Методика построения экстремалей Понтрягина в задачах сквозной траекторной оптимизации межпланетных перелётов с учётом планетоцентрических участков

Во всех главах последовательно приводятся постановки задачи, их
формализация, разработанная методика решения, подробно рассматрива­
ются вычислительные аспекты, исследуется вопрос построения начального
приближения, приводятся данные полученных конкретных экстремалей, в
том числе в первой, третьей, четвёртой, пятой главах – численно постро­
енных экстремалей с комбинированной кусочно-непрерывной тягой.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования,
проводится литературный обзор методов оптимизации межпланетных
траекторий, аргументируется научная новизна, характеризуется разраба­
тываемая методика, приводится краткое содержание работы.
В первой главе рассматривается экспедиция с безвитковым подлё­
том к Фобосу с учётом эфемерид, с управлением КА кусочно-непрерывной
ограниченной БТ и МТ, с возвратом к Земле. На рис. 1 приведена схема
первой части экспедиции. Зелёным цветом выделен 1-й участок использо­
вания геоцентрической СК, синим — 2-й барицентрической, красным —
3-й марсоцентрической при подлёте к Марсу.
Перелёт начинается с 2020 по
2030 г. В первой части миссии (за­
дача перелёта „вперёд“ ) КА стартует
в момент времени 0 с круговой ор­
биты искусственного спутника Земли
(ОИСЗ), соответствующей выведению
с Байконура с фиксированным углом
наклона к экватору 51.6∘ , высотой 200
км и свободными долготой восходя­
щего узла Ω0 и положением КА на
орбите 0 . Затем КА прилетает на Фо­
бос в момент 1 и добывает пробы
грунта. Продолжительность пребыва­
ния КА на Фобосе составляет не менее Рис. 1: Схема перелёта от Земли к
30 дней. Во второй части миссии (за­Марсу. На разных участках
дача перелёта „назад“ ) КА в момент 2траектории движение КА
стартует обратно к Земле, перелёт рас­ рассматривается в различных СК.
сматривается сначала в марсоцентрической, затем в барицентрической СК.
Общая продолжительность экспедиции ограничена 1500 днями. Положе­
ния Земли, Марса и Солнца соответствуют эфемеридам DE424, Фобоса —
MAR097. Для учёта эфемерид автором был разработан и реализован про­
граммный комплекс на языке С, с интегрированным пакетом NASA SPICE.
Гравитационные поля Солнца, Земли и Марса считаются центральными
ньютоновскими. Поле притяжения Земли учитывается только в первой
части миссии. Предполагается, что в конечный момент времени 3 КА
тормозится об атмосферу Земли. Угловое положение КА на исходной стар­
товой орбите, моменты старта и финиша оптимизируются.
Всюду в работе предполагается, что КА и Фобос представляют собой
непритягивающие материальные точки. Их координаты и скорости в конеч­
ный момент первой части и начальный момент второй части совпадают.
КА последовательно управляется четырьмя разными ДУ: ДУ БТ
Фрегат осуществляет разгон КА у Земли; затем на протяжении перелё­
та к Марсу может работать ДУ МТ, представленная СПД–230, с тягой
вблизи Марса в два раза меньшей тяги у Земли; торможение у Марса осу­
ществляется ДУ БТ перелётного модуля (ПМ); разгон у Марса при старте
обратно к Земле осуществляется при помощи ДУ БТ возвращаемого аппа­
рата (ВА). В первой части миссии после отработки каждой очередной ДУ
она сбрасывается. Управление осуществляется величиной и направлением
вектора реактивной тяги.
Обозначим компонентывекторов положения и скорости КА за , ,
2 + 2 — расстояния от КА до центра тела
и , , ; = 2 +
√︀

, т.е. Земли, Солнца и Марса соответственно на каждом из участков.
Системы дифференциальных уравнений управляемого движения центра
масс КА на каждом из пяти участков траектории имеют вид:

⎧∑︁
⎪ ˙ = , ˙ = − −
⎪ 3 +cos cos ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎨∑︁
˙ = , ˙ = − − 3 +sin cos ,

⎪
⎪
⎪

⎪
⎪∑︁
⎪ ˙ = , ˙ = − −˙ =− ,
⎪
⎪ 3 +sin ,
⎩

где , , — компоненты вектора ускорения рассматриваемой
неинерциальной СК; ( ) ≡ ( ) / 0 — обезразмеренная, ( ) — абсо­
лютная масса КА, 0 ≡ ( 0 ); ( ) — модуль вектора ускорения за счёт
реактивной тяги, изменяющийся в пределах от 0 до ≡ ДУ / 0 , ДУ
— тяга ДУ; и — углы, определяющие направление вектора тяги; —
гравитационный параметр притягивающего центра; — скорость истече­
ния реактивной струи ДУ, соответствующей текущему моменту перелёта.
Отлёт от Земли и подлёт и отлёт от Марса предполагаются безвит­
ковыми, реализующимися за одно включение двигателей БТ. Моменты
включения, выключения ДУ МТ и ДУ ВА оптимизируются, а ДУ Фре­
гат и ДУ ПМ заданы продолжительностями их работы, являющимися
параметрамизадачи. )︁Максимизируется конечная масса: к = 0 −
∑︀ (︁ ДУ ·Δ ДУ
ДУСДУ + ДУ −→ max , где ДУ — скорость истечения реак­
тивной струи ДУ, ∆ ДУ — суммарное время работы соответствующей ДУ,
ДУ — её сухая масса.
Рис. 2: Изменение массы. От времени 0 до Ф , МТ до 1 , 2 до 2 +∆ДУ ВА
чёрные линии показывают уменьшение массы за счёт работы ДУ БТ: Фрегата,
ПМ и ВА соответственно. Красным в моменты времени Ф , МТ , 1 , 2 , 3
показан сброс ДУ Фрегат, ДУ МТ, ДУ ПМ, ПМ и ДУ ВА. Зелёным отмечены
участки работы ДУ МТ от Ф до 1 и от 2 до МТ . Синим показаны пассивные
участки траектории перелёта. Время отсчитывается в днях от 1 января 2000.
Производитсясквозная
оптимизация траектории всей
экспедиции по параметрам за­
дачи.Задачакосмодинамики
анализируется на основе принци­
па максимума Понтрягина для
оптимального управления совокуп­
ностью динамических систем, т.к.
вид дифференциальных связей ме­
няется в зависимости от участка
траектории. Полученная в резуль­
тате 9-точечная краевая задача
70-го порядка нелинейна и реша­
лась численно с подбором 21-го
Рис. 3: Проекция траектории
параметра пристрелки со счётом
экспедиции на плоскость эклиптики
вперёд и назад во времени. Счёт
OXY. Три жирныечёрные точки —
ускорялся аппроксимацией пара­
области работы ДУ БТ, две зелёные
метров пристрелки. Изменение
сплошныелинии — работа ДУ МТ, три
массы КА на одной из полученных
синие пунктирныелинии — пассивные
траекторий приведено на рис. 2,
участки, коротким пунктиром
проекция на плоскость эклиптики
показаны орбиты Земли и Марса.
— на рис. 3. В случае времени работы ДУ МТ 159.5 дней, масса КА у
Фобоса составляет 1194 кг, выигрыш от использования комбинированной
тяги по сравнению с миссией без МТ составит 158.9 кг при стартовой
массе КА 10000 кг.
В данной главе разработана методика построения экстремалей в за­
дачах космодинамики с проведением сквозной оптимизации всей миссии.
Приводятся числовые характеристики конкретной экстремали, позволяю­
щие повторить расчёты, проведённые в работе. Представленные результа­
ты позволяют судить о целесообразности использования комбинированного
управления КА при помощи ДУ БТ и МТ в экспедиции к Фобосу. Реше­
ние описанной задачи космодинамики требует синтеза методов локальной
и многоэкстремальной оптимизации. Основная трудность заключается в
необходимости построения хорошего начального приближения. Для этого
во 2 и 3 главах рассматривается аппроксимация миссии серией задач Лам­
берта, затем задача решается на основе принципа Лагранжа и, наконец, на
основе принципа максимума с управлением импульсами и МТ. Основные
результаты данной главы опубликованы в работах [1, 6].

Во второй главе рассматривается упро­
щённая импульсная постановка с учётом
одного притягивающего центра на каждом
участке траектории. Для решения задачи пер­
вой главы в сложной, громоздкой постановке
требуется хорошее начальное приближение.
Основная идея предлагаемой методики —
„лестницы задач“ состоит в следующем. Сна­
чала формулируется основная задача в самой
интересной, но трудной постановке — верхняя,
последняя ступень лестницы. Задача первой
главы при таком подходе будет верхней 8-й
ступенью лестницы. Затем строится цепочка Рис. 4: Комбинация задач
вспомогательных задач, такая, что задача пер­Ламберта.
вой ступени лестницы является прототипом
основной задачи в сильно упрощённой постановке, её решение не представ­
ляет вычислительных трудностей или может быть найдено аналитически.
Задачи промежуточных ступеней постепенно позволяют перейти от самой
простой задачи к самой сложной. При этом задачи подбираются таким
образом, чтобы они были в каком-то смысле близки и решение задачи
текущей ступени являлось хорошим начальным приближением для следу­
ющей ступени. На каждой ступени производится продолжение решения по
одному или нескольким параметрам, например, по величинам импульсов,
временам старта и финиша КА, гравитационным параметрам планет.

В данной главе рассматриваются первые пять ступеней лестницы. На
первой ступени находятся траектории перехода между Землёй и Марсом
без учёта их притяжения. На второй — траектории экспедиции к Марсу
и обратно. На третьей — траектории с учётом притяжения Солнца и Зем­
ли. На четвёртой — траектории с учётом притяжения Солнца, Земли и
Марса, рассматриваемые как комбинации задач Ламберта. На пятой — та­
кие же траектории, как и на четвёртой ступени, но уже рассматриваемые
на основе принципа Лагранжа. По мере движения вверх по лестнице рас­
тёт сложность задач и количество параметров оптимизации. Функционалы
этих задач имеют вид минимизации суммы импульсов: = ∆ −→ inf .
∑︀

Решение задач Ламберта в работе основано на модифицированной
методике, использующей универсальное уравнение Кеплера, и градиент­
ных методах. В работе [7] приведено полноценное исследование задачи 4-й
ступени лестницы — исходной задачи гл. 1, приближённой комбинацией
восьми задач Ламберта (см. рис. 4).

Рис. 5: Пертурбационный манёвр у Луны. S — Солнце, E — Земля, M — Марс.
Рассмотрена возможность совершения пертурбационного манёвра у
Луны (см. рис. 5). Всего на такой траектории, состоящей из 4 частей, имеем
11 параметров оптимизации: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0 , Ω0 , 1 , 1 , 2 , 2 , задающих
положения точек 1–5 и время прохождения КА через них. В результате
расчётов на лучшей траектории импульс у Земли ∆ = 3.45 км/с, импульс
у Луны ∆1 = 0 км/с, у Марса — ∆ =1.95 км/с. Выигрыш от совершения
пертурбационного манёвра при этом составляет 148 м/с по характеристи­
ческой скорости по сравнению с экспедицией без манёвра у Луны.
В данной главе най­
дены абсолютные миниму­
мы манёвров от Земли к
Марсу и от Марса к Зем­
ле. Проведена глобальная
оптимизация и построены
окна старта (см. рис. 6). Ха­Рис. 6: Функционал (от времени старта).
рактеристики найденных траекторий перелёта к Марсу сравниваются с
данными из работ других авторов. Проверены условия второго порядка
на найденных решениях. Применение теоремы Брэквелла для нахождения
значений сопряжённых переменных позволяет получить необходимые дан­
ные для дальнейшего исследования задачи на основе принципа Лагранжа
в гл. 3. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [3, 7].
В третьей главе рассматриваются задачи многих тел на основе
принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — шестая и
седьмая ступени лестницы. На шестой ступени анализируется задача с
учётом притяжения рассматриваемых планет и Солнца на каждом участ­
ке траектории в импульсной постановке. На седьмой исследуется задача с
управлением КА двигателями МТ и импульсными воздействиями, аппрок­
симирующими работу БТ или только кусочно-непрерывной БТ.
Максимизируется доставляемаяк Фобосу масса:
МТМТ
[︂(︂)︂]︂
Δ
−
Фрегат · ∆ −
Δ

0 · − Фрегат −+ МТ· ДУПМ − ДУПМ .
МТ
В случае импульсной постановки задачи неизвестным управлением
является конечное число величин: моменты приложения импульсов, их ве­
личина и направление. Принципиальное отличие задачи с МТ в том, что
искомое управление становится кусочно-непрерывной функцией, которую
необходимо определять уже в каждой точке траектории.
На рис. 7 представле­
на зависимость функциона­
ла — конечной массы от
величины импульсов ∆ и
∆ . На оси абсцисс 100%
соответствует импульсному
решению без малой тяги,
при этом ∆ = 3.65 км/с,
∆ = 2.00 км/с. Да­
лее ∆ и ∆ равномерно
уменьшаются с постоянным
соотношением между шага­
ми изменения импульсов уРис. 7: Изменение массы при увеличении
Земли и Марса, до значе­продолжительности работы ДУ МТ.
ний 3.22 км/с и 0.87 км/с
соответственно. Это минимальные необходимые для безвиткового ухода
от Земли и подлета к Фобосу величины импульсов, при дальнейшем их
уменьшении возникнут дополнительные полные обороты КА у Земли и
Марса, которые в работе не рассматривались. При уменьшении ∆ и ∆
продолжительность участков с малой тягой увеличивается. Проценты на
горизонтальной оси отсчитываются по величине ∆ относительно исходно­
го значения 3.65 км/с. Жирная точка соответствует импульсному решению
без учёта массы МТ , функционал при этом составляет имп = 1332.6 кг.
Выигрыш по функционалу при оценке массы МТ от 500 кг до 300 кг
составляет от 19% до 30%, значение функционала при этом меняется от
1590.3 до 1736.8 кг. Данное исследование позволяет судить о целесообраз­
ности оснащения КА ДУ МТ в будущих миссиях.
Между вертикальными пунктирными линиями на рис. 7 находится
область, соответствующая трём активным участкам на траекториях, а вне
неё — двум. Гладко продолжить решение при переходе через вертикальную
пунктирную линую нельзя, так как в этот момент происходит перестрой­
ка структуры траектории и не существует производная вектор-функции
невязок по параметрам пристрелки. В работе этот момент преодолевался
введением штрафа на схлопывание возникающего промежуточного актив­
ного участка работы ДУ МТ и продолжением по величине тяги на нём.
Решение задачи в такой постановке является удовлетворительным
начальным приближением для решения исходной задачи гл. 1.
В четвёртой главе рассматривается задача оптимизации управления
КА при трёхимпульсном подлёте к Фобосу. Применялась разработанная ме­
тодика построения лестницы задач. Задача в импульсной постановке была
формализована различными способами. Сначала была построена комбина­
ция траекторий, являющихся решениями задач Ламберта, реализующая
необходимые перелёты к Фобосу и обратно к Земле. При этом рассматри­
вается следующая схема подлёта к Фобосу (см. рис. 8).
Для посадки на спутник Марса
вначале даётся тормозной импульс по
направлению скорости КА в точке 2
– перицентре траектории на фиксиро­
ванном небольшом расстоянии от
поверхности Марса в плоскости Фо­
боса. Этот импульс необходим для
выхода на сферу Хилла Марса. На сфе­
ре Хилла в точке 3 даётся импульс,
необходимый для подъёма перицен­
тра орбиты и поворота до плоскости
Фобоса. Точка 3 находится на пересече­
нии подлётной плоскости и плоскостиРис. 8: Схема трёхимпульсного
Фобоса . Далее в точке 4 даёт­подлёта к Фобосу.
ся тормозной импульс по скорости,
необходимый для выравнивая скорости КА со скоростью Фобоса. Для по­
падания в точку 4 решается задача фазировки. Перелёты КА из точки 2 в
3 и из 3 в 4 считаются гомановскими, соответствующие им импульсы вы­
числяются аналитически. Тем самым вектор скорости КА поворачивается
в точке 3, на что затрачивается существенно меньше характеристической
скорости по сравнению с прямой схемой подлёта, предполагающей пово­
рот в точке 4 сразу после точки 1.
Затем задача исследовалась на основе принципа Лагранжа и её
решение сводилось к краевой задаче, которая решалась численно мето­
дом многоточечной пристрелки. Результаты расчётов использовались в
качестве начального приближения для анализа задачи в более точной
постановке с добавлением управления КА вектором реактивной МТ. Рас­
сматривалась различная формализация условий подлёта к Фобосу. Для
ускорения счёта орбита Фобоса в том числе аппроксимировалась его сред­
ней орбитой. Условия окончания счёта в т. 2, находящейся на линии узлов
подлётной траектории и плоскости Фобоса, в перицентре подлётной орби­
ты КА на расстоянии от поверхности Марса задавались следующими
соотношениями: ( , , ) ∈ , 2 + 2 + 2 = ( + ) , −
2 → −
· v→
= 0.
→
−
При заданной нормали к средней орбите Фобоса Φ = ( Φ , Φ , Φ ) первое
условие может быть расписано следующим образом: Φ 3 ( ) + Φ 3 ( ) +
Φ 3 ( ) = 0. При этом численные расчёты заканчивались в точке 2, далее
функционал и траектория рассчитывались аналитически.
Если внутри сферы действия или Хилла Марса учитывать притяже­
ние только Марса, то численные расчёты могут быть остановлены в момент
времени 1 в т. 1. Для этого сначала задача с остановкой в т. 2 была реа­
−−→
лизована через условия на вектор Лапласа орбиты КА ΛКА и вектор − →
Φ.
−−→ − →
Запишем условия: ΛКА · Φ = 0, радиус перицентра Π = + , =
+ . Первые два условия должны выполняться на всей подлётной
траектории вблизи Марса. А последнее условие этой системы позволяет
задавать точку остановки вычислений и используется для продолжения
траектории по параметру при задании различных значений ⩾ .
Сначала задача рассматривалась с функционалом — суммой импуль­
сов задачи. Затем так как около Земли и Марса используются разные
ДУ со скоростями истечения 1 , 2 , и с учётом аналитического пересчё­
та последних импульсов в константы, функционал записывался в виде:
−
|→
v ( 1 )|
Δ0
1 + 2−→ inf . При переходе от завершения расчётов в т. 2 к завер­
шению расчётов в т. 1 функционал√︂
может быть пересчитан по методике
−
→
(︁)︁
v 2 ( 1 )+2 Π− 1
точечных сфер действия: Δ−→ inf , где —

1 +
2
радиус сферы Хилла Марса.
В итоге на основе полученного из импульсного случая начально­
го приближения удалось построить экстремали Понтрягина в задаче с
МТ, аналогичной рассмотренной в гл. 3, но с выгодным трёхимпульсным
подлётом к Фобосу. При этом был осуществлён переход от оптимиза­
ции функционала, представляющего сумму импульсов с весами, к задаче
максимизации конечной массы⃒√︃
с учётом трат ⃒ топлива ДУ МТ: 1 −
−vA ⃒
⃒(︂)︂⃒
−⃒ →
⃒ −21 − 1
v ( 1 )+2
⃒
Π

− ДУ ПМ , где v — сум­
⃒⃒
ДУ ПМ
( 1 , ∆ , ∆ , ) · 0A
ма вычисляемой аналитически скорости КА в перицентре подлётной к
Марсу траектории, необходимой для осуществления первого гомановского
перелёта, и последних двух импульсных воздействий в задаче на сфе­
ре Хилла и орбите сопровождения Фобоса. Были построены экстремали
Понтрягина, полученные результаты позволяют судить о целесообразно­
сти осуществления трёхимпульсного маневра при подлёте к Фобосу.
Также в данной главе описан метод
фазировки КА с Фобосом, заключаю­
щийся в фиксации удобного положения
Фобоса так, как будто Фобос перестал вра­
щаться вокруг Марса и замер в одном
угловом положении. Это позволяет сколь­
зить по огибающей кривой, изображенной
на рис. 9. Тогда при продолжении по
параметру нет привязки к дискретному на­
бору локальных минимумов и можно легко
попасть в точку 7 рис. 9, после чего опять
же по огибающей продолжить траекторию
до ближайшего локального минимума по
положению Фобоса из эфемерид.
В пятой главе рассматривается во­Рис. 9: Фазировка КА с
прос выигрыша многовиткового подлёта
Фобосом.
КА к Фобосу за счёт уменьшения времени
работы ДУ БТ вблизи Марса в экспедиции
в круговой трёхмерной постановке зада­
чи наискорейшего перелёта. Пусть rE , rS и
rM — расстояние от КА до Земли, Солн­
ца и Марса соответственно; RSE = 1 а.е.
— среднее расстояние от Земли до Солнца,
RSM = 1.5236878 а.е. — среднее расстояние
от Марса до Солнца; − →−→
E и M — угло­
вые скорости вращения Земли и Марса
вокруг Солнца. Тогда следующие системы
дифференциальных уравнений описывают
скорость ускорение центра масс КА и
изменение массы во вращающихся СК, свя­ Рис. 10: Многовитковый подлёт
занных с Землёй и Марсом:к Марсу, ∆ = 0 км/с, 66
витков в марсоцентрической
СК.
⎧

