Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена

Шишкина, Ольга Андреевна

Введение 3

1 Многочлены Бернулли от нескольких переменных, их свой-
ства 20
1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли,
ассоциированные с рациональным конусом . . . . . . . . . . 24
1.2 Основное свойство многочленов Бернулли . . . . . . . . . . . 28
1.3 Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в
целых точках рационального параллелотопа . . . . . . . . . 31
1.4 Формулы сложения, умножения, дополнения и дифференци-
рования для многочленов Бернулли от нескольких переменных 35

2 Многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена 41
2.1 Дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница в зада-
че суммирования функций нескольких переменных по раци-
ональному унимодулярному параллелотопу . . . . . . . . . . 45
2.2 Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по
унимодулярному рациональному параллелотопу . . . . . . . 51
2.3 Суммирование по рациональному параллелотопу в общем
случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 О суммировании по целым точкам рационального симплекса 64

Заключение 73

Список литературы 74

Исследование функций при дискретном изменении аргумента велось из-
давна, но в отдельную математическую дисциплину исчисление конечных
разностей выделилось только в 18 веке. В этом исчислении оперируют
приращениями функций, которые соответствуют конечным приращениям
аргумента, и роль дифференциалов играют конечные разности функции.
Вычисление конечных разностей аналогично дифференцированию, а инте-
грированию здесь соответствует суммирование разностей, роль дифферен-
циальных уравнений играют конечно-разностные уравнения.
Начала исчисления конечных разностей содержатся в трудах П. Ферма,
И. Барроу, Г. Лейбница. Развивалась конечно-разностная теория парал-
лельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория
конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической
дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.),
но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.).
Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было
написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначе-
ние ∆ для разностного оператора.
Сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще
Я. Бернулли [25], его исследования дали толчок к возникновению целого
ряда разделов комбинаторного анализа. В своей работе „Искусство пред-
положений“, изданной в 1713 году, Я. Бернулли привел общее выражение
для нахождения этой суммы. Кроме того, он вывел рекуррентное правило,
позволяющее вычислять числа Бернулли.
Леонард Эйлер применил числа Бернулли в теории конечных разно-
стей и исследовал их свойства. Некоторые из этих результатов он изложил
в своем сочинении „Дифференциальное исчисление“, вышедшем в свет в
1755 г. В „Дифференциальном исчислении“ им предложено шесть способов
нахождения чисел Бернулли.
Числа Бернулли являются значениями в нуле многочленов Бернулли,
которые для натуральных значений аргумента рассматривал Бернулли, а
для произвольных изучал Эйлер, использовавший в 1738 году для этого
производящую функцию.
Также полиномы Бернулли изучал J.L. Raabe (1801-1859) [44], который

Основные результаты диссертационной работы следющие:
1.Определены многомерные аналоги чисел Бернулли и многочленов
Бернулли, найдено представление многочленов Бернулли через оператор
Тодда, приведены многомерные варианты основного свойства многочленов
Бернулли и формул умножения, сложения, дополнения и дифференцирова-
ния. Получен многомерный аналог формулы Бернулли для суммы мономов
по целым точкам рационального параллелотопа.
2. Введено понятие дискретной первообразной для функций нескольких
переменных и получен дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница
для решения задачи неопределенного суммирования функций нескольких
аргументов.
3. Найдена формула Эйлера – Маклорена для нахождения дискретной
первообразной и формула для суммы значений функции в целых точкам
рационального параллелотопа с переменной вершиной, а также аналогич-
ные формулы в задаче суммирования функции по целым точкам симплек-
са.

[1] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. —
М.: КомКнига, 2006. — 376 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Дарья Б. МГУ 2017, Журналистики, выпускник
    4.9 (35 отзывов)
    Привет! Меня зовут Даша, я окончила журфак МГУ с красным дипломом, защитила магистерскую диссертацию на филфаке. Работала журналистом, PR-менеджером в международных ко... Читать все
    Привет! Меня зовут Даша, я окончила журфак МГУ с красным дипломом, защитила магистерскую диссертацию на филфаке. Работала журналистом, PR-менеджером в международных компаниях, сейчас работаю редактором. Готова помогать вам с учёбой!
    #Кандидатские #Магистерские
    50 Выполненных работ
    Ольга Б. кандидат наук, доцент
    4.8 (373 отзыва)
    Работаю на сайте четвертый год. Действующий преподаватель вуза. Основные направления: микробиология, биология и медицина. Написано несколько кандидатских, магистерских... Читать все
    Работаю на сайте четвертый год. Действующий преподаватель вуза. Основные направления: микробиология, биология и медицина. Написано несколько кандидатских, магистерских диссертаций, дипломных и курсовых работ. Слежу за новинками в медицине.
    #Кандидатские #Магистерские
    566 Выполненных работ
    Татьяна П. МГУ им. Ломоносова 1930, выпускник
    5 (9 отзывов)
    Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по и... Читать все
    Журналист. Младший научный сотрудник в институте РАН. Репетитор по английскому языку (стаж 6 лет). Также знаю французский. Сейчас занимаюсь написанием диссертации по истории. Увлекаюсь литературой и темой космоса.
    #Кандидатские #Магистерские
    11 Выполненных работ
    Катерина М. кандидат наук, доцент
    4.9 (522 отзыва)
    Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации
    Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации
    #Кандидатские #Магистерские
    836 Выполненных работ
    Анна К. ТГПУ им.ЛН.Толстого 2010, ФИСиГН, выпускник
    4.6 (30 отзывов)
    Я научный сотрудник федерального музея. Подрабатываю написанием студенческих работ уже 7 лет. 3 года назад начала писать диссертации. Работала на фирмы, а так же помог... Читать все
    Я научный сотрудник федерального музея. Подрабатываю написанием студенческих работ уже 7 лет. 3 года назад начала писать диссертации. Работала на фирмы, а так же помогала студентам, вышедшим на меня по рекомендации.
    #Кандидатские #Магистерские
    37 Выполненных работ
    Родион М. БГУ, выпускник
    4.6 (71 отзыв)
    Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.
    Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.
    #Кандидатские #Магистерские
    108 Выполненных работ
    Андрей С. Тверской государственный университет 2011, математический...
    4.7 (82 отзыва)
    Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на... Читать все
    Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на продолжение диссертационной работы... Всегда готов помочь! ;)
    #Кандидатские #Магистерские
    164 Выполненных работы
    Татьяна С. кандидат наук
    4.9 (298 отзывов)
    Большой опыт работы. Кандидаты химических, биологических, технических, экономических, юридических, философских наук. Участие в НИОКР, Только актуальная литература (пос... Читать все
    Большой опыт работы. Кандидаты химических, биологических, технических, экономических, юридических, философских наук. Участие в НИОКР, Только актуальная литература (поставки напрямую с издательств), доступ к библиотеке диссертаций РГБ
    #Кандидатские #Магистерские
    551 Выполненная работа
    Сергей Н.
    4.8 (40 отзывов)
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.
    #Кандидатские #Магистерские
    56 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук