Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена

Шишкина, Ольга Андреевна

Введение 3

1 Многочлены Бернулли от нескольких переменных, их свой-
ства 20
1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли,
ассоциированные с рациональным конусом . . . . . . . . . . 24
1.2 Основное свойство многочленов Бернулли . . . . . . . . . . . 28
1.3 Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в
целых точках рационального параллелотопа . . . . . . . . . 31
1.4 Формулы сложения, умножения, дополнения и дифференци-
рования для многочленов Бернулли от нескольких переменных 35

2 Многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена 41
2.1 Дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница в зада-
че суммирования функций нескольких переменных по раци-
ональному унимодулярному параллелотопу . . . . . . . . . . 45
2.2 Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по
унимодулярному рациональному параллелотопу . . . . . . . 51
2.3 Суммирование по рациональному параллелотопу в общем
случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 О суммировании по целым точкам рационального симплекса 64

Заключение 73

Список литературы 74

Исследование функций при дискретном изменении аргумента велось из-
давна, но в отдельную математическую дисциплину исчисление конечных
разностей выделилось только в 18 веке. В этом исчислении оперируют
приращениями функций, которые соответствуют конечным приращениям
аргумента, и роль дифференциалов играют конечные разности функции.
Вычисление конечных разностей аналогично дифференцированию, а инте-
грированию здесь соответствует суммирование разностей, роль дифферен-
циальных уравнений играют конечно-разностные уравнения.
Начала исчисления конечных разностей содержатся в трудах П. Ферма,
И. Барроу, Г. Лейбница. Развивалась конечно-разностная теория парал-
лельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория
конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической
дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.),
но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.).
Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было
написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначе-
ние ∆ для разностного оператора.
Сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще
Я. Бернулли [25], его исследования дали толчок к возникновению целого
ряда разделов комбинаторного анализа. В своей работе „Искусство пред-
положений“, изданной в 1713 году, Я. Бернулли привел общее выражение
для нахождения этой суммы. Кроме того, он вывел рекуррентное правило,
позволяющее вычислять числа Бернулли.
Леонард Эйлер применил числа Бернулли в теории конечных разно-
стей и исследовал их свойства. Некоторые из этих результатов он изложил
в своем сочинении „Дифференциальное исчисление“, вышедшем в свет в
1755 г. В „Дифференциальном исчислении“ им предложено шесть способов
нахождения чисел Бернулли.
Числа Бернулли являются значениями в нуле многочленов Бернулли,
которые для натуральных значений аргумента рассматривал Бернулли, а
для произвольных изучал Эйлер, использовавший в 1738 году для этого
производящую функцию.
Также полиномы Бернулли изучал J.L. Raabe (1801-1859) [44], который

Основные результаты диссертационной работы следющие:
1.Определены многомерные аналоги чисел Бернулли и многочленов
Бернулли, найдено представление многочленов Бернулли через оператор
Тодда, приведены многомерные варианты основного свойства многочленов
Бернулли и формул умножения, сложения, дополнения и дифференцирова-
ния. Получен многомерный аналог формулы Бернулли для суммы мономов
по целым точкам рационального параллелотопа.
2. Введено понятие дискретной первообразной для функций нескольких
переменных и получен дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница
для решения задачи неопределенного суммирования функций нескольких
аргументов.
3. Найдена формула Эйлера – Маклорена для нахождения дискретной
первообразной и формула для суммы значений функции в целых точкам
рационального параллелотопа с переменной вершиной, а также аналогич-
ные формулы в задаче суммирования функции по целым точкам симплек-
са.

[1] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. —
М.: КомКнига, 2006. — 376 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Екатерина С. кандидат наук, доцент
    4.6 (522 отзыва)
    Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.
    Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.
    #Кандидатские #Магистерские
    1077 Выполненных работ
    Вирсавия А. медицинский 1981, стоматологический, преподаватель, канди...
    4.5 (9 отзывов)
    руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - ... Читать все
    руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - медицина, биология, антропология, биогидродинамика
    #Кандидатские #Магистерские
    12 Выполненных работ
    Анна Н. Государственный университет управления 2021, Экономика и ...
    0 (13 отзывов)
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уни... Читать все
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уникальности с нуля. Все работы оформляю в соответствии с ГОСТ.
    #Кандидатские #Магистерские
    0 Выполненных работ
    Татьяна М. кандидат наук
    5 (285 отзывов)
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    #Кандидатские #Магистерские
    495 Выполненных работ
    Шагали Е. УрГЭУ 2007, Экономика, преподаватель
    4.4 (59 отзывов)
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и... Читать все
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и диссертаций, Есть любимые темы - они дешевле обойдутся, ибо в радость)
    #Кандидатские #Магистерские
    76 Выполненных работ
    Логик Ф. кандидат наук, доцент
    4.9 (826 отзывов)
    Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские дисс... Читать все
    Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские диссертации, рефераты, контрольные) уже много лет. Качество работ гарантирую.
    #Кандидатские #Магистерские
    1486 Выполненных работ
    Шиленок В. КГМУ 2017, Лечебный , выпускник
    5 (20 отзывов)
    Здравствуйте) Имею сертификат специалиста (врач-лечебник). На данный момент являюсь ординатором(терапия, кардио), одновременно работаю диагностом. Занимаюсь диссертац... Читать все
    Здравствуйте) Имею сертификат специалиста (врач-лечебник). На данный момент являюсь ординатором(терапия, кардио), одновременно работаю диагностом. Занимаюсь диссертационной работ. Помогу в медицинских науках и прикладных (хим,био,эколог)
    #Кандидатские #Магистерские
    13 Выполненных работ
    Александр Р. ВоГТУ 2003, Экономический, преподаватель, кандидат наук
    4.5 (80 отзывов)
    Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфин... Читать все
    Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфинансы (Казначейство). Работаю в финансовой сфере более 10 лет. Банки,риски
    #Кандидатские #Магистерские
    123 Выполненных работы
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук