Многопараметрические оценки в гармоническом анализе: варианты неравенства Рубио де Франсиа и интерполяция абстрактных пространств типа Харди

Гармонический анализ изучает различные спектральные представления
функций, а также математические методы и результаты, основанные на них.
Многие разделы в современном гармоническом анализе опираются на теорию
сингулярных интегральных операторов или сингулярных интегралов.
Классическая теория сингулярных интегральных операторов рассматри­
вает операторы, родственные преобразованию Гильберта
∫︁
1 (τ) (︁ 1 )︁
(ℋ )( ) = p. v. dτ = * p. v. ,
π R − τ πτ
где “*” обозначает свертку, а p. v. символизирует тот факт, что интеграл, ко­
торый может не сходиться абсолютно, берется в смысле главного значения.
Обобщением преобразования Гильберта служит класс операторов вида
∫︁
( )( ) = p. v. ( , ) ( ) d , (1)
R

где ядро сингулярно вблизи плоскости = , и поэтому интеграл берется
в смысле главного значения. Когда ядро ведет себя достаточно хорошо вне
диагонали, удается доказать, что оператор действует ограниченно из про­
странства Лебега (R ) в себя для всех 1 < < ∞, причем делается это с помощью техники, очень похожей на технику доказательства ограниченности преобразования Гильберта [38]. От ядра требуется, чтобы подынтегральное выражение в (1) было абсолютно суммируемым для всех функций с ком­ пактным носителем и значений вне носителя функции ; требуется, чтобы оператор был ограничен при каком-то одном показателе ∈ (1, ∞), и чтобы ∫︁ | ( , ) − ( , ′ )| d ⩽ , ′ ∈ ℬ( , δ), ℬ( ,2δ) для всех ∈ R , δ > 0. Здесь ℬ( , ) обозначает шар с центром в точке
радиуса , а — дополнение множества .
Стандартными представителями этого класса являются оператор ℋ и его
многомерные обобщения, называемые преобразованиями Рисса, 1 ⩽ ⩽
( − ) ( )
∫︁
Γ(( + 1)/2) (︁ )︁
(ℛ )( ) = p. v. +1
d = * p. v. +1 .
π( +1)/2 R | − | | |

Преобразования Рисса коммутируют с однопараметрическим семейством растя­
жений, то есть (ℛ (λ·))( ) = (ℛ (·))(λ ) для всех λ > 0, поэтому1 мы будем
называть введенное выше общее семейство операторов, их обобщающее, однопа­
раметрическими сингулярными интегралами (интегральными операторами).
Нас же будет в основном интересовать класс многопараметрических
сингулярных интегралов (интегральных операторов), стандартными предста­
вителями которого являются кратные преобразования Гильберта
∫︁
1 ( ) (︁ 1 )︁
(ℋ )( ) = p. v. ∏︀ d = * p. v. ,
π R (
=1 − ) π 1 · . . . ·

коммутирующие с многопараметрическим семейством растяжений. Общий
класс таких операторов строго описать довольно сложно, поэтому мы не бу­
дем вдаваться в подробности, ограничившись замечанием, что это операторы,
которые, если зафиксировать все переменные кроме одной, ведут себя подобно
однопараметрическим сингулярным интегралам.
Теория многопараметрических сингулярных интегралов значительно
сложнее теории однопараметрических. Сравнивая, например, какое-нибудь
преобразование Рисса с кратным преобразованиям Гильберта, легко заметить,
что сама размерность множества, где ядро имеет сингулярность, у второго
больше, чем у первого.
Некоторые вопросы теории сильно упрощаются, когда ядро многопара­
метрического сингулярного оператора ( , ) распадается в произведение, то
есть представляется в виде 1 ( 1 , 1 ) · . . . · ( , ). К сожалению, многие
интересные операторы не обладают такой структурой.
В данной диссертации мы будем рассматривать приложения теории
многопараметрических сингулярных операторов, а также ее мартингального ва­
рианта к вопросам теории Литлвуда–Пэли, а также задачи, связанные с самой
теорией многопараметрических сингулярных операторов, а именно интерполя­
цию некоторых общих вариантов двупраметрических пространств Харди.

Приложения к теории Литлвуда–Пэли. Одним из важных вопросов
теории Литлвуда–Пэли является сравнение нормы функции с нормами ее “ку­
сочков”, спектры (носители преобразования Фурье) которых лежат в каких-то
регулярных множествах.
1 Мы мотивируем терминологию более или менее следуя идеям из классической работы [14].
Рассмотрим абстрактную постановку. Пусть — локально компактная
абелева группа. С помощью меры Хаара тогда определены пространства ( ),
а также прямое и обратное преобразования Фурье для элементов пространств
2 ( ) и 2 ( )̂︀ соответственно, где ̂︀ — двойственная по Понтрягину группа,
также снабженная мерой Хаара. Определим операторы , ⊆ , ̂︀ формулой
ˆ︁
= 1 , где обозначает преобразование Фурье функции , а 1 — индика­
̂︀ ̂︀
тор множества . Такие операторы называются мультипликаторами Фурье с
символом 1 . Они “вырезают” из функции “кусочек” со спектром в .
Рассмотрим какое-то счетное разбиение ̂︀ на измеримые подмноже­
ства { } ∈ℐ . Тогда, по теореме Планшереля, для любой функции ∈ 2 ( )
⃦(︁∑︁ )︁1/2 ⃦
2 def ⃦ ⃦
‖ ‖ 2 ( ) = ⃦ | | = ⃦{ } ∈ℐ ⃦ 2 ( , 2 ) .
⃦ ⃦
⃦ 2
( )
∈ℐ

Такие соотношения весьма удобны, так как позволяют сводить утверждения
о норме функции к утверждениям о нормах функций . Если заменить
2 нормы на нормы, это равенство, вообще говоря, перестанет быть вер­
ным, хотя часто все-таки можно сформулировать нечто похожее. В частности,
для = R знаменитое неравенство Литлвуда–Пэли устанавливает, что
⃦ ⃦ ⃦ ⃦
⃦{ } ∈ℐ ⃦ (R , 2 ) ⩽ ‖ ‖ (R ) ⩽ ⃦{ } ∈ℐ ⃦ (R , 2 ) , 1 < < ∞, (2) но не для произвольных разбиений ℐ, а для ℐ, в случае = 1, состоящих из интервалов с концами, формирующими лакунарную по Адамару последователь­ ность, а в случае произвольной размерности , для ℐ, являющихся декартовым произведением таких последовательностей интервалов. Другие знаменитые неравенства такого рода, называемые неравенствами Литлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа или просто неравенствами Рубио де Фран­ сиа, обобщают каждое из односторонних неравенств в (2) на значительно более общий класс разбиений, но для ограниченной шкалы показателей . А именно, для разбиений ℐ пространства R на произвольные непересекающиеся парал­ лелепипеды со сторонами, параллельными координатным осям, верны оценки ⃦ ⃦ ⃦{ } ∈ℐ ⃦ (R , 2 ) ⩽ ‖ ‖ (R ) , 2 ⩽ < ∞, (3) ⃦ ⃦ ‖ ‖ (R ) ⩽ ⃦{ } ∈ℐ ⃦ (R , 2 ) , 1 < ⩽ 2. (4) Неравенство (3) было доказано Рубио де Франсиа для = 1 в работе [35] и обобщено на случай произвольной размерности в [23] Журне (более простое доказательство было затем дано Сориа в [36]). Неравенство (4) следует из нера­ венства (3) по двойственности2 . Не смотря на то, что из неравенства (3) нельзя вывести аналог неравенства (4) для ⩽ 1, более тонкие методы дают ⃦ ⃦ ⃦∑︁ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⩽ ⃦{ } ⃦ 2 , где supp ̂︀ ⊆ для ∈ ℐ, 0 < ⩽ 2. (5) ⃦ ⃦ ∈ℐ (R , ) ∈ℐ (R ) Уточним, что здесь ℐ, так же как и в неравенствах (3) и (4), является разби­ ением пространства R на непересекающиеся параллелепипеды со сторонами, параллельными координатным осям. Неравенство (5) мы сформулировали без использования операторов : при ⩽ 1 они ведут себя довольно плохо, и та­ кая формулировка позволяет не заострять на этом внимания, в то время как при 1 < ⩽ 2 из нее легко получить исходное неравенство (4). Впервые рассмотрел неравенство (5) Бургейн: в статье [12] он доказал его при = 1 в размерности = 1. Кисляков и Парилов в своей заметке [5] на­ шли к задаче другой подход, что позволило им обобщить результат Бургейна на случай произвольного в интервале 0 < ⩽ 2. Наконец, Осипов в своих статьях [8] и [9] доказал неравенство (5) при 0 < ⩽ 2 в произвольной раз­ мерности ∈ N. Отметим, что все утверждения остаются верными также и для = T , причем методы доказательства остаются неизменными. Нас будут интересовать два круга вопросов, связанных с неравенствами Рубио де Франсиа. Во-первых, весовые оценки в случае нескольких переменных. Во-вторых, варианты неравенства Рубио де Франсиа для некоторых групп , отличных от классических R и T . Весовые оценки интересовали еще Рубио де Франсиа в исходной ра­ боте [35]. Там он рассматривал неравенство (3) сразу же в весовом случае: он показал, что если при > 2 в нем вместо рассматривать с весом ∈ /2 ,
то неравенство остается верным ( — стандартные классы Макенхаупта, см.
про них, например, в книге Стейна [38]).
Рассмотрение размерности = 1 для стандартных групп R и (неявно) T с
весом завершил Кисляков в статье [4], доказав весовой вариант неравенства (5)
2 Действительно, неравенство (3) можно рассматривать как утверждение об ограниченности опе­
ратора, который функцию ∈ (R ) преобразует в последовательность функций { } ∈ℐ ∈
(R , 2 ). Из его ограниченности следует ограниченность его сопряженного, который последо­
вательность { } ∈ℐ ∈ (R , 2 ) преобразует в
∑︀
⃦∑︀ ⃦ ⃦ ⃦ ∈ℐ ∈ (R ). Последнее эквивалентно
неравенству ⃦ ∈ℐ ⃦ ⩽ ⃦{ } ∈ℐ ⃦ ( 2 ) , подставив в которое = и воспользовавшись
соотношением = , получим (4).
для показателей 0 < < 2: ⃦∑︁ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⩽ ⃦{ } ∈ℐ ⃦ , где supp ̂︀ ⊆ для ∈ ℐ, ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ∈ℐ (R) (R, 2 ) причем ℐ — разбиение R на произвольные интервалы, а вес таков, что − −1 удовлетворяет условию Макенхаупта 2( −1) для какого-то : max(1, ) ⩽ < 2. Рубио де Франсиа предвосхитил то, что развитие методов работы с многопараметрическими сингулярными интегральными операторами позволит обобщить его результат на случай ̸= 1. Это и произошло в статьях [8; 9; 23], но без оглядки на более общий случай с весом. В главе 3 мы, пусть и не полностью, ответим на запрос Рубио де Фран­ сиа, рассмотрев весовой случай по крайней мере в размерности = 2 (как для 2 < < ∞, так и для 0 < < 2). В частности, докажем