Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена

Шишкина, Ольга Андреевна

Введение 3

1 Многочлены Бернулли от нескольких переменных, их свой-
ства 20
1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли,
ассоциированные с рациональным конусом . . . . . . . . . . 24
1.2 Основное свойство многочленов Бернулли . . . . . . . . . . . 28
1.3 Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в
целых точках рационального параллелотопа . . . . . . . . . 31
1.4 Формулы сложения, умножения, дополнения и дифференци-
рования для многочленов Бернулли от нескольких переменных 35

2 Многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена 41
2.1 Дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница в зада-
че суммирования функций нескольких переменных по раци-
ональному унимодулярному параллелотопу . . . . . . . . . . 45
2.2 Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по
унимодулярному рациональному параллелотопу . . . . . . . 51
2.3 Суммирование по рациональному параллелотопу в общем
случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 О суммировании по целым точкам рационального симплекса 64

Заключение 73

Список литературы 74

Исследование функций при дискретном изменении аргумента велось из-
давна, но в отдельную математическую дисциплину исчисление конечных
разностей выделилось только в 18 веке. В этом исчислении оперируют
приращениями функций, которые соответствуют конечным приращениям
аргумента, и роль дифференциалов играют конечные разности функции.
Вычисление конечных разностей аналогично дифференцированию, а инте-
грированию здесь соответствует суммирование разностей, роль дифферен-
циальных уравнений играют конечно-разностные уравнения.
Начала исчисления конечных разностей содержатся в трудах П. Ферма,
И. Барроу, Г. Лейбница. Развивалась конечно-разностная теория парал-
лельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория
конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической
дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.),
но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.).
Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было
написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначе-
ние ∆ для разностного оператора.
Сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще
Я. Бернулли [25], его исследования дали толчок к возникновению целого
ряда разделов комбинаторного анализа. В своей работе „Искусство пред-
положений“, изданной в 1713 году, Я. Бернулли привел общее выражение
для нахождения этой суммы. Кроме того, он вывел рекуррентное правило,
позволяющее вычислять числа Бернулли.
Леонард Эйлер применил числа Бернулли в теории конечных разно-
стей и исследовал их свойства. Некоторые из этих результатов он изложил
в своем сочинении „Дифференциальное исчисление“, вышедшем в свет в
1755 г. В „Дифференциальном исчислении“ им предложено шесть способов
нахождения чисел Бернулли.
Числа Бернулли являются значениями в нуле многочленов Бернулли,
которые для натуральных значений аргумента рассматривал Бернулли, а
для произвольных изучал Эйлер, использовавший в 1738 году для этого
производящую функцию.
Также полиномы Бернулли изучал J.L. Raabe (1801-1859) [44], который

Основные результаты диссертационной работы следющие:
1.Определены многомерные аналоги чисел Бернулли и многочленов
Бернулли, найдено представление многочленов Бернулли через оператор
Тодда, приведены многомерные варианты основного свойства многочленов
Бернулли и формул умножения, сложения, дополнения и дифференцирова-
ния. Получен многомерный аналог формулы Бернулли для суммы мономов
по целым точкам рационального параллелотопа.
2. Введено понятие дискретной первообразной для функций нескольких
переменных и получен дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница
для решения задачи неопределенного суммирования функций нескольких
аргументов.
3. Найдена формула Эйлера – Маклорена для нахождения дискретной
первообразной и формула для суммы значений функции в целых точкам
рационального параллелотопа с переменной вершиной, а также аналогич-
ные формулы в задаче суммирования функции по целым точкам симплек-
са.

[1] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. —
М.: КомКнига, 2006. — 376 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Александр Р. ВоГТУ 2003, Экономический, преподаватель, кандидат наук
    4.5 (80 отзывов)
    Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфин... Читать все
    Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфинансы (Казначейство). Работаю в финансовой сфере более 10 лет. Банки,риски
    #Кандидатские #Магистерские
    123 Выполненных работы
    Ольга Р. доктор, профессор
    4.2 (13 отзывов)
    Преподаватель ВУЗа, опыт выполнения студенческих работ на заказ (от рефератов до диссертаций): 20 лет. Образование высшее . Все заказы выполняются в заранее согласован... Читать все
    Преподаватель ВУЗа, опыт выполнения студенческих работ на заказ (от рефератов до диссертаций): 20 лет. Образование высшее . Все заказы выполняются в заранее согласованные сроки и при необходимости дорабатываются по рекомендациям научного руководителя (преподавателя). Буду рада плодотворному и взаимовыгодному сотрудничеству!!! К каждой работе подхожу индивидуально! Всегда готова по любому вопросу договориться с заказчиком! Все работы проверяю на антиплагиат.ру по умолчанию, если в заказе не стоит иное и если это заранее не обговорено!!!
    #Кандидатские #Магистерские
    21 Выполненная работа
    Егор В. кандидат наук, доцент
    5 (428 отзывов)
    Здравствуйте. Занимаюсь выполнением работ более 14 лет. Очень большой опыт. Более 400 успешно защищенных дипломов и диссертаций. Берусь только со 100% уверенностью. Ск... Читать все
    Здравствуйте. Занимаюсь выполнением работ более 14 лет. Очень большой опыт. Более 400 успешно защищенных дипломов и диссертаций. Берусь только со 100% уверенностью. Скорее всего Ваш заказ будет выполнен раньше срока.
    #Кандидатские #Магистерские
    694 Выполненных работы
    Анна Александровна Б. Воронежский государственный университет инженерных технол...
    4.8 (30 отзывов)
    Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственно... Читать все
    Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственном университете инженерных технологий.
    #Кандидатские #Магистерские
    66 Выполненных работ
    Дмитрий М. БГАТУ 2001, электрификации, выпускник
    4.8 (17 отзывов)
    Помогаю с выполнением курсовых проектов и контрольных работ по электроснабжению, электроосвещению, электрическим машинам, электротехнике. Занимался наукой, писал стать... Читать все
    Помогаю с выполнением курсовых проектов и контрольных работ по электроснабжению, электроосвещению, электрическим машинам, электротехнике. Занимался наукой, писал статьи, патенты, кандидатскую диссертацию, преподавал. Занимаюсь этим с 2003.
    #Кандидатские #Магистерские
    19 Выполненных работ
    Мария М. УГНТУ 2017, ТФ, преподаватель
    5 (14 отзывов)
    Имею 3 высших образования в сфере Экологии и техносферной безопасности (бакалавриат, магистратура, аспирантура), работаю на кафедре экологии одного из опорных ВУЗов РФ... Читать все
    Имею 3 высших образования в сфере Экологии и техносферной безопасности (бакалавриат, магистратура, аспирантура), работаю на кафедре экологии одного из опорных ВУЗов РФ. Большой опыт в написании курсовых, дипломов, диссертаций.
    #Кандидатские #Магистерские
    27 Выполненных работ
    user1250010 Омский государственный университет, 2010, преподаватель,...
    4 (15 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    21 Выполненная работа
    Сергей Н.
    4.8 (40 отзывов)
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все
    Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.
    #Кандидатские #Магистерские
    56 Выполненных работ
    Екатерина Д.
    4.8 (37 отзывов)
    Более 5 лет помогаю в написании работ от простых учебных заданий и магистерских диссертаций до реальных бизнес-планов и проектов для открытия своего дела. Имею два об... Читать все
    Более 5 лет помогаю в написании работ от простых учебных заданий и магистерских диссертаций до реальных бизнес-планов и проектов для открытия своего дела. Имею два образования: экономист-менеджер и маркетолог. Буду рада помочь и Вам.
    #Кандидатские #Магистерские
    55 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук