Модели гранулированных микрополярных жидкостей

Актуальность темы исследования
Во многих прикладных задачах переноса твердых частиц жидкостью необ­
ходимо учитывать не только взаимодействие твердых частиц и жидкости, но
и взаимодействие частиц между собой. Примерами являются транспорт про­
ппанта в трещине гидроразрыва пласта, вынос шлама при бурении скважин,
течение крови и других биологических жидкостей, движение селей и оползней,
заливка конструкций строительным бетоном и т.п. В диссертации такие среды
рассматриваются в рамках модели континуума Коссера или микрополярной
жидкости, в которой каждая материальная частица характеризуется не толь­
ко положением в пространстве, но и ориентацией трех взаимно-ортогональных
направляющих векторов. В этом подходе учитываются внутренние моменты
количества движения, а тензор напряжений Коши в общем случае не является
симметричным. Целью работы является вывод и исследование моделей типа
континуума Коссера для случаев, когда среда имеет вязкопластическую рео­
логию, концентрация полярных частиц не является постоянной, а частицы и
несущая жидкость имеют разную плотность.
Степень разработанности темы исследования
Впервые модель сплошной среды с дополнительными вращательными сте­
пенями свободы частиц была предложена в начале прошлого века братьями
Эженом и Франсуа Коссера в работе [1]. Впоследствии данная модель получила
название континуума Коссера или модели микрополярной среды. В рамках этой
модели частицы сплошой среды рассматривались как твердые тела с поступа­
тельными и вращательными степенями свободы, а наряду с полем напряжений
вводилось поле моментных напряжений. Через полвека эта теория была заново
открыта независимо несколькими авторами: в работе [2] методами статистиче­
ской физики были получены некоторые законы сохранения для полярных сред,
в работах [3] и [4] рассмотрены модели упругих сред с учетом микрополярности.
Значительное развитие механика сред с полярными частицами получила
в работах К. Эрингена. В работе [5] была выведена и исследована линейная
модель упругой полярной среды, нелинейная теория упругости с моментными
напряжениями была разработана в работах [6] и [7]. Модель жидкой среды с
вращательными степенями свободы выведена в работе [8], а в [9] данная модель
была обобщена на случай жидкости с деформируемыми полярными частицами.
Основные результаты работ К. Эрингена по полярным средам приведены в
монографии [10].
В русскоязычной литературе механика микрополярной среды впервые по­
лучила развитие в работах Э.Л. Аэро и соавторов. В работах [11] и [12] дан вы­
вод основных уравнений теории упругости с вращательным взаимодействием
частиц. В работе [13] изучается модель жидкой среды с моментными напряже­
ниями.
Следующим шагом в развитии теории моментных жидкостей стало обоб­
щение данных моделей на случай сложной реологии. В работах [14;15] содержат­
ся определяющие уравнения вязкоупругих моментных тел. В монографии [16]
рассмотрена кинематика микрополярной среды и развита теория определяю­
щих соотношений для вязкоупругой микрополярной жидкости, там же решен
ряд задач о течении таких сред. В работе [17] предложена модель микропо­
лярной жидкости с вязкопластической реологией, численно решена задача о
течении типа Пуазейля.
Важный для практики случай полярных сред — жидкие кристаллы рас­
сматривались в работах [18–21]. Модели типа Коссера оказались полезными для
построения неклассических моделей стержней, пластин и оболочек [22–24]. В ра­
боте [25] при помощи асимптотического перехода из общей трехмерной теории
Коссера получены уравнения для тонких упругих плит, а в работе [26] изуче­
но влияние моментных напряжений на характеристики свободных колебаний в
тонких пластинах.
Вопросам механики микрополярных жидкостей посвящено большое ко­
личество публикаций. В частности, в монографии [27] рассмотрены задачи о
течении микрополярной жидкости в каналах и её диссипативный нагрев, иссле­
дованы процессы стационарного переноса тепла и предложена методика экспе­
риментального определения микроструктурных параметров. В этой же работе
описаны возможности применения теории моментных жидкостей в фильтрации
и капиллярной дефектоскопии. В работе [28] исследуются различные краевые
условия для задач механики микрополярных жидкостей, показано, что для про­
стейших течений при специальном выборе краевого условия модель допускает
решение, совпадающее с решением классических уравнений Навье-Стокса.
Исследованию конвективных течений микрополярной жидкости посвяще­
ны работы [29–32]. В работе [33] рассматриваются течения моментных жидко­
стей с пограничным слоем. В [34] построено точное решение для двухслойного
неизотермического течения ньютоновской и микрополярной жидкостей в верти­
кальном канале. В работе [35] также рассмотрено совместное течение ньютонов­
ской жидкости с тонким пристеночным слоем жидкости Коссера и при помощи
асимптотического метода получено условие проскальзывания для классической
жидкости. Методами группового анализа [36;37] в работе [38] построены точные
решения двумерных уравнений микрополярной жидкости.
В статье [39] рассмотрена задача о течении гранулированной среды по
склону под действием гравитации. Методами статистической физики для слу­
чая малой концентрации полярных частиц были получены характерные соот­
ношения между классической и микроструктурными вязкостями. Там же было
проведено сравнение численного решения, полученного по модели Коссера с ре­
шением, полученным методом дискретного элемента и показано качественное
совпадение результатов расчета по двум моделям.
Неизотермические течения микрополярных сред в областях с проницае­
мыми стенками изучались в работах [40; 41]. В работе [42] исследовано несколь­
ко задач о неизотермическом течении микрополярной жидкости с вязкостью,
зависящей от температуры. Динамика магнитных жидкостей с учетом враща­
тельного взаимодействия частиц обсуждалась в монографии [43]. В работе [44]
рассматривалась модель магнитной гидродинамики микрополярных сред. Во­
просы механики жидкостей с несимметричным тензором напряжений изучают­
ся в работах [45;46]. Возможное применение теории микрополярных жидкостей
в биомеханике описано в работах [47; 48].
В работах [49] и [50] экспериментально исследованы двумерные и трехмер­
ные течения гранулированной среды в вертикальных каналах. Для двумерного
случая измерены угловые скорости частиц и показано, что они могут сильно
отличаться от макроскопической угловой скорости среды. Приведено качествен­
ное сравнение экспериментальных результатов с расчетами по модели микропо­
лярной жидкости. Показано, что модель микрополярной жидкости корректно
описывает вращение частиц при таком течении.
Математические проблемы механики микрополярных жидкостей были по­
дробно изучены в монографии Г. Лукашевича [51], где была доказана одно­
значная разрешимость ряда стационарных и нестационарных задач, а также
методом гомогенизации получен аналог закона Дарси для фильтрации такой
жидкости. В работе [52] доказана глобальная разрешимость двумерной зада­
чи Коши для жидкости Коссера в случае, когда вращательная вязкость равна
нулю, то есть исчезают вторые производные в законе сохранения момента им­
пульса. Корректность двумерных задач для уравнений микрополярной жидко­
сти, в которой присутствует только вращательная диссипация изучалась в [53].
Глобальная разрешимость трехмерной задачи Коши для уравнений микропо­
лярной жидкости со сглаживающими слагаемыми показана в [54]. В работе [55]
изучалась гладкость обобщенных решений уравнений микрополярной жидко­
сти.
Математические свойства модели микрополярной жидкости с предельным
напряжением сдвига [17] изучались в работах [56] и [57]. В [56] доказана одно­
значная разрешимость одномерной нестационарной начально-краевой задачи,
а в [57] доказана разрешимость стационарной трехмерной задачи. В данных ра­
ботах при доказательстве использовался метод регуляризации уравнений жид­
кости с предельным напряжением сдвига, предложенный в [58] и [59].
Последние две главы диссертации посвящены выводу и исследованию мо­
делей с переменной концентрацией полярных частиц. Данные модели были по­
лучены методом, предложенным в работах И.М. Халатникова [60], [61] и Л.Д.
Ландау [62] для построения модели сверхтекучего гелия вблизи критической
точки. Метод Ландау-Халатникова применялся в дальнейшем как для получе­
ния моделей сверхтекучих жидкостей [63], так и для получения моделей класси­
ческих многофазных сред [64], [65]. Важной особенностью метода является то,
что он позволяет получить термодинамически согласованную систему законов
сохранения и определяющих соотношений.
Следует упомянуть и другие методы выведения уравнений многофазных
сред. Самым известным из которых является метод геометрического осредне­
ния, описанный в работах [66], [67] и [68]. Метод состоит в том, что к фазовым за­
конам сохранения применяется подходящий оператор осреднения. Полученная
таким способом модель не является замкнутой, для её замыкания необходимы
дополнительные физические гипотезы. Модели, полученные методом осредне­
ния, нашли широкое практическое применение в атомной [69], нефтяной [70;71]
и других видах промышленности. Также, как было показано в работах [72–75],
модели многофазной среды могут быть выведены из принципа наименьшего
действия.
Цели и задачи исследования
Цель работы заключается в построении новых моделей сред с микрострук­
турой, а также в анализе этих моделей при помощи аналитических и численных
методов. Можно выделить следующие задачи:
– построение термодинамически согласованных моделей смеси ньютонов­
ской и микрополярной жидкостей;
– численное решение полученных уравнений, оценка влияния параметров
и качественное сравнение с экспериментом;
– построение точных решений в задачах о течении микрополярной жидко­
сти с предельным напряжением сдвига;
– исследование корректности начально-краевой задачи течения микропо­
лярной жидкости между двух цилиндров.
Научная новизна
При решении задач были получены следующие новые результаты:
– Построена термодинамически согласованная односкоростная модель сме­
си жидкости с частицами, учитывающая вращение частиц и вязкопластическую
реологию смеси. Замечено, что в общем случае поток концентрации в такой жид­
кости зависит не только от градиентов температуры, давления и концентрации,
но и от микровращений частиц. Показано, что в одномерном течении при уче­
те нелинейной зависимости потока концентрации от микровращений, решение
согласуется с эффектом Сегре-Сильберберга.
– Построена термодинамически согласованная двухскоростная модель сме­
си, учитывающая диффузию частиц. В рамках полученной модели численно
решена задача об оседании в двумерной области, исследованы конвективные
течения, возникающие при наклоне сосуда и их влияние на ускорение оседания
(эффект Бойкотта).
– Впервые была исследована модель микрополярной жидкости с предель­
ным напряжением сдвига [17]. Для одномерных течений такой жидкости в кана­
ле были построены точные решения. Показано, что модель допускает течения с
двумя типами твердотельных зон. Для микрополярной жидкости, вязкость ко­
торой подчиняется закону Хершель-Балкли, в ячейке Хеле-Шоу методом асимп­
тотического анализа получена связь средней скорости течения и градиента дав­
ления.
– В случае осевой симметрии доказана глобальная разрешимость одномер­
ной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жидкости.
Теоретическая и практическая значимость
Диссертационная работа носит теоретический характер. Точные решения
и результаты о разрешимости, полученные в работе, могут применяться для
дальнейшего численного и теоретического анализа задач. Полученные модели
жидкостей с переменной концентрацией полярных частиц могут быть исполь­
зованы для изучения течений селей и оползней, а также при моделировании
технологических процессов в химической, нефтяной и пищевой промышленно­
стях.
Методология и методы исследования
Для решения поставленных задач в диссертационной работе использова­
лись:
– методы механики сплошных сред;
– теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория
обобщенных функций, теория осреднения;
– метод искусственной сжимаемости, метод простой итерации, метод ко­
нечных элементов, реализованные в пакете FreeFEM++, и методы численного
решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, ре­
ализованные в пакете Mathematica.
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной
работы:
– построена односкоростная, термодинамически согласованная модель сме­
си ньютоновской и микрополярной жидкости, построены численные решения
модели, согласованные с эффектом Сегре-Сильберберга;
– выведена двухскоростная термодинамически согласованная модель, учи­
тывающая диффузию частиц, и построено численное решение, показывающее,
что предложенная модель позволяет описать эффект Бойкотта;
– построены точные решения одномерных уравнений микрополярной жид­
кости Бингама с различными типами твердотельных зон;
– для одномерных и двумерных течений микрополярной жидкости Хер­
шель-Балкли в ячейке Хеле-Шоу получена связь между средней скоростью и
градиентом давления;
– доказана глобальная теорема о существовании слабого решения одно­
мерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жидкости при
наличии осевой симметрии.
