Моделирование движения двухфазных смесей в пористых средах с переменной пористостью и с учетом фазовых переходов

Бесплатно
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0
Сибин Антон Николаевич
Бесплатно
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Введение
1 Моделирование движения смеси твердых частиц и жидкости в пористых средах с учетом внутренней суффозии
1.1 Постановказадачи
1.2 Суффозионныйпоток
1.3 Алгоритм численного решения одномерной задачи . . . . . . . . .
1.4 Одномернаязадачавнутреннейсуффозии. . . . . . . . . . . . . .
1.5 Экспериментальное определение порядков сходимости разностного
решения
1.6 Результатытестовыхрасчетов
1.7 Одномерная задачи внутренней суффозии грунта при заданной сум-
марнойскоростифильтрации
2 Разрешимость первой краевой задачи для одномерных уравнений внутренней эрозии
2.1 Вспомогательныесведения
Функциональныепространства
Специальные неравенства и теорема вложения . . . . . . . . . . .
2.2 Постановказадачи
2.3 Разрешимостьзадачи
3 Профильная задача внутренней суффозии
1
3.1 Математическая модель фильтрации грунтовых вод, контактирую- щихсмноголетнемерзлымипородами
Упругиемерзлыепороды
Фазовыйпереход
Моделированиедеформациигрунтов
3.2 Численное исследование профильной задачи внутренней эрозии в межмерзлотном водоносном слое при заданной концентрации по- движныхчастицгрунта
3.3 Двумерная задача фильтрации в верхних слоях почвогрунтов с уче- томсуффозионныхпроцессов
Постановказадачи
Алгоритмчисленногорешениязадачи
Результатычисленныхрасчетов
4 Тепломассоперенос в тающем снеге
4.1 Постановказадачи
4.2 Физическиесвойстваснега
4.3 Преобразованиесистемыуравнений
4.4 Алгоритм численного решения одномерной задачи . . . . . . . . .
4.5 Одномерная задача тепломассопереноса в тающем снеге
Заключение Литература
. . . . .
101 102

Во введении обосновывается актуальность задач двухфазной фильтра- ции в пористых средах с переменной пористостью и c учетом фазовых пере- ходов, дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формули- руются цели и задачи работы, а также ее научная новизна и практическая значимость, представлены основные положения, выносимые на защиту, обос- нована достоверность результатов и описан личный вклад автора работы.
Первая глава диссертации посвящена численному исследованию одно- мерной задачи фильтрации смеси воды (i=1) и твердых подвижных частиц (псевдоожиженное состояние i = 2) в недеформируемом грунте (i = 3, ⃗u3 = 0 – скорость пористой среды) при постоянной температуре в потоке и с уче- том процессов внутренней суффозии. Следуя общепринятым положениям, грунт можно характеризовать двумя параметрами9: средним диаметром ча- стиц d и степенью неоднородности η = d60/d10 (по Хазену), где d60 – кон- тролирующий диаметр, меньше которого в данном грунте содержится 60% частиц по массе; d10 – эффективный диаметр, меньше которого содержит- ся 10% частиц. Если через слой неподвижных твердых частиц (со степенью неоднородности η > 10)10 пропускать восходящий поток жидкости (или газа), постепенно увеличивая его скорость, то при определенной скорости, называе- мой критической, мелкая фракция перейдет в псевдоожиженное состояние11. При этом мелкие твердые частицы приобретут подвижность и будут переме- щаться между более крупными частицами (процесс внутренней суффозии). Приведенные в монографии10 данные измерений устойчивости разнородных грунтов показывают, что при η < 10 суффозия практически отсутствует и слой переходит в псевдоожиженное состояние без выделения мелких частиц. При η > 20, напротив, происходит интенсивная суффозия мелкозернистого “наполнителя” задолго до того, как основной “скелет” из крупнозернистых частиц потеряет устойчивость.
В настоящей работе рассматриваются процессы фильтрации подземных вод и внутренней механической суффозии в грунтах со степенью неоднород- ности η > 20. Грунт моделируется как трехфазная сплошная пористая среда. Поры полностью заполнены смесью воды и подвижных частиц грунта. Доля пор в грунте определяется пористостью φ.
