Моделирование движения двухфазных смесей в пористых средах с переменной пористостью и с учетом фазовых переходов

Актуальность темы исследования
Актуальность теоретического исследования моделей механики многофазных сред с переменной пористостью и учетом фазовых переходов обусловлена их широ- ким применением к решению важных практических задач: ирригации и дренажа сельскохозяйственных полей [1–3]; фильтрации вблизи речных плотин, дамб и дру- гих гидротехнических сооружений [4–7]; разработки трудноизвлекаемых запасов нефти и газа [8, 9]; движение магмы в земной коре [10]; прогноза возникновения и роста опухолей [11]; очистки с помощью фильтров воды, жидкого топлива, сма- зочных масел [12,13].
Многочисленные исследования, проведенные как в нашей стране (В. Н. Никола- евский, А. М. Блохин, В. Н. Доровский, Л. С. Кучмент, Г. Г. Ципкин, Ю. М. Шех- тман, А. Н. Коновалов и др.), так и за рубежом (K. Terzaghi, S. C. Colbeck, J.M.N.T. Gray, I. Vardoulakis и др.), посвящены фильтрации многофазных смесей. Однако, проведенные до настоящего времени исследования не включали в себя множество задач, в частности, задачи о фильтрации воды и воздуха в тающем снеге и внутренней суффозии с учетом переменной пористости (пористость мо- жет изменяться, в частности, из-за деформации пористого скелета [14]), фазовых переходов и определения скоростей фильтрующихся фаз.
Степень разработанности темы исследования
Результаты систематического исследования динамики многофазных сред изло- жены в монографиях Р. И. Нигматулина [15,16], К. L. Rajagopal и L. Тао [17], В. Н. Николаевского [18,19]. Система уравнений многофазного течения выводит- ся из законов сохранения массы, импульса и энергии сплошной среды и, как пра- вило, является недоопределенной. Для ее замыкания необходимо конкретизиро- вать величины, описывающие внутрифазные и межфазные массовые, силовые и энергетические взаимодействия. Примерами такой конкретизации служат работы Н. Е. Жуковского, связанные с выводом уравнений фильтрации; Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия; С. С. Кутателадзе, М. А. Стыри- ковича, М. Е. Дейча и Г. А. Филиппова по газожидкостным системам; Н. Н. Янен- ко, Р. И. Солоухина по сверхзвуковым двухфазным течениям; Я. И. Френке- ля, В. Н. Николаевского по деформированию водонасыщенных грунтов и выносу песка в работающую скважину [19]; А. М. Блохина и В. Н. Доровского по мо- делям континуальной теории фильтрации, не использующим закон Дарси [20]; С. К. Годунова по термодинамически согласованным моделям многофазных сред; К. Wilmanski по моделированию процессов сорбции в деформируемой пористой среде; И. О. Протодьяконова и Ю. Г. Чеснокова по моделированию движения псевдоожиженного слоя [21]; Ю. М. Шехтмана по движению жидкости со взве- шенными твердыми частицами через пористые среды [12].
Численному исследованию задач фильтрации многофазных смесей в пори- стых средах с заданной пористостью посвящено множество работ (см., напри- мер, [22,24–26]). Обоснованию приближенных методов решения задач стационар- ной фильтрации с предельным градиентом посвящены работы А. Д. Ляшко и М. М. Карчевского [25, 26]. В работе Ю. М. Лаевского и соавторов для решения задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости используется метод конеч- ных элементов [24]. В работах А. Н. Коновалова ( см., например, [22]) исследуют- ся разностные схемы для задач двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости. Двумерные модели исследовались в работе [23]. Сравнению моделей фильтрации двухфазных жидкостей и анализу численных методов их решения посвящены ра- боты [27,28].
Если через слой неподвижных твердых частиц (со степенью неоднородности η > 20 [29]) пропускать восходящий поток жидкости (или газа), постепенно уве- личивая его скорость, то при определенной скорости, называемой критической, мелкая фракция перейдет в псевдоожиженное состояние [21]. При этом мелкие твердые частицы приобретут подвижность и будут перемещаться между более крупными частицами. Данный процесс захвата и выноса частиц грунта называет- ся внутренней суффозией (эрозией) грунта [30].
Следуя общепринятым положениям, грунт можно характеризовать двумя пара- метрами [31]: средним диаметром частиц d и степенью неоднородности η = d60/d10 (по Хазену), где d60 – контролирующий диаметр, меньше которого в данном грунте содержится 60 % частиц по массе; d10 – эффективный диаметр, меньше которого содержится 10 % частиц. Вынос мелкой фракции зависит от диаметра минималь- ных поровых каналов dпор между крупными зернами, который определяется экс- периментально (см, например, [31]). Приведенные в монографии [29] данные изме- рений устойчивости разнородных грунтов показывают, что при η < 10 суффозия практически отсутствует и слой, после достижения модуля скорости фильтрации несущей фазы критического значения, переходит в псевдоожиженное состояние без выделения мелких частиц. При η > 20, напротив, происходит интенсивная суффозия мелкозернистого “наполнителя” задолго до того, как основной “скелет” из крупнозернистых частиц потеряет устойчивость. В настоящей работе рассмат- риваются процессы фильтрации подземных вод и внутренней механической суф- фозии в грунтах со степенью неоднородности η > 20.
Одной из весьма острых проблем эксплуатации скважин в слабосцементиро- ванных породах является разрушение призабойной зоны пласта и поступление в скважины песка, что ведет к образованию глинисто-песчаных пробок на забое и в насосно-компрессорных трубах [8, 9]. Это приводит к снижению дебитов, раз- рушению обсадных колонн и фильтров, износу внутрискважинного и наземного оборудования, влечет значительные экономические потери вследствие снижения производительности, увеличения затрат на текущий и капитальный ремонт сква- жины, очистку газа от механических примесей. Проблема обостряется для ме- сторождений, которые эксплуатируются в завершающей стадии и при разработке трудноизвлекаемых нефтегазовых запасов. Проблемы, связанные с эрозией почвогрунтов, широко исследуются на протя- жении последнего столетия. Существуют различные подходы при моделировании процесса внутренней эрозии. В работах В.Н. Николаевского процесс эрозии моде- лируется на основе моделей однофазной фильтрации и упругопластических кри- териев разрушения [18]. Для насыщенных водой почвогрунтов при рассмотрении процесса эрозии может быть использована модель Био [32].
Принципиально иные подходы к моделированию эрозии используются в рабо- тах Бонелли [33,34]. В этих работах вводится неизвестная граница раздела между твердым скелетом и водой с подвижными твердыми частицами со стандартной реологией. Для определения неизвестной границы используются аналоги кинема- тического и динамических условий в задачах со свободными границами.
Наиболее полные модели теории движения воды и подвижных твердых частиц в пористой среде предложены в работах I. Vardoulakis и его последователей (см., например, [8,35–37]). Почвогрунты в данных работах, с одной стороны, рассмат- ривались как многофазные среды, но в то же время предполагалась пропорцио- нальность скоростей воды и подвижных частиц грунта. Это являлось следстви- ем предположения о равенстве давлений подвижных фаз. Несовпадение давле- ний в фазах может иметь место, в частности, из-за капиллярных эффектов [15]. Основной проблемой при таком подходе является описание силового взаимодей- ствия и совместного деформирования фаз. Подробное описание силового взаимо- действия жидкости (газа) и твердых частиц, движущихся в потоке, изложено в работах [21,38,39]. Но в них процесс суффозии не описывался.