Степень достоверности и апробация результатов
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается ис­
пользованием устоявшихся в научном сообществе законов механики и основ­
ных принципов термодинамики при выводе моделей. Аналитические резуль­
таты диссертации в значительной мере опираются на методы, предложенные
Л.Д. Ландау [62], И.М. Халатниковым [61] и О.А. Ладыженской [76]. Коррект­
ность результатов численного решения подтверждается проделанной проверкой
численных алгоритмов на сходимость, в том числе с использованием аналити­
ческих решений. Основные результаты диссертационной работы прошли проце­
дуру рецензирования и опубликованы в международных и российских журна­
лах [77–81].
Доклады по теме работы были представлены и обсуждались
– на 51-й Международной научной студенческой конференции “Студент
и научно-технический прогресс” (Новосибирск, 2013), где был получен диплом
второй степени;
– на 53-й Международной научной студенческой конференции “Студент
и научно-технический прогресс” (Новосибирск, 2015), где был получен диплом
третьей степени;
– на Всероссийской конференции “Нелинейные волны: теория и новые при­
ложения”, посвященной 70–летию со дня рождения чл.-корр. РАН В.М. Тешу­
кова (Новосибирск, 2016);
– на Всероссийской конференции и школе для молодых ученых “Матема­
тические проблемы механики сплошных сред”, посвященной 100–летию со дня
рождения акад. РАН Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2019);
– на Международной конференции “Coupled thermo-hydro-mechanical
problems of fracture mechanics” (Новосибирск, 2019);
– на семинаре под руководством д.ф.-м.н. С.Н. Антонцева Института гид­
родинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2016);
– на семинаре “Краевые задачи механики сплошных сред” под руковод­
ством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова и д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтова Института
гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2021);
– на семинаре “Прикладная гидродинамика” под руководством чл.-корр.
РАН В.В. Пухначева и д.ф.-м.н. Е.В. Ерманюка Института гидродинамики им.
М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2016, 2019, 2020 и 2021);
– на семинаре “Математическое моделирование ГРП” под руководством
д.ф.-м.н. С.В. Головина Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО
РАН (Новосибирск, 2019, 2021);
– на семинаре “Избранные вопросы математического анализа” под руко­
водством д.ф.-м.н. Г.В. Демиденко Института математики им. С. Л. Соболева
СО РАН (Новосибирск, 2021);
– на 20-й Всероссийской конференции молодых ученых по математическо­
му моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2019);
– на 10-й Международной конференции-школе молодых ученых “Волны и
вихри в сложных средах” (Москва, 2019);
– на 7-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых “Зада­
чи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения” (Красноярск,
2020);
– на открытом заседании Ученого совета по рассмотрению важнейших
результатов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева (Новосибирск,
2020).
Личный вклад
Автор диссертационной работы принимал активное участие в получении
результатов, отражённых во всех совместных публикациях на равноправной
основе: постановке задачи, выводе математической модели, разработке и вери­
фикации численного метода для ее решения, проведении численных экспери­
ментов, обсуждении полученных результатов и их физической интерпретации,
а также оформлении результатов в виде публикаций и научных докладов. Ре­
зультаты, изложенные во второй главе диссертации, были получены автором
самостоятельно и опубликованы без соавторов.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из 103 страниц, в которые входят введение, четы­
ре главы, заключение и список литературы. В работе 16 рисунков, а список
литературы содержит 98 наименований.
Краткое содержание работы
В первой главе исследуется модель микрополярной жидкости с предель­
ным напряжением сдвига, предложенная в [17]. Дается определение сильной
и слабой твердотельной зоны и аналитическими методами строятся решения
с двумя типами таких зон. В приближении ячейки Хеле-Шоу выводится обоб­
щенный закон Дарси для жидкости Коссера-Бингама. Показано, что для та­
ких жидкостей имеет место эффект предельного градиента давления. Далее
полученный закон обобщается на случай микрополярной жидкости Хершель­
Балкли. Показано, что учет вращения частиц среды увеличивает предельный
градиент давления и кажущуюся вязкость.
