Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава 1. Пространственно-однородные и частично синхронные
режимы в распределенном ансамбле неидентичных фазовых
осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Состояния с равномерно распределенной по ансамблю степенью
фазовой синхронизации соседних осцилляторов . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Однородные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Градиентные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3 Устойчивость частично синхронных однородных
и градиентных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Стационарные неоднородные решения . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Поиск неоднородных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 Неоднородные пространственно-временные режимы . . . . . . . . 46
1.5.1 Кластерная синхронизация и бризерные режимы . . . . . . 46
1.5.2 Режимы перемежаемости
и пространственно-временного хаоса . . . . . . . . . . . . . 49
1.6 Выводы по первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Глава 2. Пространственно-временные режимы в распределенном
ансамбле нелокально связанных идентичных фазовых
осцилляторов с нелинейным фазовым сдвигом . . . . . . . . . 54
2.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Пространственно-однородные режимы . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Градиентные режимы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Стационарные химерные режимы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.1 Поиск химерных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.2 Анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Стр.

2.6 Регулярные химерные режимы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.1 Стационарные химеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.2 Бризерные химеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Турбулентные химеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 Выводы по второй главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Глава 3. Синхронизация и регуляризация химерных режимов
внешним периодическим воздействием в распределенном
ансамбле идентичных фазовых осцилляторов . . . . . . . . . . 76
3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Стационарные захваченные химеры и их устойчивость . . . . . . . 81
3.4 Влияние периодической силы на химерные режимы
различного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.1 Химерные режимы различных типов в автономном случае . 86
3.4.2 Синхронизация устойчивой химеры . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.3 Стабилизация бризерной химеры . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.4 Регуляризация турбулентной химеры . . . . . . . . . . . . . 94
3.5 Выводы по третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Глава 4. Синхронизация и химерные состояния в ансамблях
импульсно-связанных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Синхронизация в ансамбле импульсно-связанных через общее
поле фазовых осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.1 Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.2 Переход к синхронизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Вырожденное химерное состояние в ансамбле импульсно
связанных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1 Описание модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.2 Захват частот макроскопических полей . . . . . . . . . . . . 107
4.4.3 Вырожденное химерное состояние . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Выводы по четвертой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Стр.

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Приложение А. Анализ устойчивости стационарных химерных
состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Приложение Б. Анализ устойчивости градиентных состояний . . . . . . 137

Приложение В. Алгоритм поиска стационарных химерных структур
в среде с внешним периодическим воздействием . . . . 139

Приложение Г. Построение языка Арнольда для захваченных
химерных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Приложение Д. Анализ устойчивости стационарных химерных
состояний в среде с внешним периодическим
воздействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной лите- ратуры по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна и практическая значимость представляемой работы.
В первой главе рассмотрены пространственно-временные структуры в распределенной на кольце длины L системе N неидентичных осцилляторов Ку- рамото––Баттогтоха, соответствующие различным синхронным и асинхронным режимам. В разделе 1.1 представлен краткий обзор систем фазовых элементов с неидентичными собственными частотами и наблюдаемых в них режимов. Математическая постановка изучаемой проблемы приводится в разделе 1.2. Рас- сматриваемая система описывается в рамках фазового приближения с помощью динамических переменных φn(t), изменение каждой из которых во времени
12
задается уравнением
L N
GL(n−n ̃)/N sinφn ̃−φn−α, (1)
где ωn (n = 1, 2, . . . , N ) –– собственные частоты осцилляторов. Предполагается, что величины ωn выбраны случайным образом и имеют функцию распределе- ния Лоренца
πg(ω)=γ (ω−ω0)2 +γ2 , (2)
со средним значением ω0 и полушириной γ. В таком случае для описания взаимо- действия между осцилляторами можно ввести комплексное поле Hn(t), которое имеет общий для всех элементов фазовый сдвиг α и определяется через дискрет- ный оператор свертки:
iφn ̃(t)
G L(n−n ̃)/N e . (3)
Рис. 1 –– (а) Области существования и устойчивости режимов с равномер- ным распределением по ансамблю сте- пени синхронизации. (б) Асинхронное состояние. (в) Однородное частично синхронное состояние. (г) Градиентное частично синхронное состояние
φ ̇n=ωn+N
n ̃ =1
Hn(t)=e N
n ̃ =1
Его ядро G(x) характеризует взаимо- действие внутри обсуждаемой среды и удовлетворяет требованию единич- ной нормировки. В качестве G(x) выбрана функция
cosh |x| − L/2
G(x) = 2 sinh (L/2) , (4)
хорошо аппроксимирующая случай
слабой нелокальной связи. Перехо-
дя к непрерывной среде (N → ∞)
и вводя с помощью процедуры усред-
нения локальный параметр порядка
Z (x,t) = eiφ , представляющий loc
собой непрерывную комплексную функцию координаты x и времени t, можно перейти к рассмотрению динамических уравнений Отта–– Антонсена относительно мезоско- пических полей Z (x,t) и H (x,t), определяющих степень локальной когерентности элементов среды:
∂tZ = −γZ+1 H−H∗Z2 ,
2 (5)
∂2 H−H=−Ze−iα. xx
−iα L N
13

Рис. 2 –– (а) Стационарный неоднородный режим. (б) Бризерный режим. (в) Ре- жим перемежаемости. (г) Пространственно-временной хаос. Верхний ряд – мгновенные снимки фаз осцилляторов φ(x,tf = 2000), средний ряд – средние частоты осцилляторов ⟨φ ̇(x)⟩, нижний ряд – пространственно-временные диа- граммы модуля локального параметра порядка |Z(x,t)|
Если величина Z (x,t) удовлетворяет равенству |Z (x,t)| = 1, то осциллято- ры в окрестности рассматриваемой точки среды с координатой x полностью синхронны по фазе; если 0 < |Z(x,t)| ≤ 1, фазы элементов среды частично скоррелированы, однако при этом полная синхронизация не достигается; и при |Z(x,t)| = 0 наблюдается полностью асинхронный режим. Простейшие реше- ния с постоянным по модулю значением параметра порядка Z(x,t) описаны в разделе 1.3. Здесь речь идет об асинхронных и частично синхронных одно- родных режимах, а также о градиентных состояниях (рисунок 1). В разделе 1.4 представлен метод поиска стационарных неоднородных решений уравнения Отта––Антонсена с периодическими граничными условиями, основанный на определении периодических траекторий в фазовом пространстве вспомогатель- ной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Приводится анализ устойчивости пространственных структур, которым можно поставить в соответствие квазихимерные статичные по пространству состояния исходной фазовой модели. Обсуждаются преимущества процедуры построения семейств подобных образований с разным числом кластеров с высокой степе- нью когерентности элементов, и формулируются полученные в рамках такого подхода результаты. Устанавливается, что среди неоднородных состояний со статическим по пространству распределением областей с высокой степенью син- хронизации устойчивыми являются только те режимы, для которых у профиля локального параметра порядка имеется только один максимум. Также среди остальных найденных нами структур встречаются слабо неустойчивые образо- вания. Сделанные выводы подкрепляются прямым численным моделированием динамики ансамбля фазовых осцилляторов и локального комплексного парамет- ра порядка (рисунок 2). Классы возможных наблюдаемых режимов с более сложным (периодиче- ским или нерегулярным) поведением усредненных полей обсуждаются в разде- ле 1.5. Показано, что квазихимерные режимы (как предельные, так и переходные) играют важную роль в динамике ансамбля, т.к. одни из них устанавливают- ся и в последствии не разрушаются, а другие возникают в виде переходных продолжительных процессов между интервалами со сложным нерегулярным по- ведением усредненных полей. Вторая глава по- священа рассмотрению пространственно-временных режимов в замкнутой в коль- цо среде длины L нелокально связанных идентичных фазо- вых осцилляторов с фазовым сдвигом в связи, зависящим от среднего поля. В разделе 2.1 представлено краткое введение в проблему поиска химерных состояний в системах нело- кально связанных фазовых осцилляторов. В разделе 2.2 приводится описание модели связанных фазовых осцилля- торов с нелинейным фазовым сдвигом и соответствующей ей системы уравнений От- та––Антонсена относительно усредненных полей. Рассмат- риваемая система описывается фазу в каждой точке среды и задаваемой уравнением ∂tφ=ω+ Рис. 3 –– Левые (правые) панели – стационар- ная («гибридная») химера. (а,б) Мгновенные снимки фаз осцилляторов φ(x,tf = 2000). (в,г) Средние частоты осцилляторов ⟨φ ̇(x)⟩. (д,е) Пространственно-временные диаграммы поля |H(x,t)| с помощью переменной φ(x,t), определяющей L G x−x ̃ sin φ(x ̃)−φ(x)−α(|H|) dx ̃, (6) где ω – собственная частота каждого осциллятора, α(H) = α0 + α1|H|2 опреде- ляет фазовый сдвиг, нелинейно зависящий от степени когерентности элементов, которая определяется величиной поля H(x,t). Ядро G(x) задается аналогично случаю, рассмотренному в главе 1. Система уравнений Отта––Антонсена отно- сительно Z(x,t) и H(x,t) для исследуемой системы имеет вид ∂tZ = iωZ + 1 e−iα(H)H − eiα(H)H∗Z2 , 2 (7) ∂2 H−H=−Z. xx 15 В разделе 2.3 описываются пространственно-однородные решения уравнений Отта––Антонсена и исследуется их устойчивость. Показана возможность су- ществования однородного частично синхронного состояния, которое, однако, становится неустойчивым в длинных средах. В разделе 2.4 подробно проанали- зированы градиентные структуры. Впервые для систем идентичных элементов продемонстрировано существование устойчивых частично синхронных гради- ентных решений. В разделе 2.5 описывается процедура поиска стационарных неоднородных режимов и проводится анализ их устойчивости. В разделе 2.6 описаны регулярные химерные режимы. Показано, что в классе стационарных пространственно-неоднородных режимов равно- мерного вращения наряду с классической химерой Курамото-Баттогтоха также существует неоднородное частич- но синхронное состояние и «гибридная» химера, состоящая из двух областей с вы- сокой степенью когерентности элементов – одна состоит из полностью синхронных элементов, а другая из частично синхрон- ных (рисунок 3). Кроме того, найдены не наблюдавшиеся ранее осциллирующие (бризерные) химеры, возникающие в резуль- тате развития неустойчивости стационарной однокластерной химеры, когда модуль ло- кального параметра порядка демонстрирует периодическую динамику в каждой точ- ке среды. При этом синхронный кластер разбивается на несколько областей с раз- личными средними частотами, а разность данных частот представляет собой часто- ту модуляции (рисунок 4). В разделе 2.7 установлено, что в средах большой длины регулярные решения обычно неустойчивы, и в рассматриваемой системе реализуются режимы, демонстрирующие хаотическую пространственно-временную динамику. В третьей главе исследуется влияние однородного по пространству внеш- него периодического воздействия на одномерную среду длины L идентичных фазовых осцилляторов, в которой реализуются химерные структуры. В разделе 3.1 представлен краткий обзор результатов исследования влияния различных ва- риантов внешнего воздействия на химерные состояния. В разделе 3.2 приводится описание модели. Рассматриваемая система описывается с помощью перемен- ной φ(x,t), определяющей фазу в каждой точке среды и задаваемой уравнением ∂tφ= L G x−x ̃ sin φ(x ̃)−φ(x)−α dx ̃+εsin(Ωt−φ), (8) 16 Рис. 4 –– Бризерная хи- мера. снимки φ(x,tf частоты осцилляторов ⟨φ ̇(x)⟩. (в) Пространственно-временная (а) Мгновенные фаз осцилляторов = 1600). (б) Средние диаграмма фаз φ(x,t) где параметр α определяет постоянный фазовый сдвиг, ε – амплитуду, а Ω – ча- стоту внешнего периодического воздействия. Ядро G(x) задается аналогично случаю, рассмотренному в главах 1 и 2. Система уравнений От- та––Антонсена для системы идентичных фазовых осцилля- торов Курамото––Баттогтоха с внешним периодическим воздействием имеет следую- щий вид ∂tZ = (e−iαH − eiαH∗Z2)/2, ∂2 H−H=−Z−εei(Ωt+α). (9) В разделе 3.3 описывает- ся метод поиска и определения устойчивости захваченных внешним воздействием хи- мер с помощью анализа вспомогательной системы обыкновенных дифференци- альных уравнений, замкнутые периодические траектории которой определяют простран- ственный профиль локального параметра порядка. В разделе 3.4 описывают- xx Рис.5––ЯзыкАрнольдадля(а)слабонеустой- чивой химеры (эволюционирующей к бри- зерной) и (б) сильно неустойчивой химеры (эволюционирующей к хаотической). Синяя область A – устойчивая стационарная химера, желтая C – бризерная, красная B – ха- отическая. (в,г) Пространственно-временные диаграммы величины |Z (x,t)|. Пунктирная ли- ния обозначает момент включения внешнего воздействия. Стабилизация (в) бризерной хи- меры и (г) хаотической химеры ся различные стационарные, периодические и хаотические химерные состояния, наблюда- емые при воздействии на среду внешним периодическим сигналом, а также эффекты синхронизации и регуля- ризации. Самый простой вариант динамики наблюдается, если стационарная химера в соответствующей автономной системе является устойчивой. Тогда макроскопический эффект воздействия на нее очень похож на синхронизацию автономного осциллятора: существует область захвата (язык Арнольда), в кото- рой частота химеры синхронизируется частотой воздействия, в то время как за пределами языка Арнольда наблюдается квазипериодическая динамика. Внутри языка Арнольда на уровне средних полей наблюдается увеличение когерентной области. На уровне отдельных осцилляторов никаких существенных изменений внутри языка Арнольда не наблюдается. Тем не менее, динамика фаз стано- вится нетривиальной вне языка Арнольда с появлением нескольких кластеров когерентных осцилляторов. В частности, было обнаружено, что, хотя основная частота химеры не захвачена, некоторые кластеры осцилляторов могут быть син- хронизированы внешним воздействием. На языке пространственно-временной динамики локального параметра порядка был описан эффект регуляризации неустойчивых химер (бризерных или хаотических); такого эффекта не суще- ствует в рамках задачи синхронизации автономного осциллятора. Здесь внутри языка Арнольда имеются подобласти, где внешнее воздействие стабилизирует стационарную химеру при достаточно большой амплитуде внешнего воздей- ствия. И напротив, в некоторых подобластях слабо нестационарная (бризерная) химера может стать нерегулярной (рисунок 5). В четвертой главе рассмотрены особенности перехода к синхронизации и вырожденные химерные режимы в ансамблях осцил- ляторов, импульсно связанных через общее поле. В разде- ле 4.1 представлен краткий обзор импульсных моделей систем связанных элементов, а также особенностей наруше- ния симметрии при реализации химерных режимов в системах связанных популяций осцил- ляторов. В разделе 4.2 дается описание модели импульс- но связанных осцилляторов в общем виде. В разделе 4.3 исследуется модель связанных активных ротаторов, когда ди- намика фазы φn(t) каждого из N элементов задается уравне- нием Рис. 6 –– Значения параметра синхронности μ (μ = 0 соответствует полностью асинхронно- му режиму, а μ = 1 – полностью синхронному) для режимов с наименьшим (линия с марке- рами), некоторым промежуточным (штриховая линия) и наибольшим (сплошная линия) зна- чением параметра μ при N = 100, γ = 1.03, g = 1.0, α = 1.5 в зависимости от β φ ̇n =ω−sinφn +gE(t), (10) где ω – частота, g – сила связи между элементами. Как только φn достигает зна- чения 2π, в уравнение для общего поля добавляется слагаемое с амплитудой β. Будем называть это событие импульсом. Уравнение, задающее эволюцию поля ансамбля при этом имеет вид E ̈+2αE ̇+α2E=β δ(t−tm), (11) m|tm

Исследование больших систем взаимодействующих автоколебательных
элементов –– популярное и активно развивающееся направление нелинейной
динамики. В большом ряде случаев изучение ансамблей автоколебательных эле-
ментов самой различной природы может быть сведено к исследованию систем
фазовых осцилляторов [1––6]. Именно такие системы определяют временные
характеристики коллективного поведения рассматриваемых популяций. Помимо
чисто академического интереса данные исследования находят многообещаю-
щие приложения в различных областях современной науки и техники. С их
помощью удается адекватно описывать механические объекты (в частности,
взаимодействующие маятники [5; 7], закрепленные на общей основе метроно-
мы [8]), разнообразные процессы в электрических (в том числе силовых) сетях [9;
10], системах фазовой автоподстройки частоты (системах фазовой синхрониза-
ции) [5; 7] и т. д. В физике подобного рода модели активно используются при
рассмотрении динамики массивов из джозефсоновских контактов [11––15], гра-
нулированных сверхпроводников [16] и полупроводниковых лазеров [17; 18],
а также при анализе свойств ансамблей спиновых нано-осцилляторов [19; 20],
оптомеханических [21; 22] и электрохимических генераторов [23; 24], твердо-
тельных структур [14; 25]. Стоит отметить биологические приложения, среди
которых особое место занимают исследования механизмов возникновения цир-
кадных ритмов [26; 27] и изучение поведения популяций бактерий [28; 29],
возбудимых клеток, динамики групп нейронов [30; 31], молекулярных цепо-
чек [32; 33], биологических популяций клеток, химических реакций [34––37].
Изучение эволюции сложных сетей представляет собой достаточно тру-
доемкую задачу. Сложность сети проистекает из ее структуры и свойств
индивидуальных элементов. Ключевым вопросом с точки зрения нелинейной
динамики здесь является следующий: как ансамбль взаимодействующих осцил-
ляторов будет вести себя как коллектив, учитывая индивидуальную динамику
и структуру связей? Среди механизмов, которые приводят к возникновению
коллективной динамики, важную роль играет синхронизация в ее различных про-
явлениях. И именно фазовая динамика взаимодействующих элементов указывает
на синхронное или асинхронное поведение сложных сетей связанных осцил-
ляторов. Особый интерес исследователей привлекают условия существования
и устойчивости в данных системах синхронных коллективных режимов. К та-
ким режимам можно отнести глобальную синхронизацию ансамблей, а также
локальную (кластерную) синхронизацию, когда различные части сети демон-
стрируют синхронизацию на различных частотах, спонтанную кратковременную
синхронизацию, переходную –– чередующуюся во времени и пространстве
синхронизацию, химерные состояния и др. Тематика исследования синхрони-
зации в системах различной природы получила широкое развитие в работах
В.С. Анищенко, В.С. Афраймовича, В.Н. Белых, М.В. Иванченко, А.А. Коро-
новского, В.Б. Казанцева, С.П. Кузнецова, Й. Курамото, Ю. Куртца, П.С. Ланды,
К. Лейнга, Ю.Л. Майстеренко, В.В. Матросова, Е. Мозекильде, Ю.И. Неймарка,
В.И. Некоркина, Г.В. Осипова, Л. Пекора, А.С. Пиковского, М.И. Рабиновича,
М.Г. Розенблюма, С. Строгаца, А.Е. Храмова, В.Д. Шалфеева, Б. Эрментроу-
та и др.
Фазовые модели нашли свое применение в различных областях исследо-
ваний [1; 2; 5; 38; 39]. Конкретные приложения определяют тип связей между
элементами популяций: (а) локальная или (б) нелокальная (в том числе гло-
бальная). В случае нелокального взаимодействия также возможна реализация
сложных многослойных структур связей между элементами [40; 41], а так-
же изменяющихся во времени адаптивных связей [42––45]. Нелокальную связь
в распределенных средах математически можно представить в виде оператора
свертки. Ядро этого оператора полностью определяет свойства взаимодействия
внутри осцилляторной среды. Исследователями был изучен достаточно широ-
кий спектр возможных вариантов нелокального взаимодействия, в том числе,
и дальнодействующие связи [46], спадающие по степенному закону. Однако
наиболее интересные с точки зрения возможных динамических эффектов резуль-
таты были получены для ядер конечного радиуса, а также с экспоненциально
убывающими «хвостами» [47––49]. Наряду с традиционными исследованиями
синхронного поведения в популяциях осцилляторов, повышенный интерес про-
является к изучению процессов образования идентичными элементами химерных
состояний, которые характеризуются сосуществованием в ансамбле синхрон-
ных и асинхронных групп осцилляторов. В работе Курамото и Баттогтоха [50]
было впервые описано сосуществование когерентных и некогерентных групп
элементов в цепочке нелокально связанных фазовых осцилляторов. Интерес это-
го явления обусловлен тем, что формирование химер происходит в результате
фундаментального явления нарушения симметрии [51], которое в распределен-
ных популяциях проявляется в том, что когда однородное полностью синхронное
состояние существует и устойчиво, система в процессе долговременной эволю-
ции может прийти к более сложному режиму, когда наряду с группами взаимно
синхронных элементов имеется значительная часть асинхронных осцилляторов.
Более простой случай такого нарушения симметрии было получен Абрамсом
и др. [52], которые изучали химерное состояние в двух связанных популя-
циях идентичных элементов, где величина внутренних связей отличалась от
величины внешних. Возникновение химерных состояний остается одним из
привлекательных и необычных эффектов для многих исследователей в обла-
сти нелинейной динамики (см. недавние обзоры [47––49; 53––55]) и публикации
[41; 56; 57]. Химерные режимы долгое время наблюдались только в рамках
численного моделирования осцилляторных популяций. Однако, за последнее де-
сятилетие данные режимы также были обнаружены в ряде экспериментальных
работ[58––62]. В частности, в химических средах [58; 59], электрохимических
ансамблях [60; 63; 64], оптических системах [61; 65; 66], электронных и опто-
электронных осцилляторах и цепях [67––70], механических системах [62; 71].
Нетривиальные режимы в средах, состоящих из фазовых осциллято-
ров с нелокальной связью, могут быть описаны как стационарные структуры
с пространственно-неоднородным профилем комплексного параметра порядка,
который определяется локально как мера степени когерентности группы элемен-
тов в окрестности каждой точки среды. В частности, для химерных состояний
в распределенных системах абсолютное значение такого локального комплекс-
ного параметра порядка обращается тождественно в единицу на участках, где
соседние осцилляторы синхронны, и меньше единицы в областях с асинхрон-
ным поведением элементов [47––49; 53; 55; 56; 72––75]. Для анализа подобных
пространственно-неоднородных режимов можно эффективно использовать мето-
дику Отта––Антонсена [76––78], которая позволяет получить самосогласованные
динамические уравнения для усредненных полей, одним из которых является
локальный параметр порядка.
Среди проводимых исследований отдельного внимания заслуживают ис-
следования систем, состоящих из неидентичных осцилляторов [6; 46; 76––85].
В таких популяциях каждый осциллятор обладает своей собственной частотой,
значение которой зависит от свойств данного элемента. При рассмотрении по-
пуляции с нелокальным взаимодействием можно ожидать возникновение более
сложных режимов, чем в случае идентичных осцилляторов. В частности, хи-
мерные режимы при этом трансформируются в частично синхронные состояния
с несколькими участками, где осцилляторы демонстрируют высокую степень ко-
герентности, и которые в пределе нулевого разброса частот переходят в кластеры
полностью синхронных элементов. От степени пространственного беспорядка
также зависят бифуркационные значения других величин, при которых проис-
ходит качественное изменение поведения системы. Однако, с другой стороны
появляется возможность развития аналитического описания исследуемых сред
с помощью усредненных полей. Данный момент связан с тем, что полностью
когерентный режим не существует в подобных системах. Поэтому вырожденная
ситуация, когда модуль локального комплексного параметра порядка тождествен-
но обращается в единицу, становится невозможной. Данный факт существенно
упрощает анализ укороченных уравнений относительно усредненных полей ис-
следуемой среды.
Целью данной работы является анализ условий существования, механиз-
мов возникновения и устойчивости пространственно-однородных и неоднород-
ных структур (частично синхронных и химерных), а также их характеристик
в ансамблях нелинейных фазовых элементов (как неидентичных, так и идентич-
ных) с нелокальной связью.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следую-
щие задачи:
1. Определить условия существования и устойчивости стационарных с точ-
ки зрения локального параметра порядка пространственно-временных
режимов в ансамбле нелокально связанных фазовых осцилляторов
Курамото––Баттогтоха с неидентичными собственными частотами,
удовлетворяющими распределению Лоренца. Определить меха-
низмы возникновения сложной динамики системы при развитии
неустойчивости стационарных структур (бризерные режимы, режимы
с перемежаемостью, хаотические пространственно-временные режи-
мы).
2. Определить механизмы возникновения бризерных химер и влияние
нелинейности фазового сдвига на возможность реализации неоднород-
ных режимов (в том числе химерных) в системе нелокально связанных
идентичных фазовых осцилляторов.
3. Определить влияние внешнего периодического воздействия на стацио-
нарные химерные режимы в системе нелокально связанных идентичных
осцилляторов Курамото––Баттогтоха. Установить возможность синхро-
низации стационарных и регуляризации бризерных и хаотических хи-
мер.
4. Описать переход к синхронизации в ансамбле ротаторов, глобально свя-
занных через импульсное поле. Установить возможность реализации
вырожденных химерных режимов в двух ансамблях импульсно-связан-
ных осцилляторов при синхронизации частот их общих полей.
Научная новизна: Диссертационная работа посвящена решению принци-
пиально новых задач анализа синхронных, частично синхронных и химерных
состояний в ансамблях нелокально связанных осцилляторов с экспоненциаль-
но спадающими ядрами, определяющими взаимодействие в системе, а также
в популяциях с импульсной связью. Полученные результаты являются новы-
ми. Совокупность результатов диссертации позволяет существенно расширить
представления о механизмах формирования, структуре и свойствах различных
пространственно-неоднородных режимов. Результаты диссертации находятся
в соответствии с уже установившимися представлениями в этой области знаний,
гармонично расширяя и дополняя их. Новизна основных результатов работы под-
тверждается их публикацией в целом ряде научных статей в высокорейтинговых
отечественных и зарубежных физических журналах с высоким импакт-фактором,
входящих в международные и российские системы цитирования Web of Science,
Scopus, РИНЦ.
В работе впервые получены следующие научные результаты:
1. Для систем нелокально связанных фазовых осцилляторов с экспоненци-
альным ядром, определяющим связь, были получены уравнения Отта––
Антонсена относительно локального комплексного параметра порядка,
характеризующего степень фазовой скоррелированности элементов в ма-
лой окрестности произвольной точки среды.
2. Предложен метод эффективного поиска стационарных (равномерно вра-
щающихся) неоднородных пространственных структур, основанный на
построении замкнутых траекторий в фазовом пространстве вспомога-
тельной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего
порядка. Разработана процедура расчета непрерывной и дискретной со-
ставляющих спектра собственных значений линеаризованного в окрест-
ности стационарных решений интегро-дифференциального уравнения
Отта––Антонсена, определяющих устойчивость неоднородных решений.
3. Установлено, что в системе нелокально связанных неидентичных фазо-
вых осцилляторов можно выделить два вида стационарных (равномерно
вращающихся) режимов с постоянным по модулю значением локального
параметра порядка: однородные и градиентные. Определены области их
существования и устойчивости.
4. Установлено, что в среде нелокально связанных неидентичных фазовых
осцилляторов с экспоненциальным типом взаимодействия среди неод-
нородных состояний со статичным распределением областей с повы-
шенной и пониженной степенью синхронизации устойчивыми являются
только те режимы, для которых у профиля локального параметра порядка
имеется только один максимум. Среди остальных структур встречают-
ся слабо неустойчивые (переходные) образования. Определены области
существования и устойчивости режимов бризерной кластерной синхро-
низации и пространственно-временного хаоса.
5. Показано, что нелинейность фазового сдвига в системе нелокально
связанных идентичных осцилляторов с экспоненциальным типом взаи-
модействия приводит к возможности реализации однородного частично
синхронного градиентного состояния и гибридной химеры, состоящей из
двух областей с высокой степенью когерентности поведения элементов.
В случае длинной среды регулярные состояния становятся неустойчивы-
ми, а в системе реализуются режимы с хаотическим поведением модуля
локального параметра порядка. Впервые показана возможность реализа-
ции бризерной химеры, возникающей в результате развития неустойчи-
вости стационарного химерного режима.
6. Показано, что в ансамбле нелокально связанных идентичных осцилля-
торов Курамото––Баттогтоха при воздействии внешнего периодического
воздействия на устойчивую стационарную химеру существует область
захвата, в которой частота химеры совпадает с частотой внешнего сиг-
нала. Продемонстрирован эффект регуляризации неустойчивых химер
(бризерных или хаотических), когда внутри соответствующей области
захвата существуют подобласти, где внешнее воздействие стабилизиру-
ет стационарную химеру при достаточно большой амплитуде внешнего
воздействия.
7. Показано, что в системе двух связанных ансамблей осцилляторов типа
накопление-сброс режим захвата частот 2 : 1 средних полей не влечет
синхронизации между индивидуальными элементами каждой из попу-
ляций. При этом реализуется нетривиальное химерное состояние, когда
часть одного из ансамблей формирует кластер идентичных элементов,
в то время как другие не являются когерентными по фазе, хотя средние
частоты всех осцилляторов одинаковы. Второй ансамбль при этом де-
монстрирует частично синхронную динамику.
Практическая значимость работы состоит в развитии теории структуро-
образования в ансамблях и средах нелокально связанных осцилляторов. Получен-
ные результаты существенно расширяют представления современной нелинейной
динамики о возможности формирования режимов пространственно-временной
динамики в системах нелокально связанных осцилляторов.
Результаты исследования носят не только фундаментальный научный харак-
тер, но имеют и существенное прикладное значение, т. к. задача формирования
структур возникает в широком спектре физических, биологических и социо-эко-
номических систем, где динамику каждого элемента возможно описывать в фазо-
вом приближении и связь между элементами не является локальной. Например,
процессы формирования частично синхронных и химерных структур наблюдают-
ся в электрохимических реакциях, лежащих в основе важных физиологических
процессов, например, циркадных ритмов или передаче кальциевых сигналов, где
связь между компонентами среды носит нелокальный характер. Также наблюде-
ние в головном мозге пространственно-локализованных кластеров когерентных
нейронов связывают с наличием в подобных областях ячеек памяти.
Разработанные в ходе исследования программные модули могут быть ис-
пользованы при моделировании поведения сложных многокомпонентных систем.
Методология и методы исследования. В ходе выполнения диссер-
тационного исследования были использованы комбинации разнообразных
(аналитических и численных) методов математической физики, бифуркационного
и статистического анализа. Решение поставленных задач предполагало теорети-
ческое описание конкретных моделей ансамблей нелинейных осцилляторных
элементов, проведение детальных численных расчетов в рамках этих моделей,
аналитическое обоснование полученных результатов. Эффективным методом
анализа в случае исследования ансамблей нелокально связанных осцилляторов
представляется подход Отта––Антонсена, который дает возможность получить
замкнутые системы уравнений для комплексного параметра порядка и свести
исследуемую проблему к задаче эволюции макроскопических полей. В данной
ситуации можно переформулировать исходную задачу в терминах образования
пространственных структур. Редукция Отта––Антонсена является достаточно
универсальным инструментарием, позволяющим вывести укороченные уравне-
ния для основных характеристик исследуемых структур, а также предсказать
и спрогнозировать сценарии глобальной эволюции системы в целом. Важным
и неоспоримым преимуществом данного метода выступает то, что удается упро-
стить анализ и уменьшить вычислительную сложность задачи за счет перехода
к гладким благодаря процессу усреднения макроскопическим полям (к кото-
рым принадлежит комплексный параметр порядка) или значительно понизить
размерность системы уравнений.
Для исследования устойчивости стационарных структур использован ме-
тод, основанный на дискретизации уравнений в вариациях и численной оценке
спектров собственных значений, возникающих при дискретизации матриц. Метод
направлен на решение проблемы разделения дискретных и непрерывных состав-
ляющих спектра (только первые могут приводить к неустойчивости, в то время
как при дискретизации собственные значения, соответствующие непрерывной ча-
сти спектра, могут иметь ложные положительные вещественные части).
Для моделирования динамики популяций фазовых осцилляторов с компо-
зитной топологией связей и расчета макроскопических полей на базе уравнения
для комплексного параметра порядка использованы прямые явные схемы типа ме-
тода Рунге––Кутты четвертого и пятого порядков.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. В системе нелокально связанных неидентичных фазовых осцилляторов
существует два типа стационарных режимов равномерного вращения
с постоянным по модулю значением локального параметра порядка:
однородные и градиентные. При больших значениях полуширины функ-
ции распределения собственных частот реализуется только полностью
асинхронный режим с нулевым средним полем. Если же полуширина
случайного разброса меньше некоторой пороговой величины, то данное
состояние перестает быть устойчивым, и в системе могут наблюдаться
как однородные, так и градиентные частично синхронные режимы в за-
висимости от размеров среды и фазового сдвига. Градиентные режимы
устойчивы, начиная с некоторого критического значения длины, либо на
некотором отрезке длин.
2. В среде нелокально связанных неидентичных фазовых осцилляторов
с экспоненциальным типом взаимодействия среди неоднородных состо-
яний со статичным распределением областей с повышенной и понижен-
ной степенью синхронизации устойчивыми являются только те режимы,
для которых у профиля локального параметра порядка имеется только
один максимум. Среди остальных структур встречаются слабо неустой-
чивые (переходные) образования. Данные квазихимерные режимы (как
предельные, так и переходные) играют важную роль в динамике ансам-
бля из большого числа элементов, т. к. одни из них устанавливаются
и в последствии не разрушаются, а другие возникают в виде переходных
продолжительных процессов между интервалами со сложным нерегу-
лярным поведением усредненных полей. При нарушении устойчивости
стационарных неоднородных режимов в системе реализуется бризерный
кластерный режим, а в случае больших длин сред нерегулярный режим
с хаотическим поведением усредненных полей.
3. В системе нелокально связанных идентичных осцилляторов с экспо-
ненциальным типом взаимодействия наличие нелинейной зависимостью
фазового сдвига от степени когерентности элементов среды приводит
к возможности реализации однородного частично синхронного состо-
яния, неоднородного частичного синхронного режима и «гибридной»
химеры, состоящей из двух областей с высокой степенью когерентно-
сти элементов. В случае длинной среды регулярные режимы становятся
неустойчивыми, и в системе реализуются режимы пространственно-вре-
менного хаоса.
4. В ансамбле распределенных на кольце идентичных элементов с экспо-
ненциальным типом взаимодействия возможна реализация бризерной
химеры, возникающей в результате развития неустойчивости стацио-
нарного химерного режима. Ключевую роль при этом играет наличие
нелинейного фазового сдвига, зависящего от степени когерентности ос-
цилляторов.
5. В ансамбле нелокально связанных идентичных осцилляторов Курамо-
то––Баттогтоха при воздействии внешнего периодического воздействия
на устойчивую стационарную химеру существует область захвата, в ко-
торой химеры синхронизируется внешним воздействием. В области
захвата для слабо неустойчивой (эволюционирующей к бризерной)
химеры существуют подобласти соответствующие реализации как
устойчивой и бризерной химер, так и хаотической динамики. В обла-
сти захвата сильно неустойчивой (эволюционирующей к хаотическому
пространственно-временному режиму) химеры существует домен устой-
чивых однокластерных химер, что означает возможность регуляризации
внешним периодическим воздействием необходимой частоты и ампли-
туды.
6. В системе двух связанных ансамблей осцилляторов типа «накопле-
ние-сброс» при захвате частот 2 : 1 средних полей реализуется нетри-
виальное химерное состояние: часть одного из ансамблей формирует
кластер идентичных элементов, в то время как другие не являются коге-
рентными по фазе, хотя средние частоты всех осцилляторов одинаковы.
Второй ансамбль при этом демонстрирует частично синхронную дина-
мику.
Достоверность полученных результатов подтверждена их воспроизводи-
мостью в ходе численного моделирования с использованием различных матема-
тических моделей и хорошим соответствием экспериментальным и численным
результатам, известным из литературы.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докла-
дывались на международных научных семинарах, конференциях и симпозиумах:
«Russian-Dutch/EU Workshop on Computational Biomedicine» (г. Амстердам, Ни-
дерланды, 2014), «International Conference-School Shilnikov WorkShop» (Нижний
Новгород, 2015, 2016, 2017, 2018), «Dynamics, Bifurcations and Chaos» (г. Ниж-
ний новгород, 2016, 2018), «Хаотические автоколебания и образование структур»
(г. Саратов, 2016), «The conference on Analysis and Modeling of Complex Oscillatory
System (AMCOS)» (г. Барселона, Испания, 2018), «Volga Neuroscience Meeting
2018» (г. Нижний Новгород, 2018), «School and Workshop on Patterns of Synchrony:
Chimera States and Beyond» (г. Триест, Италия, 2019), «Нелинейные волны»
(г. Нижний Новгород, 2016, 2018, 2020), а также научных конференциях по ра-
диофизике (г. Нижний Новгород, 2013, 2014, 2015, 2018, 2019).
Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры тео-
рии управления и динамики систем и лаборатории управляемых динамических
систем ННГУ им. Н. И. Лобачевского, кафедры статистической физики и теории
хаоса Потсдамского университета (Германия).
Исследования, результаты которых вошли в диссертационную работу,
выполнялись при поддержке грантов РНФ (проекты № 14-12-00811 «Фазовая
динамика осцилляторных сред», № 14-41-00044 «Динамика и бифуркации
диссипативных и консервативных систем», № 17-12-01534 «Коллективная
неравновесная динамика в сложных системах», № 19-12-00367 «Динамика
нестационарных осцилляторных сетей»), РФФИ (проекты № 18-32-00973 «Ис-
следование сложных пространственно-временных структур в среде нелокально
связанных фазовых осцилляторов с нелинейной задержкой», № 18-29-10068
«Синхронизация локализованных структур в импульсных нейронных сетях»,
№ 19-52-12053 «Пространственные структуры и волны синхронизации»),
Министерства науки и высшего образования (госзадание № 0729-2020-0036
«Математическая теория динамического хаоса и живые системы», проект
№ 14.Y26.31.0022), а также поддержке Научно-образовательного математиче-
ского центра «Математика технологий будущего».
Личный вклад. Диссертант принимал непосредственное участие, как в по-
становке задач, так и в аналитических расчетах, обсуждении и интерпретации
результатов. Результаты моделирования получены диссертантом лично посред-
ством самостоятельно созданных программных комплексов.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 22 пе-
чатных изданиях, 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 9 ––
в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus,
15 –– в тезисах докладов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, за-
ключения и 5 приложений. Полный объём диссертации составляет 145 страниц,
включая 42 рисунка. Список литературы содержит 170 наименований.
Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной
работы, сформулированы цель работы и задачи исследований, описаны научная
новизна и практическая значимость полученных результатов. Введение содержит
основные результаты и положения, выносимые на защиту, сведения о достовер-
ности и апробации результатов.
В первой главе рассмотрены пространственно-временные структуры
в системе неидентичных осцилляторов Курамото––Баттогтоха, соответствую-
щие различным синхронным и асинхронным режимам. Раздел 1.1–– введение.
Математическая постановка изучаемой проблемы приводится в разделе 1.2.
Простейшие решения с постоянным по модулю значением параметра порядка
описаны в разделе 1.3. Здесь речь идет об асинхронных и частично синхронных
однородных режимах, а также о градиентных состояниях. В разделе 1.4 приво-
дятся сначала базовые сведения и соотношения, лежащие в основе предлагаемого
нами метода поиска стационарных (равномерно вращающихся) неоднородных
решений уравнения Отта––Антонсена с периодическими граничными услови-
ями. Далее представлены ключевые аспекты линейного анализа устойчивости
данных нетривиальных пространственных структур, которым можно поставить
в соответствие квазихимерные статические состояния исходной фазовой модели.
Затем обсуждаются основные моменты и преимущества процедуры построения
семейств подобных образований с разным числом областей повышенной и по-
ниженной когерентности и формулируются полученные в рамках такого подхода
результаты. кроме того, сделанные выводы подкрепляются прямым численным
моделированием динамики распределенных фаз и локального комплексного па-
раметра порядка. Классы возможных наблюдаемых режимов с более сложным
(периодическим или нерегулярным) поведением (как в пространстве, так и во
времени) мезоскопических (усредненных) полей обсуждаются в разделе 1.5.
Во второй главе рассматриваются пространственно-однородные и стаци-
онарные неоднородные структуры в одномерной среде идентичных нелокально
связанных осцилляторов с нелинейным фазовым сдвигом, при этом основное
внимание уделяется химерным состояниям. Раздел 2.1–– введение. В разделе 2.2
приводится описание модели связанных фазовых осцилляторов и ее описание
в терминах уравнений Отта––Антонсена относительно усредненных мезоско-
пических полей. В разделе 2.3 описываются однородные решения уравнений
Отта––Антонсена и их устойчивость. В разделе 2.4 рассматриваются градиент-
ные состояния. Далее в разделе 2.5 описывается процедура поиска стационарных
неоднородных режимов и проводится анализ их устойчивости. В разделе 2.6 опи-
саны следующие регулярные химерные режимы: стационарные однокластерные
химеры, гибридные химеры с двумя участками осцилляторов с высокой степенью
когерентности элементов, также приводится подробное обсуждение бризерных
химер и механизма их возникновения. Турбулентные химеры и слабо хаотические
режимы рассмотрены в разделе 2.7.
В третьей главе исследуется влияние однородного в пространстве внеш-
него периодического воздействия на химерные структуры в одномерной среде
идентичных нелокально связанных фазовых осцилляторов. Раздел 3.1–– введе-
ние. Математическое описание модели представлено в разделе 3.2, где также
обсуждаются базовые свойства химер на макроскопическом, мезоскопическом
и микроскопическом уровнях описания системы. В разделе 3.3 описывается метод
поиска и определения устойчивости захваченных внешним воздействием химер
посредством сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Затем в разделе 3.4 описываются различные стационарные, периодические и тур-
булентные химерные состояния, наблюдаемые при воздействии на среду внешним
периодическим воздействием, подробно рассмотрены эффекты синхронизации
и регуляризации.
В четвертой главе рассматриваются переход к когерентной динамике в ан-
самбле глобально связанных через общее импульсное поле активных ротаторов,
а также вырожденные химерные состояния в двух связанных ансамблях осцилля-
торов типа «накопление-сброс». Раздел 4.1 –– введение. В разделе 4.2 приведено
математическое описание модели осцилляторов, связанных через общее им-
пульсное поле. В разделе 4.3 рассмотрен переход к синхронизации в ансамбле
глобально связанных активных ротаторов, описан эффект мультистабильности
частично синхронных режимов. Далее в разделе 4.4 для распределенных ансам-
блей импульсно связанных осцилляторов типа «накопление-сброс» описывается
эффект взаимной синхронизации средних полей, генерируемых популяциями,
в области параметров, где их частоты существенно отличаются. При этом в систе-
ме наблюдается вырожденное химерное состояние, подробное описание которого
приведено в пункте 4.4.3.
В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулирова-
ны основные результаты и выводы.

Получены следующие основные результаты:
1. Получены динамические уравнения Отта––Антонсена для локально-
го комплексного параметра порядка и среднего поля, определяющих
степень локальной когерентности элементов среды, для случая экс-
поненциального типа нелокального взаимодействия для (а) ансамбля
неидентичных осцилляторов со случайными частотами, распределенны-
ми по закону Лоренца, (б) популяции идентичных частиц с нелинейным
сдвигом фазы в связи, зависящим от степени локальной когерентности
элементов, и для (в) системы идентичных осцилляторов с постоянным
фазовым сдвигом, находящихся под внешним периодическим воздей-
ствием.
2. Показано, что в системе нелокально связанных неидентичных фазовых
осцилляторов с индивидуальными частотами, удовлетворяющими рас-
пределению Лоренца, и экспоненциальной связью однородное состояние
устойчиво для любых длин среды, либо до достижения некоторой крити-
ческой длины. Градиентные решения могут быть (а) неустойчивыми, (б)
устойчивыми, начиная с порогового значения длины, и (в) устойчивыми
на некотором интервале длин.
3. Установлено, что в системе нелокально связанных неидентичных фа-
зовых осцилляторов с экспоненциальной связью среди неоднородных
решений уравнений Отта––Антонсена устойчивыми являются только те
режимы, для которых у профиля локального параметра порядка есть
только один максимум. Причем среди остальных структур встречаются
слабо неустойчивые (переходные) образования. Показано, что обсуж-
даемые квазихимерные режимы вращения возникают в виде продол-
жительных процессов между интервалами со сложным нерегулярным
поведением усредненных полей. Кроме того, описаны такие состояния
долговременной эволюции изучаемой системы, как бризерная кластер-
ная синхронизация и пространственно-временной хаос.
4. Показано, что нелинейность фазового сдвига в системе нелокально свя-
занных идентичных осцилляторов с экспоненциальным типом взаимо-
действия приводит к возможности реализации (а) однородного частично
синхронного состояния, устойчивого в средах с короткой длиной, (б)
неоднородного частичного синхронного режима и (в) гибридной хи-
меры, состоящей из двух областей с высокой степенью когерентности
элементов. С увеличением длины среды регулярные режимы становятся
неустойчивыми, а в системе реализуются режимы пространственно-вре-
менного хаоса.
5. Впервые обнаружен режим глобально устойчивой бризерной химеры
в ансамбле распределенных на кольце идентичных элементов с экспонен-
циальным типом взаимодействия, возникающей в результате развития
неустойчивости стационарного химерного режима.
6. Для ансамбля нелокально связанных идентичных осцилляторов Кура-
мото––Баттогтоха разработан метод определения области существования
(язык Арнольда) стационарных химерных режимов с захваченной внеш-
ним периодическим воздействием частотой. Построены языки Арнольда
для реализующихся в стационарном случае режимов (а) устойчивой
стационарной химеры, (б) слабо неустойчивой химеры (эволюциониру-
ющей к бризерной химере) и (в) сильно неустойчивой химеры (переходя-
щей к хаотическому режиму). Продемонстрирована возможность захвата
частоты стационарной химеры, а также регуляризации неустойчивой хи-
меры за счет внешнего воздействия.
7. Для ансамбля глобально связанных через общее импульсное поле иден-
тичных ротаторов установлено существование (а) мультистабильности,
когда имеет место множество асинхронных режимов, где элементы ан-
самбля асинхронны, а среднее поле либо постоянное с малыми возму-
щениями, либо периодическое с малой амплитудой; и (б) синхронного
режима, при котором элементы ансамбля полностью синхронны, а сред-
нее поле периодическое с большой амплитудой.
8. Показано, что в системе двух ансамблей осцилляторов типа накопление-
сброс при захвате частот 2 : 1 средних полей может наблюдаться
нетривиальное химерное состояние: часть одного из ансамблей форми-
рует кластер полностью синхронных элементов, в то время как другие
не являются когерентными по фазе, хотя средние частоты всех осцил-
ляторов одинаковы. Второй ансамбль при этом демонстрирует частично
синхронную динамику.
В завершение настоящей диссертационной работы хочу выразить искрен-
нюю благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю
д.ф.-м.н. Григорию Владимировичу Осипову за многолетнюю плодотворную сов-
местную работу, всестороннюю поддержку, понимание и неоценимую помощь
в подготовке данной работы.
Особо хочу поблагодарить д.ф.-м.н., профессора Аркадия Самуиловича
Пиковского и к.ф.-м.н. Льва Александровича Смирнова за огромную помощь
в подготовке данной работы, за ценные советы и критические замечания, кото-
рые способствовали существенному улучшению диссертационной работы.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Публикации автора в научных журналах

Marginal chimera state at cross-frequency locking of pulse-coupled neural networks

M. I. Bolotov, G. V. Osipov, A. Pikovsky // Phys. Rev. E. –– 2–– Vol. –– P. 032–– (ВАК, Scopus, WoS).21

Коллективная динамика ротаторов, связанных общим импульсным полем

М. И. Болотов, Г. В. Осипов // Письма в Журнал Технической Физики. –– 2–– Т. 42, No –– С. 28–––– (ВАК, Scopus, WoS).Бризерные химеры в системе фазовых осцилляторов / М. И. Болотов [идр.]//ПисьмавЖурналЭкспериментальнойиТеоретическойФизики.–– 2–– Т. –– С. 368–––– (ВАК, Scopus, WoS).

Collective Dynamics of Rotators Coupled by a Common Pulsed Field

М. И. Болотов, Г. В. Осипов // Материалы 11-й Международной школы-конференции «Хаос-2016». –– 2–– С. Bolotov, M. I. Collective dynamics of rotators coupled via common impulse field / M. I. Bolotov, G. V. Osipov // Dynamics, Bifurcations and Chaos 2016, Book of Abstracts. –– 2–– P.

Маргинальное химерное состояние в синхронных импульсно-связанных нейроноподобных сетях

М. И. Болотов, Г. В. Оси- пов, А. Пиковский // Тезисы докладов Научной Школы «Нелинейные Волны–2016». Институт Прикладной Физики РАН. Нижний Новгород. –– 2–– С. Bolotov, M. I. Marginal chimera state at cross-frequency locking of pulse- coupled neural networks / M. I. Bolotov, G. V. Osipov, A. Pikovsky // Inter- national Conference-School Shilnikov WorkShop 2015, Book of Abstracts. –– 2–– P.

Динамика ансамбля импульсно-связанных активных ротаторов

М. И. Болотов, Г. В. Осипов // Труды XIX научной конференции по радиофизике. –– 2–– С. 105–

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уни... Читать все

Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уникальности с нуля. Все работы оформляю в соответствии с ГОСТ.

#Кандидатские #Магистерские

0 Выполненных работ

Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственно... Читать все

Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственном университете инженерных технологий.

#Кандидатские #Магистерские

66 Выполненных работ

Образование: ЮУрГУ (НИУ), Лингвистический центр, 2016 г. - диплом переводчика с английского языка (дополнительное образование); ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск, 2017 г. - ин... Читать все

Образование: ЮУрГУ (НИУ), Лингвистический центр, 2016 г. - диплом переводчика с английского языка (дополнительное образование); ЮУрГУ (НИУ), г. Челябинск, 2017 г. - институт естественных и точных наук, защита диплома бакалавра по направлению элементоорганической химии; СПХФУ (СПХФА), 2020 г. - кафедра химической технологии, регулирование обращения лекарственных средств на фармацевтическом рынке, защита магистерской диссертации. При выполнении заказов на связи, отвечаю на все вопросы. Индивидуальный подход к каждому. Напишите - и мы договоримся!

#Кандидатские #Магистерские

55 Выполненных работ

Мой опыт в написании работ - 9 лет. Я специализируюсь на написании курсовых работ, ВКР и магистерских диссертаций, также пишу научные статьи, провожу исследования и со... Читать все

Мой опыт в написании работ - 9 лет. Я специализируюсь на написании курсовых работ, ВКР и магистерских диссертаций, также пишу научные статьи, провожу исследования и создаю красивые презентации. Сопровождаю работы до сдачи, на связи 24/7 ?

#Кандидатские #Магистерские

359 Выполненных работ

Я научный сотрудник федерального музея. Подрабатываю написанием студенческих работ уже 7 лет. 3 года назад начала писать диссертации. Работала на фирмы, а так же помог... Читать все

Я научный сотрудник федерального музея. Подрабатываю написанием студенческих работ уже 7 лет. 3 года назад начала писать диссертации. Работала на фирмы, а так же помогала студентам, вышедшим на меня по рекомендации.

#Кандидатские #Магистерские

37 Выполненных работ

Опыт в написании студенческих работ (дипломные работы, магистерские диссертации, повышение уникальности текста, курсовые работы, научные статьи и т.д.) по экономическо... Читать все

Опыт в написании студенческих работ (дипломные работы, магистерские диссертации, повышение уникальности текста, курсовые работы, научные статьи и т.д.) по экономическому и гуманитарному направлениях свыше 8 лет на различных площадках.

#Кандидатские #Магистерские

224 Выполненных работы

Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.

#Кандидатские #Магистерские

21 Выполненная работа

Помогаю с выполнением курсовых проектов и контрольных работ по электроснабжению, электроосвещению, электрическим машинам, электротехнике. Занимался наукой, писал стать... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

19 Выполненных работ

Профессиональный журналист, филолог со стажем более 10 лет. Имею профильную диссертацию по специализации "Радиовещание". Подробно и серьезно разрабатываю темы научных... Читать все

Профессиональный журналист, филолог со стажем более 10 лет. Имею профильную диссертацию по специализации "Радиовещание". Подробно и серьезно разрабатываю темы научных исследований, связанных с журналистикой, филологией и литературой

#Кандидатские #Магистерские

33 Выполненных работы