Метод получения явных выражений полиномов на основе степеней производящих функций

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Анализ предметной области . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1. Обзор известных результатов теории специальных полиномов . . 12
1.2. Способы описания специальных полиномов . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Производящие функции полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Выводы по первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава 2. Степени производящих функций и их свойства . . . . . 21
2.1. Коэффициенты степеней производящих функций . . . . . . . . . 21
2.2. Свойства и операции над коэффициентами степеней производя­
щих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Коэффициенты обратных производящих функций . . . . . . . . . 39
2.4. Выводы по второй главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Глава 3. Нахождение явных формул для полиномов на основе
композиции производящих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Определение выражений полиномов на основе композиции про­
изводящих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Полиномы Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Полиномы Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4. Полиномы Гегенбауэра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5. Полиномы Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6. Полиномы Бернулли второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7. Обобщенные полиномы Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8. Полиномы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.9. Обобщенные полиномы Лагерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.10. Обобщенные полиномы Эрмита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.11. Обобщенные полиномы Хумберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.12. Полиномы Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.13. Полиномы Петерса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.14. Полиномы Наруми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.15. Полиномы Лерча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16. Полиномы Махлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.17. Полиномы Мотта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.18. Выводы по третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Приложение А. Акты использования . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1. Разработан новый подход для вычисления коэффициентов степеней про­
изводящих функций, который позволяет определить для них операции сложе­
ния, умножения, композиции и найти формулы для обратных и взаимных про­
изводящих функций.
2. Предлагаемый аппарат оперирования с коэффициентами степеней про­
изводящих функций позволил получить новые явные формулы для ряда клас­
сических специальных полиномов (Чебышева, Лежандра, Абеля и др.) и неко­
торых их обобщений.
3. Найдены обобщения полиномов Мотта и явная формула для их представ­
ления. Кроме того, доказаны новые тождества для полиномов Мотта и Бернул­
ли и дано новое доказательство тождества Теппера.
4. Создана библиотека для системы компьютерной алгебры «Maxima», ре­
ализующая основные операции над коэффициентами степеней производящих
функций. Результаты диссертации внедрены в учебный процесс ТУСУРа: в
практические занятия по дисциплинам «Дискретная математика» и «Матема­
тический анализ».

1. Кручинин В. В., Кручинин Д. В. Степени производящих функций и их
применение. Томск: Изд-во ТУСУР, 2013. 236 с.
2. Kruchinin V. V., Kruchinin D. V. Composita and its properties // Journal of
Analysis and Number Theory. 2014. Vol. 2(2). P. 1–8.
3. Kruchinin D. V., Kruchinin V. V. A method for obtaining generating function
for central coefficients of triangles // Journal of Integer Sequences. 2012. Vol. 15.
P. 1–10.
4. Kruchinin D. V. On solving some functional equations // Advances in Difference
Equations. 2015. Vol. 17. P. 1–7.
5. Кручинин Д. В. О свойствах коэффициентов суперпозиции некоторых
производящих функций // Прикладная дискретная математика.2012.
Т. 1(15). С. 55–59.
6. Кручинин Д. В., Кручинин В. В. Метод построения алгоритмов проверки
простоты натуральных чисел для задач защиты информации // Доклады
ТУСУРа. 2011. Т. 2(24). С. 247–251.
7. КручининД.В.Методпостроениярекуррентныхвероятностных
генераторов простых чисел // Доклады ТУСУРа.2012.Т. 1(25).
С. 131–135.
8. Kruchinin D. V., Kruchinin V. V. A method for obtaining expressions for poly­
nomials based on a composition of generating functions // Numerical Analysis
and Applied Mathematics ICNAAM 2012. AIP Conf. Proc. 2012. Vol. 1479.
P. 383–386.
9. Kruchinin D. V., Kruchinin V. V. Application of a composition of generating
functions for obtaining explicit formulas of polynomials // Journal of Mathe­
matical Analysis and Applications. 2013. Vol. 404. P. 161–171.
10. Kruchinin D. V., Kruchinin V. V. Explicit formulas for some generalized poly­
nomials // Appl. Math. Inf. Sci. 2013. Vol. 7(5). P. 2083–2088.