Во второй главе рассматривается осесимметричное течение микрополяр­
ной жидкости между концентрическими цилиндрами. Для такого течения яв­
но выписывается вид тензоров напряжений и скоростей деформаций, ставится
начально-краевая задача. Получены априорные оценки для решения предло­
женной задачи. В последнем параграфе второй главы доказывается глобаль­
ная теорема о существовании слабого решения одномерной осесимметричной
начально-краевой задачи.
В третьей главе модель микрополярной жидкости обобщается на случай
произвольной концентрации полярных частиц. Рассматривается случай, когда
несущая жидкость и полярные частицы имеют одинаковую плотность и ско­
рость. Модель смеси с переменной концентрацией выводится методом Ландау­
Халатникова [60], [61], [62], что позволяет получить законы сохранения и опре­
деляющие уравнения, согласующиеся с неотрицательным знаком производства
энтропии. При выводе предполагается, что правая часть закона сохранения
массы дисперсной фазы содержит диффузионный поток, который зависит не
только от градиентов давления, концентрации и температуры, но и от микро­
вращений полярных частиц. Такое предположение впервые было предложено в
работе [48], где термодинамика микрополярной жидкости изучалась без учета
эффектов инерции и конвекции.
Во второй части третьей главы рассматривается течение Пуазейля между
двумя параллельными плоскостями. Было замечено, что при некоторых значе­
ниях коэффициентов в обобщенном законе Фика максимум концентрации сме­
щается в область между центром канала и его границами. Это согласуется с экс­
периментальным эффектом Сегре-Сильберберга [82]. Показано, что если поток
концентрации в модели не зависит от микровращений, то эффект отсутствует.
В четвертой главе исследуется случай, когда частицы и несущая жидкость
имеют разные плотности и скорости. Методом Ландау-Халатникова проводит­
ся вывод двухскоростной модели [80]. Для исследования полученной модели
рассматривается задача о седиментации частиц в двумерном сосуде. Методом
конечных элементов найдено численное решение задачи в случае вертикальной
и наклоненной области. Показано, что при наклоне сосуда фронт концентрации
ортогонален направлению ускорения свободного падения, а также, что части­
цы в наклонной ячейке оседают быстрее, что согласуется с эффектом Бойкотта.
Численно изучены конвективные течения, возникающие при оседании. Показа­
но, что в наклоненном сосуде конвективное течение имеет большую интенсив­
ность, чем в вертикальном, что влияет на скорость оседания частиц и форму
фронта чистой жидкости. Проведено сравнение с экспериментальными данны­
ми [83] и исследование сходимости метода, оценен порядок сходимости.
Благодарности
Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю
Шелухину Владимиру Валентиновичу за руководство при проведении исследо­
ваний, помощь в научной и организационной работе.

В работе выполнен теоретический анализ ряда моделей микрополярной
жидкости. Для случая переменной концентрации полярных частиц выведены
термодинамически согласованные односкоростная и двухскоростная модели, ко­
торые исследованы численно. Основные результаты диссертации заключаются
в следующем:
1. Методом Ландау-Халатникова построена односкоростная, термодина­
мически согласованная модель смеси ньютоновской и микрополярной
жидкости, построены численные решения модели, согласующиеся с эф­
фектом Сегре-Сильберберга.
2. Построена термодинамически согласованная двухскоростная модель
смеси, учитывающая диффузию частиц, в рамках модели численно ре­
шена задача об оседании в двумерной области. Показано, что данное ре­
шение согласуется с экспериментальными данными (эффект Бойкотта,
конвективное течение, постоянная толщина тонкого слоя чистой жид­
кости). Проведено исследование сходимости метода и сравнение числен­
ного решения с экспериментальными данными.
3. Для одномерных и двумерных течений микрополярной жидкости Хер­
шель-Балкли в ячейке Хеле-Шоу получена связь между средней скоро­
стью и градиентом давления.
4. Построены аналитические решения одномерных уравнений микропо­
лярной жидкости Бингама с различными типами твердотельных зон.
5. Доказана глобальная теорема о существовании слабого решения одно­
мерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жид­
кости при наличии осевой симметрии.

1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformable. — Paris: Librairie
Scientifique A. Hermannet Fils, 1909.