Колебания балки на упругом винклеровском основании при изменении условий опирания
Введение
Глава 1. Развитие и современное состояние теории динамического расчёта системы
«балка – упругое основание»
Глава 2. Статические задачи изгиба балки на упругом основании при изменении условий
опирания
2.1 Общие положения
2.2 Изменение условий опирания на упругое основание правой части балки
2.3 Изменение условий опирания на упругое основание средней части балки
2.4 Изменение условий опирания на упругое основание двух краевых частей балки
2.5 Выводы по главе
Глава 3. Поперечные колебания балки на упругом основании при действии различных
нагрузок и изменении условий опирания
3.1 Общие положения
3.2 Свободные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил
3.3 Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил при
действии произвольной нагрузки
3.4 Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил при
действии внезапно приложенной силы
3.5 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии сосредоточенного
импульса
3.6 Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил при
действии вибрационной нагрузки
3.7 Поперечные колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания
3.7.1 Свободные колебания
3.7.2 Свободные колебания с учётом присоединённых масс
3.7.3 Вынужденные колебания при действии вибрационных нагрузок
3.7.4 Вынужденные колебания с учётом присоединённых масс и действии вибрационных
нагрузок
3.8 Выводы по главе
Глава 4. Практические результаты расчёта поперечных колебаний балки на упругом
основании при разных условиях опирания и действии нагрузок
4.1 Общие положения
4.2 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части
балки и действии вибрационной нагрузки
4.2.1 Собственные частоты и формы колебаний балки на упругом основании при
изменении условий опирания правой части балки
4.2.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий
опирания правой части балки и действии вибрационной силы
4.2.3 Колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил
4.2.4 Колебания балки на упругом основании с односторонними связями
4.3 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части
балки, действии вибрационной нагрузки и присоединённой массы
4.3.1 Собственные частоты и формы колебаний балки с присоединённой массой на
упругом основании при изменении условий опирания правой части
4.3.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий
опирания правой части, действии вибрационной силы и присоединённой массы
4.3.3 Колебания балки с присоединённой массой на упругом основании с односторонними
связями
4.4 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части
балки и действии вибрационной нагрузки
4.4.1 Собственные частоты и формы колебаний балки на упругом основании при
изменении условий опирания средней части балки
4.4.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий
опирания средней части и действии вибрационных сил
4.4.3 Колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил
4.4.4 Колебания балки на упругом основании с односторонними связями
4.5 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части
балки, действии вибрационной нагрузки и присоединённой массы
4.5.1 Собственные частоты и формы колебаний балки с присоединёнными массами на
упругом основании при изменении условий опирания средней части
4.5.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий
опирания средней части, действии вибрационной силы и присоединённой массы
4.6 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части
балки и действии внезапно приложенной силы
4.6.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии
внезапно приложенной силы
4.6.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии внезапно
приложенной силы с учётом диссипативных сил
4.7 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части
балки и действии внезапно приложенной силы
4.7.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии
внезапно приложенной силы
4.7.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии внезапно
приложенной силы с учётом диссипативных сил
4.8 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой части
балки и действии импульса
4.8.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии
сосредоточенного импульса
4.8.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий
опирания правой части балки и действии сосредоточенного импульса
4.9 Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания средней части
балки и действии импульса
4.9.1 Собственные частоты колебаний балки на упругом основании при действии
сосредоточенного импульса
4.9.2 Вынужденные колебания балки на упругом основании при изменении условий
опирания средней части балки и действии сосредоточенного импульса
4.10 Выводы по главе
Заключение
Список литературы
Приложение 1. Документы подтверждающие внедрение результатов диссертационной
работы
Введение посвящено обоснованию актуальности темы исследования, описанию
общей характеристики работы и формулированию её основных положений.
Первая глава работы содержит анализ технической литературы и обзор работ
отечественных и зарубежных авторов в области динамических расчётов балки на упругом
основании. Приводится аналитический обзор моделей грунтового основания,
проанализированы динамические модели балок, лежащих на упругом основании.
Рассмотрены методы расчёта конструкций на деформируемом основании с
использованием дифференциальных уравнений в зависимости от принятых моделей
основания. Для получения точного решения задачи колебаний упругих статически
неопределимых систем используется метод разделения переменных. Большие упрощения
даёт метод начальных параметров, который позволяет записать в готовом виде решения
задач при основных типах нагрузок. Отдельно рассмотрены вопросы рассеяния энергии
при колебаниях, описаны методы их учёта при динамическом расчёте, освещена
проблема учёта совместной работы конструкций с односторонними связями с
основанием.
Вопросы расчёта строительных конструкций, подвергающихся динамическим
воздействиям, рассмотрены многими известными учёными. Отметим работы
А.Н. Крылова, С.П. Тимошенко, И.М. Рабиновича, И.М. Бабакова, В.Л. Бидермана,
Б.Г. Коренева,В.И. Коробко,Н.Н. Леонтьева, Л.С. Ляховича,В.Л. Мондруса,
Я.Г. Пановко, А.Е. Саргсяна, Н.К. Снитко, А.Ф. Смирнова, А.И. Цейтлина, Ю.Т. Чернова
и других учёных. Подавляющее большинство работ по динамике взаимодействия балки и
основания выполнено для случаев, когда расчётная схема системы «балка – упругое
основание» в нагруженном состоянии не изменяется.
Обоснована необходимость решения вопросов вынужденных колебаний системы
«балка – упругое основание» при изменении условий опирания балок на упругое
основание, т.е. при изменении расчётной схемы нагруженной балки. Решение вопросов
обеспечения механической безопасности невозможно без решения задач исследования
динамических процессов в конструктивно нелинейных системах, изменяющих расчётную
схему при внезапном образовании недетерминированного локального разрушения
основания.
Вторая глава включает результаты решения статических задач изгиба балки,
расположенной на упругом винклеровском основании с кусочно-переменной
жёсткостью, которые в дальнейшем будут использованы в качестве начальных условий
исследования динамического процесса при внезапном изменении условий опирания
системы «балка – упругое основание».
Рассмотрены три основные расчётные схемы балки со свободными концами,
расположенной на упругом винклеровском основании (рис. 1 – 3):
Рисунок 1 – Изменениеусловий
опирания одной из краевых частей
балки
Рисунок 2 – Изменениеусловий
опирания средней части балки
Рисунок 3 – Изменениеусловий
опирания двух краевых частей балки
Дифференциальное уравнение линии прогибов для балки постоянного сечения
( )
имеет вид:( )+4( )=,(1)
где( ) – величина осадки (перемещения), (м);==- коэффициент
относительной жёсткости упругого основания, (1/м); ( ) = −( ) – интенсивность
реакции упругого основания, (Н/м); – коэффициент постели, (Н/м ); b – ширина балки,
(м); ( ) – распределённая нагрузка; E – модуль упругости материала балки, (Па);
I – момент инерции поперечного сечения балки, (м4).
Аналитическое решение уравнения (1) выполнено методом начальных параметров
для каждого участка балки, с использованием функций А.Н. Крылова.
Для иллюстрации решений и с целью определения влияния на напряжённо-
деформированное состояние балки изменения длинычасти балки при исключении
упругого основания, действии собственного веса балкии сосредоточенной силы
(рис. 1 и 2) выполнены расчёты для трёх значений приведённой длины балки
= 2,2; 3,86; 5,1 при значениях коэффициентов постели: =5; 50 и 150 МН/м3 и трёх
вариантов длины части балки с исключаемым основанием= (1/6) ; (1/4) ; (1/3) .
Исходные данные: балка прямоугольного сечения 1,25х1,5(ℎ) м длиной =18,0 м
из материала плотностью =2500 кг/м3 с модулем упругости =21,0х103 МПа. На балку
действуют собственный веси сосредоточенная сила = 100,0 кН, приложенная в
точке .
Результаты расчёта при изменении условий опирания правой (рис. 1) и средней
(рис. 2) части балки для разных значений параметровии, для сравнения, балки на
сплошном упругом основании представлены на рис. 4 и 5 и в табл. 1 и 2.
Рисунок 4 – Прогибы (м) и изгибающие моменты (кН.м) балки на упругом основании
при= 3,86 и изменении условий опирания под правой частью
Рисунок 5 – Прогибы (м) и изгибающие моменты (кН.м) балки на упругом основании
при= 3,86 и изменении условий опирания под средней частью
Таблица 1 – Результаты расчёта балки на упругом основании при изменении условий
опирания правой части
Прогиб справа (), мИзгибающий момент (), кН.м
Основание
(5/6)(3/4)(2/3)(5/6)(3/4)(2/3)
2,20,011660,02792 0,044900,07382-229,0-890,0-1329,9-1845,8
3,860,001420,00534 0,009650,01645-143,8-737,8-1179,5-1716,8
5,10,000540,00292 0,005860,01069-107,8-662,7-1092,5-1624,2
Таблица 2 – Результаты расчёта балки на упругом основании при изменении условий
опирания средней части балки
Прогиб справа (), мИзгибающий момент (), кН.м
Основание
(5/6)(3/4)(2/3)(5/6)(3/4)(2/3)
2,20,008600,01081 0,012320,01422201,4534,4708,1886,6
3,860,000940,00141 0,001790,00232123,8358,5496,7655,0
5,10,000330,00056 0,000770,0010889,2264,8368,3489,9
Рассмотрена та же балка при изменении условий опирания двух краевых частей
(рис. 3), которая используется для решения задачи изгиба балки на упругом основании с
односторонними связями.