В разделе 1.1 приведена постановка трехмерной задачи (⃗x = (x, y, z),
9Тодес О. М., Цитович О. Б. Аппараты с кипящим зернистым слоем: Гидравлические и тепловые основы работы. — Лениград: Химия, 1981. — 296 с.
10Истомина В.С. Фильтрационная устойчивость грунтов. М.: Госстройиздат, 1957. 295 с. 11Протодьяконов И.О., Чесноков Ю.Г. Гидромеханика псевдоожиженного слоя. Л.: Химия, 1982. 264 с.
⃗x ∈ Ω ⊂ R3, t ∈ (0,T)) и сделан вывод системы уравнений. В основе математической модели лежат уравнения сохранения массы каждой фазы
∂(sφ) + ∇ · (sφ⃗u1) = 0, ∂t
∂(1−s)φ+∇·((1−s)φ⃗u2)= I,
(1) (2) (3)
i = 1, 2. (4)
∂t
и обобщенный закон Дарси
ρ02
∂(1 − φ) = − I ∂t ρ03
⃗vi ≡ siφ⃗ui = −K0(φ)k0i(∇pi − ρ0i ⃗g), k0i = k0i/μi,
Здесь ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) – оператор градиента; ⃗u1,⃗u2 – соответствен- но истинные скорости воды и подвижных твердых частиц грунта; s1,s2 – концентрации воды (водонасыщенность) и подвижных частиц грунта (вве- дено обозначение s1 = s, тогда s2 = 1 − s); ρ01, ρ02, ρ03 – истинные плотности воды, подвижных твердых частиц грунта и скелета грунта (плотности ρ0i по- стоянны). В рассматриваемом случае ρ03 = ρ02, так как подвижные частицы захватываются суффозионным потоком из грунта; I – интенсивность суффо- зионного процесса; K0(φ) – симметричный тензор проницаемости пористой среды; k0i – коэффициенты относительной фазовой проницаемости, облада- ющие свойствами k0i = k0i(si) ≥ 0,k0i|si=0 = 0,0 ≤ si ≤ 1; μi – коэффи- циенты динамической вязкости; ⃗g – ускорение силы тяжести. Эффективная динамическая вязкость псевдоожиженных частиц грунта12 и коэффициенты K0(φ), k0i могут быть измерены экспериментально13.
Существуют различные подходы замыкания системы (1) – (4): I. Vardoulakis использовал гипотезу v1 = βv2 (0 < β < 1), т.е. постули- ровалось, что модуль скорости частиц грунта меньше модуля скорости фильтрации воды3. В работе14 вводится понятие эффективного давления жидкости pe и эффективного давления псевдоожиженной фазы pse, так что давление жидкости есть p1 = spe, а давление твердых подвижных частиц p2 = (1 − s)pse, причем pe = pse + pc(s) и функция pc(s) обладает свойствами pc(s) → ∞ при s → 0, pc(1) = 0. Следуя изложенному выше подходу, положим p2 − p1 = pc(s). (5) 12Гельперин Н.И., Айнштейн В.Г., Кваша В.Б. Основы техники псевдоожижения. М., 1967. 177 с. 13Бэр Я. Физико–математические основы фильтрации воды. М., 1971. 452 с. 14Garg S.K., Pritchett J.W. Dynamics of gasfluidized beds // J. Appl. Phys. 1975. V. 46. P. 4493–4450. Здесь pc – заданная функция, обладающая свойствами pc(s)>0, pc(1)=0, ∂pc <0, pc(s)→∞ при s→0. ∂s Известны различные постановки задачи о фильтрации двухфазной жид- кости в пористой среде с заданной пористостью (классическая модель Мас- кета–Леверетта). J. Jr. Douglas, D. W. Peaceman, Jr. Rachford в качестве ис- комых брались потенциалы Φi = pi + ρigh, (⃗g = g∇h). Теми же авторами использовались переменные P = (Φ1 + Φ2)/2 и R = (Φ1 − Φ2)/2. В плоском случае А.Н. Коновалову принадлежит постановка задачи в переменных s и ψ (ψ – функция тока суммарного течения). В большинстве работ, посвящен- ных моделированию внутренней суффозии, параболическое уравнение для водонасыщенности получают добавлением диффузионного слагаемого3, а си- стема замыкается гипотезой пропорциональности скоростей фильтрующихся фаз. При таком подходе усложняется анализ качественных свойств матема- тической модели, в частности, проверка физического принципа максимума для концентрации подвижных частиц грунта. Наиболее эффективным при качественном исследовании системы (1) –(4) (пористость предполагалась за- данной, I = 0) оказалось использование С.Н. Антонцевым и В.Н. Монаховым в качестве искомых функций насыщенности s и "приведенного"давления15 p: p=p2+ k(ξ) ∂ξdξ, k(s)=k01+k02. (6) s Особенностью рассматриваемой задачи (1) – (4) является переменная по- ристость. С учетом соотношений (5) и (6) система (1) – (4) сводится к следу- ющей эквивалентной форме (искомыми функциями являются s, p и φ): ∂sφ =∇·(a∇s+b⃗v+F⃗)≡−∇·⃗v1, (7) ∂t k01(ξ)∂pc ∇ · (K0(φ)k(s)∇p + f⃗) ≡ ∇ · ⃗v = 0, (8) ρ0 ∂(1 − φ) = −I. (9) 3 ∂t Коэффициенты последней выражаются через функциональные параметры исходной системы, причем f⃗(s, φ) = −K0⃗g(k01ρ01 + k02ρ02), ⃗v = ⃗v1 + ⃗v2, a(s,φ)=−K k01k02∂pc, b(s)=k02, F⃗(s,φ)=k01k02K0⃗g(ρ0−ρ0). 0k∂sk k21 15Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 320 с. Проницаемость пористой среды K0(φ) является положительно определенным тензором второго ранга. Относительные фазовые проницаемости k0i(s) неот- рицательны и их сумма k положительна. Поэтому a(s, φ) > 0 при s ∈ (0, 1) и a(0, φ) = a(1, φ) = 0, т.е. система (7) – (9) состоит из равномерно эллиптиче- ского уравнения для p, уравнения первого порядка для φ и вырождающегося при s = 0 и s = 1 параболического уравнения для s.
В разделе 1.2 рассмотрены различные зависимости для интенсивности об- мена массой между пористым скелетом и твердыми подвижными частицами грунта. Главной причиной фильтрационных деформаций и фильтрационных разрушений грунтов является вынос частиц грунта из области фильтрации.
Суффозионный процесс начинается после достижения модулем скорости фильтрации критического значения vk. К. Терцаги (1922) получил условие равновесия грунта в виде I∗ = (γ − 1)(1 − φ), где I∗ – критический градиент напора, при котором грунт находится во взвешенном состоянии; γ – удельный вес грунта. В работе4 J. Wang для интенсивности суффозионного процесса используется зависимость
λρ03φ(1 − φ)(1 − s)|⃗v|, |⃗v| ≥ vk;
I= 0,|⃗v| vk).
В разделе 1.3 система уравнений (7) – (9) в одномерном случае приводится к безразмерному виду и предлагается алгоритм решения одномерной задачи фильтрации грунтовых вод с учетом внутренней суффозии. При аппроксима- ции уравнения (7) за основу взята разностная схема используемая в работе16 для модели Маскета–Леверетта с использованием направленной разности для конвективного слагаемого. Уравнение (8) аппроксимируется неявной схемой второго порядка точности. Уравнение (9) аппроксимируется неявной схемой Рунге-Кутты второго порядка точности.
В разделе 1.4 приведены результаты численного моделирования. Для ве- рификации предложенной математической модели (7) – (9) используется ре- зультаты эксперимента, представленного в работе5. Экспериментальная уста- новка состоит из резервуара, наполненного жидкостью, и создающего гидрав- лическую нагрузку, приложенную к горизонтальной трубе, заполненной об-
16Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. – Новосибирск: Наука, 1988. – 166 с.