В серии работ (см., например, [40,41] ) для моделирования движения смеси воды и подвижных твердых частиц в пористой среде используется следующий подход: рассматривается движение подвижных твердых частиц в потоке жидкости и два “вида” неподвижных твердых частиц, для нахождения концентраций которых ис- пользуются уравнения кинетики. В этом подходе истинная скорость подвижных твердых частиц не определяется, скорость жидкости находится из закона Дарси. Отрыв частиц от матрицы породы описывается на основе уравнения кинетики. В работе [41], как и в работах I. Vardoulakis [8, 36] предполагается, что ско- рость подвижных твердых частиц меньше скорости фильтрующейся жидкости и является заданным параметром, определяемым экспериментально [41]. Кроме то- го, скорость воды считается заданной функцией времени [41], изменяющаяся при отрыве частиц пористость не определяется в ходе решения задачи. Возникает ряд других параметров, связанных с уравнением кинетики и определяющихся экспе- риментально.
Следует также отметить, что не существует единого подхода к описанию процес- са обмена массой между пористым скелетом и твердыми подвижными частицами грунта. Корректное описание фазового перехода должно гарантировать выпол- нение физических принципов максимума для пористости и концентрации фаз. В настоящей работе предложена математическая модель фильтрации жидкости в пористой среде, подверженной внутренней эрозии с учетом сил межфазного взаи- модействия фильтрующихся фаз. Рассматриваемый подход позволяет определять скорости воды и подвижных частиц грунта в ходе решения начально-краевой за- дачи.
Вторая рассматриваемая в данной диссертации задача тепломассопереноа в та- ющем снеге не менее актуальна. Преобладающая часть стока северных рек форми- руется за счет таяния сезонного снежного покрова. Условия снеготаяния оказыва- ют основное влияние не только на количество поступающих в водоемы-приемники талых вод, но и на их качество. Кроме того, величина снежного покрова (снегоза- пас) влияет на промерзание поверхностного слоя почв и, следовательно, его впи- тывающую способность, определяющую соотношение между склоновым и грун- товым стоками. Поэтому моделирование состояния снежного покрова и солепере- носа в период снеготаяния имеет важное значение при разработке методов рас- четов и прогнозов гидрографов весеннего половодья и качества воды в водоемах- приемниках [42] . Имеется большое количество работ, посвященных исследованию солемассопереноса в тающем снеге, в которых используются данные наблюдений и эмпирические зависимости (см. библиографию в работе [43]). Большая часть эм- пирических моделей являются одномерными и не позволяют вычислить скорость фильтрации воды, а модели, позволяющие определить скорость фильтрации воды, обычно не учитывают фазовые переходы или пригодны только для специфичных режимов движения воды в снежном покрове и также не позволяют получить необ- ходимую информацию о поле скоростей и насыщенности водной фазы для оценки водного стока и стока загрязняющих веществ.
Таким образом, для достоверного прогноза водного стока и стока загрязняющих веществ необходимы данные о поле скоростей и насыщенности водной фазы, т.е. предлагается использовать комплексные модели, описывающие совместное дви- жение загрязняющих веществ и воды в снежном покрове с учетом различных краевых условий, фазовых переходов. Эти модели позволят рассчитать нестаци- онарное движение загрязняющих веществ внутри снежного покрова и оценить поверхностный и подземный стоки веществ. Для этого они должны учитывать ряд важных факторов: переменную пористость снежного покрова; фазовые пере- ходы; специфику граничных условий (в частности, наличие промерзшего или не промерзшего грунта). Основы теории движения воды и воздуха в тающем снеге заложены в работах S.C. Colbeck [44] и его последователей [45,46]. Несмотря на то, что в [44–46] снег моделировался как многофазная среда, переменная пористость льда, его деформация и фазовые переходы не учитывались.
В работе [47] снежный покров рассматривается как трехфазная среда (вода, воз- дух, лед). Приведены эмпирические зависимости для капиллярного скачка (вода– воздух) и эмпирические формулы для коэффициента проницаемости снега. Одна- ко, авторы пренебрегают движением воздуха и существенно упрощают уравнение для температуры. В результате трехфазная модель сводится к уравнению для температуры и уравнению для объемной концентрации водной фазы.
В работах [48, 49] построено автомодельное решение для модели двухфазной фильтрации при естественных граничных условиях. В [43] даны постановки сле- дующих задач тепломассопереноса в тающем снеге: 1) о движении воды и воздуха в тающем снеге с учетом фазовых переходов и деформации ледового скелета; 2) о распределении водного стока тающего снега между грунтовыми и поверхностны- ми водами; 3) об абляции деформируемого снежно–ледового покрова. Также в [43] разработан алгоритм численного решения задачи о переносе консервативных со- лей в тающем снеге и построена модель движения грунтовых вод, контактирую- щих с промерзшим грунтом.
Цели и задачи исследования
Целью данной работы является аналитическое и численное исследование про- цесса взаимопроникающего движения двух сред в пористой среде с переменной пористостью и учетом фазовых переходов. Разработка математических методов и вычислительных алгоритмов для решения задач, возникающих при исследова- нии процесса внутренней изотермической эрозии грунта при напорном движении грунтовых вод и тепломассопереноса в тающем снеге.
Научная новизна исследуемых задач состоит в учете переменной пористости вмещающей среды. Рассматриваемые в диссертации задачи осложняются тем, что пористость изменяется в результате фазовых переходов, а фильтрующиеся фазы имеют различные скорости, определяемые в ходе решения задач. В рамках теории многофазной фильтрации с учетом переменной пористости и фазовых переходов получены следующие новые результаты:
1. Построена замкнутая математическая модель фильтрации смеси твердых ча- стиц и жидкости в пористых средах с учетом внутренней суффозии. Подвижные частицы грунта рассматриваются как отдельная фаза, скорость которой опреде- ляется в ходе решения задачи. В рамках полученной модели численно решена одномерная задача внутренней суффозии грунта и проведено сравнение с экспе- риментальными данными для трех грунтов с различной суффозионной устойчи- востью.
2. В случае одномерного движения доказана глобальная разрешимость начально-краевой задачи для невырожденных уравнений внутренней эрозии при заданной суммарной скорости фильтрации.
3. На основе уравнений двухфазной фильтрации с учетом суффозионных про- цессов исследована профильная задача внутренней эрозии в межмерзлотном водо- носном слое при заданной концентрации подвижных частиц грунта. Определена область, подверженная внутренней эрозии грунта.
4. Построена математическая модель тепломассопереноса в тающем снеге. Снег рассматривается как трехфазная среда, состоящая из воды, воздуха и неподвиж- ного твердого пористого ледового скелета с переменной искомой пористостью. В рамках полученной модели численно решена одномерная задача фильтрации во- ды и воздуха с учетом фазового перехода, исследовано изменение пористости и водонасыщенности снега. Используя экспериментальные данные из литературных источников проведена верификация математической модели фильтрации воды и воздуха в тающем снеге, состоящем из двух слоев с разной плотностью.
Теоретическая и практическая значимость
Полученные результаты носят теоретический и прикладной характер и пред- ставляют интерес для специалистов в области гидродинамики, математической теории фильтрации и уравнений в частных производных. Работа вносит вклад в изучение фильтрации в пористых средах с переменной пористостью и учетом фазовых переходов. Полученные результаты развивают теорию фильтрации и до- полняют результаты изученной ранее задачи движения двухфазной смеси в по- ристой среде с заданной пористостью (классической модели Маскета–Леверетта). Результаты данной работы могут использоваться в решении прикладных задач по проектированию гидротехнических сооружений (речных плотин, водохранилищ, дамб и т.д.), ирригации и дренажа сельскохозяйственных полей, при оценки рисков механического разрушения коллекторов скважин, прогнозе гидрографа весеннего половодья, оценки распространения загрязнений талыми водами.
Полученные численные результаты могут использоваться для оценки рисков формирование пустот в грунте и образования суффозионных воронок. Результа- ты работы могут применяться для анализа экспериментов по определению суф- фозионной устойчивости грунтов и фильтрационных характеристик тающего сне- га. Модели и методы численного моделирования процессов фильтрации в средах с переменной пористостью позволяют создать новые и усовершенствовать суще- ствующие прикладные расчетные комплексы программ. С теоретической точки зрения работа вносит вклад в изучение систем уравнений в частных производных и развитие методов решения данных систем.
Методология и методы исследования
В работе применяются математический аппарат механики сплошной среды и теории фильтрации; гидродинамики; уравнений математической физики; общей теории дифференциальных уравнений; методы функционального анализа, а имен- но теорема Шаудера о неподвижной точке. Для численного решения задач при- менялись конечно-разностные методы Рунге–Кутты и переменных направлений для дифференциальных уравнений второго порядка. При реализации конечно- разностных схем использовались метод “замороженных коэффициентов” и методы прогонки, для нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений. Для проведения численных расчетов использованы авторские коды на языке C++.
Положения, выносимые на защиту
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образователь- ном учреждении высшего образования «Алтайский государственный универси- тет». На защиту выносятся следующие результаты:
– построена математическая модель фильтрации смеси твердых частиц и жид- кости в пористых средах с учетом внутренней суффозии, проведена верификация одномерной модели внутренней эрозии грунта на основе сравнения результатов численных расчетов изменения эродированной массы (частиц грунта вынесенных из области фильтрации) и экспериментальных данных из литературных источни- ков для трех грунтов с различной суффозионной устойчивостью;
– для профильной задачи внутренней эрозии в межмерзлотном водоносном слое при заданной концентрации подвижных частиц грунта в фильтрующемся потоке найдена область, подверженная внутренней эрозии;
– выведена математическая модель фильтрации воды и воздуха в тающем снеге с переменной пористостью и учетом фазового перехода, проведено сравнение ре- зультатов моделирования изменения водонасыщенности талого снега, состоящего из двух слоев с разной плотностью, и экспериментальных данных из литератур- ных источников;
– доказана глобальная разрешимость начально-краевой задачи для невырож- денных уравнений внутренней эрозии при заданной суммарной скорости филь- трации.
Степень достоверности и апробация результатов Обоснованность и до- стоверность научных положений, выводов и рекомендаций достигается: использо- ванием классических подходов механики сплошных сред, гидродинамики и теории фильтрации при построении и анализе математических моделей; проверкой кор- ректности результатов численных расчетов различными способами: устойчивость и порядок сходимости вычислительного алгоритма проверяются путем вычисли- тельных экспериментов, применяя известное правило Рунге [50]; путем сравнения результатов вычислений с экспериментальными данными из литературных источ- ников; опубликованием результатов исследований в ведущих журналах и обсуж- дением результатов на международных и всероссийских конференциях. Основные результаты работы докладывались на семинарах:
– ИГиЛ СО РАН ”Математические модели механики сплошных сред” (руководи- тели: член.-корр. РАН П.И. Плотников, д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтов), Новосибирск, 2021;
– ИГиЛ СО РАН “Прикладная гидродинамика” (руководители: член.-корр. РАН В.В. Пухначев и д.ф.- м.н. Е.В. Ерманюк), Новосибирск, 2021;
– ИМ СО РАН ”Теоретические и вычислительные проблемы задач математиче- ской физики” (руководитель: д.ф.-м.н. Д.Л. Ткачев), Новосибирск, 2021;
– ”Задачи индустриальной и прикладной математики” (руководитель: д.ф.-м.н. А.А. Папин), Барнаул, 2016-2021;
– кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного уни- верситета, Барнаул, 2016-2021.
А также на следующих научных конференциях: – Всероссийская конференция с участием зарубежных учёных по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, посвященная 100-летию со дня рождения Н. Н. Яненко (Красноярск, 2021);
– Международный молодежный научный форум “ЛОМОНОСОВ-2021” (Москва, 2021);
– IX Международная конференция, посвященная 120-летию со дня рождения академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2020);
– Всероссийская конференция c участием зарубежных ученых “Задачи со сво- бодными границами: теория, эксперимент и приложения”(Красноярск 2020, Бар- наул 2017, Бийск, 2014);
– Всероссийская конференция с международным участием и школа для моло- дых ученых, посвященные 100-летию академика Л.В. Овсянникова “Математиче- ские проблемы механики сплошных сред” (Новосибирск, 2019);
– Международная школа-конференция “Соболевские чтения” (Новосибирск 2016, 2018);
– Международная школа-семинар ”Ломоносовские чтения на Алтае” (Барнаул, 2012–2018);
– Всероссийская конференция с международным участием “Современные про- блемы механики сплошных сред и физики взрыва” посвященная 60-летию Инсти- тута гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2017);
– Всероссийская конференция «Нелинейные волны: теория и приложения» по- священная 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН В. М. Тешукова (Новосибирск, 2016).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51–61].
Личный вклад
Автор диссертации принимал активное участие в получении результатов, от- ражённых во всех совместных публикациях на равноправной основе: постанов- ке задачи, доказательстве теорем, обсуждении полученных результатов, а также оформлении результатов в виде публикаций и научных докладов. Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литера- туры. Полный объём диссертации составляет 113 страниц. Диссертация содержит 23 рисунка. Список литературы содержит 121 наименование.
Краткое изложение содержания работы
Во введении обосновывается актуальность задачи двухфазной фильтрации в пористых средах с переменной пористостью и учетом фазовых переходов, дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цели и задачи работы, а также ее научная новизна и практическая значимость, представлены ос- новные положения, выносимые на защиту, обоснована достоверность результатов и описан личный вклад автора работы.
Первая глава диссертации посвящена численному исследование одномерной задачи фильтрации смеси воды и твердых подвижных частиц в недеформируемом грунте при постоянной температуре в потоке и с учетом процессов внутренней суффозии. Грунт моделируется как трехфазная сплошная пористая среда. Поры полностью заполнены смесью воды и подвижных частиц грунта.
В разделе 1.1 приведена постановка трехмерной задачи и сделан вывод системы уравнений. В основе математической модели лежат уравнения сохранения массы каждой фазы и обобщенный закон Дарси для фильтрующейся смеси. Существу- ют различные подходы замыкания системы уравнений описывающей фильтрацию жидкости (газа) и подвижных частиц грунта: I. Vardoulakis постулировал, что мо- дуль скорости подвижных частиц грунта меньше модуля скорости фильтрации воды [36]. В работе [38] вводится понятие эффективного давления жидкости pe и эффективного давления псевдоожиженной фазы pse, так что давление жидкости есть p1 = spe, а давление твердых подвижных частиц p2 = (1 − s)pse, причем pe = pse + pc(s) и функция pc(s) обладает свойствами pc(s) → ∞ при s → 0, pc(1) = 0. Следуя изложенному выше подходу, для замыкания системы использу- ем соотношение p2 − p1 = pc(s).
Наиболее эффективным при качественном исследовании системы, описываю- щей фильтрацию двухфазной смеси в грунте при заданной пористости (модель Маскета–Леверетта), оказалось использование С.Н. Антонцевым и В.Н. Монахо- вым в качестве искомых функций насыщенности и “приведенного” давления [62]. Особенностью рассматриваемой в данной диссертации задачи является перемен- ная пористость. Исходная система уравнений сводится к равномерно эллиптиче- скому уравнению для приведенного давления, уравнению первого порядка для пористости и вырождающегося на решении параболическому уравнению для во- донасыщенности.
В разделе 1.2 рассмотрены различные зависимости для интенсивности обмена массой между пористым скелетом и твердыми подвижными частицами грунта. Главной причиной фильтрационных деформаций и фильтрационных разрушений грунтов является вынос частиц грунта из области фильтрации.