Численным методом последовательных итераций определена наиболее вероятная
расчётная схема системы «балка – упругое основание», при которой значение прогиба
балки равно нулю в точке сопряжения участков балки, работающих совместно с упругим
основанием в зоне контакта и независимо от основания в зоне отрыва. В табл. 3
представлены результаты расчёта балки при двусторонних и односторонних связях с
упругим основанием.
Таблица 3 – Результаты расчёта балки на упругом основании с односторонними и
двусторонними связями при изменении условий опирания правой части балки
Двусторонние связиОдносторонние связи
ДлинаПрогиб , м,ДлинаПрогиб , м,
отрыва,мслева справакН.мотрыва,мслевасправакН.
м
2,2(1/4)1,62-0,00330,0449-1329,92,16-0,00490,0462-1316,7
2,21,8-0,01080,0738-1845,83,42-0,04150,1032-1745,4
(1/3)
3,862,7-0,00020,0165-1716,84,14-0,00060,0167-1710,3
По результатам расчётов статических задач изгиба балки, расположенной на
упругом основании, при исключении из работы основания одной из частей балки,
определено, что перемещения и внутренние усилия балки увеличиваются при увеличении
длины части балки с исключаемым основанием. С увеличением длиныправой части
балки с исключаемым основанием и увеличением приведённой длиныбалки может
происходить отрыв левой или средней части балки от упругого основания. В большинстве
случаев отрыв не возникает, так как балка имеет достаточно большой пригруз
постоянными нагрузками. При отрыве одной части балки от упругого основания в
результате исключения основания под другой частью балки при односторонних связях
балки с упругим основанием увеличивается длина зоны отрыва и увеличиваются прогибы
левого и правого концов балки, но уменьшаются значения изгибающих моментов в
сечениях балки по сравнению с той же балкой при двусторонних связях с основанием.
В третьей главе решены динамические задачи свободных и вынужденных
колебаний балки на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью, в том числе
при внезапном изменении или исчезновении жёсткостных характеристик упругого
основания под частью балки, при действии динамических нагрузок и с учётом
дополнительных присоединённых масс. Рассмотрены основные расчётные схемы балки
со свободными концами, расположенной на упругом основании при изменении условий
опирания одной краевой части, средней части и двух краевых частей балки (рис. 6).
Действие присоединённых масс и динамических нагрузок на каждом участке балки
, ирассмотрено в произвольных точках (рис. 6 а – г).
а) на сплошном упругом основанииб) при изменении условий опирания на
упругое основание правой части
в) при изменении условий опирания на г) при изменении условий опирания на
упругое основание средней частиупругое основание двух краевых частей
Рисунок 6 – Балка с присоединенными массами на упругом основании при действии
динамических нагрузок ( ), ( ), ( )
При внезапном исчезновении основания под какой-либо частью балки или
образовании внутри основания полости под какой-либо частью балки, до этого
покоящейся на сплошном упругом основании, происходит нарушение равновесия в
системе «балка – упругое основание». Балка и основание начинают колебаться с
некоторыми собственными частотами, возникают инерционные силы, учёт которых
позволяет рассмотреть равновесие всей системы.
Методика расчёта балок на упругом винклеровском основании при действии
статических и динамических нагрузок в случае изменения условий опирания частей балок
на основание построена путём последовательного решения нижеследующих задач с
использованием расчётной модели балки Бернулли – Эйлера:
1) решается статическая задача определения перемещений и внутренних усилий в
балке, расположенной на упругом основании, при исключении из работы основания под
частью балки. Значения статических перемещений используются как начальные условия
динамического процесса (колебаний), возникающего после внезапного исключения из
работы основания под частью конструкции. Значения статических внутренних усилий
используются для сравнения с динамическими;
2) исследуются свободные поперечные колебания балки на упругом основании с
кусочно-переменной жёсткостью вследствие изменения условий опирания части
конструкции на основание;
3) исследуются вынужденные поперечные колебания балки на упругом основании
с кусочно-переменной жёсткостью, в том числе при внезапном изменении или
исчезновении жёсткостных характеристик упругого основания под частью балки,
вызванные различными видами динамической нагрузки, путём разложения этой нагрузки
в ряд по собственным формам колебаний.
Дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний балки при
любом законе изменения возмущающей силы ( , ) имеет вид:
( , )( , )( , )
+++( , ) = ( , ),(2)
где ( , ) – функция прогиба балки, зависящая от координаты x и времени , (м); ( , )
– возмущающая нагрузка, изменяющаяся во времени t; – погонная масса балки (Н*с2/м2);
– коэффициент затухания.
Свободные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных сил
описаны уравнением (2) при ( , ) = 0. Получено выражение для прогиба балки ( , )
при её свободных колебаниях:
( , )=∑( )( sin+ cos),(3)
где– частота свободных колебаний балки:=+.(4)
Постоянныеиопределяются из начальных условий. Обычно в начальный
момент времени при = 0 известна функция статического прогиба ( , 0) = ( ) и
начальная скорость балки ̇ ( , 0) = 0.
Вынужденные поперечные колебания могут быть вызваны различными видами
динамической нагрузки. В работе получено решение дифференциального уравнения
вынужденных поперечных колебаний балки на упругом основании при любом законе
изменения произвольной динамической нагрузки ( , ).
Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных
сил при действии произвольной нагрузки.
Представим ( , ) в виде ряда ( , ) = ∑( ) ( ), умножив на ( )и
∫( , )( )
интегрируя, получим:( )=.(5)
∫( )
При действии на балку системы сил ∑ ( ) ( − ), где ( ) – сила, приложенная
в точке , ( − ) – дельта функция, функция ( ) определится из выражения:
∑( )( )
( )=.(6)
∫( )
Далее, как и прежде, представим функцию прогиба ( , ) в виде ряда, получим
полное решение задачи о вынужденных колебаниях балки на упругом винклеровском
основании при действии произвольной нагрузки:
( ) ( )( )
( , )=∑( )(7)
sin+ cos+∫.
Далее рассмотрим ряд частных случаев.
Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных
сил при действии внезапно приложенной силы .
Получено уравнение функции прогиба балки:
( )
( , )=∑( ),(8)
()
где=∫( ).(9)
Если затуханием можно пренебречь, то вычисляя интеграл (9), получим решение
задачи в окончательном виде:
( , )=∑( ) ( ).(10)
Вынужденные колебания балки на упругом основании при действии
сосредоточенного импульса .
Действие импульса равнозначно кратковременному действию силы = ∆ при
конечном и ∆ → 0. Получено уравнение прогиба балки при действии сосредоточенного
импульса :
( , )=∑( ) ( ).(11)
Вынужденные колебания балки на упругом основании с учётом диссипативных
сил при действии вибрационной нагрузки от возмущающей силы, изменяющейся по
гармоническому закону, описываются уравнением:
( , )( , )( , )
+++( , )=( ) sin(+),(12)
где – частота вынужденных колебаний,– начальный сдвиг фазы.
Используя метод разделения переменных, разложим функцию ( , ) в ряд по
фундаментальным функциям задачи о свободных колебаниях. В общем случае с учётом
затухания прогиб балки при действии на неё вибрационной нагрузки:
( , )=∑ℎ( )(+)+sin(++).(13)
Применяя метод начальных параметров и функции А.Н. Крылова получено точное
решение динамических задач свободных и вынужденных колебаний балки на упругом
основании с кусочно-переменной жёсткостью, в том числе с учётом дополнительных
присоединённых масс, для основных расчётных схем при внезапном изменении или
исчезновении жёсткостных характеристик основания из-за изменения условий опирания
одной или двух краевых частей или средней части балки (рис. 6).
Четвертая глава включает в себя результаты практических расчётов,
иллюстрирующих решения, полученные в главе 3. Исследованы поперечные колебания
балки на упругом основании при действии вибрационной нагрузки ( ) =,
внезапно приложенной силы и сосредоточенного импульса , в том числе с учётом
присоединённых масс, для балки, расположенной на упругом основании в случае
внезапного изменения условий опирания краевой или средней части. Точность
полученных результатов оценена путём сравнения с известными решениями и
результатами компьютерного моделирования.
Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания и
действии вибрационной нагрузки
Рассмотрена та же балка при действии собственного весаи вибрационной силы
( )=, приложенной в точке без учёта (рис. 7 а) и с учётом присоединённой
массы= 1019,4 кг (рис. 7 б).
а) без присоединённой массыб) с присоединённой массой
Рисунок 7 – Балка на упругом основании при изменении условий опирания под правой
частью и действии вибрационной силы
Используя выражение коэффициента относительной жёсткости основания,
принятого при решении уравнения (1) и формулу (4), получим:
=−=−=−4.(14)
Коэффициентпринимает вещественное значение, если> , этот случай и
имеем в виду в дальнейшем.
Корни частотного уравнения для части балки на упругом основании обозначим ,
а для части без основания – . Определим корни и частоты собственных поперечных
колебаний балки для первых четырёх форм колебаний из условия равенства частот
собственных колебаний двух частей балки= , на упругом основаниии без
основания . Результаты представлены в табл. 4 и 5.
Таблица 4 – Корни и частоты (рад/с) собственных поперечных колебаний балки на упругом
основании при исключении основания правой части балки
Упругое основание =50 МН/м3Упругое основание =5 МН/м3
колебан
Форма
сплошное Lслева= (3/4)сплошное Lслева = (3/4)
,
00,1217115,840,12120,1212115,820,121740,60 0,12120,121240,58
10,2626142,990,24190,3302135,540,262693,14 0,260,271391,26
20,4363262,810,43030,4247257,020,4363239,35 0,43570,4382238,71
30,6109477,720,60820,6174473,830,6109465,25 0,61060,6115464,85
Таблица 5 – Корни и частоты (рад/с) собственных поперечных колебаний балки с
присоединённой массой на упругом основании при исключении основания правой части балки
Упругое основание =50 МН/м3Упругое основание =5 МН/м3
колебан
Форма
сплошное Lслева= (3/4)сплошное Lслева= (3/4)
00,0225114,37—0,060938,080,03790,170736,20
10,2309132,2 0,21920,3222 129,000,242881,700,24160,255481,05
20,4110239,1 0,40560,4341 234,260,4134215,450,41290,4159214,94
30,5847440,13 0,58220,5926 436,500,5853427,280,58510,5861426,99
По результатам расчётов определено, что при исключении упругого основания под
частью балки частота собственных поперечных колебаний балки уменьшается и
колебания совершаются медленнее. В случае присоединения массык балке частота
свободных поперечных колебаний уменьшается по сравнению с аналогичными
значениями частоты балки без присоединённой массы.
Построены первые четыре формы
колебаний балки (рис. 8). Определено, что
формы колебаний балки при исключении
упругого основания под частью балки и
балки на сплошном упругом основанииРисунок 8 – Формы колебаний балки на
тождественны.упругом основании
Изгибные формы начинаются со второй частоты, первая частота соответствует
перемещению балки, как жёсткого тела.
Рассмотрим действие на ту же балку собственного весаи вибрационной силы
( )=, приложенной в точке = , действующей с частотой =160 рад/с, без
учёта затухания. Длина части балки без основания = (1/4) .
Определим динамические прогибы и моменты балки (рис. 7а) при исключении
упругого основания под правой частью балки. Для сопоставления результатов расчётов
построим эпюры для балки, расположенной на сплошном упругом основании. Результаты
расчётов представлены на рис. 9 и в табл. 6.
Эпюры прогибов, мЭпюры моментов, х10 кН.м
Рисунок 9 – Балка на упругом основании при изменении условий опирания правой
части и действии вибрационной силы
Таблица 6 – Результаты динамического расчёта балки при исключении упругого
основания правой части и действии вибрационной силы
Упругое основаниеУпругое основание
сплошное Lслева= (3/4)форма
искл
справа
исклискл
формасправаформасправасправа
, спл ,спл ,искл ,искл ,
форма
сплискл ,сплсплспл
ммкН мммкН м
3,860,0004 0,0011 407,70,0002 0,0004233,20,590,420,57
2,29
0,00013
0,0001121,09
0,00018
0,0001121,81,00,941,007
1615
При исключении упругого основания правой части балки значения динамических
прогибов и изгибающих моментов уменьшились на 41-58 % и уменьшились на 11,4 %
значения отношений частот / к соответствующим значениям для балки на сплошном
упругом основании.
Результаты определения динамических прогибов и моментов балки с
присоединённой массой при исключении упругого основания под правой частью балки
(рис 7б) представлены в табл. 7.
Таблица 7 – Результаты динамического расчёта балки с присоединённой массой при
исключении упругого основания правой части и действии вибрационной силы
Упругое основаниеУпругое основание
сплошное Lслева= (3/4)форма
искл
справа
исклискл
формасправаформасправаформасправа
спл,спл,спл ,искл ,искл ,искл ,сплсплспл
ммкН м
.
ммкН.м
3,860,0001 0,0003106,00,00010,0002105,71,00,730,99
2,23
0,0001 0,0001121,03
0,00012
0,0001121,81,00,941,007
1615
При исключении упругого основания правой части балки значения динамических
прогибов в середине балки не изменились, а правого конца балки уменьшились на 27 %,
динамический изгибающий момент уменьшился незначительно, только на 1 %, и
увеличились значения отношений / на 5 % к соответствующим значениям для балки
на сплошном упругом основании.
Внезапное исключение основания под частью балки приведёт к колебаниям балки.
Максимальное суммарное перемещение при внезапном исключении упругого основания
под частью балки запишем в следующем виде:
статдин
= ( искл + искл ),(15)
стат
где– максимальное перемещение, искл – соответствующее максимальное
дин
статическое перемещение, искл – максимальное динамическое перемещение.
стат
Статический прогиб при исключении основания по частью балки исклпримем как
начальные условия изучения динамического процесса.
Формулу для определения коэффициента суммарного перемещения при внезапном
исключении упругого основания под частью балки с учётом выражения (15) запишем в
виде:
статдиндин
исклисклискл
=стат=стат=1+стат.(16)
исклисклискл
динстат
Соотношение искл⁄ искл в формуле (16), которое определит динамическую
стат
добавку относительно статических перемещений искл, назовём коэффициентом
дин стат
динамичности перемещений и обозначим:= искл ⁄ искл . Аналогично выражению (16)
получим формулу для коэффициента динамичности изгибающих моментов:
динстат
= искл/ искл.
Построим для балки (рис. 7 а) графики коэффициентов динамичности
перемещенийи изгибающих моментовдля первых трёх изгибных форм колебаний
(рис. 10 – 15). Принято, что вибрационная сила ( ) действует с частотой вынужденных
колебаний в интервале 40 – 600 рад/с для балки с параметром= 2,2; 115 – 600 рад/с
для= 3,86 и 200 – 600 рад/с для= 5,1. Длина части балки без основания
= (1/6) ; (1/4) и (1/3) .
Рисунок 10 – Коэффициентпри= 2,2
Рисунок 11 – Коэффициентпри= 2,2
Рисунок 12 – Коэффициентпри= 3,86
Рисунок 13 – Коэффициентпри= 3,86
Рисунок 14 – Коэффициентпри= 5,1
Рисунок 15 – Коэффициентпри= 5,1
Для балки с присоединённой массой (рис. 7 б) и параметром= 3,86 построим
графикиидля трёх изгибных форм колебаний (рис. 16 и 17).
Рисунок 16 – Коэффициентпри= 3,86
Рисунок 17 – Коэффициентпри= 3,86
Также, рассмотрим ту же балку, состоящую из трёх участков при изменении
условий опирания под средней частью и действии собственного весаи трёх
вибрационных сил ( ) = ( ) = ( ), приложенных в точках= 0,1 м, = /2 и
=(рис. 18 а). И рассмотрим ту же балку (рис 18 б), к которой приложим в точках
= 0,1 (м),= /2 и=три массы==.
а) без присоединённых массб) с присоединёнными массами
Рисунок 18 – Балка на упругом основании при изменении условий опирания под
средней частью и действии вибрационных сил
Построим графикиидля трёх изгибных форм колебаний балки без
присоединённых масс (рис. 19 и 20) и с присоединёнными массами (рис. 21 и 22).
Рисунок 19 – Коэффициентпри= 3,86
Рисунок 20 – Коэффициентпри= 3,86
Рисунок 21 – Коэффициентпри= 3,86
Рисунок 22 – Коэффициентпри= 3,86
Рассмотрим результаты расчётов, представленных на рис. 10 – 17 и 19 – 22.
Во всех расчётных случаях значение коэффициента динамичности перемещений
в межрезонансных зонах действия вибрационной нагрузки в несколько раз меньше
значения коэффициента динамичности изгибающих моментов .
С увеличением длины участка балки с исключаемым основаниемпри
одинаковой приведённой длине балкиуменьшаются значения коэффициентов и
и уменьшается ширина резонансных зон. С увеличением значения параметрапри
одинаковой длине участка балки с исключаемым основаниемувеличиваются значения
коэффициентови .
При схеме загружения, изображённой на рис. 18, резонансная зона для второй
изгибной формы собственных колебаний расчётом не определена, одновременное
действие двух вибрационных сил на концах балки и одной вибрационной силы в середине
приводит к антирезонансу для второй формы колебаний для параметров приведённой
длины балки= 3,86 и 5,1. Приложение к балке дополнительных присоединённых
масс можно рассматривать как гаситель колебаний.
При исключении упругого основания под частью балки, в случае учёта влияния
диссипативных сил в материале балки (при = 0,3), изучено изменение
величиныамплитудывынужденных
колебаний при резонансе. Зависимость
коэффициентадинамичностиот
изменения отношения /представлена
на рис. 23. Получено максимальное
значение коэффициента=10,47 при Рисунок 23 – График измененияпри
/ = 1,0.резонансе
Определено, что в резонансной зоне при исключении упругого основания части
балки значения динамических перемещений и внутренних усилий балки следует
определять с учётом затухания колебаний.
Рассмотрим теперь случай односторонних связей с упругим основанием той же
балки (рис. 7), используя численный метод последовательных итераций.
При отрыве от упругого основания левой части балки из-за исключения основания
под правой частью балки вычислены максимальные значения динамических прогибов и
моментов при двусторонних и односторонних связях балки с упругим основанием за
половину периода колебаний (рис. 24). Результаты расчётов представлены в таблице 8.
Таблица 8 – Результаты расчёта балки при исключении упругого основания под правой
частью с учётом отрыва от основания левой части
Односторонние связиДвусторонние связиотрывотрывотрыв
отрывотрывотрыв
,,,,,,
мкН м
.
кНмкН м
.
кН
3,860,0004201,389,50,0005227,987,70,830,881,02
Из таблицы 8 следует, что при односторонних связях балки с упругим основанием
при= 3,86 длина участка отрыва левого конца балки уменьшилась на 32 %, а длина
участка отрыва правого конца балки увеличилась на 10 %, также уменьшились значение
частоты собственных колебаний с 135,54 до 129,23 рад/с и максимальные значения
динамического прогиба на 17,4 % и динамического изгибающего момента на 12 %.
Прогиб, мПрогиб, м
Момент, х10 кНмМомент, х10 кНм
а) двусторонние связи с основаниемб) односторонние связи с основанием
Рисунок 24 – Балка при исключении упругого основания правой части
Результаты расчёта той же балки с присоединённой массой (рис. 7б) представлены
в табл. 9.
Таблица 9 – Результаты расчёта балки при исключении упругого основания под правой
частью с учётом отрыва от основания левой части
Односторонние связиДвусторонние связиотрывотрывотрыв
отрывотрывотрыв
,,,,,,
мкН.мкНмкН.мкН
3,860,0002103,040,70,00022106,040,70,910,971,0
Из таблицы 9 следует, что при односторонних связях балки с упругим основанием
при= 3,86 длина участка отрыва левого конца балки уменьшилась на 32 %, а длина
участка отрыва правого конца балки увеличилась на 12 %, также уменьшились значение
частоты собственных колебаний и максимальные значения динамического прогиба на
9,1 % и динамического изгибающего момента на 2,8 %.
Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания части
балки и действии внезапно приложенной силы
Рассмотрено действие на ту же балку (см. главу 2) собственного веса и внезапно
приложенной в точкесилы(рис. 25). Наибольшие динамические перемещения
вычислены при cos= −1, т.е. при = / = /2 для = 1.
Количество форм колебаний, принятых в расчёте, учтено в спектре длиной 25 ,
где– первая изгибная частота. Определены частоты собственных поперечных
колебаний балки. Вычислены значения коэффициентов динамичности перемещений
при исключении упругого основания под частью балки и действии внезапно приложенной
силы. Результаты расчётов представлены в табл. 10 и 11.
а) исключение основания под правой б) исключение основания под средней
частью балкичастью балки
Рисунок 25 – Балка при изменении условий опирания и действии внезапно приложенной
силы
Таблица 10 –при исключении упругого основания правой части балки
ПараметрСплошноеИсключение основания под правой частью балки
Коэффи-
циент
системыоснование= (1/6)= (1/4)= (1/3)
«балка –( ), мм( ), мм( ), мм( ), мм
основание= 9 м = 18 м= 9 м = 18 м = 9 м = 18 м = 9 м = 18 м
= 3,860,1660,0560,1550,014 0,1210,0110,0560,011
Таблица 11 –при исключении упругого основания средней части балки
ПараметрСплошноеИсключение основания под средней частью балки
Коэффи-
циент
системыоснование= (1/6)= (1/4)= (1/3)
«балка –( ), мм( ), мм( ), мм( ), мм
основание= 9 м = 18 м= 9 м = 18 м = 9 м = 18 м = 9 м = 18 м
= 3,860,1830,4070,0350,27 0,0230,27 0,0170,29
Определено, что при исключении упругого основания под частью балки и действии
внезапно приложенной силывызываемые ею перемещения значительно меньше
перемещений от статической нагрузки. Анализ сопоставления полученных результатов
расчётов и выполненных с применением ПК свидетельствует, что относительная
погрешность вычислений не превышает для собственных частот поперечных колебаний
– 0,5 %, для перемещений – 1,26 %.
Колебания балки на упругом основании при изменении условий опирания правой
части и действии сосредоточенного импульса
Рассмотрено действие на ту же балку (см. главу 2) собственного весаи
сосредоточенного мгновенного импульса= ∆ (рис. 26). Продолжительность
действия мгновенного импульса = 0,001 с.
а) исключение основания под правой б) исключение основания под средней
частью балкичасти
Рисунок 26 – Балка при изменении условий опирания и действии сосредоточенного
импульса
Определены частоты собственных поперечных колебаний балки в спектре длиной
25 . Вычислены значения коэффициентов динамичности перемещенийпри
исключении упругого основания под частью балки и действии сосредоточенного
импульса. Результаты расчётов представлены в табл. 12 и 13.
Таблица 12 –при исключении упругого основания правой части балки
ПараметрСплошноеИсключение основания под правой частью балки
Коэффи-
циент
системыоснование= (1/6)= (1/4)= (1/3)
«балка –( ), мм( ), мм( ), мм( ), мм
основание= 9 м = 18 м= 9 м = 18 м = 9 м = 18 м = 9 м = 18 м
= 3,860,040,0480,030,009 0,0230,0050,010,003
Таблица 13 –при исключении упругого основания средней части балки
ПараметрСплошноеИсключение основания под средней частью балки
Коэффи-
циент
системыоснование= (1/6)= (1/4)= (1/3)
«балка –( ), мм( ), мм( ), мм( ), мм
основание= 9 м = 18 м= 9 м = 18 м = 9 м = 18 м = 9 м = 18 м
= 3,860,020,040,0080,039 0,0060,04 0,0040,043
Определено, что при исключении упругого основания под частью балки и действии
сосредоточенного импульса вызываемые им перемещения значительно меньше
перемещений от статической нагрузки и от внезапно приложенной силы. Анализ
сопоставления полученных результатов расчётов и выполненных с применением ПК
свидетельствует, что относительная погрешность вычислений не превышает для
собственных частот поперечных колебаний – 0,5 %, для перемещений – 1,81 %.
Относительная погрешность вычислений в сопоставлении с известными решениями не
превышает для собственных частот поперечных колебаний – 2,4 %, для перемещений –
0 %.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1) Получено решение статических задач изгиба балки на упругом основании с
кусочно-переменной жёсткостью при отсутствии основания под различными частями
балки, как начальных условий исследования динамического процесса. Выявлены
закономерности распределения внутренних усилий по длине балки в зависимости от
схемы нагружения и длины участка балки без основания.
2) Решена задача определения частот и форм собственных поперечных колебаний
балки на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью вследствие изменения
условий опирания части конструкции на основание.
3) Получено решение динамических задач вынужденных колебаний балки на
упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью, в т.ч. при внезапном исключении
основания под частью конструкции, и действии различных нагрузок. Исследовано
влияние внезапного изменения условий опирания части балки на упругое основание, в
результате которого действовавшая статическая нагрузка превращается во внезапно
приложенную динамическую. На основании полученных решений динамических задач и
выполненных численных исследований показаны зависимости максимальных значений
динамических перемещений и усилий от амплитуд и частот вынужденных колебаний, а
также от размеров исчезнувшего участка основания и жёсткостей элементов системы
«балка – упругое основание» и от величины и расположения присоединённых к балке
дополнительных масс. При исследовании вынужденных колебаний изучены резонансные
эффекты для балки при исключении части основания.
Сопоставление выполненных результатов динамических расчётов с известными
данными и результатами расчётов, выполненных с использованием программных
комплексов, свидетельствует о хорошей сходимости.
4) Изучены вынужденные колебания балок на упругом основании с
односторонними связями при внезапном исключении основания под какой-либо частью
балки и действии статических нагрузок и динамических нагрузок.
Перспективой дальнейшей разработки темы представляется развитие и
применение предложенной методики расчёта балок на винклеровском упругом
основании с кусочно-переменной жёсткостью, в том числе при внезапном изменении или
исчезновении жёсткостных характеристик упругого основания под частью балки с учётом
инерции основания, а также использование отличных от принятых в работе моделей
основания и динамических моделей балки.
Актуальность темы исследования. Основным требованием Федерального закона
от 30.12.2009 №384-ФЗ «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений»,
предъявляемым к зданиям и сооружениям на всех стадиях жизненного цикла, является
обеспечение безопасности жизни и здоровья граждан, имущества физических или юридических
лиц, государственного или муниципального имущества. Выполнение требований безопасности
обеспечивается реализацией требуемых функций строительных объектов в течение расчётного
срока эксплуатации без отказов конструктивных систем, при которых их дальнейшая
эксплуатация недопустима или нецелесообразна. Для этого при проектировании зданий и
сооружений необходимо учитывать предельные состояния при действии наиболее
неблагоприятных сочетаний нагрузок в течение расчётного срока службы.
В современной строительной практике для выполнения требований механической
безопасности зданий и сооружений, которые регламентированы законодательно и получили
развитие в современных нормативно-технических документах, актуальной является задача
исследования конструктивных систем, изменяющих расчётную схему в силу различных причин
при локальном разрушении или в результате проявления опасных природных процессов и
явлений или техногенных воздействий. Состояния, возникающие при особых воздействиях и
ситуациях, превышение которых приводит к разрушению сооружений с катастрофическими
последствиями необходимо учитывать для обеспечения требований особой группы предельных
состояний.
К особым воздействиям и ситуациям относятся деформации основания, вызванные
изменением физико-механических свойств грунта, сопровождающиеся снижением его
прочностных характеристик в результате карстовых или карстово-суффозионных процессов;
тепловых просадок, связанных с оттаиванием льдистых грунтов и залежей подземных льдов;
замачивания просадочных грунтов или вследствие ошибок при производстве работ; нарушений
правил эксплуатации сооружений; нарушений технологического процесса или поломки
оборудования и возникающие по другим, не установленным причинам.
В большей степени изменение грунтовых условий влечёт за собой изменение условий
работы фундаментных конструкций, которые в ряде случаев можно рассматривать как работу
балки, лежащей на упругом основании. К этой схеме приводятся многие задачи расчёта
элементов конструкций – шпал, рельсов, свай, ленточных фундаментов, резервуаров,
трубопроводов, каналов, тоннелей, распределительных устройств каменных конструкций и др.
Поэтому разработка методики расчёта конструкций (в частности, балок), лежащих на
упругом основании, с учётом изменения условий их опирания на основание, является актуальной
задачей для обеспечения безопасности как фундаментов, так и находящихся на них надземных
конструкций зданий и сооружений. Кроме того, актуальным является учёт как статических, так
и динамических нагрузок, а также проявление динамических эффектов при внезапном изменении
условий опирания фундаментных конструкций. Инженерная практика нуждается в простых
методах решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений,
способных обеспечить их безопасность при особых воздействиях и ситуациях.
Степень разработанности темы исследования. Вопросы расчёта балок, лежащих на
упругом основании, исследованы многими зарубежными и отечественными учёными.
Исследовательские работы в большей части выполнены по расчёту балок, лежащих на сплошном
упругом основании, описываемых моделью Винклера, и нагруженных статической нагрузкой.
Результаты этих работ описаны в ряде монографий, преимущественно XX века.
Выполненные исследования работы конструкций за пределами первого и второго
предельных состояний стали основой формулировки и постановки задач при расчётном анализе
сопротивления зданий и сооружений прогрессирующему обрушению в результате локального
разрушения одного из несущих элементов. На этих положениях формируются исследования
современных требований безопасности конструктивных систем, формулируются критерии
особого предельного состояния (работы В.А. Алмазова, В.М. Бондаренко, А.М. Белостоцкого,
Г.А. Гениева, В.А. Гордона, А.С. Городецкого, П.Г. Еремеева, Н.И. Карпенко, Н.Г. Келасьева,
Э.Н. Кодыша, В.И. Колчунова, Вл.И. Колчунова, В.И. Коробко, А.В. Коробко, Е.Н. Курбацкого,
И.Е. Милейковского, Б.С. Расторгуева, И.Н. Серпика, А.Г. Тамразяна, В.И. Травуша,
Н.Н. Трёкина, А.А. Трещёва, А.В. Туркова, В.С. Фёдорова, Н.В. Фёдоровой, Ю.Т. Чернова,
Г.И. Шапиро и др.).
В то же время мало работ, в которых рассматриваются конструкции на упругом
основании, у которых во время эксплуатации изменились граничные условия под частью
площади опирания, либо на части опирания основание внезaпно исчезло. Также мало работ, в
которых рассматривается изменение характера воздействия нагрузки в процессе эксплуатации.
Внезапное изменение условий опирания балки на основание приводит к тому, что действующая
на балку статическая нагрузка превращается во внезапно приложенную нагрузку, вызывающую
колебания, т.е. в динамическую.
Целью диссертационной работы является разработка методики расчёта балки на
упругом винклеровском основании с кусочно-переменной жёсткостью, учитывающего
изменение условий опирания, вызванным локальным, в том числе внезапным, разрушением
основания.
Задачи исследования:
• решение статических задач изгиба балки на упругом основании с кусочно-переменной
жёсткостью при отсутствии основания под частью конструкции и действии различных нагрузок;
• определение собственных частот колебаний балки на упругом основании с кусочно-
переменной жёсткостью вследствие изменения условий опирания части конструкции на
основание;
• решение динамических задач вынужденных колебаний балки на упругом основании с
кусочно-переменной жёсткостью, в т.ч. при внезапном исключении основания под частью
конструкции и действии различных нагрузок;
• учёт дополнительных масс и динамических нагрузок при внезапном изменении или
исчезновении жёсткостных характеристик упругого основания под частью балки;
• совершенствование методики расчёта балок на упругом основании, являющихся
фундаментами реальных сооружений на действие статических и динамических нагрузок в случае
изменения условий опирания этих балок, вызванных изменением жёсткостных характеристик
основания или исчезновением основания под частью балки;
• учёт односторонних и двусторонних связей балок с основанием.
Объект исследования – балка на упругом винклеровском основании с кусочно-
переменной жёсткостью, учитывающем изменение условий опирания, вызванных локальным, в
том числе внезапным, разрушением основания при действии статических и динамических
нагрузок.
Предмет исследования – методика определения усилий и деформаций в балках на
упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью при изменении условий опирания части
балки на основание при действии различных нагрузок.
Научная новизна работы:
• разработана теоретически обоснованная методика расчёта балок на упругом
винклеровском основании с кусочно-переменной жёсткостью при действии различных
статических и динамических нагрузок в случае изменения условий опирания балок на основание
при их эксплуатации;
• получены формулы для определения усилий и деформаций в балках при различных
сочетаниях коэффициентов постели основания под различными участками балок;
• построены зависимости для определения частот собственных колебаний балок с
изменяемыми в процессе эксплуатации условиями опирания на упругое основание, в том числе
с учётом сосредоточенных масс;
• построены зависимости для определения коэффициентов динамичности для балок на
сплошном упругом основании и в случае изменения условий опирания балок на основание при
действии различных динамических нагрузок, в том числе с учётом сосредоточенных масс;
• проведён анализ усилий и деформаций балок при различных размерах отсутствия
основания под балками при различных жёсткостях оснований и их влияние на напряжённо-
деформированное состояние балок с учётом односторонних и двусторонних связей с основанием.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложена и теоретически
обоснована методика определения усилий и перемещений в балках на упругом основании с
изменяемыми в процессе эксплуатации условиями их опирания на основание (провалы грунта,
промоины, оттаивание, карстовые деформации и т.д.) при действии различных статических и
динамических нагрузок.
Реализация предложенных методик и алгоритмов расчёта при проектировании зданий и
сооружений позволит более обоснованно принимать решения для обеспечения их механической
безопасности и, в частности, учитывать особые воздействия и ситуации при внезапном
образовании локального разрушения основания.
Методология и методы исследования. В работе использованы методы теоретического
исследования. Совершенствование и дополнения существующих расчётных методик выполнено
на основе общепринятых положений современной строительной механики, сопротивления
материалов, механики деформируемого тела, математики, компьютерного моделирования. В
качестве расчётной модели рассматривалась система «балка – упругое основание». Точность
полученных результатов оценивалась путём сравнения результатов практических примеров с
известными данными и результатами компьютерного моделирования в расчётных комплексах.
Личный вклад автора заключается в проведённом анализе отечественных и зарубежных
исследований балок на упругом основании; решении многообразных задач по расчёту балок на
упругом винклеровском основании при изменении условий опирания, вызванных локальным
разрушением основания при действии статических и динамических нагрузок, разработке
численных моделей с использованием ПК.
Положения, выносимые на защиту:
• методика расчёта балок на упругом винклеровском основании при изменяющихся в
процессе эксплуатации граничных условиях, описывающих изменяющиеся, в т.ч. внезапно,
условия опирания балок (провалы грунта, промоины, оттаивание, карстовые деформации и т.д.);
• формулы для определения усилий и деформаций в балках при различных коэффициентах
постели упругого основания под различными участками балок;
• зависимости для определения частот собственных колебаний балок с изменяемыми в
процессе эксплуатации условиями их опирания на упругое основание, в том числе с учётом
присоединённых масс, а также коэффициентов динамичности в случае вынужденных колебаний;
• анализ усилий и перемещений балок на упругом винклеровском основании при различных
размерах отсутствия основания под балками с учётом односторонних и двусторонних связей с
основанием и действии статических и динамических нагрузок.
Степень достоверности результатов исследований. Достоверность результатов
исследования обеспечена применением принятых физических гипотез строительной механики и
сопротивления материалов; применением строгих математических методов решения задач и
современных численных методов, а также подтверждается хорошей сходимостью тестовых
примеров с результатами известных решений и решений, полученных с применением расчетных
комплексов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих
научных мероприятиях: VII Международный симпозиум «Актуальные проблемы
компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (г. Новосибирск, 2018 г.);
Международная конференция по физике материалов, строительным конструкциям и
технологиям в строительстве, промышленности и производстве (MPCPE 2020) (г. Владимир,
2020 г.); Международный научно-практический форум SMART BUILD-2020 «Стройка
политеха» (г. Ярославль, 2020 г.); ХIII Всероссийская молодёжная конференция аспирантов,
молодых учёных, студентов и школьников «Современные технологии в строительстве. Теория и
практика» (г. Пермь, 2021 г.); научный семинар кафедры «Строительная и теоретическая
механика» НИУ МГСУ (г. Москва, 2021 г.).
Материалы диссертации в полном объёме доложены на расширенном заседании кафедры
1) Получено решение статических задач изгиба балки на упругом основании с кусочно-
переменной жёсткостью при отсутствии основания под различными частями балки, как
начальных условий исследования динамического процесса. Выявлены закономерности
распределения внутренних усилий по длине балки в зависимости от схемы нагружения и длины
участка балки без основания.
2) Решена задача определения частот и форм собственных поперечных колебаний балки
на упругом основании с кусочно-переменной жёсткостью вследствие изменения условий
опирания части конструкции на основание.
3) Получено решение динамических задач вынужденных колебаний балки на упругом
основании с кусочно-переменной жёсткостью, в т.ч. при внезапном исключении основания под
частью конструкции, и действии различных нагрузок. Исследовано влияние внезапного
изменения условий опирания части балки на упругое основание, в результате которого
действовавшая статическая нагрузка превращается во внезапно приложенную динамическую. На
основании полученных решений динамических задач и выполненных численных исследований
показаны зависимости максимальных значений динамических перемещений и усилий не только
от амплитуд и частот возбуждающих колебаний внешних сил, но и от размеров исчезнувшего
участка основания и жёсткостей элементов системы «балка – упругое основание» и от величины
и расположения присоединённых к балке дополнительных масс. При исследовании
вынужденных колебаний изучены резонансные эффекты для балки при исключении части
основания.
Сопоставление выполненных результатов динамических расчётов с известными данными
и результатами расчётов, выполненных с использованием программных комплексов,
свидетельствует о хорошей сходимости.
4) Изучены вынужденные колебания балок на упругом основании с односторонними
связями при внезапном исключении основания под какой-либо частью балки и действии
статических нагрузок и динамических нагрузок.
Перспективой дальнейшей разработки темы представляется развитие и применение
предложенной методики расчёта балок на винклеровском упругом основании с кусочно-
переменной жёсткостью, в том числе при внезапном изменении или исчезновении жёсткостных
характеристик упругого основания под частью балки с учётом инерции основания, а также
использование отличных от принятых в работе моделей основания и динамических моделей
балки. Развитие теории случайных вынужденных колебаний.
1.Федеральный закон от 27.12.2002 № 184-ФЗ «О техническом регулировании». – М.:
Ось-89, – 2009. – с. 64.
2.Федеральный закон от 30.12.2010 № 384-ФЗ «Технический регламент о
безопасности зданий и сооружений» (вступил в силу с 1 июля 2010 года). – Новосибирск: Сиб.
Унив. Изд-во, – 2010. – с. 31.
3.Актуальные проблемы численного моделирования зданий, сооружений и
комплексов: / Акимов П. А. и др.; под общ. ред. А. М. Белостоцкого, П. А. Акимова; СтаДиО
науч.-исслед. центр. – Москва: Изд-во АСВ, – 2016.
4.Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потапов,
Б.П. Державин. – 8-е изд., испр. – М.: Студент, – 2012. – 560 с.
5.Аленин, В.П. Итерационные методы расчёта систем с внешними и внутренними
односторонними связями: Монография/В.П. Аленин; М-во образования РФ. Сиб. гос.
автомобил.-дорож. акад. (СибАДИ). – Омск : Изд-во СибАДИ, – 2001. – 224 с.
6.Афендульев, А.А. К вопросу расчета балок на упругом основании при
односторонней связи. – Горький: ГИСИ, вып. 39, – 1961, – с. 47-55.
7.Бабаков, И.М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. – 4-е изд., испр. – М. : Дрофа,
– 2004 (Тул. тип.). – 592 с.
8.Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате,
Е. Вилсон; Перевод с англ. А. С. Алексеева и др. – М. : Стройиздат, 1982. – 447 с.
9.Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. М.: Высш.
школа, 1980. – 408 с.
10.Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов,
Н.Н. Леонтьев. – М.Физматгиз, 1960. – 491 с.
11.Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. / Ред. совет: В. Н. Челомей (пред., гл.
ред.) и др. – Т.1. – М.: Машиностроение, 1978. – 352 с.
12.Горбунов-Посадов,М.И.Расчетконструкцийна упругом основании./
М.И.Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова. – М., Стройиздат, 1984. – 679 с.
13.Гордон, В.А. Напряжённо-деформированное состояние балки, частично опёртой на
упругое основание / В.А. Гордон, Т.В. Потураева, Г.А. Семенова // Фундаментальные и
прикладные проблемы техники и технологии. – 2015. – № 5-2 (313). – С. 191-198.
14.Гордон, В.А. Собственные поперечные колебания балки, частично опёртой на
упругое основание / Гордон В.А., Потураева Т.В., Семенова Г.А. Фундаментальные и
прикладные проблемы техники и технологии. – 2015. – № 6 (314). – С. 3-10.
15.ГОСТ 27751-2014. Надёжность строительных конструкций и оснований. Основные
положения: межгосударственный стандарт: изд. офиц.: введён впервые: введён 2015-07-01 /
Разработан научно-исследоват. центр “Строительство”. – Москва: Стандартинформ, 2015. – 13 c.
16.Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек:
Обзор / Э. И. Григолюк, И. Т. Селезов. – Москва : [б. и.], 1973. – 271 с.
17.Гениев, Г.А. Прочность и деформативность железобетонных конструкций при
запроектных воздействиях / Г. А. Гениев [и др.]. – М. : Изд-во Ассоц. строит. вузов, 2004 (ППП
Тип. Наука). – 214, [1] с.
18.Герсеванов, Н.М., Теоретические основы механики грунтов и их практические
применения / заслуж. деятель науки и техники чл.-кор. Акад. наук СССР Н. М. Герсеванов и канд.
техн. наук Д. Е. Польшин. – Москва : Стройиздат, 1948 (тип. Цв 2). – 248 с.
19.Егоров, К.Е. Вопросы теории и практики расчета оснований конечной толщины :
Доклад, составленный по опубликованным работам на соискание учёной степени доктора
технических наук / Акад. строительства и архитектуры СССР. – Москва : [б. и.], 1961. – 34 с.
20.Емельянова, Г.А. Экспериментально-теоретическое исследование динамики балки
на упругом основании: дис. … канд. техн. наук: 05.23.17 / Емельянова Галина Александровна. –
М., – 2001. – 90. с.
21.Ерофеев, Г.И. Динамическое поведение балок моделей Бернулли-Эйлер, Рэлея и
Тимошенко, лежащих на упругом основании (сравнительный анализ) / Г.И. Ерофеев,
В.В. Кажаев,Е.Е. Лисенкова,Н.П. Семерикова.ВестникНижегородскогоуниверситета
им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3). – С. 274-278.
22.Жемочкин, Б.Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на
упругом основании / Б.Н.Жемочкин, А.П.Синицын. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва :
Госстройиздат, 1962. –239 с.
23.Иванов, Е. Г. К расчёту балки на упругом основании, нагруженной динамической
нагрузкой. В сб. Импульсн. нагружение конструкций. Вып.,1. Чебоксары, 1970, – С. 3-10.
24.Инструкция по расчёту перекрытий на импульсивные нагрузки / Центр. науч.-
исслед. ин-т строит. конструкций им. В. А. Кучеренко Госстроя СССР. – Москва : Стройиздат,
1966. – 134 с.
25.Каканов, В.В. Влияние дискретных односторонних связей на динамические
параметры стержневых систем : дисс. … канд. техн. наук : 05.23.17. / Каканов Валерий
Викторович. – Тюмень, 2006. – 143 с.
26.Киселёв, В.А. Расчёт балок на упругом основании / В.А. Киселёв. – М.: МАДИ,
1981. – 58 с.
27.Клепиков, С.Н. Расчёт конструкций на упругом основании / С.Н. Клепиков. – Киев:
Будiвельник, 1967. – 184 с.
28.Клюева, Н.В. Основы теории живучести железобетонных конструктивных систем
при запроектных воздействиях: автореферат дис. … доктора технических наук: 05.23.01 / Клюева
Наталия Витальевна; – Москва, 2009. – 42 с.
29.Кодыш, Э. Н. Проектирование защиты зданий и сооружений от прогрессирующего
обрушения с учётом возникновения особого предельного состояния // Промышленное и
гражданское строительство. – 2018. – № 10. – С. 95-101.
30.Колчунов, В.И. Живучесть зданий и сооружений при запроектных воздействиях :
Научное издание / Колчунов В. И. , Клюева Н. В. , Андросова Н. Б. , Бухтиярова А. С. – Москва :
Издательство АСВ, 2014. – 208 с.
31.Коренев, Б.Г. Расчёт плит на упругом основании : (Пособие для проектировщиков)
/ Б. Г. Коренев, Е. И. Черниговская ; Акад. строительства и архитектуры СССР. Центр. науч.-
исслед. ин-т строит. конструкций. – Москва : Госстройиздат, 1962. – 355 с.
32.Коренев, Б.Г. Справочник по динамике сооружений / под ред. Б.Г. Коренева,
И.М. Рабиновича. – М. : Стройиздат, – 1972. – 512 с.
33.Коробко, В.И. Строительная механика: динамика и устойчивость стержневых
систем : учебник для вузов / В. И. Коробко, А. В. Коробко ; под. общ. ред. В. И. Коробко. –
Москва: Изд-во Ассоц. строит. вузов, 2008. – 398 с.
34.Крылов, А.Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании / А.Н. Крылов. –
Изд. 3-е. – Ленинград: Изд-во АН СССР, 1930. – 154 с.
35.Леденёв, П.В. Расчётные модели для проектирования конструкций и зданий /
В.В. Леденёв, П. В. Монастырёв, Г. М. Куликов, С. В. Плотникова. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВО
«ТГТУ», 2016. – 296 с.
36.Леонтьев, Е.В. Поперечные колебания балки на упругом основании при изменении
условий опирания / International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, – 2020.
– № 16(3). С. 35-46.
37.Леонтьев, Е.В. Поперечные колебания балки со свободными краями на упругом
основании при действии динамической нагрузки / Строительство и реконструкция, – 2020. –
№ 3(89). – С. 31-44.
38.Леонтьев, Е.В. К вопросу о поперечных колебаниях балок на упругом основании
при изменении условий опирания / Строительство и реконструкция, – 2020. – № 5(91). – С. 70-76.
39.Леонтьев, Н.Н. Основы теории балок и плит на деформируемом основании /
Н.Н. Леонтьев, А.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, Н.Н. Анохин. М. : МИСИ, 1982. – 119 с.
40.Махутов, Н.А. Безопасность России. Безопасность строительного комплекса / Рук.
авт. кол-ва. Н.А. Махутов, О.И. Лобов, К.И. Ерёмин. – М.:МГОФ «Знание», 2012. – 798 с.
41.Ньютон, Исаак. Математические начала натуральной философии. – М.: Наука,
1989. – 687 с.
42.Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г. Пановко. – Изд. 4-
е. – Москва : URSS, 2017. – 254 с.
43.Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Я. Г. Пановко. – Изд.
5-е. – Москва : ЛИБРОКОМ, cop. 2009. – 271 с.
44.Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции,
парадоксы и ошибки / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. – Изд. 5-е изд., стер. – Москва : URSS, 2006
(М. : ЛЕНАНД). – 350 с.
45.Пановко, Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем – Москва :
Физматгиз, 1960. – 193 с.
46.Пастернак, П.Л. Основы нового метода расчёта фундаментов на упругом
основании при помощи двух коэффициентов постели / П.Л. Пастернак. – М.: Госстройиздат,
1954. – 56 с.
47.Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко,
А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – М. : Мир, Б.г. (1988). – 693 с.
48.Писаренко, Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной
упругости материала / АН УССР.Ин-т проблем прочности. – Киев : Наукова думка, 1970. – 379 с.
49.Пособие по проектированию защиты зданий и сооружений от прогрессирующего
обрушениякСП385.1325800.2018/ФАУФЦС,2018.–с.158-URL:
https://www.faufcc.ru/upload/methodical_materials/mp37_2018.pdf (дата обращения 12.01.2021).
50.Пономарев, В.Н. О необходимости системного подхода к научным исследованиям
в области комплексной безопасности и предотвращения аварий зданий и сооружений / В.Н.
Пономарев,В.И.Травуш,В.М.Бондаренко,К.И.Еремин.–Мониторинг.Наукаи
безопасность. – 2011. – № 1(13). – С. 4-12.
51.Потапов, В.Д. К вопросу о расчёте балок на нелокально упругом основании//
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2014. – № 4. – С. 63– 68.
52.Потураева, Т.В. Определение форм и частот свободных изгибных колебаний балки,
частично опёртой на упругое основание Винклера / Безопасность строительного фонда России.
Проблемы и решения: Материалы Международных академических чтений / под ред. проф. С.И.
Меркулова: М-во науки и высш. образов. Рос. Федерации, Курский гос. ун-т. – ЗАО
«Университетская книга», 2019. – С. 111-120.
53.Пузыревский,Н.П.Теориянапряжённостиземлистыхгрунтов/Проф.
Н.П. Пузыревский ; Ленингр. ин-т инженеров путей сообщения. – Ленинград. 1929. – С. 66.
54.Рабинович, И.М. Основы строительной механики стержневых систем. М.:
Стройиздат., – 1960. – 519 с.
55.Рабинович, И.М. Основы динамического расчёта сооружений на действие
мгновенных или кратковременных сил / Чл.-кор. АН СССР. проф. И.М. Рабинович, проф., д-р
техн. наук А.П. Синицын; доц., канд. техн. наук Б.М. Теренин ; Воен.-инж. Краснознам. акад. им.
В.В. Куйбышева. – Москва : ВИА, 1958. – 1 т.; 25 см. Ч. 2. – 1958. – 684 с.
56.Рабинович, И.М.Вопросытеориистатическогорасчетасооруженийс
односторонними связями / И.М. Рабинович. – Москва : Стройиздат, 1975. – 145 с.
57.Рабинович, И.М. Строительная механика в СССР. 1917-1967 : Сборник статей /
Под ред. чл.-кор. АН СССР И.М. Рабиновича. – Москва : Стройиздат, 1969. – 423 с.
58.Рауш, Э. Фундаменты машин / Э. Рауш, д-р техн. наук ; Пер. с нем. инженеров
В.И. Бутескула и А.З. Кравченко ; Под ред. д-ра техн. наук проф. Б.Г. Коренева. – Москва :
Стройиздат, – 1965. – 420 с.
59.Саргсян, А.Е. Строительная механика : механика инженерных конструкций / А.Е.
Саргсян. – 2-е изд., стер. – Москва : Высш. шк. (ВШ), 2008. – 461 с.
60.Салтыкова, О.А. Математические модели сложных колебаний балок в условиях
знакопеременных и ударных нагрузок: дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18, 01.02.04 /
Салтыкова Ольга Александровна. – Саратов, – 2008. – 164. с.
61.Сергеев, С.В. Расчет балки, лежащей на стохастически неоднородном основании,
при действии подвижной нагрузки : дис. … канд. техн. наук : 05.23.17. / Сергеев Сергей
Викторович. – Москва, 2002. – 198 с.
62.СП 15.13330.2020 «СНиП II-22-81* Каменные и армокаменные конструкции» /
Минстрой России, 2020. – С. 128. – URL: https://minstroyrf.gov.ru/docs/117291/.
63.СП 22.13330.2016 «СНиП 2.02.01-83* Основания зданий и сооружений (с
Изменениями№1,2,3)»/МинстройРоссии,2016.–С.225.-URL:
https://minstroyrf.gov.ru/docs/14627/
64.СП 24.13330.2011 «Свайные фундаменты. (с Опечаткой, с Изменениями № 1, 2, 3)»
/ Минрегион России, 2010. – С. 86. – URL: https://minstroyrf.gov.ru/docs/17948/
65.СП 43.13330.2012 «Сооружения промышленных предприятий. (с Изменениями
№ 1, 2) / Минрегион России, 2010. – С. 106. – URL: https://minstroyrf.gov.ru/docs/12957/
66.СП 385.1325800.2018 «Защита зданий и сооружений от прогрессирующего
обрушения. Правила проектирования. Основные положения (с Изменением № 1)» / Минстрой
России, 2019. – С. 24. – URL: https://minstroyrf.gov.ru/docs/59608/
67.Симвулиди, И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. Москва
: Высш. школа, 1968. – 275 с.
68.Синицын, А.П. Балка на упругом основании с односторонними связями // Сборник
науч.-исслед. статей слушателей / Под ред. проф., д-ра техн. наук А.П. Синицына ; Воен.-инж.
краснознам. акад. им. В.В. Куйбышева. Науч. о-во слушателей Академии. Фак. 5. – Москва : ВИА,
1952. – 72 с.
69.Смирнов,А.Ф.Строительнаямеханика:Динамикаиустойчивость
сооружений. / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников; Под ред.
А.Ф. Смирнова. – М. : Стройиздат, 1984. – 415 с.
70.Смирнов, В.И. Курс высшей математики. т.2 / Проф. В.И. Смирнов. – 9-е изд., испр.
– Ленинград ; Москва : ГОНТИ. Глав. ред. техн.-теорет. лит., 1948. – 1 т.; 22 см.
71.Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко; перераб. Д. Х.
Янгомпер ; пер. с англ. Я.Г. Пановко с 3-го американского изд. – Изд. 2-е, стер. – Москва : URSS
: КомКнига, 2006. – 439 с.
72.Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский.
– 3-е изд. – М. : Мир, 1983. – 768 с.
73.Травуш, В.И. Расчёт строительных конструкций на деформируемом основании:
дис. … докт. техн. наук: 05.23.17 / Травуш Владимир Ильич. М., -1976. – 354 с.
74.Травуш, В.И. Метод обобщенных решений в задачах изгиба плит на линейно-
деформируемом основании // Строительная механика и расчёт сооружений. -1982.- №1,
– С. 24-28.
75.Травуш, В.И. Безопасность среды жизнедеятельности – смысл и задача
строительной науки / Травуш В.И., Емельянов С.Г., Колчунов В.И. // Промышленное и
гражданское строительство. -2015.- № 7, – С. 20-27.
76.Травуш, В.И. Динамические эффекты в балке на упругом основании, вызванные
внезапным преобразованием условий опирания / Травуш В.И., Гордон В.А., Колчунов В.И.,
Леонтьев Е.В. // Международный журнал по расчёту гражданских и строительных конструкций.
– 2018. Т. 14. – № 4. – С. 27-41.
77.Травуш, В.И. Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения в
рамках законодательных и нормативных требований / Травуш В.И., Колчунов В.И., Леонтьев
Е.В. // Промышленное и гражданское строительство. – 2019. – № 2. –С. 18-26.
78.Травуш, В.И. Динамическое деформирование балки при внезапном структурном
изменении упругого основания / Травуш В.И., Гордон В.А., Колчунов В.И., Леонтьев Е.В. //
Инженерно-строительный журнал. – 2019. – № 7(91). – С. 129-144.
79.Травуш, В.И. Математическая модель балки, частично опертой на упругое
основание / Травуш В.И., Гордон В.А., Колчунов В.И., Леонтьев Е.В. // Международный журнал
по расчёту гражданских и строительных конструкций. – 2019. Т. 15. – № 2. – С. 144-158.
80.Травуш,В.И.Проектированиезащитыкрупнопанельныхзданийот
прогрессирующего обрушения / Травуш В.И., Шапиро Г.И., Колчунов В.И., Леонтьев Е.В.,
Федорова Н.В. // Жилищное строительство. – 2019. – № 3. – С. 40-46.
81.Трекин, Н.Н. Особое предельное состояние железобетонных конструкций и его
нормирование / Трекин Н.Н., Кодыш Э.Н. // Промышленное и гражданское строительство. 2020.
№ 5. 4-9 с.
82.Тяпин, А.Г. Расчёт сооружений на сейсмические воздействия с учётом
взаимодействия с грунтовым основанием. М.: Изд-во ОСВ, -2013. – 392 с.
83.Фадеев, А. Б. Метод конечных элементов в геомеханике / А.Б. Фадеев. М. : Недра,
-1987. – 221 с.
84.Федоровский, В.Г. Современные методы описания механических свойств грунтов.
Федоровский В.Г. Обзор. М., ВНИИС, – 1985. – № 2. – С. 25 – 28.
85.Филатов, В. В. Расчет сжато-изогнутых балок и плит на несплошном упругом
основании: дис. … канд. техн. наук: 05.23.17 / Филатов Владимир Владимирович. – М., – 1999.
– 160 с.
86.Филоненко-Бородич, М.М. Простейшая модель упругого основания способная
распределять нагрузку. Сб. трудов МЭМИИТ. – Вып. 53. – 1945. – С. 92-108.
87.Черкасов, И.И. Механические свойства грунтовых оснований / И.И. Черкасов. -М.:
Науч-техн. изд-во Автотрансиздат, – 1958. – 156 с.
88.Черкасов, И.И. Механические свойства грунтов в дорожном строительстве /
И.И. Черкасов. – Москва : Транспорт, – 1976. – 247 с.
89.Черниговская, Е.И. Расчет балок и плит, лежащих на упругом основании, с учетом
явления отрыва их от основания / Исследования по динамике сооружений и расчету конструкций
на упругом основании / Б. Г. Коренев, Е. И. Черниговская ; Акад. строительства и архитектуры
СССР. Центр. науч.-исслед. ин-т строит. конструкций. – Москва : Госстройиздат, 1961. – С. 113-
142.
90.Чернов, Ю. Т. Вибрации строительных конструкций: аналитические методы
расчета, основы проектирования и нормирования вибраций строительных конструкций,
подвергающихся динамическим воздействиям / Ю. Т. Чернов. – Москва : Изд-во Ассоц. строит.
вузов, 2006. – 287, [1] с.
91.Шапошников, Н. А. Вероятностный расчет балки на неоднородно деформируемом
основании на действие динамической нагрузки : дисс. … канд. техн. наук : 05.23.17 / Шапошников
Никита Андреевич. – Волгоград, 2013. – 138 с.
92.Яковлев, А.С. Вынужденные колебания бесконечной балки при учете инерции
упругого основания и инерции вращения и сдвига в балке. Сб. Моск. инж.-строит. ин-та, 1068,
– № 53. – С. 86-97.
93.Baker, R. Analysis of a Beam on Random Elastic Support. / RBaker, D. G.Zeitoun, J.
Uzan II «Soils and Foundations», 1989, 29, No. 2, p. 24-36.
94.Duffy, D. The Response of an Infinite Railroad Track to a Moving, Vibrating Mass. ID.
Duffy II «J . Appl. Mech.», 1990, 57, No. 1, p. 66-73.
95.Dusenberry, D. Review of existing guidelines and provisions related to progressive
collapse / D. Dusenberry // Multihazard Mitigation Council of the National Institute of Building
Standards. – 2003. – P. 1-31.
96.Farshad M., Shaninpoor M. Beams on bi-linear elastic foundations. // Int. J. Mech. Sci.,
1972, vol.14.-pp. 441-445.
97.Friswell M. I., Adhikari S. A., Lei Y. Vibration analysis of beams with non-
localfoundations using the finite element method// Int. J. for Numerical Methods in Engineering – 2006.
– Vol. 43. N 3. – P. 3381 – 3400.
98.Greenwood J.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces // Proceedings of
the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1966. – V. 295, № 1442. –
P. 300-319.
99.Kratochvil J. Solution of contact problems for finite element method // Sta-vebn. cas.
1976. – V.24, № 5. – P. 380-389.
100.Leontiev, Ye.V. Transverse oscillations of the beam on an elastic base if the boundary
conditions change // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, – 2020. –
№ 16(3). – С. 35-46.
101.Lin K.K., Swartz S.E., Williams W.W. Beams on one-way elastic foundations. //J. Boston
Soc. Civ. Engrs., 1971, vol.58(3). – pp. 164-178.
102.Lin L., Adams G.G. Beams on tensionless elastic foundation. // Journal of Engineering
Mechanics, 1987, vol.113, №4. – pp. 542-553.
103.Masataka T. Introduction to boundary element method // J. Jap. Soc. Simulat. Technol.
1987. – V.6, №2. – P. 77-83.
104.Mochira M., Kamiwakida I. Numirical solution of plane stress problems by BEM //
Kagoshima Techn. Coll. 1989. – №23. – P. 29-34.
105.Ritz W. Über eine neue methode zur lösung gewisser variationsprobleme der
mathematischen physik // Journal für die reine und angewandte mathematik, vol. 135, 1909, pр. 1-61.
106.Saito H., Murakami T. Vibrations of an infinite beam on an elastic foundation with
consideration of mass of a foundation. Bull. JSME, 1969, 12, № 50, – р. 200—205.
107.V. Travush, V. Gordon, V. Kolchunov, E. Leontiev, The response of the system “beam –
foundation” on sudden changes of boundary conditions. IOP Conf. Series: Mat. Sc. Eng. 456, 012130
(2018)
108.Tsai N.C., Westmann R.E. Beams on tensionless foundation. // Journal of Engineering
Mechanics, ASCE, 1967, vol.93(5). – pp. 1-12.
109.Wieghardt K. Über den Ralken auf nachgibiebiger Unterlage. Zeitschrift für angewandte
Methematik und Mechanik. – 1922, Bd. 2, H. 3, s. 165 – 184.
110.Yagawa G., Hirayama H., Miyoshi A., Ando Y. Analysis of contact problem of shell
structures using finite element method with penalty function // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1982. – A
48, №428. – P. 454-463.
111.Zhang Y., Murphy K.D. Response of a finite beam in contact with a tension-less
foundation under symmetric and asymmetric loading. // International Journal of Solids and Structures,
2004, vol.41, -pp.6745-6758.
Публикации автора в научных журналах
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.7 (46 отзывов)
5 (285 отзывов)
4.2 (13 отзывов)
4.9 (522 отзыва)
4.9 (35 отзывов)
4.9 (66 отзывов)
4.8 (9 отзывов)
4.8 (373 отзыва)
4.6 (522 отзыва)