⎪˙ =− ,
˙ = , ˙ = , ˙ = ,

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ˙ = − S − B + sin ,
⎪
⎪
⎪
r3Sr3B
⎪
⎨
S B
˙ = − 3 ( + RSB ) − 3 + B 2 ( + RSB ) + 2 B +cos cos ,
⎪
⎪
rSrB
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ ˙ = − S − B + B 2 − 2 B + sin cos .
⎪
⎪
⎪
⎪
r3Sr3B
Задача была проанализирована на основе принципа максимума, её
решение свелось к решению краевой задачи 42-го порядка, которая была
решена численно методом стрельбы. Для нахождения начального прибли­
жения была построена лестница из семи задач, последняя траектория
продолжалась по 8 параметрам. В результате получилось, что на тормоз­
ной манёвр у Марса за счёт только ДУ БТ тратится 20% массы КА.
Использование же лишь ДУ МТ для торможения позволяет сэкономить
15% массы (см. рис. 10). Аналогичный 19-витковый манёвр был построен
около естественного спутника Марса Деймоса. Основные результаты дан­
ной главы опубликованы в [4].
В заключении приводятся основные результаты диссертационной
работы, обосновывается достоверность полученных результатов.

Основные результаты

1. Поставлена трёхмерная космодинамическая задача сквозной оптими­
зации траектории межпланетного перелёта КА с единым функционалом,
подробным рассмотрением планетоцентрических участков без использо­
вания грависфер нулевой протяжённости, с комбинированной тягой и
фазировкой.
2. Предложена методика решения многоэкстремальных задач оптими­
зации траекторий межпланетных перелётов с возвратом к Земле, с учётом
эфемерид, с жёсткой фазировкой, ограниченной комбинированной боль­
шой и малой кусочно-непрерывной тягой, включающая решение серии
вспомогательных задач в упрощённой постановке и продолжение решения
по параметру.
3. Разработаны численные методы решения краевых задач принципа
максимума, возникающих при управлении совокупностью динамических
систем, с учётом эффекта потери точности и перестройки структуры
траектории при изменении количества активных участков во время про­
должения решения по параметру.
4. Для построения начального приближения значений параметров при­
стрелки метода стрельбы, необходимого для поиска области нахождения
глобально оптимального решения, и значений сопряжённых переменных,
требующихся для сходимости модифицированного метода Ньютона, разра­
ботана методика — „лестница задач“ , основанная на поэтапном переходе
от задач, решение которых не представляет вычислительных трудностей,
таких как оптимизация комбинаций задач Ламберта прямыми методами,
к задаче оптимального управления совокупностью динамических систем с
кусочно-непрерывным управлением.
5. Опираясь на предложенные методики и численные методы, автором
реализован программный комплекс на языке C, учитывающий эфемериды,
численно решены 9-точечные краевые задачи 70-го порядка. Построены
конкретные экстремали в трёх различных вариантах экспедиции КА к Мар­
су и его спутнику Фобосу.
6. На основе анализа построенных экстремалей Понтрягина оценен вы­
игрыш от использования малой тяги при доставке образцов грунта с
Фобоса, позволяющий судить о целесообразности оснащения КА таким дви­
гателем, произведено сравнение различных схем экспедиции.