Суффозионный процесс начинается после достижения модуля скорости филь- трации критического значения vk. К. Терцаги получил условие равновесия грунта в виде I∗ = (γ−1)(1−φ), где I∗ – критический градиент напора, при котором грунт находится во взвешенном состоянии; γ – удельный вес грунта; φ–пористость [63]. В работе [9] J. Wang для интенсивности суффозионного процесса используется зависимость
λρ03φ(1 − φ)(1 − s)|⃗v|, |⃗v| ≥ vk;
I=
0 , | ⃗v | < v k ; где λ – функция, определяемая экспериментально [35] (отвечает за устойчивость грунта суффозионному воздействию); ρ03 – плотность грунта; ⃗v – скорость филь- трации смеси воды и подвижных частиц грунта; s – водонасыщенность. В рабо- те [36] I. Vardoulakis использовал аналог приведенного выше соотношения для ин- тенсивности суффозионного процесса (рассматривался частный случай |⃗v1| > vk).
В разделе 1.3 рассматривается алгоритм решения одномерной задачи филь- трации грунтовых вод с учетом внутренней суффозии. В разделе 1.4 приведены результаты численного моделирования. Для верификации предложенной матема- тической модели фильтрации смеси воды и подвижных частиц грунта использу- ется результаты эксперимента, представленного в работе [35]. Экспериментальная установка состоит из резервуара, наполненного жидкостью, и создающего гидрав- лическую нагрузку, приложенную к горизонтальной трубе, заполненной образ- цом грунта. В ходе эксперимента были исследованы несколько образцов грунта с разной суффозионной устойчивостью. Суффозионные тесты были проведены для смеси крупного песка, размеры частичек которого изменялись между 0.315 и 1.60 мм, и мелких частиц, размеры которых изменялись от 1 до 80 микрон. Концен- трация мелких частиц в смеси песка изменялась от 2 до 8 процентов от веса [35].
Проведено сравнение рассчитанных значений вынесенной массы из области фильтрации и концентрации подвижных частиц грунта с экспериментальными данными, взятыми из работы [35].
В разделе 1.5 изложен метод определения приближенного (экспериментального) порядка сходимости разностного решения. В разделе 1.6 приводится пример тести- рования численного алгоритма путем определения экспериментальных порядков сильной и слабой сходимости.
В разделе 1.7 численно исследована одномерная задача внутренней суффозии грунта при заданной суммарной скорости фильтрации. Проведено сравнение двух эмпирических зависимостей для интенсивности суффозионного процесса.
Во второй главе доказана теорема существования и единственности класси- ческого решения первой краевой задачи для одномерных уравнений внутренней эрозии при заданной сумарной скорости фильтрации и условии |⃗v| > vk. В разде- ле 2.1, носящем вспомогательный характер, содержатся необходимые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
В разделе 2.2 приводится постановка задачи и формулируется теорема об одно- значной классической разрешимости.
В разделе 2.3 изложены семь лемм, в том числе установлены физические прин- ципы максимума для насыщенности воды и пористости. Ключевым моментом яв- ляется доказательство гельдеровской непрерывности насыщенности. После этого проверяются условия теоремы Шаудера о неподвижной точке. Третья глава диссертации посвящена двумерной математической модели изо- термической внутренней эрозии. В разделе 3.1 дана постановка задачи фильтра- ции подземных вод в водоносном горизонте, который соприкасается с промерзшим песчаным грунтом. В процессе оттаивания грунта и при достижении определен- ной величины скорости фильтрации происходит вынос частиц грунта из области течения и образование подземных полостей. В результате увеличения и дости- жения критических размеров этих полостей происходит обрушение свода много- летнемерзлых пород. В качестве математической модели используются уравнения сохранения массы для воды, подвижных твердых частиц и неподвижного пористо- го скелета, а также закон Дарси для воды и подвижных твердых частиц (аналог классической модели Маскета–Леверетта) и соотношение для интенсивности суф- фозионного потока. В разделе 3.2 рассмотрена двумерная задача изотермической фильтрации в недеформированном грунте при заданной концентрации подвиж- ных твердых частиц в фильтрующемся потоке. Приведены результаты числен- ного исследования процесса внутренней суффозии в межмерзлотном водоносном горизонте и найдена область, подверженная внутренней суффозии. В разделе 3.3 рассматривается алгоритм решения двумерной задачи фильтрации грунтовых вод с учетом внутренней суффозии в верхних слоях почвогрунтов.
Четвертая глава посвящена исследованию тепломассопереноса в тающем сне- ге, разработке алгоритма численного решения одномерной задачи. Проведены чис- ленные расчеты и сравнение полученных результатов с экспериментальными дан- ными [64].
В разделе 4.1 тающий снег рассматривается как сплошная среда, состоящая из воды , воздуха и льда, составляющего твердый пористый скелет [46]. Фильтрация воды и воздуха в пористом ледовом скелете описывается уравнениями сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых переходов [45], уравнениями двух- фазной фильтрации и уравнением теплового баланса для трехфазной среды [42]. Система дополняется гипотезами: частицы льда неподвижны; сублимацией и об- меном массами между водой и воздухом пренебрегаем, плотности фаз постоянны. В рассматриваемом подходе важным моментом является корректное опреде- ление интенсивности фазового перехода “лед-вода”. Следует отметить, что для моделирования интенсивности фазового перехода, как правило, используется ме- тодология задачи Стефана, т.е. предполагается, что существует межфазная грани- ца, на которой при определенной температуре скачком происходит переход льда в воду. При таком подходе не требуется задавать интенсивность фазового пере- хода. Другой подход к процессу таяния снега подразумевает, что фазовый пере- ход “лед-вода” происходит во всей толще снежно-ледового покрова и для опи- сания распространения тепла нужно использовать уравнение теплопроводности для трехфазной среды с соответствующей правой частью [42]. Близкой по про- блематике является задача тепломассопереноса в протаивающих (промерзающих) грунтах [65]. Имеется ряд экспериментальных результатов по зависимости концен- трации льда в пористой среде от температуры [66]. Используемые в данной работе зависимости для интенсивности фазового перехода “лед-вода”опираются на идеи работ [65,67]
 −λ φθs, θ < θ−;  1 I =  0, θ− ≤ θ ≤ θ+;  λ2(1 − φ)2 exp(β(θ − θ+)), θ > θ+.
Здесь θ – температура снега, θ+ – температура плавления льда, θ− – температура замерзания воды, β, λ1, λ2 – размерные постоянные, характеризующие интенсив- ность фазового перехода ([β]=1/K,[λ1]=кг/(м3 · c· K), [λ2]=кг/(м3 · c)).
В разделе 4.2 сделан обзор используемых эмпирических зависимостей для ка- пиллярного давления, коэффициентов проницаемости и теплопроводности снега. Показано хорошее совпадение с экспериментальными данными из литературных источников коэффициента теплопроводности снега.
В разделе 4.3 исходная система уравнений сводится к равномерно эллиптиче- скому уравнению для приведенного давления, уравнению первого порядка для пористости, параболическому уравнение для температуры и вырождающегося на решении параболическому уравнению для водонасыщенности. В разделе 4.4 рассматривается алгоритм решения одномерной задачи фильтра- ции воды в тающем снеге. Раздел 4.5 посвящен численному исследованию одно- мерной задачи и верификации рассматриваемой модели. Сравнение результатов расчетов и экспериментальных данных показало, что математическая модель хо- рошо описывает период постепенного таяния снега в верхнем слое и формирование слоя, насыщенного водой. Несовпадение экспериментальных данных и численно- го моделирования после выключения инфракрасных ламп, скорее всего связано с формированием в снеге областей с большей пористостью (предпочтительных путей фильтрации). На верхнем слое данный эффект имеет меньшее влияние, по- скольку, протаивание происходит более равномерно.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной рабо- ты.
Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук А. А. Папину за постоянное внимание и руководство ра- ботой, доктору техн. наук С. Г. Яковченко за ценные советы и поддержку в ходе подготовки данной диссертации. Автор также благодарит руководителей и участ- ников научных семинаров, на которых были представлены результаты данной дис- сертации, за конструктивные вопросы и замечания.