аналог весового неравенства, доказанного Кисляковым. Для этого мы пользуемся тех­ никой, основанной на теории двупараметрических сингулярных интегральных операторов и атомных разложений в соответствующих пространствах Харди, разработанной Р. Фефферманом, и некоторыми современными ее обобщениями. Неравенство Рубио де Франсиа для нестандартных групп , по­ видимому, впервые изучалось в работе Осипова [31]. В ней был рассмотрен случай, когда — диадическая группа. Двойственной к ней группой ̂︀ являет­ ся множество функций Уолша с операцией обыкновенного умножения функций, которое естественным образом отождествляется с группой неотрицательных целых чисел с некоторой нестандартной “побитовой” операцией сложения. Та­ кое отождествление порождает понятие интервала (отрезка) на двойственной группе, передавая его по наследству от естественного порядка на Z+ . Эта поста­ новка ассоциирована с “дискретным” преобразованием Фурье–Уолша, имеющим большое количество приложений как в математике, так и в естественных и инженерных науках. Используя построенную Ганди [22; 26] теорию операторов, отображающих мартингалы в измеримые функции, сходную с теорией однопараметрических сингулярных интегралов, Осипову удалось доказать неравенство (4) для диа­ дической группы. Совсем недавно Целищев [11] обобщил этот результат на случай, когда принадлежит определенному классу групп Виленкина. Двой­ ственные группы , ̂︀ в таком случае, идентифицируются с системами Виленкина и снабжены естественным понятием интервала, которое также определяется отождествлением с множеством Z+ с естественным отношением порядка. В главе 2 мы рассмотрим обобщение этих результатов на многопара­ метрический случай. Рассматривая произведения произвольного количества ограниченных групп Виленкина и естественное понятие прямоугольников на двойственной группе, мы докажем в этой постановке неравенство (4). Основ­ ным инструментом будет мартингальный аналог теории многопараметрических сингулярных интегралов, изложенный в работах Вейса [42—45]. Интерполяция абстрактных пространств Харди. Теория пространств Харди является важной частью современного гармонического анализа. Одной из основных тем в ней являются критерии ограниченности операторов, дей­ ствующих в этих пространствах. Соответственно, важную роль в этом круге вопросов играют интерпо­ ляционные теоремы, такие как теорема Марцинкевича или Рисса–Торина. Последняя, например, утверждает, что если оператор , заданный на пересече­ нии ∩ ограничен в смысле и в смысле , то он автоматически ограничен в смысле при любом из интервала ⩽ ⩽ . Часто значительно удобнее доказать ограниченность оператора для пары “крайних” пространств и , чем делать это для всей шкалы , ⩽ ⩽ , сразу. Интерполяционные свойства шкалы пространств Харди удобно рас­ сматривать с помощью понятия -замкнутости. Грубо говоря, пара подпространств ( 1 , 2 ) является -замкнутой в паре пространств ( 1 , 2 ), если любое разложение элемента 1 + 2 в сумму элементов 1 и 2 можно мо­ дифицировать, не сильно увеличивая норму, так, что слагаемые будут лежать в 1 и 2 . Как несложно показать [24], при -замкнутости интерполяционные свойства пары ( 1 , 2 ) наследуются парой ( 1 , 2 ), по крайней мере если речь идет о вещественной интерполяции. Поэтому вместо непосредственного доказа­ тельства интерполяционных теорем для пространств Харди, обычно ставится вопрос об их -замкнутости в соответствующих пространствах Лебега. (︀ )︀ (︀ )︀ Вопрос K-замкнутости пары (T ), (T ) в паре (T ), (T ) для разных размерностей и разных пар показателей 0 < < ⩽ ∞ на дан­ ный момент является решенным лишь частично. Тогда как в случае ̸= ∞ -замкнутость установлена для произвольных размерностей, в случае = ∞ -замкнутость доказана лишь для = 1, 2, а случай > 2 является на дан­
ный момент, по-видимому, нерешенной задачей. То же самое справедливо также
и для R вместо T . История этого вопроса подробно обсуждается в обзоре [24].
Аналогичный вопрос для весовых пространств Харди также представляет
интерес. Эта тема отчасти вдохновлена вопросом о справедливости анало­
га теоремы Гротендика для диск-алгебры, который в размерности = 1
можно разрешить с помощью интерполяции весовых пространств Харди (см.
про это в обзоре [6]). В частности, например, известно, что -замкнутость
пары ( (T), ∞ (T)) в паре ( (T), ∞ (T)), где — некоторый вес на окруж­
ности, эквивалентна условию log ∈ BMO, см. обзор [19].
В соответствии с общей направленностью диссертации, мы включаем в
нее результаты автора из работы [47], относящиеся как раз к случаю пары ве­
совых пространств (T2 ), ∞ (T2 ) на двумерном торе. Случай отсутствия
(︀ )︀

веса ( ≡ 1), как уже упоминалось выше, был исследован давно, см. [7]. По­
сле этого, в [28] -замкнутость такой пары была доказана в случае, когда
переменные разделяются: (ξ1 , ξ2 ) = (ξ1 ) (ξ2 ), где log , log ∈ BMO(T).
В работе автора [47] был разобран более сложный случай окаймленного ве­
са (ξ1 , ξ2 ) = (ξ1 ) (ξ1 , ξ2 ) (ξ2 ), где и — такие, как выше, а функция
удовлетворяет некоторым специальным условиям. По поводу точной формули­
ровки см. теорему 1 ниже, которая будет доказана в главе 1.
Пространства Харди, обсуждавшиеся только что, определяются через
граничные значения аналитических функций, но существуют и другие поня­
тия пространств Харди: например пространства из глав 2 и 3 определяются
некоторым альтернативным, чисто вещественным образом. Между разными по­
нятиями, конечно, есть связь, но мы оставим этот вопрос в стороне.
В главе 1 мы рассмотрим некоторое абстрактное обобщение классическо­
го понятия пространств Харди граничных значений аналитических функций
и соответствующий абстрактный подход к теоремам о -замкнутости. Эти
абстрактные пространства определяются через аксиоматику, моделирующую
свойства оператора гармонического сопряжения. Подобная аксимоматическая
постановка рассматривалась ранее статьями [3; 27], однако в главе 1 соответ­
ствующий аппарат будет развит более глубоко и последовательно. В частности,
будет показано, что с помощью простых приемов весовые результаты могут
быть включены в те же общие конструкции, что и невесовые, чего не было в
цитированных работах.
Отметим, что, прежде чем получить объявленный выше “двумерный” ре­
зультат в абстрактной форме, в главе 1 развивается достаточно полная теория,
моделирующая известные “одномерные” результаты для пространств Харди.
Актуальность. Новые утверждения, установленные в рамках данной
диссертации, углубляют общее понимание некоторых вопросов теории Лит­
лвуда–Пэли и теории пространств Харди. Они позволяют получать новые
результаты как в рамках этих теорий, так и близких вопросах, что представ­
ляет большой интерес, так как теория Литлвуда–Пэли и теория пространств
Харди имеют важные приложения к теории уравнений в частных производных,
а через нее к физике и другим естественнонаучным дисциплинам.

