Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена

Шишкина, Ольга Андреевна

Введение 3

1 Многочлены Бернулли от нескольких переменных, их свой-
ства 20
1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли,
ассоциированные с рациональным конусом . . . . . . . . . . 24
1.2 Основное свойство многочленов Бернулли . . . . . . . . . . . 28
1.3 Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в
целых точках рационального параллелотопа . . . . . . . . . 31
1.4 Формулы сложения, умножения, дополнения и дифференци-
рования для многочленов Бернулли от нескольких переменных 35

2 Многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена 41
2.1 Дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница в зада-
че суммирования функций нескольких переменных по раци-
ональному унимодулярному параллелотопу . . . . . . . . . . 45
2.2 Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по
унимодулярному рациональному параллелотопу . . . . . . . 51
2.3 Суммирование по рациональному параллелотопу в общем
случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 О суммировании по целым точкам рационального симплекса 64

Заключение 73

Список литературы 74

Исследование функций при дискретном изменении аргумента велось из-
давна, но в отдельную математическую дисциплину исчисление конечных
разностей выделилось только в 18 веке. В этом исчислении оперируют
приращениями функций, которые соответствуют конечным приращениям
аргумента, и роль дифференциалов играют конечные разности функции.
Вычисление конечных разностей аналогично дифференцированию, а инте-
грированию здесь соответствует суммирование разностей, роль дифферен-
циальных уравнений играют конечно-разностные уравнения.
Начала исчисления конечных разностей содержатся в трудах П. Ферма,
И. Барроу, Г. Лейбница. Развивалась конечно-разностная теория парал-
лельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория
конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической
дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.),
но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.).
Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было
написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначе-
ние ∆ для разностного оператора.
Сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще
Я. Бернулли [25], его исследования дали толчок к возникновению целого
ряда разделов комбинаторного анализа. В своей работе „Искусство пред-
положений“, изданной в 1713 году, Я. Бернулли привел общее выражение
для нахождения этой суммы. Кроме того, он вывел рекуррентное правило,
позволяющее вычислять числа Бернулли.
Леонард Эйлер применил числа Бернулли в теории конечных разно-
стей и исследовал их свойства. Некоторые из этих результатов он изложил
в своем сочинении „Дифференциальное исчисление“, вышедшем в свет в
1755 г. В „Дифференциальном исчислении“ им предложено шесть способов
нахождения чисел Бернулли.
Числа Бернулли являются значениями в нуле многочленов Бернулли,
которые для натуральных значений аргумента рассматривал Бернулли, а
для произвольных изучал Эйлер, использовавший в 1738 году для этого
производящую функцию.
Также полиномы Бернулли изучал J.L. Raabe (1801-1859) [44], который

Основные результаты диссертационной работы следющие:
1.Определены многомерные аналоги чисел Бернулли и многочленов
Бернулли, найдено представление многочленов Бернулли через оператор
Тодда, приведены многомерные варианты основного свойства многочленов
Бернулли и формул умножения, сложения, дополнения и дифференцирова-
ния. Получен многомерный аналог формулы Бернулли для суммы мономов
по целым точкам рационального параллелотопа.
2. Введено понятие дискретной первообразной для функций нескольких
переменных и получен дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница
для решения задачи неопределенного суммирования функций нескольких
аргументов.
3. Найдена формула Эйлера – Маклорена для нахождения дискретной
первообразной и формула для суммы значений функции в целых точкам
рационального параллелотопа с переменной вершиной, а также аналогич-
ные формулы в задаче суммирования функции по целым точкам симплек-
са.

[1] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. —
М.: КомКнига, 2006. — 376 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Евгений А. доктор, профессор
    5 (154 отзыва)
    Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - ... Читать все
    Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - по социальной работе.
    #Кандидатские #Магистерские
    260 Выполненных работ
    Ольга Р. доктор, профессор
    4.2 (13 отзывов)
    Преподаватель ВУЗа, опыт выполнения студенческих работ на заказ (от рефератов до диссертаций): 20 лет. Образование высшее . Все заказы выполняются в заранее согласован... Читать все
    Преподаватель ВУЗа, опыт выполнения студенческих работ на заказ (от рефератов до диссертаций): 20 лет. Образование высшее . Все заказы выполняются в заранее согласованные сроки и при необходимости дорабатываются по рекомендациям научного руководителя (преподавателя). Буду рада плодотворному и взаимовыгодному сотрудничеству!!! К каждой работе подхожу индивидуально! Всегда готова по любому вопросу договориться с заказчиком! Все работы проверяю на антиплагиат.ру по умолчанию, если в заказе не стоит иное и если это заранее не обговорено!!!
    #Кандидатские #Магистерские
    21 Выполненная работа
    Дарья Б. МГУ 2017, Журналистики, выпускник
    4.9 (35 отзывов)
    Привет! Меня зовут Даша, я окончила журфак МГУ с красным дипломом, защитила магистерскую диссертацию на филфаке. Работала журналистом, PR-менеджером в международных ко... Читать все
    Привет! Меня зовут Даша, я окончила журфак МГУ с красным дипломом, защитила магистерскую диссертацию на филфаке. Работала журналистом, PR-менеджером в международных компаниях, сейчас работаю редактором. Готова помогать вам с учёбой!
    #Кандидатские #Магистерские
    50 Выполненных работ
    Мария А. кандидат наук
    4.7 (18 отзывов)
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет... Читать все
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет, реклама, журналистика, педагогика, право)
    #Кандидатские #Магистерские
    39 Выполненных работ
    Антон П. преподаватель, доцент
    4.8 (1033 отзыва)
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публик... Читать все
    Занимаюсь написанием студенческих работ (дипломные работы, маг. диссертации). Участник международных конференций (экономика/менеджмент/юриспруденция). Постоянно публикуюсь, имею высокий индекс цитирования. Спикер.
    #Кандидатские #Магистерские
    1386 Выполненных работ
    Екатерина С. кандидат наук, доцент
    4.6 (522 отзыва)
    Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.
    Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.
    #Кандидатские #Магистерские
    1077 Выполненных работ
    Татьяна П. МГУ им. Ломоносова 1930, выпускник
    5 (9 отзывов)
    Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по и... Читать все
    Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по истории. Увлекаюсь литературой и темой космоса.
    #Кандидатские #Магистерские
    11 Выполненных работ
    Кирилл Ч. ИНЖЭКОН 2010, экономика и управление на предприятии транс...
    4.9 (343 отзыва)
    Работы пишу, начиная с 2000 года. Огромный опыт и знания в области экономики. Закончил школу с золотой медалью. Два высших образования (техническое и экономическое). С... Читать все
    Работы пишу, начиная с 2000 года. Огромный опыт и знания в области экономики. Закончил школу с золотой медалью. Два высших образования (техническое и экономическое). Сейчас пишу диссертацию на соискание степени кандидата экономических наук.
    #Кандидатские #Магистерские
    692 Выполненных работы
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук