ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………………………………………. 5
1 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ,
ОПИСЫВАЕМЫХ СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ…………………………………………………………………………… 19
1.1 Задачи, решаемые моделирующими подсистемами САПР ………………………….. 25
1.1.1 Структурный анализ ……………………………………………………………………………….. 26
1.1.2 Анализ движения …………………………………………………………………………………….. 27
1.1.3 Анализ износа и надежности …………………………………………………………………… 29
1.2 Проблемы моделирования объектов, описываемых системами
дифференциальных уравнений высокой размерности ………………………………………. 30
1.3 Численные методы интегрирования, используемые в современных системах
проектирования ………………………………………………………………………………………………. 32
1.4 Выводы ……………………………………………………………………………………………………… 37
2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МОДЕЛИРУЮЩИХ ПОДСИСТЕМ
САПР . ……………………………………………………………………………………………………………. 39
2.1 Системы дифференциальных уравнений как способ описания объектов
проектирования ………………………………………………………………………………………………. 40
2.2 Одношаговые методы Рунге-Кутты ……………………………………………………………. 45
2.2.1 Явные методы Рунге-Кутты …………………………………………………………………….. 45
2.2.2 Методы Дормана-Принса ………………………………………………………………………… 48
2.2.3 Неявные и диагонально-неявные методы Рунге-Кутты …………………………….. 49
2.3 Многошаговые методы Адамса ………………………………………………………………….. 51
2.3.1 Методы Адамса-Башфорта ………………………………………………………………………. 51
2.3.2 Методы Адамса-Мултона ………………………………………………………………………… 54
2.4 Формулы дифференцирования назад ………………………………………………………….. 61
2.5 Одношаговые полуявные методы интегрирования ……………………………………… 64
2.6 Многошаговые полуявные методы прогноза-коррекции ……………………………… 67
2.6.1 Полуявный метод Адамса-Башфорта-Мултона ………………………………………… 69
2.6.2 Полунеявный метод Адамса-Башфорта-Мултона …………………………………….. 70
2.6.3 Исследование численной устойчивости полуявных методов Адамса-
Башфорта-Мултона …………………………………………………………………………………………. 71
2.7 Выводы ……………………………………………………………………………………………………… 76
3 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МОДЕЛИРУЮЩИХ ПОДСИСТЕМ
САПР . ……………………………………………………………………………………………………………. 77
3.1 Модуль численного решения ОДУ ……………………………………………………………… 78
3.2 Блок синтаксического анализа системы ОДУ ……………………………………………… 80
3.3 Методика синтеза конечно-разностной схемы ……………………………………………. 81
3.3.1 Определение последовательности вычисления переменных состояния стадии
коррекции …………………………………………………………………………………………………. 82
3.3.2 Алгоритм оптимизации вычислительных затрат стадии прогноза …………….. 88
3.4 Блок численных расчетов …………………………………………………………………………… 91
3.5 Выводы ……………………………………………………………………………………………………… 93
4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПОЛУЯВНЫХ
МЕТОДОВ ПРОГНОЗА-КОРРЕКЦИИ ……………………………………………………………. 94
4.1 Исследование свойств многошаговых полуявных методов при
моделировании на длительных временных интервалах …………………………………….. 94
4.2 Оценка вычислительной эффективности многошаговых методов на наборе
тестовых задач ………………………………………………………………………………………………… 96
4.2.1 Электрическая цепь, описываемая системой ОДУ 5-го порядка ……………….. 99
4.2.2 Электрическая цепь, описываемая системой ОДУ 6-гопорядка ………………. 104
4.2.3 Моделирование орбитальной динамики …………………………………………………. 109
4.3 Оценка прироста производительности в зависимости от размерности
моделируемой системы………………………………………………………………………………….. 111
4.4 Выводы ……………………………………………………………………………………………………. 113
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………………………………….. 115
СПИСОК ТЕРМИНОВ ………………………………………………………………………………….. 121
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ………………………… 123
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………………………. 124
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ………………………………………………………………………………………….. 136
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ………………………………………………………………………………………….. 138

Во введении обоснованы актуальность выбранной темы диссертационной работы,
формулируются цели и задачи исследования. Определены объект и предмет исследования, а также излагаются основные положения, выносимые на защиту. Определены методы исследования, выполнен обзор предметной области.
Первая глава диссертационной работы посвящена сравнительному анализу алгоритмов численного решения систем ОДУ, используемых в моделирующих подсистемах САПР с точки зрения их вычислительной эффективности при проектировании и моделировании систем высокой размерности.

В главе рассмотрены типовые задачи, возникающие в современных подходах к проектированию с применением технологий виртуализации. Обобщенная схема модель- ориентированного проектирования, реализующая такой подход, показана на рисунке 1. В соответствии с данной схемой, первоначальная концепция разрабатываемого продукта реализуется инженерами-проектировщиками в виде компьютерной модели, с помощью которой выполняется оценка производительности и надежности продукта, а также анализируются затраты на производство. По завершению моделирования, спроектированное в виртуальной среде изделие может быть изготовлено с использованием технологий быстрого прототипирования, и после аппаратного тестирования, запущено в массовое производство.
Рисунок 1 – Обобщенная схема модель-ориентированного проектирования
Таким образом, основой подхода проектирования с использованием виртуализации является построение параметрической модели изделия, и выполнение различных видов исследований с ее использованием, включая структурный анализ, анализ движения, а также анализ износа и надежности. Высокая размерность систем дифференциальных и алгебраических уравнений, используемых в качестве математических моделей при данных видах анализа в виртуальных средах проектирования, приводит к следующим проблемам компьютерного моделирования:
1. Низкая точность расчетов, выполняемых по конечно-разностной модели объекта, из-за быстрого накопления погрешностей округления результатов арифметических операций.
2. Низкая скорость вычислений при многопараметрическом исследовании динамического поведения объекта проектирования.
3. Снижение достоверности получаемых численных результатов при долгосрочном моделировании.

Большинство инженеров-проектировщиков, работающих с программным обеспечением САПР, используют встроенные решатели систем дифференциальных уравнений в качестве готового программного средства, непосредственно выполняющего задачу численной аппроксимации решения на заданном временном интервале. Как правило, проектировщик самостоятельно осуществляет выбор метода интегрирования с точки зрения точности получаемой численной модели и вычислительных затрат на поиск решения, не обладая при этом требуемым уровнем компетенции в области численного решения ОДУ. Часто вне зависимости от характеристик моделируемой системы, включая степень жесткости, размерность и др., применяется один и тот же алгоритм интегрирования, что может приводить к избыточным вычислительным затратам и потере точности, особенно в случае моделирования технических объектов, описываемых системами высокой размерности.
Традиционно используемые алгоритмы численного решения систем дифференциальных уравнений в моделирующих подсистемах САПР не являются вычислительно эффективными при моделировании объектов, описываемых системами высокой и сверхвысокой размерности. В частности, явные многошаговые методы обладают относительно малой численной устойчивостью при высокой скорости вычислений, а неявные многошаговые методы демонстрируют высокие вычислительные затраты, связанные с аппроксимацией итерационными алгоритмами значений вне шага интегрирования, которые часто становятся неприемлемыми при моделировании систем большой размерности. Наиболее перспективными для реализации в современных моделирующих подсистемах являются многошаговые методы прогноза-коррекции. При малом числе итераций корректора они представляют собой полностью явные методы с вычислительными затратами, сопоставимыми с таковыми для методов явных методов Адамса. При увеличении числа итераций устойчивость таких методов становится близкой к неявным алгоритмам, при этом вычислительные затраты на интегрирование возрастают. Поэтому для применения многошаговых алгоритмов прогноза-коррекции для моделирования жестких и умеренно жестких систем, в том числе задач высокой размерности, требуется разрабатывать подходы повышения устойчивости не только за счет увеличения числа корректирующих итераций. Возможным способом улучшения характеристик устойчивости является применение полуявного принципа вычислений, ранее успешно использованного в одношаговом интегрировании. Предполагается, что применение такого подхода позволит увеличить вычислительную эффективность методов прогноза-коррекции без увеличения вычислительных затрат. Более того, при использовании полуявного способа вычисления, можно добиться снижения
вычислительных затрат за счет устранения избыточных вычислений на стадии прогноза, что важно в контексте решения задач высокой размерности. На основе данного подхода в диссертационной работе разрабатывается математическое и программное обеспечение.
Глава завершается постановкой цели и задач диссертационного исследования.
Во второй главе диссертационной работы изложен математический аппарат систем обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании объектов проектирования и их компонентов. Описаны алгоритмы численного интегрирования, используемые в моделирующих пакетах для решения систем ОДУ, включая одношаговые явные методы Рунге-Кутты, многошаговые методы Адамса и формулы дифференцирования назад. Обозначены недостатки существующих алгоритмов численного моделирования, ограничивающие их вычислительную эффективность при решении систем уравнений высокой размерности.
Предложено новое математическое обеспечение моделирующих подсистем САПР в форме полуявных многошаговых методов интегрирования, представляющих собой модификации метода Адамса-Башфорта-Мултона, также известного как метод прогноза- коррекции, с использованием полуявного принципа вычислений. Полуявное интегрирование применяется на этапе коррекции для более точной аппроксимации неявных значений.
Полуявные многошаговые методы прогноза-коррекции могут быть применены для численного решения систем ОДУ размерности два или выше. Для систем первого порядка такие алгоритмы вырождаются в классический метод Адамса-Башфорта-Мултона. Рассмотрим следующую систему уравнений:
применением явного метода Адамса-Башфорта за x p и y p соответственно. Затем, n1 n1
применим к системе (1) метод коррекции
xn1xnhb0fxp ,yp ,tn1hbi1fxni,yni,tni (2)
 x  f  x , y , t  ;  y  g  x , y , t  ,
(1) где f и g – функции правой части. Обозначим переменные состояния, найденные с
k1 n1 n1 i0
k1
yn1ynhb0gxp ,yp ,tn1hbi1gxni,yni,tni (3)
n1 n1 i0
где bi – коэффициенты неявного метода Адамса-Мултона, а k – количество стадий метода.

применяется следующим образом. Заменяя xnp1 в (3) на xn + 1 получаем k1
Предлагаемый способ численного решения систем ОДУ основан на полуявном принципе вычислений, использующем предварительно рассчитанные значения переменных состояния на текущем шаге интегрирования для более точной аппроксимации остальных значений. В многошаговых формулах прогноза-коррекции этот подход
(4)
Формула (4) задает полуявный метод Адамса-Башфорта-Мултона. Также для метода Адамса-Башфорта-Мултона может быть рассмотрена полунеявная модификация. В конечно-разностной схеме, полученной в результате применения такого метода, каждая строка содержит одно неявное вычисление переменной состояния, соответствующей решаемому уравнению:
(5)
где неизвестные xn + 1 и yn + 1 для каждой переменной состояния могут быть вычислены с помощью метода Ньютона или других итерационных алгоритмов. В простейшем случае получаемая система алгебраических уравнений может быть решена аналитически относительно переменных состояния, которые должны вычисляться в (n+1) момент времени. Этот подход является наиболее эффективным с точки зрения скорости вычислений.
Оба предложенных алгоритма рассмотрены на примере двумерных систем. Однако данные многошаговые методы могут быть использованы при решении систем ОДУ произвольной размерности.
Для теоретического исследования устойчивость полуявных многошаговых методов Адамса-Башфорта-Мултона использовалась тестовая задача
x  Ax, (6) где А − матрица размерности 2×2 с собственными числами 1,2    j . Пусть k = A11 / A22 –
отношение элементов матрицы тестовой задачи на главной диагонали. Назовем k коэффициентом симметрии. Для матрицы в Жордановой нормальной форме k = 1, для
xn1xnhb0fxp ,yp ,tn1hbi1fxni,yni,tni n1 n1 i0
k1
yn1ynhb0gx ,yp ,tn1hbi1gxni,yni,tni
n1 n1 i0
k1 xn1xnhb0fxn1,yp ,tn1hbi1fxni,yni,tni
n1 i0 k1
yn1  yn hb0gxn1,yn1,tn1hbi1gxni,yni,tni i0
матрицы в нормальной форме Фробениуса коэффициент равен 0 или ∞. Это два крайних случая, которые дают наиболее различные функции устойчивости. Области устойчивости полуявного метода Адамса-Башфорта, полученные при k = 0 и k = 1 для тестовой задачи (6), показаны на рисунках 2 и 3. В сравнении с оригинальным методом Адамса-Башфорта- Мултона (рисунок 4), можно заключить, что даже в случае k = 0 границы областей устойчивости предлагаемых методов шире. Также стоит отметить, что при исследовании тестовой задачи с симметричной матрицей, размер и форма областей устойчивости методов четвертого и пятого порядка сопоставимы с областями, полученными для методов второго и третьего порядка оригинального метода. Таким образом, можно теоретически предположить, что при реализации решателей на основе новых многошаговых полуявных алгоритмов с переменным шагом интегрирования, вычислительные затраты на всем интервале интегрирования могут быть меньше, чем для методов прогноза-коррекции того же порядка алгебраической точности.
Рисунок 2 – Области устойчивости полуявного многошагового метода (4) для тестовой задачи (6) при k = 0, p – порядок метода

Рисунок 3 – Области устойчивости полуявного многошагового метода (4) для тестовой задачи (6) при k = 1, p – порядок метода
Рисунок 4 – Области устойчивости метода Адамса-Башфорта-Мултона, p – порядок метода

Помимо лучшей численной устойчивости, полуявный способ интегрирования в предложенных модификациях метода Адамса-Башфорта-Мултона позволяет на стадии прогноза не выполнять избыточные расчеты тех переменных состояния, оценку которых не требуют первые итерации конечно-разностной схемы корректора. При практических расчетах подобное снижение затрат на стадии прогноза позволяет существенно ускорить процесс многопараметрического исследования или долгосрочного моделирования.
Глава завершается выводами о численной устойчивости предложенных полуявных многошаговых методов интегрирования и их вычислительной эффективности при моделировании объектов, описываемых системами высокой размерности, в сравнении с традиционными методами прогноза-коррекции.
В третьей главе дано описание разработанного программного обеспечения моделирующих подсистем САПР. Перечислены этапы компьютерного моделирования объекта проектирования. Изложена структура разработанного программного модуля численного решения систем ОДУ.
Входными данными разработанного программного модуля являются система ОДУ, представленная в нормальной форме Коши, и параметры моделирования, а выходными – массивы значений переменных состояния. В качестве параметров моделирования выступают время моделирования, значения начальных условий и параметров системы, максимальное, минимальное и начальное значения шага интегрирования, а также значение допустимой погрешности решения.
Разработанный модуль состоит из нескольких блоков (рисунок 5), включая синтаксический анализатор системы ОДУ, модуль генерации конечно-разностных схем и модуль численного решения. Модуль синтаксического анализа предназначен для генерации массивов токенов, определяющих переменные состояния и параметры моделируемой системы, а также массива функций правых частей дифференциальных уравнений. Полученные данные используются в качестве входных значений блока генерации конечно- разностной схемы в соответствии с выбранным полуявным или полунеявным многошаговым методом интегрирования. Модуль численного решения использует полученную конечно-разностную схему для нахождения решения системы ОДУ с заданными параметрами моделирования.

Рисунок 5 – Общая структура программного модуля численного интегрирования ОДУ с применением полуявных многошаговых методов интегрирования
В главе приводится методика генерации конечно-разностной схемы новых полуявных многошаговых методов Адамса-Башфорта-Мултона, подразумевающая выполнение двух этапов. Первый этап заключается в анализе матрицы обратных связей системы для определения оптимальной последовательности вычислений переменных состояния на этапе коррекции. При определении порядка вычислений учитывается два аспекта:
1. Первыми должны вычисляться те переменные, у которых соответствующие им функции правой части ДУ имеют наименьшее число обращений к переменным состояния, включая рассматриваемую переменную.
2. Если две или более переменных состояния содержат в функциях правых частей одинаковое количество обращений к переменным, включая самих себя, то из них для расчета стоит выбирать ту, которая входит в оставшиеся дифференциальные уравнения.
Первое требование обеспечивает минимизацию числа переменных состояния, которые необходимо рассчитать на стадии прогноза. Второе – позволяет использовать при расчете последующих переменных состояния уже скорректированные значения.
Алгоритм, реализующий заданные требования, описывается с использованием матрицы обратных связей N × N, где цифра 1 обозначает наличие в функции правой части обратной связи на каждую из N переменных. Матрица обратных связей является входными данными алгоритма. Выходные данные – массив индексов переменных состояния, задающий последовательность вычислений на стадии коррекции. Перед началом работы алгоритма в конец матрицы обратных связей добавляется столбец, в котором содержатся суммы единиц в каждой строке. Это число задает количество обратных связей в каждом уравнении. Разработанный алгоритм состоит из следующей последовательности шагов:
1. Матрица обратных связей сортируется по последнему столбцу по возрастанию. 2. Рассматривается строка с минимальным числом в столбце сумм:
2.1.Если это наименьшее число из всех рассчитанных сумм, т.е. строка с минимальным числом обратных связей единственная, то индекс соответствующей ей переменной добавляется в выходной массив.
2.2. Если строк с минимальным числом обратных связей несколько, то для каждой соответствующей переменной рассматриваются новые суммы по всем строкам для матрицы обратной связи, из которой поочередно вычеркивается столбец, соответствующей каждой из этих переменных. В выходной массив выбирается индекс той переменной, у которой хотя бы одна из подсчитанных сумм минимальная среди сумм, рассчитанных для всех переменных. Если таких переменных несколько, то выбирается любая из них, например, первая по порядку.
3. Из матрицы обратных связей вычеркивается столбец и строка, соответствующие переменной, индекс которой был добавлен в выходной массив.
4. Если в матрице обратных связей не осталось переменных, то алгоритм завершает работу. Иначе выполнение возобновляется с п. 1.
Алгоритм определения оптимальной последовательности вычислений одинаков как для полуявного, так и для полунеявного многошаговых методов.
На втором этапе предложенного алгоритма анализа конечно-разностной схемы по полученному порядку интегрирования дифференциальных уравнений выполняется минимизация числа уравнений в конечно-разностной схеме стадии прогноза за счет устранения избыточных вычислений, результаты которых не будут использоваться в корректоре по методу Адамса-Мултона. Предлагаемый алгоритм для полуявного многошагового метода Адамса-Башфорта-Мултона состоит из следующей последовательности шагов:
1. Из массива, задающего порядок вычислений на стадии коррекции, по i-ому индексу выбирается переменная.
2. Для выбранной переменной по матрице обратных связей системы определяются индексы тех переменных, на которые в функции правой части есть обратные связи.
3. Во вспомогательном массиве в цикле просматриваются значения, расположенные по индексам, определенным в п. 2.
3.1 Если значение, расположенное по индексу во вспомогательном массиве, равно 1, то не делаем ничего.
3.2 Если значение вспомогательного массива, расположенное по индексу, равно 0, то меняем это значение на 1, а в выходной массив записываем переменную, которой соответствует рассматриваемый индекс.
4.Если значение вспомогательного массива, расположенное по индексу, определенному в п. 1, равно 0, то меняем это значение на 1.
5. Проверяем вспомогательный массив на содержание 0.
5.1 Если вспомогательный массив содержит только 1, то алгоритм завершает работу. 5.2 Если вспомогательный массив все еще содержит 0, то увеличиваем i на 1 и
возвращаемся к п. 1.
Для полунеявного многошагового интегрирования в рассмотренном алгоритме п. 3
и 4 меняют местами, т.е. информация о неявном вычислении переменной сразу добавляется во вспомогательный массив. Это позволяет устранить избыточные расчеты на стадии прогноза в тех случаях, когда уравнение переменной содержит обратную связь на саму себя.
Таким образом, в главе показано, что при полуявном многошаговом интегрировании вычислительные затраты на аппроксимацию значений на стадии прогноза могут быть снижены в сравнении с оригинальной схемой Адамса-Башфорта-Мултона.
В качестве выводов главы выдвинуто предположение о вычислительной эффективности предложенных алгоритмов моделирующих подсистем САПР как при постоянном, так и переменном шаге интегрирования.
В четвертой главе диссертационной работы дана оценка вычислительной эффективности разработанных программных средств моделирования объектов проектирования, описываемых системами ОДУ. Экспериментально подтверждены теоретические предположения о лучшей вычислительной эффективности разработанных полуявных многошаговых методов Адамса-Башфорта-Мултона на наборе тестовых задач из области схемотехнического проектирования и моделирования орбитальной динамики.
На рисунке 6 представлена схема электрической цепи, описываемой системой ОДУ пятого порядка. Для данной системы было выполнено исследование вычислительной эффективности решателей ОДУ на основе полуявных многошаговых методов интегрирования, реализующих предложенную методику оптимизации конечно-разностных схем. Также было выполнено сравнение с решателями на основе алгоритмов, традиционно используемых в модулях численного решения систем ОДУ моделирующих подсистем САПР (рисунок 7). Из полученных результатов видно превосходство предложенного решения в точности получаемых численных моделей и вычислительных затратах на получение численного решения.

Рисунок 6 – Схема электрической цепи, описываемой системой ОДУ пятого порядка
Рисунок 7 – Графики эффективности исследуемых численных методов при моделировании цепи, показанной на рисунке 6
Также было проведено исследование вычислительных затрат на моделирование систем высокой размерности. В качестве тестовой задачи была выбрана сеть из 2∙103 осцилляторов, каждый из которых описывается системой ОДУ размерности пять. На рисунке8 представлены результаты исследования зависимости временных затрат на моделирование ансамбля таких систем. Видно, что предложенные полуявные модификации метода Адамса-Башфорта-Мултона демонстрируют превосходство порядка 25–30% в вычислительных затратах над оригинальным алгоритмом Адамса-Башфорта-Мултона как на коротких, так и на длительных временных интервалах моделирования. Также видно, что затраты предлагаемых алгоритмов сопоставимы с затратами метода Адамса, который

позволяет получать модели точности на порядок меньшей, чем с применением предложенных полуявных многошаговых методов интегрирования.
Рисунок 8 – Графики роста временных затрат на моделирование ансамбля из 2∙103 осцилляторов от величины интервала моделирования
Таким образом, экспериментально подтверждена возможность снижения вычислительных затрат более чем на 25% в сравнении с алгоритмами, традиционно используемыми в САПР для численного решения систем дифференциальных уравнений. Возможность подобного ускорения вычислений имеет большое значение при многопараметрическом исследовании моделей нелинейных объектов проектирования высокой размерности.
Глава завершается выводами о перспективах внедрения и применения разработанного программного и математического обеспечения моделирующих подсистем САПР на основе полуявных методов интегрирования в подразделениях проектных предприятий, разрабатывающих сложные технические объекты, описываемые математическими моделями высокой размерности.
В заключении сформулированы основные научные и практические результаты, достигнутые в ходе выполнения диссертационной работы.
В приложении 1 приводятся акты о внедрении результатов работы.
В приложении 2 приводится копия свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Основные результаты работы
1. Проведен сравнительный анализ существующих алгоритмов, применяемых в моделирующих подсистемах САПР для решения систем ОДУ. Сформулированы основные

требования к методам численного моделирования систем высокой размерности. Выявлены недостатки существующего математического и программного обеспечения модулей моделирующих подсистем САПР для численного решения ОДУ, и предложен способ их устранения – внедрение новых вычислительно эффективных полуявных многошаговых методов, позволяющих сократить сроки моделирования объекта проектирования, тем самым повышающих производительность труда проектировщика.
2. Предложено оригинальное математическое обеспечение моделирующих подсистем САПР в форме полуявных многошаговых методов численного интегрирования для решения систем ОДУ, которые обеспечивают улучшение точностных характеристик компьютерной модели объекта проектирования в том числе на длительных временных интервалах моделирования, а также позволяют ускорить процесс многопараметрического исследования.
3. Разработана и апробирована на наборе тестовых задач методика оптимизации конечно-разностных схем полуявных многошаговых методов, реализуемых в предлагаемых алгоритмах моделирующей подсистемы САПР.
4. Разработано и апробировано программное обеспечение модуля моделирующей подсистемы САПР на основе предложенных полуявных многошаговых численных методов интегрирования. Разработанные программные средства реализуют алгоритмы генерации оптимальной конечно-разностной схемы, исходя из анализа матрицы обратной связи системы ОДУ, описывающей объект проектирования. Предложенное программное обеспечение позволяет сократить время, затрачиваемое инженером проектировщиком на моделирование, на 25 %.

Актуальность темы диссертации
Одной из основных задач при разработке новых продуктов и изделий в
современной промышленности является сокращение сроков и стоимости их
проектирования с учетом постоянного усложнения объектов проектирования и
роста требований к их характеристикам. Среди наиболее эффективных
инструментов решения данного вопроса выделяют применение моделирования на
всем цикле разработки, включая начальные этапы проектирования. Известно, что
проектные решения, принимаемые в начале маршрута проектирования,
определяют до 80% финансовых затрат на разработку продукта. Особенно
актуальным является повышение эффективности и снижение сроков
реализации проектных процедур за счет создания нового математического и
программного обеспечения моделирующих подсистем, применяемых при
автоматизированном проектировании. Особое значение вычислительная
эффективность средств моделирования приобретает при проектировании объектов,
описываемых системами высокой и сверхвысокой размерности, т.е.
математическое описание которых содержит более 104 зависимостей [1]. Как и в
случае более простых систем, для подобных объектов необходимо выполнять:
– многократные расчеты по математическим и исполняемым моделям,
выполняемые для различных сценариев эксплуатации объекта проектирования при
структурном анализе, анализе движения, а также оценки износа и стойкости;
– моделирование на длительных временных интервалах для обнаружения
нелинейных эффектов и исследования свойств моделей, появляющихся с течением
времени.
Несмотря на развитие средств вычислительной техники в последние
десятилетия с тенденцией к параллельной организации вычислений,
производительности доступных проектировщикам вычислителей не всегда
достаточно для эффективного решения задач моделирования. Причину этого еще в
1984 г. сформулировал Артур Джаффе: «Это может быть парадоксальным, но чем
больше и лучше становятся компьютеры, тем масштабнее проблемы, которые
ученые и инженеры хотят решать. Размах превышает доступность» [2].
Совершенствование вычислительных устройств приводит к усложнению моделей
объектов проектирования и увеличению объема выполняемых вычислений, делая
невозможным эффективное моделирование при имеющемся уровне технического
обеспечения. Поэтому для моделирования систем высокой размерности
необходимо не только реализовывать подходы по распараллеливанию вычислений
с учетом доступных вычислительных мощностей, но и разрабатывать и применять
новые численные методы, снижающие затраты на вычислительные процедуры при
сохранении требуемой точности.
Для применения большинства численных методов интегрирования
необходимо привести математическое описание разрабатываемой системы к
нормальной форме Коши. Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ) являются одним из наиболее распространенных способов
математического описания объектов проектирования. Таким образом,
вычислительная эффективность алгоритмов интегрирования, используемых в
современных САПР для решения систем ОДУ, определяет временные затраты на
моделирование, и, следовательно, влияет на продолжительность всего процесса
проектирования. Вне зависимости от свойств моделируемой системы ОДУ,
включая степень жесткости, размерность и др., часто проектировщик может
применять один и тот же метод интегрирования, что для ряда задач влечет
избыточные вычислительные затраты при долгосрочном моделировании или
многопараметрическом исследовании. В большинстве САПР в роли таких
алгоритмов выступают многошаговые неявные методы высокого порядка, а также
одношаговые методы Рунге-Кутты. Интегрирование с использованием неявных
многошаговых методов подразумевает перерасчет матрицы Якоби, а также
решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса на шаге
интегрирования. При моделировании систем высокой размерности это
существенно увеличивает временные затраты и приводит к значительному
накоплению погрешностей округления. При этом применение явных
многошаговых методов для интегрирования жестких задач такой размерности не
является целесообразным ввиду их низкой устойчивости, а одношаговые методы
Рунге-Кутты не обладают необходимой вычислительной эффективностью,
поскольку требуют многократного вычисления функций правой части на каждом
шаге интегрирования.
Перспективным подходом к интегрированию жестких систем ОДУ является
использование одношаговых полуявных методов интегрирования, впервые
предложенных для моделирования гамильтоновых систем [3], и их обобщенных
полунеявных модификаций для негамильтоновых задач [4−6]. Такие алгоритмы
для вычисления разных переменных состояния могут включать как явные, так и
неявные вычисления, что увеличивает устойчивость метода при сохранении
вычислительных затрат на уровне явных одношаговых методов [6]. Отметим, что
практическое применение данного класса алгоритмов для моделирования систем
высокой размерности, как и в случае методов Рунге-Кутты, ограничено
существенными по сравнению с многошаговыми методами вычислительными
затратами, связанными с многократным обращением к функции правой части на
шаге интегрирования. Таким образом, разработка полуявных многошаговых
методов численного интегрирования для моделирующих подсистем
перспективных САПР является актуальной задачей предметной области.
Степень разработанности темы диссертации
Первые вычислительные машины с возможностью сохранения инструкций
для автоматизации численного решения систем ОДУ появились в 1940-ых
годах [7]. Из-за существенных ограничений на объем промежуточных вычислений,
которые можно хранить в памяти компьютера единовременно, требовалось, чтобы
численный метод решения систем дифференциальных уравнений насчитывал
минимальное количество арифметических действий за одну итерацию
интегрирования. Адаптации алгоритмов численных методов интегрирования под
данные требования были посвящены работы С. Гилла, А.В. Беркса, Т.К. Барти,
И.Л. Лебова, И.С. Рида, Р.Б. МакГи, Р.Н. Нильсена и др. [8−11]. Преимущественно
вычисления выполнялись с помощью модифицированных методов Рунге-Кутты с
измененной матрицей Бутчера, не содержащей незначащих нулей, а также с
использованием многошаговых методов интегрирования. Стоит подчеркнуть, что
в середине прошлого столетия, реализация многошаговых методов в качестве
программных средств для решения дифференциальных уравнений была
следствием ограничений, связанных с объемом внутренней памяти компьютера, а
не осознанным выбором в пользу компромиссного решения между скоростью и
точностью вычислений.
Следующим этапом эволюции программных средств численного решения
дифференциальных уравнений стало появление программ, в которых
предусматривалось управление шагом и порядком метода интегрирования. В этой
области значимые результаты были достигнуты Р.Х. Мерсоном, А. Нордсиком,
Д. Томасом, Ф.Т. Крогом [12−15]. Код, разработанный Ф.Т. Крогом, впервые
позволил получить приемлемые результаты при моделировании жестких систем.
Также проблеме численного решения жестких систем были посвящены работы
Ч. Кертисса, Д.О. Хиршфельдерома, А. Р. Митчелла и Дж. В. Крэггса [16, 17].
Ч. Кертисс и Д.О. Хиршфельдер предложили семейство методов, которые
впоследствии были названы формулами дифференцирования назад. А. Р. Митчелл
и Дж. В. Крэггс показали, что у методов данного семейства, алгебраический
порядок точности которых выше шестого, область устойчивости при решении
жестких задач не нулевая, как у явных многошаговых методов Адамса. Это было
значительным достижением в области численного моделирования жестких систем.
Исследованию устойчивости одношаговых и многошаговых методов и ее
зависимости от шага интегрирования посвящены труды Г. Далквиста, Р.Е. Мура,
Э. Хайрера, С. Нерсетта, Г. Ваннера [18−20]. Перечисленные методы
интегрирования являются скалярными, т.е. сопоставляющими каждому уравнению
решаемой системы дифференциальных уравнений собственное конечно-
разностное выражение. В 1970-е гг. В.Ю. Ракитским были предложены матричные
методы, получившие название системных [21, 22]. Данный класс методов показал
высокую эффективность при решении ряда жестких систем дифференциальных
уравнений малого порядка. Стоит отметить, что погрешность получаемого
системными методами численного решения сильно зависит от выбора
вспомогательных матриц, непосредственно связанных с правой частью
дифференциального уравнения. Таким образом, для достижения высокой точности
необходимо оптимизировать коэффициенты данных матриц непосредственно под
решаемую систему, что ограничивает сколько-нибудь массовое применение
системных методов при моделировании широкого класса непрерывных
динамических систем [22].
Следующим этапом в эволюции численных методов интегрирования стала
разработка Э. Хайрером, К. Любичем и Г. Ваннером теории геометрических
интеграторов. Авторы теоретически и экспериментально показали, что
геометрические интеграторы позволяют строить дискретные модели непрерывных
консервативных систем с сохранением энергетических и фазовых характеристик.
В разработку и применение полуявных численных методов интегрирования также
внесли свой вклад К. Любич, К.Г. Жуков, С. Бланес, Ф. Касас, Д.Н. Бутусов [4−6,
23−26], посвятившие свои работы применению одношаговых полуявных методов
для моделирования как гамильтоновых систем, так и диссипативных нелинейных
осцилляторов. Было подтверждено, что использование полуявного подхода к
вычислениям позволяет снизить вычислительные затраты в сравнении с полностью
неявными одношаговыми методами. Отметим, что при всех достоинствах
одношаговых полуявных методов, производительность программных решателей
дифференциальных уравнений на основе данных алгоритмов все еще является
недостаточной для эффективного моделирования систем высокой размерности.
Применение полуявного подхода к вычислениям в многошаговом интегрировании
является перспективным направлением исследований и предлагается впервые.
Цель и задачи исследования
Цель диссертационной работы – сокращение временных, трудовых и
экономических затрат на проектирование многокомпонентных изделий,
описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, за счет
создания и применения нового математического и программного обеспечения
моделирующих подсистем САПР, обеспечивающих повышение
производительности труда проектировщика и качества проектируемого изделия.
Объект исследования — моделирующая подсистема САПР технических
объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предмет исследования — математическое и программное обеспечение
моделирующей подсистемы САПР технических объектов, описываемых
системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задачи диссертационной работы
Исходя из поставленной цели, необходимо решить следующие научно-
технические задачи:
1. Сравнительное исследование существующих алгоритмов, применяемых в
моделирующих подсистемах САПР, с целью выявления недостатков
существующих средств автоматизации проектирования с точки зрения
моделирования объектов, описываемых ОДУ высокой размерности, и определение
путей их усовершенствования.
2. Разработка математического обеспечения перспективных моделирующих
подсистем САПР в форме полуявных многошаговых методов численного
интегрирования для решения систем ОДУ.
3. Разработка методики оптимизации конечно-разностных схем в
предлагаемых алгоритмах моделирующей подсистемы САПР.
4. Разработка и апробация программного обеспечения моделирующих
подсистем САПР с применением библиотеки тестовых задач.
Указанные задачи соответствуют пунктам 1 и 3 паспорта специальности
05.13.12.
Новые научные результаты
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов
заключается в следующем:
1. Предложены новые способы усовершенствования существующих
алгоритмов численного моделирования объектов проектирования за счет
применения полуявного принципа вычислений к известным решателям ОДУ.
2. Разработано новое математическое обеспечение моделирующих
подсистем САПР в форме семейства полуявных многошаговых методов типа
предиктор-корректор Адамса-Башфорта-Мултона.
3. Предложена методика оптимизации конечно-разностной схемы,
основанной на полуявных многошаговых методах прогноза-коррекции.
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость работы
Впервые сформулирован и применен принцип переноса полуявного способа
вычислений на многошаговые методы прогноза-коррекции.
Получены новые знания о свойствах полуявных многошаговых методов
Адамса-Башфорта-Мултона при численном решении систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Практическая значимость результатов работы
Практическое значение результатов диссертационной работы заключается в
следующем:
1. Разработанное математическое обеспечение моделирующих подсистем
САПР в форме многошаговых полуявных методов интегрирования обеспечивает
повышение точности численного решения систем ОДУ, в том числе на длительных
интервалах моделирования.
2. Разработанное программное обеспечение моделирующих подсистем
САПр повышает эффективность труда проектировщика за счет снижения
временных затрат на долгосрочное моделирование и многопараметрическое
исследование объекта проектирования, особенно в случае проектирования
объектов, описываемых системами ОДУ высокой размерности.
Методология и методы исследования
Для решения поставленных задач в диссертационной работе используются
методы теории подобия и моделирования, подходы вычислительной математики,
положения теории построения САПР, сравнительный анализ, полунатурный
эксперимент, имитационное моделирование, технология виртуальных
инструментов.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Математическое обеспечение моделирующей подсистемы САПР в форме
полуявных многошаговых методов численного интегрирования систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Алгоритмы и программное обеспечение расчетного модуля
моделирующей подсистемы САПР, предназначенное для компьютерного
моделирования объектов, описываемых системами ОДУ высокой размерности.
3. Методика оптимизации конечно-разностных моделей, полученных с
помощью полуявных многошаговых методов.
Степень достоверности и апробация результатов
Достоверность научных результатов
Подтверждается результатами математического и компьютерного
моделирования в инструментальных средах, а также инженерной практикой
решения задач моделирования и проектирования объектов, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и
обсуждались на 12 международных научных, научно-практических и научно-
технических конференциях:
1. 2015 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and
Electronic Engineering (Санкт-Петербург, 2–4 февраля 2015 г.);
2. 2016 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and
Electronic Engineering (Санкт-Петербург, 2–3 февраля 2016 г.);
3. International Siberian Conference on Control and Communications (Москва,
12–14 мая 2016 г.);
4. XIX международная конференция по мягким вычислениям и измерениям
(Санкт-Петербург, 25–27 мая, 2016 г.);
5. 2017 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and
Electronic Engineering (Санкт-Петербург, 1–3 февраля 2017 г.);
6. XX международная конференция по мягким вычислениям и измерениям
(Санкт-Петербург, 24–26 мая, 2017 г.);
7. XXI международная конференция по мягким вычислениям и измерениям
(Санкт-Петербург, 23–25 мая, 2018 г.);
8. 2019 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and
Electronic Engineering (Санкт-Петербург, 28–30 января 2019 г.);
9. Ural Symposium on Biomedical Engineering, Radioelectronics and Information
Technology (Екатеринбург, 25–26 апреля 2019 г.);
10. 42nd International Conference on Telecommunications and Signal Processing
(Будапешт, 1–3 июля 2019 г.);
11. 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and
Electronic Engineering (Санкт-Петербург, 27–30 января, 2020).
12. XXIII международная конференция по мягким вычислениям и
измерениям (Санкт-Петербург, 27–29 мая, 2020 г.);
Практическая реализация и внедрение результатов работы
Теоретические положения, методики и результаты исследований
диссертации использованы в следующих НИР, выполненных в течение 2016–
2021 гг.:
1. НИР «Исследование методов высокоточного моделирования нелинейных
систем» (договор 9985ГУ/2015 от 05.04.2016).
2. НИР «Теоретические основы гибридного моделирования нелинейных
динамических систем» (договор 16-31-0026416 от 27.01.2016, договор 16-31-
0026417 от 05.05.2017).
3. НИР «Теория и средства проектирования цифровых генераторов
хаотических сигналов» (договор 17-07-0086217 от 10.04.2017, 17-07-0086218 от
16.03.2018).
4. НИР «Основы исследовательского проектирования мемристивных
систем» (договор 19-07-0049619 от 07.01.2019, 19-07-0049620 от 21.05.2020).
5. НИР «Защищенные системы связи на основе хаотических отображений с
управляемой симметрией» (договор 20-79-10334 от 27.07.2020).
Разработанное математическое и программное обеспечение внедрено в
производственный процесс ООО «АМТЭЛ». Алгоритмы полуявных
многошаговых методов интегрирования внедрены в учебный процесс кафедры
САПР

1. Han T. Numerical solution for super large scale systems / Han T., Han Y. // IEEE
Access. – 2013. – Vol. 1. – С. 537-544.
2. Jaffe A. Ordering the Universe: The Role of Mathematics. Renewing US / Jaffe
A. // Mathematics. – 1984.
3. Hairer E. Geometric numerical integration illustrated by the Stormer-Verlet
method / Hairer E., Lubich C., Wanner G. //Acta numerica. – 2003. – Vol. 12, №. 12. –
С. 399-450.
4. Butusov D.N. Semi-explicit composition methods in memcapacitor circuit
simulation / Butusov D.N., Ostrovskii V.Y., Karimov A.I., Andreev V.S. // International
Journal of Embedded and Real-Time Communication Systems (IJERTCS). – 2019. –
№10. – C. 37-52.
5. Butusov D. Computer simulation of chaotic systems with symmetric
extrapolation methods / Butusov D., Karimov A., Andreev V. // 2015 XVIII International
Conference on Soft Computing and Measurements (SCM). – IEEE, 2015. – C. 78-80.
6. Butusov, D. Symmetric extrapolation solvers for ordinary differential equations
/ Butusov D., Karimov A., Tutueva A. // 2016 IEEE NW Russia Young Researchers in
Electrical and Electronic Engineering Conference (EIConRusNW). – IEEE, 2016. – C.
162-167.
7. Wilkes M. V. The EDSAC-an electronic calculating machine / Wilkes M. V.,
Renwick W. // Journal of Scientific Instruments. – 1949. – Vol. 26, № 12. – С. 385.
8. Gill S. A process for the step-by-step integration of differential equations in an
automatic digital computing machine / Gill S. // Mathematical Proceedings of the
Cambridge Philosophical Society. – Cambridge University Press, 1951. – Vol. 47, № 1.
– С. 96-108.
9. Burks, A. W. From ENIAC to the Stored-Program Computer: Two Revolutions
in Computers / Metropolis N., Howlett J., Gian-Carlo Rota // A History of Computing in
the Twentieth Century. – Academic Press, New York, 1980. – С. 311-344
10. Bartee T. C. Theory and design of digital machines. / Bartee T. C., Lebow I.
L., Reed I. S. – McGraw-Hill, 1962.
11. McGhee R. B. The extended resolution digital differential analyzer: A new
computing structure for solving differential equations / McGhee R. B., Nilsen R. N. //
IEEE Transactions on Computers. – 1970. – Vol. 100, № 1. – С. 1-9.
12. Merson R. H. An operational method for the study of integration processes /
Merson R. H. // Proc. Symp. Data Processing. – Weapons Res. Establ., 1957. – Vol. 1. –
С. 25.
13. Nordsieck A. On numerical integration of ordinary differential equations /
Nordsieck A. // Mathematics of Computation. – 1962. – Vol. 16, №. 77. – С. 22-49.
14. Thomas L. H. The integration of ordinary differential systems / Thomas L. H.
// The Ohio State University Engineering Experiment Station News. – 1952. – Vol. 24. –
С. 8-9.
15. Krogh F. T. The numerical integration of stiff differential equations / Krogh F.
T. // TRW Rep. – 1968.
16. Curtiss C. F. Integration of stiff equations / Curtiss C. F., Hirschfelder J. O. //
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. –
1952. – Vol. 38, №. 3. – С. 235.
17. Mitchell A. R. Stability of difference relations in the solution of ordinary
differential equations / Mitchell A. R., Craggs J. W. // Mathematics of Computation. –
1953. – Vol. 7, № 42. – С. 127-129.
18. Dahlquist G. G. A special stability problem for linear multistep methods /
Dahlquist G. G. // BIT Numerical Mathematics. – 1963. – Vol. 3, № 1. – С. 27-43.
19. Daniel J. W. Computation and theory in ordinary differential equations / Daniel
J. W., Moore R. E. – 1970.
20. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Нежесткие задачи. / Хайрер Э., Нерсетт С. П., Ваннер Г. – 1990.
21. Ракитский Ю.В. Численные методы решения жестких систем. / Ракитский
Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. – М. : Наука, 1979.
22. Сольницев, Р. И. Математическое обеспечение информационных
технологий. Непрерывные системы.: учеб. пособие / Сольницев Р. И., Гришанова
Л. И., Слюсаренко А. С. – СПб. : ГУАП – 2004. – С. 134.
23. Hairer E. Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for
ordinary differential equations / Hairer E., Lubich C., Wanner G. // Springer Science &
Business Media – 2006. – Vol. 31.
24. Жуков К. Г. Коррекция погрешности решения уравнения гармонического
осциллятора методом последовательного интегрирования / Жуков К. Г., Бутусов Д.
Н. //Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного
политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. –
2010. – №. 6.– C. 113.
25. Жуков К. Г. Алгоритм реализации параллельных вычислений по
формулам численного интегрирования Рунге-Кутта / Жуков К. Г. // Научно-
техническиеведомостиСанкт-Петербургскогогосударственного
политехнического университета. Информатика, телекоммуникации и управление.
– 2011. – № 6-2. – С.138.
26. Blanes S. A concise introduction to geometric numerical integration / Blanes
S., Casas F. – CRC press, 2017.
27. Ullman D. G. The mechanical design process: Part 1 / Ullman D. G. – McGraw-
Hill, 2010.
28. Лежебоков А. А. Средства и технологии виртуального прототипирования
для поддержки процессов автоматизированного проектирования / Лежебоков А. А.,
Бова В. В., Шугушхов Х. М. // Известия Кабардино-Балкарского научного центра
РАН. – 2013. – № 5. – С. 17-21.
29. Смирнов А. В. Технология параллельного проектирования: основные
принципы и проблемы внедрения / Смирнов А. В., Юсупов Р. М. // Автоматизация
проектирования. – 1997. – № 2. – С. 50-55.
30. Magrab E. B. Integrated product and process design and development: the
product realization process / Magrab E. B., Gupta S.K., McCluskey F.P., Sandborn P. –
CRC Press, 2009.
31. Кузин Е. И. Создание интегрированной системы поддержки жизненного
цикла изделия / Кузин Е. И., Кузин В. Е. // Инженерный журнал: наука и инновации.
– 2016. – № 2 – C.50.
32. Lee K. Principles of cad/cam/cae systems / Lee K. – Addison-Wesley Longman
Publishing Co., Inc. – 1999.
33. Кудаев А. Ю. Виртуальное прототипирование в интегрированных САПР
машиностроения иэлектроники на основе онтонейроморфогенетического
моделирования / Кудаев А. Ю., Лежебоков А. А., Нагоев З. В. // Известия Южного
федерального университета. Технические науки. – 2013. – № 7 – C.144.
34. Герасимов И. В. Феномен виртуальности в автоматизированном
исследовательском проектировании высокотехнологичных изделий электроники и
средств аналитического приборостроения / Герасимов И.В. Кузьмин С.А. Лозовой
Л.Н. // Технические науки: тенденции, перспективы и технологии развития. – 2014.
– С. 75-77.
35. Sun X. Study on Virtual Prototyping testing platform for Flight Control
Computer System of civil aircraft / Sun X., Chen Z., Qin X. // 2008 Asia Simulation
Conference-7th International Conference on System Simulation and Scientific
Computing. – 2008. – С. 1345-1349.
36. Ferretti G. Virtual prototyping of mechatronic systems / Ferretti G., Magnani
G. A., Rocco P. // Annual Reviews in Control. – 2004. – Vol. 28, № 2. – С. 193-206.
37. Chang K. H. e-Design: computer-aided engineering design / Chang K. H. –
Academic Press – 2016.
38. Ахатов Р. Х. Разработка и внедрение программного комплекса «Система
анализа технологичности конструкции изделий» при запуске в производство
изделий / Ахатов Р. Х., Говорков А. С., Жиляев А. С. // Известия Самарского
научного центра Российской академии наук. – 2014. – Т. 16, №. 1-5.
39. Панкратов И. А. Аналитическое решение дифференциальных уравнений
ориентации круговой орбиты космического аппарата / Панкратов И. А., Челноков
Ю. Н. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика.
Механика. Информатика. – 2011. – Т. 11., №. 1. – С. 84-89.
40. Голдаев С. В. О повышении эффективности освоения методов
автоматизации инженерных расчетов в промышленной теплоэнергетике / Голдаев
С. В. // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг
георесурсов. – 2002. – Т. 305, №. 2.
41. ГетманскийВ.В.Распараллеливаниерасчетанапряженно-
деформированного состояния тела в многотельной модели методом декомпозиции
расчетной области / Гетманский В. В., Горобцов А. С., Измайлов Т. Д. // Известия
Волгоградского государственного технического университета. – 2013. – №. 8. – С.
5-10.
42. Корчак А. Б. Метод параллельного расчёта расщеплённых систем
дифференциальных уравнений с кратными шагами / Корчак А. Б., Евдокимов А. А.
// Труды Московского физико-технического института. – 2010. – Т. 2, №. 2.
43. Корчак А. Б. Метод ускорения численного решения систем ОДУ и его
применениедляпрограммногокомплексамоделированиясверхбольших
интегральных схем: дис. кан. физ.-тех. наук / Корчак Антон Борисович; МФТИ. –
Москва, 2011.
44. МатвеевН.М.Методыинтегрированияобыкновенных
дифференциальных уравнений / Матвеев Н. М. – Лань, 2003.
45. Бахвалов Н. С. Численные методы / Бахвалов Н. С., Жидков Н. П.,
Кобельков Г. М. – М. : Бином. – 2003. – Т. 640. – С. 12.
46. Пчелинцев А. Н. Численное и физическое моделирование динамики
системы Лоренца / Пчелинцев А. Н. // Сибирский журнал вычислительной
математики. – 2014. – Вып. 17, №. 2. – С. 191-201.
47. Пчелинцев А. Н. О построении обобщенно-периодических решений
сложной структуры неавтономной системы дифференциальных уравнений /
Пчелинцев А. Н. // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2013. – Вып.
16, №. 1. – С. 63-70.
48. Пчелинцев А. Н. Метод гармонического баланса для отыскания
приближённых периодических решений системы Лоренца / Пчелинцев А. Н.,
Полуновский А. А., Юханова И. Ю. // Вестник российских университетов.
Математика. – 2019. – Изд. 24. №. 126.
49. Маркеев А. П. Задача трех тел и ее точные решения / Маркеев А. П. //
Соросовский образовательный журнал. – 1999. – Т. 9. – С. 112-117.
50. Конотоп Д. И. Оптимальное проектирование сложных технических
объектов с использованием онтологического подхода / Конотоп Д. И., Зинченко В.
П. // Онтология проектирования. – 2011. – №. 1, Изд.2.
51. Денисенко В. Проблемы схемотехнического моделирования КМОП
СБИС / Денисенко В. // Компоненты и технологии. – 2002. – №. 20.
52. Chang K. H. Design theory and methods using CAD/CAE: The computer aided
engineering design series / Chang K. H. – Academic Press, 2014.
53. Астапов В. Ю. САПР при моделировании режимов технологических
процессов производства элементов конструкций летательных аппаратов / Астапов
В. Ю., Хорошко Л. Л., Афшари П., Хорошко А. Л. // Труды МАИ. – 2016. – №. 87.
– С. 7-7.
54. ДолинГ.А.Разработкасквознойинтеллектуальнойсапр
радиотехнических устройств и систем / Долин Г. А., Дорджиев Ж. С. //
Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. – 2018. – Т. 18,
№. 4. – С. 1076-1081.
55. Camba J. D. Parametric CAD modeling: An analysis of strategies for design
reusability / Camba J. D., Contero M., Company P. // Computer-Aided Design. – 2016. –
Т. 74. – С. 18-31.
56. Зленко М. А. Аддитивные технологии в машиностроении. Пособие для
инженеров / Зленко М. А., Нагайцев М. В., Довбыш В. М. – 2015.
57. Божко А. Н. Методы структурного анализа сложных изделий в
интегрированных CAD/CAM-системах / Божко А. Н. //Информационные
технологии. – 2018. – Т. 24, №. 8. – С. 499-506.
58. Алямовский А. SolidWorks/COSMOSWorks 2006–2007. Инженерный
анализ методом конечных элементов / Алямовский А. – Litres, 2017.
59. Shabana A. Dynamics of multibody systems. / Shabana A. – Cambridge
university press, 2020.
60. SolidWorks C. Understanding motion simulation. – White paper. – 2010.
61. Zhang K. F. Structural analysis of large-scale power systems / Zhang K. F., Dai
X. Z. // Mathematical Problems in Engineering. – 2012. – Vol. 2012.
62. Hariri-Ardebili M. A. Numerical simulation of large-scale structural systems /
Hariri-Ardebili M. A., Furgani L., Salamon J. [и др.] // Advances in Mechanical
Engineering. – 2019. – Vol.11, №5. – C. 1-5.
63. Bannantine J. Fundamentals of metal fatigue analysis / Bannantine J., Comer
J., Handrock J. S. L. // University of Illinois. Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall. – 1990
– C. 286.
64. Iri M. Automatic computation of partial derivatives and rounding error
estimates with applications to large-scale systems of nonlinear equations / Iri M.,
Tsuchiya T., Hoshi M. // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 1988. –
Т. 24, №. 3. – С. 365-392.
65. Faragó I. Efficient algorithms for large scale scientific computations:
Introduction / Faragó I., Georgiev K., Havasi A., Zlatev Z. // Computers and Mathematics
With Applications. – 2014. – Vol. 67, №. 12. – С. 2085-2087.
66. I. Faragó Efficient numerical methods for scientific applications / Faragó I.,
Georgiev K., Havasi A., Zlatev Z. // Computers & Mathematics with Applications. – Vol.
65, №3 – 2013– С. 297-300.
67. Никишин Р. Ю. Параллельные неявные методы решения жестких задач
Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Никишин Р. Ю.,
Назарова И. А., Фельдман Л. П. – 2012.
68. Кнут Д. Искусство программирования для ВМ: Получисленные
алгоритмы / Кнут Д. – Вильямс, 1977.
69. Feldstein A. Overflow, underflow, and severe loss of significance in floating-
point addition and subtraction / Feldstein A., Turner P. // IMA journal of numerical
analysis. – 1986. – Vol. 6., №. 2. – С. 241-251.
70. Cellier F. E. Continuous system simulation / Cellier F. E., Kofman E. –
Springer Science & Business Media. – 2006.
71. SolidWorks:IntegrationMethods–URL:
https://help.solidworks.com/2020/english/SolidWorks/motionstudies/c_integration_met
hods_analysis.htm?id=68e900a7a7b84b9dbb7f1bc094420387#Pg0 (дата обращения:
17.08.2021).
72. Engelhardt M. Spice differentiation / Engelhardt M. // LT Journal of Analog
Innovation. – 2015. – Vol. 24, №. 4. – С. 10-16.
73. Guide, Multisim User – National Instruments Corporation. – 2007.
74. Inceptra : Dymora. – URL : https://www.inceptra.com/solution/dymola/ (дата
обращения: 25.08.2021).
75. OpenModelica:SolvingModelicaModels.–URL:
https://www.openmodelica.org/doc/OpenModelicaUsersGuide/latest/solving.html (дата
обращения: 31.08.2021).
76. Jay L.O. Lobatto methods / Jay L.O. // Encyclopedia of Applied and
Computational Mathematics – Springer, Berlin. – 2015 – С. 817–826.
77. Braun W. Solving large-scale Modelica models: new approaches and
experimental results using OpenModelica / Braun W., Casella F., Bachmann B. // 12
International Modelica Conference. – Linkoping University Electronic Press, 2017. – С.
557-563.
78. Cash J. R. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with
rapidly varying right-hand sides. / Cash J. R., Karp A. H. // ACM Transactions on
Mathematical Software – Vol.16, № 3 – 1990 – C. 201-222.
79. Press W. H. Numerical recipes in Fortran 77 / Press W. H., Teukolsky S. A.,
Vetterling W. T., Flannery B.P. // Fortran numerical recipes: the art of scientific
computing. – Cambridge university press, 1992. – Vol. 1.
80. Butusov D. Extrapolation Semi-implicit ODE solvers with adaptive timestep /
Butusov D., Tutueva A., Homitskaya E. // 2016 XIX IEEE International Conference on
Soft Computing and Measurements (SCM). – IEEE, 2016. – C. 137-140.
81. Alexandrov V. N. Parallel runs of a large air pollution model on a grid of Sun
computers / Alexandrov V. N., Owczarz W., Thomson P. G., Zlatev Z. // Mathematics
and Computers in Simulation. – 2004. – Vol. 65, №. 6. – С. 557-577.
82. Zlatev Z. Influence of climatic changes on pollution levels in the Balkan
Peninsula / Zlatev Z., Georgiev K., Dimov I. // Computers & Mathematics with
Applications. – 2013. – Vol. 65, №. 3. – С. 544-562.
83. Zlatev Z. Impact of future climatic changes on high ozone levels in European
suburban areas / Zlatev Z. // Climatic Change. – 2010. – Vol. 101, №. 3-4. – С. 447-483.
84. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление / Эльсгольц Л. Э. – Наука, 1969. – Т. 3.
85. Schiesser W. E. The numerical method of lines: integration of partial
differential equations / Schiesser W. E. – Elsevier, 2012.
86. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
/ Камке Э. – М. : Наукa, Главная редакция физико-математической литературы,
1971. – С. 576.
87. Дифференциальные уравнения / Азбелев Н. В. [и др.]. – 1970. – Т. 18. – С.
725-730.
88. Bui T. D. Recent advances in methods for numerical solution of ODE initial
value problems / Bui T. D., Oppenheim A. K., Pratt D. T. // Journal of computational and
applied mathematics. – 1984. – Vol. 11, №. 3. – С. 283-296.
89. Soetaert K. Package deSolve: solving initial value differential equations in R /
Soetaert K., Petzoldt T., Setzer R. W. //Journal of Statistical Software. – 2010. – Vol. 33,
№. 9. – С. 1-25.
90. Eich-Soellner E. Numerical methods in multibody dynamics / Eich-Soellner E.,
Führer C. – Stuttgart : Teubner, 1998. – Т. 45.
91. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators. / Yoshida H.
// Physics letters A. – 1990. – Vol.150. – C. 262–268.
92. Butcher J. C. Numerical methods for ordinary differential equations / Butcher
J. C., Goodwin N. – New York : Wiley, 2008. – Т. 2.
93. БутусовД.Н.Аппаратно-ориентированныечисленныеметоды
интегрирования / Бутусов Д. Н., Каримов А. И., Каримов Т. И. – 2016.
94. Холл Д. Современные численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений / Холл Д., Уатт Д., Горбунов А. Д. (ред.). – Мир,
1979.
95. Engstler C. MUR8: a multirate extension of the eighth-order Dormand-Prince
method / Engstler C., Lubich C. // Applied numerical mathematics. – 1997. – Vol. 25, №.
2-3. – С. 185-192.
96. Steerneman B. J. An efficient semi-implicit time integration method for extra
large eddy simulations : дис. // Steernemen Bert-Jan ; University of Groninge. – Faculty
of Science and Engineering, 2007.
97. Alexander R. Diagonally implicit Runge–Kutta methods for stiff ODE’s /
Alexander R. // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1977. – Vol. 14, №. 6. – С. 1006-
1021.
98. Ullah M. Z. Frozen jacobian iterative method for solving systems of nonlinear
equations: application to nonlinear IVPs and BVPs / Ullah M. Z., Ahmad F., Alshomrani
A. S. [и др.] // Convergence. – 2016. – Vol. 1000. – С. 1.
99. Скворцов Л. М. Явный многошаговый метод численного решения
жесткихдифференциальныхуравнений/СкворцовЛ.М.//Журнал
вычислительной математики и математической физики. – 2007. – Вып. 47, №. 6. –
С. 959-967.
100. Gear C. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations
/ Gear C. W. // Prentice-Hall, Upper Saddle River. – 1971.
101. Белов П. Н. Численные методы прогноза погоды: Учебное пособие. /
Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д. – Гидрометеоиздат, 1989.
102. Ландау Л. Д. Механика / Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. – 5-е изд., стер. –
М. : Физматлит. – 2004.
103. Yoshida H. Recent progress in the theory and application of symplectic
integrators / Yoshida H. // Qualitative and Quantitative Behaviour of Planetary Systems.
– Springer, Dordrecht, 1993. – С. 27-43.
104. Klopfenstein R. W. Numerical stability of a one-evaluation predictor-
corrector algorithm for numerical solution of ordinary differential equations /
Klopfenstein R. W., Millman R. S. // Mathematics of Computation. – 1968. – Vol. 22, №.
103. – С. 557-564.
105. Butusov D. N. New technique to quantify chaotic dynamics based on
differences between semi-implicit integration schemes / Butusov D. N., Pesterev D. O.,
Tutueva A. V. [и др.] // Communications in Nonlinear Science and Numerical
Simulation. – 2020. – Vol. 92. – С. 105467.
106. Nepomuceno E. G. Interval computing periodic orbits of maps using a
piecewise approach / Nepomucenoa E.G., Rodrigues H.M. Jr., Martins S. A. M. [и др.]
// Applied Mathematics and Computation. – 2018. – Vol. 336. – С. 67-75.
107. Stojkovic Z. Computer-aided design in power engineering: Application of
software tools / Stojkovic Z. – Springer Science & Business Media, 2012.
108. Domínguez E. System Solver: an open source tool for mathematically
modelling dynamical systems / Domínguez E., Ardila F., Bustamante S. // Ingeniería e
Investigación. – 2010. – Vol. 30, №. 3. – С. 157-164.
109. Трэвис Д. LabVIEW для всех. / Трэвис Д., Кринг Д. – 4-е изд., перераб. и
доп. – М. : ДМК Пресс. – 2011.
110. Yang L. Hidden attractors, singularly degenerate heteroclinic orbits,
multistability and physical realization of a new 6D hyperchaotic system / Yang L., Yang
Q., Chen G. // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2020.
– Т. 90. – С. 105362.
111. Yang Q. Hidden hyperchaotic attractors in a new 5D system based on chaotic
system with two stable node-foci / Yang Q., Yang L., Ou B. // International Journal of
Bifurcation and Chaos. – 2019. – Vol. 29, №. 07. – С. 1950092.
112. АхмеровР.Р.Численныеметодырешенияобыкновенных
дифференциальных уравнений / Ахмеров Р.Р. – 1994.
113. Gowers T. The Princeton companion to mathematics / Gowers T., Barrow-
Green J., Leader I. [и др.]. – Princeton University Press, 2008.
114. Анищенко В. С. Химерные структуры в ансамблях нелокально
связанных хаотических осцилляторов / Анищенко В. С., Стрелкова Г. И. //
Компьютерные науки и информационные технологии. – 2018. – С. 34-39.
115. Кохан А. П. Эффективность автоматизированного рабочего места:
критерии оценки и методы повышения [Электронный ресурс] – URL :
http://www.belisa.org.by/pdf/PTS2005/213–218.pdf (дата обращения: 31.08.2021).

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на... Читать все

Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на продолжение диссертационной работы... Всегда готов помочь! ;)

#Кандидатские #Магистерские

164 Выполненных работы

Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссе... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

31 Выполненная работа

Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские ди... Читать все

Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские диссертации, курсовые работы средний балл - 4,5). Всегда на связи!

#Кандидатские #Магистерские

138 Выполненных работ

Стаж педагогической деятельности в вузах Москвы 15 лет, автор свыше 140 публикаций (РИНЦ, ВАК). Большой опыт в подготовке дипломных проектов и диссертаций по научной с... Читать все

Стаж педагогической деятельности в вузах Москвы 15 лет, автор свыше 140 публикаций (РИНЦ, ВАК). Большой опыт в подготовке дипломных проектов и диссертаций по научной специальности 12.00.14 административное право, административный процесс.

#Кандидатские #Магистерские

216 Выполненных работ

Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политоло... Читать все

Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политологии.

#Кандидатские #Магистерские

68 Выполненных работ

Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публик... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

1386 Выполненных работ

Преподаватель ВУЗа, опыт выполнения студенческих работ на заказ (от рефератов до диссертаций): 20 лет. Образование высшее . Все заказы выполняются в заранее согласован... Читать все

Преподаватель ВУЗа, опыт выполнения студенческих работ на заказ (от рефератов до диссертаций): 20 лет. Образование высшее . Все заказы выполняются в заранее согласованные сроки и при необходимости дорабатываются по рекомендациям научного руководителя (преподавателя). Буду рада плодотворному и взаимовыгодному сотрудничеству!!! К каждой работе подхожу индивидуально! Всегда готова по любому вопросу договориться с заказчиком! Все работы проверяю на антиплагиат.ру по умолчанию, если в заказе не стоит иное и если это заранее не обговорено!!!

#Кандидатские #Магистерские

21 Выполненная работа

Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - ... Читать все

Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - по социальной работе.

#Кандидатские #Магистерские

260 Выполненных работ