Целью данной работы является исследование двух вопросов
современного гармонического анализа. Во-первых, новых вариантов много­
параметрического неравенства Литлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа: в случае с
весом и в случае многопараметрических групп Виленкина. Во-вторых, интер­
поляции некоторых абстрактных вариантов весовых пространств Харди.

Научная новизна: Все основные результаты диссертации — новые.

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретиче­
ский характер. Результаты диссертации могут быть использованы при решении
задач гармонического анализа и смежных теорий. Гармонический анализ, в
свою очередь, имеет множество приложений как в математике, так и в других
науках.

Методология и методы исследования. В работе используются ме­
тоды теории многопараметрических синглуярных интегральных операторов,
разработанные, в основном, Р. Фефферманом [14; 17; 18], а также смежной
теории для операторов на пространствах мартингалов, описанные в работах Ф.
Вейса [42—45]. Всё это — вещественные методы гармонического анализа. В кон­
тексте вопросов об интерполяции пространств Харди возникают методы теории
равномерных алгебр, являющейся частью функционального анализа.
Основные положения, выносимые на защиту:
Во-первых, -замкнутость весовых пространств Харди на двумерном торе
в соответствующих пространствах Лебега.

Теорема 1. Пусть , — такие веса на T, что log , log ∈ BMO. Пусть
еще — вес на T2 , удовлетворяющий условию Макенхаупта при некото­
ром ∈ (1, ∞) по первой переменной с константой, не зависящей от второй
переменной, причем ess supξ1 ‖log (ξ1 , ·)‖BMO < ∞. Рассмотрим окаймленный вес (ξ1 , ξ2 ) = (ξ1 ) (ξ1 , ξ2 ) (ξ2 ). Тогда пара ( (T2 ), ∞ ) -замкнута в паре ( (T2 ), ∞ (T2 )). И абстрактный результат (ниже мы приводим развернутую формулировку тео­ ремы 5 из главы 1), из которого в конечном итоге и выводится теорема 1. Теорема 2. Рассмотрим пространство с мерой ( , µ), где µ — σ-конечная мера. Рассмотрим еще какую-то * -замкнутую подалгебру с единицей в алгебре ∞ (µ), а также * -замкнутый модуль ⊆ ∞ (µ) над алгеброй . Предположим, что алгебра удовлетворяет некоторому условию регу­ (︀ )︀ лярности (αµ ), определенному в главе 1. Тогда пара clos (µ) ( ∩ (µ)), является -замкнутой в паре ( (µ), ∞ (µ)) для показателей : 0 < < ∞. Во-вторых, неравенство Литлвуда–Пэли–Рубио де Франиса для ограни­ ченных многопараметрических систем Виленкина. Теорема 3. Пусть = 1 × . . . × ⊆ Z + — счетное семейство непересе­ кающихся прямоугольников, то есть таких множеств, что = [ , ) = {︀ ⃒ }︀ ∈ Z+ ⃒ ⩽ < — интервалы в Z+ . Пусть : [0,1) → R — семейство функций, чей спектр Фурье–Виленкина лежит в , то есть ∑︁ ( ) = ⟨ , 1 · . . . · ⟩ 1 ( 1 ) · . . . · ( ), ( 1 ,..., )∈ где — функции Виленкина, соответствующие каким-то ограниченным си­ стемам Виленкина, которые могут быть различными для разных . Тогда ⃦∑︁ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ([0,1) ) ⩽ ⃦{ }⃦ ([0,1) , 2 ) , 1 < ⩽ 2, где константа не зависит от выбора прямоугольников { } и функций { }. В-третьих, весовое неравенство Литлвуда–Пэли–Рубио де Франиса для произвольных прямоугольников в R2 . Теорема 4. Пусть ℐ — какое-то разбиение плоскости R2 на прямоугольни­ ки со сторонами, параллельными осям координат, а ( · , · ) — некоторый вес на плоскости, пусть, как обычно, = 1 . Для показателей в интер­ ̂︂ ̂︀ вале 2 < < ∞ и веса , удовлетворяющего двупараметрическому условию Макенхаупта с показателем /2, верно неравенство ‖{ } ∈ℐ ‖ (R2 , 2 ) ⩽ ‖ ‖ (R2 ) . (6) Для показателей в интервале 0 < < 2 и веса , удовлетворяющего неко­ торому условию α ( ) , являющемуся в определенном смысле двойственным к условию Макенхаупта, верно неравенство ⃦∑︁ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 2 ⩽ ⃦{ } ∈ℐ ⃦ 2 2 , где supp ̂︀ ⊆ для ∈ ℐ. (7) ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ∈ℐ (R ) (R , ) Число ( ) должно удовлетворять условиям 1 < ( ) < 2 и ( ) ⩾ , а условие ∈ α обозначает − −1 ∈ 2( −1) . Достоверность. Все результаты, которые выносятся на защиту, явля­ ются математически достоверными фактами, их доказательства проверялись специалистами в той области, к которой эти результаты относятся. Результаты глав 1,3 опубликованы в рецензируемых журналах. Результаты главы 2 обоща­ ют идеи работы автора [49], также опубликованной в рецензируемом издании. Апробация работы. Результаты работы были доложены в рамках нескольких выступлений на Санкт-Петербургском семинаре по теории опера­ торов и теории функций. Личный вклад. Статья [50] написана в соавторстве с С.В. Кисляковым. По мнению соавторов, их вклад в эти работы равный. Все остальные основные новые результаты, изложенные в работах [47—49] и приведённые в диссертации, являются результатами лично диссертанта. Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 4 — в пе­ риодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 0 приложений. Полный объём диссертации составляет 118 стра­ ниц, включая 2 рисунка и 0 таблиц. Список литературы содержит 50 наиме­ нований.

В заключение подведём итоги диссертации. В главе 1 была доказана
-замкнутость весовых пространств Харди на двумерном торе в соответству­
ющих пространствах Лебега: для этого мы рассмотрели абстрактный аналог
пространств Харди граничных значений аналитических функций и соответ­
ствующий абстрактный подход к теоремам о -замкнутости. Далее, в главе 2
было установлено неравенство Литлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для много­
параметрических систем Виленкина и произвольных прямоугольников в Z +.
Было описано несколько интересных вспомогательных результатов, а также
следствий и вариантов основной теоремы. Наконец, в главе 3 неравенство Лит­
лвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для произвольных прямоугольников в R2 было
обобщено на случай с весом, а соответствующее двойственное неравенство, в
том числе для показателей ⩽ 1, было обобщено для весов, в некотором смыс­
ле двойственных весам Макенхаупта.
Эти результаты лежат в рамках теории многопараметрических сингу­
лярных интегральных операторов и ее приложений. Они представляются
актуальными в контексте современного гармонического анализа.
Благодарности

В первую очередь я выражаю свою искреннюю благодарность моему
научному руководителю Сергею Витальевичу Кислякову, который, согласив­
шись взять меня в свои ученики еще на втором курсе университета, сейчас,
спустя восемь лет, привел меня к защите этой диссертации. Я также очень
признателен своим коллегам и соавторам Николаю Осипову и Антону Целище­
ву, оказывавшим непосредственную поддержку в моей работе над диссертацией.

Пользуясь возможностью, я хочу поблагодарить также и тех людей, кото­
рые хоть и связаны с этой диссертацией лишь косвенно, сыграли не меньшую
роль в моей научной работе в последние несколько лет.
Я благодарен замечательному коллективу лаборатории им. П. Л. Че­
бышева и всего Факультета математики и компьютерных наук СПБГУ,
окружавшему меня в эти годы. В особенности я благодарен Сергею Борисо­
вичу Тихомирову, которого я могу без преувеличения назвать своим ментором,
и который оказал решающее влияние на развитие моих научных и жизненных
интересов. Я очень благодарен Михаилу Анатольевичу Лифшицу за его под­
держку и веру в меня, за его ценные, всегда прямолинейные, советы.
Я благодарен своим товарищам Александру Теренину и Петру Мостовско­
му, вместе с которыми мы многого добились за пределами чистой математики.
Конечно, я благодарен своей семье. Сложно выразить словами насколько
была, и до сих пор остается, важна для меня постоянная поддержка моей жены
Екатерины Носковой и матери Наталии Владимировны Боровицкой! Энергич­
ность моей бабушки Киры Константиновны Тумановой и моего дяди Михаила
Юрьевича Макова всегда служила для меня примером и вдохновляла меня. На­
конец, я безмерно благодарен своему отцу, Андрею Ефимовичу Боровицкому,
который оказал, наверное, наиболее сильное влияние на то, каким человеком я
сейчас являюсь, и которому, увы, уже не суждено прочитать эти строки.
Я благодарен не меньше и всем тем, кто, не смотря на свою важную роль,
не был упомянут до сих пор. Каким-либо успехам я обязан всем без исключения!

Вячеслав Андреевич Боровицкий
Октябрь 2021

1. Анисимов Д. С., Кисляков С. В. Двойные сингулярные интегралы: ин­
терполяция и исправление // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, № 5. —
С. 1—33.
2. Виленкин Н. Я. Об одном классе полных ортонормальных систем // Изве­
стия Российской академии наук. Серия математическая. — 1947. — Т. 11,
№ 4. — С. 363—400.
3. Злотников И. К., Кисляков С. В. Теорема Гротендика для некоторых ал­
гебр и модулей над ними // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2019. —
Т. 480. — С. 108—121.
4. Кисляков С. В. Теорема Литлвуда–Пэли для произвольных интервалов:
весовые оценки // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2008. — Т. 355. —
С. 180—198.
5. Кисляков С. В., Парилов Д. В. О теореме Литлвуда–Пэли для произволь­
ных интервалов // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2005. — Т. 327. —
С. 98—114.
6. Кисляков С. В. Абсолютно суммирующие операторы на диск-алгебре //
Алгебра и анализ. — 1991. — Т. 3, № 4. — С. 1—77.
7. Кисляков С. В., Шу К. Вещественная интерполяция и сингулярные инте­
гралы // Алгебра и анализ. — 1996. — Т. 8, № 4. — С. 75—109.
8. Осипов Н. Н. Неравенство Литлвуда–Пэли для произвольных прямоуголь­
ников в R2 при 0 < ⩽ 2 // Алгебра и анализ. — 2010. — Т. 22, № 2. — С. 164—184. 9. Осипов Н. Н. Одностороннее неравенство Литлвуда–Пэли в R для 0 < ⩽ 2 // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2010. — Т. 376. — С. 88—115. 10. Осипов Н. Н. Неравенство Литлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа в простран­ ствах Мори–Кампанато // Математический сборник. — 2014. — Т. 205, № 7. — С. 95—114. 11. Целищев А. С. Неравенство Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для огра­ ниченных систем Виленкина // Математический сборник. — 2021. — Т. 212, № 10. — С. 152—164. 12. Bourgain J. On square functions on the trigonometric system // Bull. Soc. Math. Belg. Sér. B. –– 1985. –– Vol. 37, no. 1. –– P. 20––26. 13. Carbery A., Seeger A. - and -variants of multiparameter Calderón-Zyg­ mund theory // Transactions of the American Mathematical Society. –– 1992. –– Vol. 334, no. 2. –– P. 719––747. 14. Chang S.-Y. A., Fefferman R. Some recent developments in Fourier analysis and -theory on product domains // Bulletin of the American Mathematical Society. –– 1985. –– Vol. 12, no. 1. –– P. 1––43. 15. Ding Y., Han Y., Lu G., Wu X. Boundedness of Singular Integrals on Multipa­ rameter Weighted Hardy Spaces (R × R ) // Potential Anal. –– 2012. –– Vol. 37. –– P. 31––56. 16. Fefferman C. The multiplier problem for the ball // Annals of Mathematics. –– 1971. –– Vol. 94, no. 2. –– P. 330––336. 17. Fefferman R. Harmonic analysis on product spaces // Annals of Mathemat­ ics. –– 1987. –– Vol. 126, no. 1. –– P. 109––130. 18. Fefferman R. Calderón–Zygmund theory for product domains: spaces // Proceedings of the National Academy of Sciences. –– 1986. –– Vol. 83, no. 4. –– P. 840––843. 19. Gamelin T. W., Kislyakov S. V. Uniform Algebras as Banach Spaces // Hand­ book of the geometry of Banach spaces. –– 2001. –– Vol. 1. –– P. 671––706. 20. García-Cuerva J. Weighted spaces. –– 1979. 21. Gundy R. F. Inégalités pour martingales à un et deux indices: L’espace // Ecole d’eté de probabilités de saint-flour VIII-1978. –– Springer, 1980. –– P. 251-334. 22. Gundy R. F. A Decomposition for 1 -Bounded Martingales // The Annals of Mathematical Statistics. –– 1968. –– Vol. 39, no. 1. –– P. 134––138. 23. Journé J.-L. Calderón-Zygmund operators on product spaces // Revista Matemática Iberoamericana. –– 1985. –– Vol. 1, no. 3. –– P. 55––91. 24. Kisliakov S. V. Interpolation of -spaces: some recent developments // Func­ tion Spaces, Interpolation Spaces, and Related Topics (Haifa, 1995), Israel Mathematical Conference Proceedings. Vol. 13. –– 1999. –– P. 102––140. 25. Kislyakov S. Bourgain’s Analytic Projection Revisited // Proceedings of the American Mathematical Society. –– 1998. –– Vol. 126, no. 11. –– P. 3307––3314. 26. Kislyakov S. V. Martingale transforms and uniformly convergent orthogonal series // Journal of Soviet Mathematics. –– 1987. –– Vol. 37, no. 5. –– P. 1276––1287. 27. Kislyakov S. V., Zlotnikov I. K. Interpolation for intersections of Hardy-type spaces // Israel Journal of Mathematics. –– 2020. –– Vol. 239. –– P. 21––38. 28. Kislyakov S. Interpolation Involving Bounded Bianalytic Functions // Com­ plex Analysis, Operators, and Related Topics. –– Springer, 2000. –– P. 135––149. 29. Lee M.-Y. Boundedness of Calderón-Zygmund operators on weighted product Hardy spaces // Journal of Operator Theory. –– 2014. –– Vol. 72, no. 1. –– P. 115––133. 30. Osękowski A. Sharp Martingale and Semimartingale Inequalities. Vol. 72. –– Springer, 2012. 31. Osipov N. Littlewood–Paley–Rubio de Francia inequality for the Walsh sys­ tem // St. Petersburg Mathematical Journal. –– 2017. –– Vol. 28, no. 5. –– P. 719––726. 32. Pipher J. Journé’s covering lemma and its extension to higher dimensions // Duke Mathematical Journal. –– 1986. –– Vol. 53, no. 3. –– P. 683––690. 33. Pisier G. Interpolation between spaces and noncommutative generaliza­ tions. I // Pacific Journal of Mathematics. –– 1992. –– Vol. 155, no. 2. –– P. 341––368. 34. Ruan Z. P. The Calderón-Zygmund decomposition and interpolation on weighted Hardy spaces // Acta Mathematica Sinica, English Series. –– 2011. –– Vol. 27, no. 10. –– P. 1967––1978. 35. Rubio de Francia J. L. A Littlewood-Paley Inequality for Arbitrary Intervals // Revista Matematica Iberoamericana. –– 1985. –– Vol. 1, no. 2. –– P. 1––14. 36. Soria F. A Note on a Littlewood–Paley Inequality for Arbitrary Intervals in R2 // Journal of the London Mathematical Society. –– 1987. –– Vol. s2––36, no. 1. –– P. 137––142. 37. Srinivasan T. P., Wang J.-k. Weak*-Dirichlet algebras, Function Algebras // Function Algebras (Proc. Internat. Sympos., Tulane Univ., 1965), Scott-Fores­ man, Chicago, IL. –– 1966. –– P. 216––249. 38. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. –– Princeton University Press, 1993. 39. Strömberg J.-O., Wheeden R. L. Relations between and in a product space // Transactions of the American Mathematical Society. –– 1989. –– Vol. 315, no. 2. –– P. 769––797. 40. Tao T. MathOverflow answer to “A generalization of Rubio de Francia’s inequality” [Электронный ресурс]. –– 07/30/2021. –– URL: https : / / mathoverflow.net/a/400694. 41. Walsh J. L. A Closed Set of Normal Orthogonal Functions // American Journal of Mathematics. –– 1923. –– Vol. 45, no. 1. –– P. 5––24. 42. Weisz F. Cesaro Summability of Two-Dimensional Walsh–Fourier Series // Journal of Approximation Theory. –– 1997. –– Vol. 88, no. 2. –– P. 168––192. 43. Weisz F. Martingale Hardy Spaces and Their Applications in Fourier Analy­ sis. –– Springer, 2006. 44. Weisz F. Summability of Multi-Dimensional Fourier Series and Hardy Spaces. –– Springer, 2013. 45. Weisz F. Summation of Fourier series // Acta Mathematica Academiae Paed­ agogicae Nyíregyháziensis. –– 2004. –– Vol. 20. –– P. 239––266. 46. Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. — Cambridge University Press, 1996. Публикации автора по теме диссертации