11. Kruchinin D. V. Explicit formula for generalized Mott polynomials // Advanced
Studies in Contemporary Mathematics. 2014. Vol. 24 (3). P. 327–332.
12. Кручинин Д. В., Кручинин В. В., Шелупанов А. А. Коэффициенты степе­
ней производящих функций и их приложение к решению задач дискретной
математики // Дискретная математика, теория графов и их приложения:
Тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, 11 – 14 ноября 2013 г. Мн.: Ин­
ститут математики НАН Беларуси, 2013. С. 57.
13. Кручинин Д. В., Кручинин В. В. Тождества на основе производящей функ­
ции для полиномов Бернулли // Всероссийская конференция по математике
и механике, посвященная 135-летию Томского государственного универ- си­
тета и 65-летию механико-математического факультета: Сборник тезисов.
Томск: Изд-во «Иван Федоров», 2013. 244 с.
14. Сеге Г. Ортогональные многочлены. Перевод с английского В. С. Виден­
ского, Государственное издательство физико-математической литературы,
1962.
15. Bateman Project Staff. Higher transcendental fucntions. Vol. 1 / Ed. by
A. Erdélyi. New York: McGraw-Hill Book Co., 1953. 302 p.
16. Bateman Project Staff. Higher transcendental fucntions. Vol. 2 / Ed. by
A. Erdélyi. New York: McGraw-Hill Book Co., 1953. 396 p.
17. Bateman Project Staff. Higher transcendental fucntions. Vol. 3 / Ed. by
A. Erdélyi. New York: McGraw-Hill Book Co., 1955. 292 p.
18. Boas Jr. R. P., Buck R. C. Polynomial expansions of analytic functions. Springer
Berlin Heidelberg, 1964. 77 p.
19. Геронимус Я. Л. Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений
отечественной математики. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 164 c.
20. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: ГИТТЛ, 1953.
С. 358 c.
21. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, Физ­
матлит, 1979. 416 с.
22. Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2003. 336 с.
23. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2004. 144 с.
24. Knuth D. E. The art of computer programming, Volume 1. Fundamental algo­
rithms. Addison-Wesley, 1998. 784 p.
25. Эндрюс Д. Теория разбиений. Перевод с английского Б. С. Стечкина, М.:
Наука, 1982. 256 с.
26. Riordan J. An introduction to combinatorial analysis. Princeton University
Press, 1958. 256 p.
27. Comtet L. Advanced combinatorics; the art of finite and infinite expansions. D.
Reidel Publ. Co., 1974. 343 p.
28. Wilf H. S. Generatingfunctionology. Boston, MA: Academic Press, 1994. 226 p.
29. Stanley R. P. Enumerative combinatorics. Vol. 1. Cambridge University Press,
2012. 640 p.
30. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функ­
ции и симметрические функции / Под ред. А. Вершика. М.: Мир, 2005.
767 с.
31. Flajolet P., Sedgewick R. Analytic сombinatorics. Cambridge University Press,
2009. 810 p.
32. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. 328 c.
33. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных
сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 285 с.
34. Сачков В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики.
М.: Наука, 1982. 384 с.
35. Srivastava H. M., Manocha H. L. A treatise on generating functions. Ellis Hor­
wood Limited, 1984. 569 p.
36. Rassias T. M., Srivastava H. M., Yanushauskas A. Topics in polynomials of one
and several variables and their applications: a legacy of P.L. Chebyshev. World
Scientific Publishing Company, 1993. 638 p.
37. Srivastava H. M. Some generalizations and basic (or -) extensions of the
Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials // Applied Mathematics and In­
formation Sciences. 2011. Vol. 5. P. 390–444.
38. Srivastava H. M., Choi J. Zeta and -zeta functions and associated series and
integrals. Elsevier Science Publishers, 2012.
39. Ozden H., Simsek Y., Srivastava H. M. A unified presentation of the generat­
ing functions of the generalized Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials //
Computers and Mathematics with Applications. 2010. Vol. 60. P. 2779–2787.
40. Simsek Y., Acikgoz M. A new generating function of (q-) Bernstein-type polyno­
mials and their interpolation function // Abstract and Applied Analysis. 2010.
41. Simsek Y. Complete sum of products of (h,q)-extension of Euler polynomials
and numbers // Journal of Difference Equations and Applications. 2010. Vol.
16(11). P. 1331–1348.
42. Dere R., Simsek Y. Applications of umbral algebra to some special polyno­
mials // Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 2012. Vol. 22.
P. 433–438.
43. Simsek Y. Generating functions for generalized Stirling type numbers, array
type polynomials, Eulerian type polynomials and their applications // Fixed
Point Theory and Applications. 2013. Vol. 2013.
44. Kim T. q-Generalized Euler numbers and polynomials // Russian Journal of
Mathematical Physics. 2006. Vol. 13. P. 293–298.
45. Bayad A., Kim T. Identities for the Bernoulli, the Euler and the Genocchi
numbers and polynomials // Advanced Studies in Contemporary Mathematics.
2010. Vol. 20(2). P. 247–253.
46. Srivastava H. M., Kurt B., Simsek Y. Some families of Genocchi type poly­
nomials and their interpolation functions // Integral Transforms and Special
Functions. 2012. Vol. 23. P. 919–938.
47. El-Mikkawy M., Atlan F. Derivation of identities involving some special poly­
nomials and numbers via generating functions with applications // Applied
Mathematics and Computation. 2013. Vol. 220. P. 518–535.
48. Rainville E. D. Special functions. Chelsea Publ. Co. New York, 1971.
49. McBride E. B. Obtaining generating functions. Springer-Verlag, New York,
1971.
50. Manocha H. L. Generating functions for Jacobi and Laguerre polynomials //
Mat. Vestnik. 1974. Vol. 11(26). P. 43–47.
51. Bell E. T. The history of Blissard’s symbolic method, with a sketch of its inven­
tor’s Life // The American Mathematical Monthly. 1938. Vol. 45. P. 414–421.
52. Guinand A. The umbral method: a survey of elementary mnemonic and manipu­
lative uses // The American Mathematical Monthly. 1979. Vol. 86. P. 187–195.
53. Roman S. The umbral calculus. Academic press, 1984.
54. Rota G.-C., Kahaner D., Odlyzko A. On the foundations of combinatorial theory
VII. Finite Operator Calculus // Journal of Mathematical Analysis and its
Applications. 1973. Vol. 42. P. 684–760.
55. Roman S., Rota G.-C. The umbral valculus // Advances in Mathematics. 1978.
Vol. 27. P. 95–188.
56. Di Bucchianico A., Loeb D. A selected survey of umbral calculus // The Elec­
tronic Journal of Combinatorics. 2000. P. 1–34.
57. Srivastava H. M., Todorov P. G. An explicit formula for the generalized Bernoulli
polynomials // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. 1988.
Vol. 130. P. 509–513.
58. Srivastava H. M., Guo-Dong Liu. Explicit formulas for the Norlund polynomials
( )( )
and // Computers and Mathematics with Applications. 2006. Vol. 51.
P. 1377–1384.
59. Boyadzhiev K. N. Derivative polynomials for Tanh, Tan, Sech and Sec in explicit
form // Fibonacci Quarterly. 2007. Vol. 45. P. 291–303.
60. Cenkci M. An explicit formula for generalized potential polynomials and its
applications // Discrete Mathematics. 2009. Vol. 309. P. 1498–1510.
61. Эйлер Л. On the expansion of the power of any polynomial 1 + x + x2 + x3
+ x4 + etc.) // Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae.
1801. Т. 12. С. 47–57.
62. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. т. 1: начала теории. М.:
Наука, 1967. 486 с.
63. Shapiro L. W., Getu S., Woan W.-J., Woodson L. The Riordan group // Discrete
Applied Math. 1991. Vol. 229.
64. Shapiro L. W. Bijections and the Riordan group // Theoretical Computer Sci­
ence. 2003. Vol. 307. P. 403–413.
65. Sprugnoli R. Riordan arrays and combinatorial sums // Discrete Mathematics.
1994. Vol. 132. P. 267–290.
66. He T.-X., Sprugnoli R. Sequence characterization of Riordan arrays // Discrete
Mathematics. 2009. Vol. 309. P. 3962–3974.
67. Кузьмин О. В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новоси­
бирск: Наука, Сиб. изд. фирма РАН, 2000. 294 c.
68. Sloane J. A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Published elec­
tronically at http://oeis.org/. 2014. URL: www.oeis.org.
69. Merlini D., Sprugnoli R., Verri M. C. Lagrange inversion: when and how // Acta
Appl Math. 2006. Vol. 94. P. 233–249.
70. Chebyshev P. L. Theorie des mecanismes connus sous le nom de parallelo­
grammes // Memoires des Savants etrangers presentes a l’Academie de Sain­
t-Petersbourg. 1854. Vol. 7. P. 539–586.
71. Gil A., Segura J., Temme N. M. Numerical methods for special functions. Society
for Industrial and Applied Mathematics, 2007.
72. Bailey W. N. Generalised hypergeometric series. Cambridge University Press,
1935.
73. Stein E., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Prince­
ton University Press, 1971.
74. Gatteschi L. Funzioni speciali. Unione Tipografico—Editrice Torinese (UTET),
1973.
75. Papp F. J. Another proof of Tepper’s inequality // Math. Magazine. 1972.
Vol. 45. P. 119–121.
76. Sonine N. J. Sur les fonctions cylindriques et le developpement des fonctions
continues en series // Math. Ann. 1880. Vol. 16. P. 1–80.
77. Погорелов В. И., Татарский В. И. Еще одна формула, определяющая
полиномы Лагерра // Математические заметки. 1969. Т. 6(3). С. 278–288.
78. Dodonov V. V. Asymptotic formulae for two-variable Hermite polynomials //
Phys. A Math. Gen. 1994. Vol. 27. P. 6191–6203.
79. Dattoli G., Lorenzutta S., Maino G., Torre A. Phase-space dynamics and Her­
mite polynomials of two variables and two indices // J. Math. Phys. 1994. Vol.
35(9). P. 4451–4462.
80. Dattoli G., Lorenzutta S., Maino G. et al. Generalized Hermite polynomials and
super-Gaussian forms // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 203. P. 597–609.
81. Dattoli G. Summation formulae of special functions and multivariable Hermite
polynomials // Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis. B. 2004. Vol. 119(5). P. 479–488.
82. Subuhi Khan, Pathan M. A., Nader Ali Makboul Hassan, Yasmin G. Implicit
summation formulae for Hermite and related polynomials // J. Math. Anal.
Appl. 2008. Vol. 344. P. 408–416.
83. Subuhi Khan, Mustafa Walid Al-Saad. Summation formulae for Gould–Hopper
generalized Hermite polynomials // Computers Math. Applic. 2011. Vol. 61.
P. 1536–1541.
84. Brafman F. Some generating functions for Laguerre and Hermite polynomials //
Canad. J . Math. 1957. Vol. 9. P. 180–187.
85. Gould H. W., Hopper A. T. Operational formulas connected with two general­
izations of Hermite polynomials // Duke Math. J. 1962. Vol. 29(1). P. 51–63.
86. Lahiri M. On a generalisation of Hermite polynomials // Proc. Amer. Math.
Soc. 1971. Vol. 27. P. 117–121.
87. Dattoli G., Chiccoli C., Lorenzutta S. et al. Theory of generalized Hermite
polynomials // Computers Math. Applic. 1994. Vol. 28(4). P. 71–83.
88. Gould H. W. Inverse series relations and other expansions involving Humbert
polynomials // Duke Math. J. 1965. Vol. 32(4). P. 697–711.
89. Peters G. O. Boole polynomials of higher and negative orders // Bulletin of the
A. M. S. 1956. Vol. 62(1). P. 7.
90. Bateman H. Polynomials associated with those of Lerch // Monatshefte fur
Mathematik und Physik. 1936. Vol. 41(1). P. 75–80.
91. Mott N. F. The polarisation of electrons by double scattering // Proc. R. Soc.
Lond. A. 1932. Vol. 135. P. 429–458.
92. WeissteinE.W.Mathworld.Публикуетсяонлайнна
http://mathworld.wolfram.com/. 2014. URL: www.mathworld.wolfram.com.