Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена

Шишкина, Ольга Андреевна

Введение 3

1 Многочлены Бернулли от нескольких переменных, их свой-
ства 20
1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли,
ассоциированные с рациональным конусом . . . . . . . . . . 24
1.2 Основное свойство многочленов Бернулли . . . . . . . . . . . 28
1.3 Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в
целых точках рационального параллелотопа . . . . . . . . . 31
1.4 Формулы сложения, умножения, дополнения и дифференци-
рования для многочленов Бернулли от нескольких переменных 35

2 Многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена 41
2.1 Дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница в зада-
че суммирования функций нескольких переменных по раци-
ональному унимодулярному параллелотопу . . . . . . . . . . 45
2.2 Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по
унимодулярному рациональному параллелотопу . . . . . . . 51
2.3 Суммирование по рациональному параллелотопу в общем
случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 О суммировании по целым точкам рационального симплекса 64

Заключение 73

Список литературы 74

Исследование функций при дискретном изменении аргумента велось из-
давна, но в отдельную математическую дисциплину исчисление конечных
разностей выделилось только в 18 веке. В этом исчислении оперируют
приращениями функций, которые соответствуют конечным приращениям
аргумента, и роль дифференциалов играют конечные разности функции.
Вычисление конечных разностей аналогично дифференцированию, а инте-
грированию здесь соответствует суммирование разностей, роль дифферен-
циальных уравнений играют конечно-разностные уравнения.
Начала исчисления конечных разностей содержатся в трудах П. Ферма,
И. Барроу, Г. Лейбница. Развивалась конечно-разностная теория парал-
лельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория
конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической
дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.),
но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.).
Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было
написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначе-
ние ∆ для разностного оператора.
Сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще
Я. Бернулли [25], его исследования дали толчок к возникновению целого
ряда разделов комбинаторного анализа. В своей работе „Искусство пред-
положений“, изданной в 1713 году, Я. Бернулли привел общее выражение
для нахождения этой суммы. Кроме того, он вывел рекуррентное правило,
позволяющее вычислять числа Бернулли.
Леонард Эйлер применил числа Бернулли в теории конечных разно-
стей и исследовал их свойства. Некоторые из этих результатов он изложил
в своем сочинении „Дифференциальное исчисление“, вышедшем в свет в
1755 г. В „Дифференциальном исчислении“ им предложено шесть способов
нахождения чисел Бернулли.
Числа Бернулли являются значениями в нуле многочленов Бернулли,
которые для натуральных значений аргумента рассматривал Бернулли, а
для произвольных изучал Эйлер, использовавший в 1738 году для этого
производящую функцию.
Также полиномы Бернулли изучал J.L. Raabe (1801-1859) [44], который

Основные результаты диссертационной работы следющие:
1.Определены многомерные аналоги чисел Бернулли и многочленов
Бернулли, найдено представление многочленов Бернулли через оператор
Тодда, приведены многомерные варианты основного свойства многочленов
Бернулли и формул умножения, сложения, дополнения и дифференцирова-
ния. Получен многомерный аналог формулы Бернулли для суммы мономов
по целым точкам рационального параллелотопа.
2. Введено понятие дискретной первообразной для функций нескольких
переменных и получен дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница
для решения задачи неопределенного суммирования функций нескольких
аргументов.
3. Найдена формула Эйлера – Маклорена для нахождения дискретной
первообразной и формула для суммы значений функции в целых точкам
рационального параллелотопа с переменной вершиной, а также аналогич-
ные формулы в задаче суммирования функции по целым точкам симплек-
са.

[1] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. —
М.: КомКнига, 2006. — 376 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Яна К. ТюмГУ 2004, ГМУ, выпускник
    5 (8 отзывов)
    Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соот... Читать все
    Помощь в написании магистерских диссертаций, курсовых, контрольных работ, рефератов, статей, повышение уникальности текста(ручной рерайт), качественно и в срок, в соответствии с Вашими требованиями.
    #Кандидатские #Магистерские
    12 Выполненных работ
    Евгения Р.
    5 (188 отзывов)
    Мой опыт в написании работ - 9 лет. Я специализируюсь на написании курсовых работ, ВКР и магистерских диссертаций, также пишу научные статьи, провожу исследования и со... Читать все
    Мой опыт в написании работ - 9 лет. Я специализируюсь на написании курсовых работ, ВКР и магистерских диссертаций, также пишу научные статьи, провожу исследования и создаю красивые презентации. Сопровождаю работы до сдачи, на связи 24/7 ?
    #Кандидатские #Магистерские
    359 Выполненных работ
    Ксения М. Курганский Государственный Университет 2009, Юридический...
    4.8 (105 отзывов)
    Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитыв... Читать все
    Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитывать все требования и пожелания.
    #Кандидатские #Магистерские
    213 Выполненных работ
    Анна В. Инжэкон, студент, кандидат наук
    5 (21 отзыв)
    Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссе... Читать все
    Выполняю работы по экономическим дисциплинам. Маркетинг, менеджмент, управление персоналом. управление проектами. Есть опыт написания магистерских и кандидатских диссертаций. Работала в маркетинге. Практикующий бизнес-консультант.
    #Кандидатские #Магистерские
    31 Выполненная работа
    Катерина В. преподаватель, кандидат наук
    4.6 (30 отзывов)
    Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации... Читать все
    Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации. Опыт работы 7 лет. Всегда на связи и готова прийти на помощь. Вместе удовлетворим самого требовательного научного руководителя. Возможно полное сопровождение: от статуса студента до получения научной степени.
    #Кандидатские #Магистерские
    47 Выполненных работ
    Анна Александровна Б. Воронежский государственный университет инженерных технол...
    4.8 (30 отзывов)
    Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственно... Читать все
    Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственном университете инженерных технологий.
    #Кандидатские #Магистерские
    66 Выполненных работ
    Александра С.
    5 (91 отзыв)
    Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повы... Читать все
    Красный диплом референта-аналитика информационных ресурсов, 8 лет преподавания. Опыт написания работ вплоть до докторских диссертаций. Отдельно специализируюсь на повышении уникальности текста и оформлении библиографических ссылок по ГОСТу.
    #Кандидатские #Магистерские
    132 Выполненных работы
    Татьяна П. МГУ им. Ломоносова 1930, выпускник
    5 (9 отзывов)
    Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по и... Читать все
    Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по истории. Увлекаюсь литературой и темой космоса.
    #Кандидатские #Магистерские
    11 Выполненных работ
    Татьяна П.
    4.2 (6 отзывов)
    Помогаю студентам с решением задач по ТОЭ и физике на протяжении 9 лет. Пишу диссертацию на соискание степени кандидата технических наук, имею опыт годовой стажировки ... Читать все
    Помогаю студентам с решением задач по ТОЭ и физике на протяжении 9 лет. Пишу диссертацию на соискание степени кандидата технических наук, имею опыт годовой стажировки в одном из крупнейших университетов Германии.
    #Кандидатские #Магистерские
    9 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук