ai A из-за ошибок в
элементах biB, за счет «хорошего» выбора с учетом возможностей взвешенного кодирования и кода Грэя.
Показано, что при однократных ошибках в элементах bi B наибольшее
количество минимальных искажений в элементах ai A достигается при коде Грэя. Однако при этом имеются и максимально возможные искажения величиной (2n 1), тогда как для взвешенного кода максимальная величина
искажений не превосходит 2n1 , т.е. практически в два раза меньше. Важно также отметить, что среднее значение искажений для регулярной структуры
элементов ai A в этом случае совпадает.
Разработанный метод сравнения типов биекции множества A и
множества B в условиях возникновения ошибок в элементах bi B позволяет
получить спектр возникающих искажений, что дает возможность осуществить выбор типа биекции, исходя из различных условий выбора. Например, по принципу минимизации среднего значения возникающих дополнительных искажений, по принципу минимизации максимальной величины возникающих искажений и т.д.
При известной матрице погрешностей, отражающей искажения, возникающие при неверном приеме тех или иных кодовых комбинаций, и матрице переходных вероятностей можно определить матрицу – столбец,
элементами которой будут средние значения искажений для каждого исходного значения сообщения ai
где M[ai]n j1
 M[a ] 1
Z M[a2]
i  …  (3)
M[a ] n
pij zij .
Среднее же значение искажений с учетом вероятностей появления
сообщений от источника равно
ZPZn p(n pijzij) (4)
i i i1i j1
где P (p p …p ) – матрица – строчка, отражающая распределение
i12n
вероятностей появления сообщений ai от источника и, соответственно,
сопоставленных с ними сигналов bi .
Предложенные количественные оценки использованы для разработки метода оценивания различных способов биекции пространств с целью минимизации дополнительных искажений, возникающих из-за ошибок в дискретном канале.
Для регулярных структур, отражающих биекцию пространств, получены выражения общего вида, позволяющие вычислять возникающие дополнительные искажения при любой размерности указанных пространств.
Так для взвешенного кода получена оценка суммарных искажений
Z
n1
2n 2i2n(2n1) i0
сум1взвеш
Для кода Грэя соответственно
(5)
n n1
Zсум1Грей  2ni1  2n  2i  2n (2n 1)
 i1 i0
(6) Это показывает, что код Грэя и взвешенный код эквивалентны по
показателю суммарных искажений ai A, возникающих из-за одиночных ошибок в кодовых комбинациях bi B. При этом максимальные искажения при
коде Грэя могут достигать величины (2n 1), тогда как при взвешенном коде максимальная величина искажений не превосходит 2n1 , т.е. почти в два раза
меньше. В тоже время количество минимальных искажений, величиной 1, при коде Грэя равно 2(2n 1), тогда как при взвешенном коде это число равно2n , т.е. в почти два раза меньше.
Для взвешенного кода искажения равные 1 встречаются 2n раз, искажения равные 2 – 2n раз, искажения равные 4 – 2n раз, и т.д. искажения
2n1 – также 2n раз. Т.е. распределение носит равномерный характер.
Для кода Грэя искажения величиной 1 появляются в 2(2n 1) случаях,
искажение величиной 3 в 2(2n1 1) случаях, искажения величиной 5 в
2(2n2 1) случаях, искажения 7 также в 2(2n2 1) случаях. Далее искажения
9, 11, 13, 15 в 2(2n3 1) случаях каждое, потом следующие 8 нечетных
искажений 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 в 2(2n4 1) случаях каждое, потом далее 16 нечетных искажений, 32 и т.д. в соответствующем числе случаев, которое
определяется аналогично.
Полученные данные позволяют осуществлять выбор способа биекции, исходя из различных критериев. Так, например, по критерию суммарных искажений результаты эквивалентны. По критерию минимальности максимальных искажений предпочтительней взвешенный код, а по критерию максимума минимальных искажений лучшим оказывается код Грэя.
В четвертом разделе показана структура сигнально – кодовой конструкции определяет тип биекции множеств G и Q , при которой можно получить минимальное число битовых ошибок для заданного распределения вероятности трансформации элементов gi G в элементы q iQ .
Распределение вероятностей трансформации элементов gi G в элементы q iQ является определяющим при выборе оптимального типа
биекции, минимизирующем битовую ошибку. Замкнутая концентрическая структура многократной дискретной модуляции влияет на выбор типа биекции по сравнению с разомкнутой структурой.
При превалирующем значении вероятности однократной ошибки для значительного числа типов биекции можно рекомендовать код Грэя и его
аналоги. Доказано, что количество этих аналогов равно (2n )! . В то же время (2n )n!
для ряда сигнально – кодовых конструкций код Грэя либо не дает преимущества по сравнению, например, со взвешенным кодом, либо может дать худшие результаты.
Разработан общий метод оценки эффективности выбора способа биекции, минимизирующий вероятность битовой ошибки, примененный для двукратных методов дискретной модуляции.
Полагая, что возникающие искажения имеют плотность вероятностей, распределенной по нормальному закону, рассчитан достижимый выигрыш Кср2 – Кср1 при оптимальном способе биекции в зависимости от дисперсии для двукратного метода фазовой модуляции, показанной на рисунке 4.
Кср1 и Кср2 – количество искаженных в среднем двоичных символов при двух способах кодирования: натуральный код и кд Грея соответственно.
Рисунок 4 – Зависимость выигрыша ( ср − ср ) от среднеквадратичного отклонения.
Данный результат показывает преимущество кода Грэя по сравнению со всеми другими возможными способами биекции. При этом данное преимущество, как видно из рисунка 4, носит нелинейный характер.
Для другого двукратного метода модуляции, а именно, амплитудно- фазового все методы биекции оказываются эквивалентными.
Показано, что если распределение вероятности возникновения ошибок
при трансформации элементов gi G в элементы q iQ не позволяет
пренебрегать вероятностью возникновения двукратных, трехкратных и т.д. ошибок, то следует провести специальные исследования, согласно предложенному методу, для выбора наилучшего типа биекции.
В пятом разделе разработана программная модель расчетов, позволяющая провести исследования и соответствующий выбор типа биекции.
Для реализации алгоритма использовался высокоуровневый язык C# и программная платформа Microsoft.NET. Для матричных вычислений использовалась специализированная библиотека Matrix Library .Net v2.0 (C) Anas Abidi, 2004. Для реализации интерфейса пользователя использовались стандартные возможности Microsoft Excel, в том числе по созданию встраиваемых (add-in) модулей.
Приведены описание программного алгоритма, диаграммы классов ПО, описание пользовательского интерфейса разработанной программы, примеры расчетов в разработанном ПО.
Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:
1. Показано, что при стремлении к эффективной передачи сигналов от источника к получателю помимо обеспечения минимальной скорости кодирования источника, выбора соответствующего помехоустойчивого кода, обеспечения требуемого времени передачи, сложности реализации и т.д. необходимо учитывать, что при любых преобразованиях сигналов из одного вида в другой имеется возможность оптимизации данного выбора при сопоставлении элементов исходного сигнала с его отображением. При этом эффективность преобразования сигналов из одного вида в другой должна определяться не только скоростью кодирования, но и выбором метода сопоставления исходного сигнала и его отображения после преобразования.
2. Показано, что оптимизация метода отображения исходного сигнала в условиях действия помех позволяет получить заметный выигрыш по помехоустойчивости. При этом скорость кодирования остается неизменной, что является важным и существенным фактором, поскольку достигаемый положительный эффект может быть получен без каких-либо дополнительных затрат, уменьшающих пропускную способность канала.
3. Получены зависимости эффективности преобразования сигналов в
цифровой при различных значениях точности отображения в виде введенного
критерия качества, оцениваемого по величине искажений элементов исходного сигнала. При этом данные зависимости получены для общего случая, а именно для многоуровневого непрерывно-дискретного сигнала с учетом требований к точности отображения его элементов.
4. Показано, что предельная эффективность преобразования различных сигналов в цифровой достигается при длине преобразуемого сигнала, стремящегося к бесконечности. А, следовательно, реально полученные значения эффективности при ограниченной длительности преобразуемого сигнала отличается от теоретически достижимой эффективности на 7-10%. Точное непреодолимое отличие реальной эффективности от теоретически достижимой, в условиях ограниченности длительности исходного сигнала, зависит от точности отображения и вида сигнала.
5. Разработанный метод анализа биекции множества A и множества B , соответствующий преобразованию элементов исходного сигнала ai A в
цифровые элементы biB пространства Хэмминга, позволил провести количественные расчеты с целью выбора наилучшего метода биекции,
обеспечивающего минимальную величину дополнительных искажений, возникающих в элементах ai A из-за ошибок в элементах bi B.
6. Предложенные «хорошие» и «плохие» методы биекции дают возможность получить оценки диапазона выигрыша по минимизации
дополнительных искажений, возникающих в элементах ai A из-за ошибок в элементах biB, за счет «хорошего» выбора с учетом возможностей
взвешенного кодирования и кода Грэя.
7. Показано, что виды помех, влияющие на появление ошибок в цифровом сигнале, необходимо учитывать, поскольку распределение ошибок оказывается существенным фактором при оптимизации выбора метода отображения исходного сигнала.
8. Показано, что при однократных ошибках в элементах biB
наибольшее количество минимальных искажений в элементах ai  A достигается при коде Грэя. Однако при этом имеются и максимально возможные искажения величиной (2n 1), тогда как для взвешенного кода
максимальная величина искажений не превосходит 2n1 , т.е. практически в два раза меньше. Важно также отметить, что среднее значение искажений для
регулярной структуры элементов ai A в этом случае совпадает.
9. Разработанный метод сравнения типов биекции множества A и
множества B в условиях возникновения ошибок в элементах bi B позволяет
получить более подробное описание, а именно, спектр возникающих искажений, что дает возможность осуществить выбор типа биекции, исходя из различных условий выбора. Например, по принципу минимизации среднего значения возникающих дополнительных искажений, по принципу минимизации максимальной величины возникающих искажений и т.д.
10. Показано, что структура сигнально – кодовой конструкции определяет тип биекции множеств G и Q , при которой можно получить минимальное число битовых ошибок для заданного распределения вероятности трансформации элементов gi G в элементы q iQ . При этом
распределение вероятностей трансформации элементов gi G в элементы q iQ является определяющим при выборе оптимального типа биекции,
минимизирующем битовую ошибку.
11. Показано, что замкнутая концентрическая структура многократной дискретной модуляции влияет на выбор типа биекции по сравнению с разомкнутой структурой. При превалирующем значении вероятности однократной ошибки для значительного числа типов биекции можно
рекомендовать код Грэя и его аналоги, число которых равно (2n )! . (2n )n!
В тоже время для ряда сигнально – кодовых конструкций код Грэя либо не дает преимущества по сравнению, например, со взвешенным кодом, либо может дать худшие результаты.
12. Разработана программная модель расчетов, позволяющая провести данные исследования и соответствующий выбор типа биекции.