(a)
(б) (в)
Рис. 1: (а): результаты численного моделирования (1-3); 4-6 – экспериментальные данные5 для λ = 1, 4, 8.5. ; M – эродированная масса грунта, t – время. Результаты численного моделирования изменения концентрации псевдоожиженных частиц (прямая линия) и экс- периментальные данные (точки): λ = 1 (б), λ = 8.5 (в) при x = 123 мм.
разцом грунта. В ходе эксперимента были исследованы несколько образцов грунта с разной суффозионной устойчивостью (за суффозионную устойчи- вость грунта отвечает параметр λ). Суффозионные тесты были проведены для смеси крупного песка, размеры частичек которого изменялись между 0.315 и 1.60 мм, и мелких частиц, размеры которых изменялись от 1 до 80 микрон. Концентрация мелких частиц в смеси песка изменялась от 2 до 8 процентов от веса.
На Рисунке 1 представлено сравнение рассчитанных значений вынесенной массы из области фильтрации и концентрации подвижных частиц грунта с экспериментальными данными из работы5.
В разделе 1.5 изложен метод определения приближенного (эксперимен- тального) порядка сходимости разностного решения. В разделе 1.6 приводит- ся пример тестирования численного алгоритма путем определения экспери- ментальных порядков сильной и слабой сходимости.
В разделе 1.7 численно исследована одномерная задача внутренней суф- фозии грунта при заданной суммарной скорости фильтрации. Краевые и на- чальные условия задавались следующим образом:
s(0, t) = s0(t), s(1, t) = s1(t), s(x, 0) = s0(x), φ(x, 0) = φ0(x). (11)
Проведено сравнение двух эмпирических зависимостей для интенсивности суффозионного процесса.
Во второй главе доказана теорема существования и единственности клас- сического решения первой краевой задачи для одномерных уравнений внут- ренней эрозии при заданной суммарной скорости фильтрации и условии |⃗v| > vk. В разделе 2.1 приведены необходимые сведения из функциональ- ного анализа и теории дифференциальных уравнений.
В разделе 2.2 приводится постановка задачи и формулируется теорема об однозначной классической разрешимости.
Теорема. Пусть данные одномерной задачи (7), (9) и (11) подчиняются условиям:
1. функции K0(φ), a(s), b(s), F (s, φ) и их производные до второго порядка непрерывны для s ∈ [0, 1], φ ∈ (0, 1) и удовлетворяют условиям 0 < m ≤ K0, a(s)≤M <∞, F(s,φ)=0 при s<0, s>1.
2. функции v(t), s0(t), s1(t), s0(x), φ0(x) удовлетворяют условиям глад- кости v(t),s0(t),s1(t) ∈ C2+α[0,T];s0(x),φ0(x) ∈ C2+α(Q) и условиям согла- сования s0(0) = s0(0), s1(0) = s0(1), а также удовлетворяют неравенствам |v(t)|>vk,0≤s0(x)≤1,0 0 – динамические вязкости; pi – давления фаз; pc – капиллярное давление, ⃗g – вектор ускорения силы тяжести; θ – температура среды (θi = θ, i = 1,2,3), ci = const > 0 – удельная теплоемкость i-й фазы при постоянном объеме; ν = const > 0 – удельная теплота плавления льда; λc – теплопроводность снега.
17Waldner P. A., Schneebeli M., Schultze-Zimmermann U., Fluhler H. Effect of snow structure on water flow and solute transport // Hydrological processes. 2008. V. 18 . N.7. P. 1271-1290.
18Кучмент Л. С. Речной сток (генезис, моделирование, предвычисление). – М.: 2008. 394 с. 14

Система (12) – (14) дополняется гипотезами ⃗u3 = 0 (частицы льда непо- движны, структура льда как сплошной среды не уточняется), I12 = 0, I23 = 0 (сублимацией и обменом массами между водой и воздухом пренебрегаем), I31 =I,ρ0i =const>0,i=1,2,3.
В рассматриваемом подходе важным моментом является корректное опре- деление интенсивности фазового перехода “лед-вода”. Следует отметить, что для моделирования интенсивности фазового перехода, как правило, ис- пользуется методология задачи Стефана, т.е. предполагается, что существу- ет межфазная граница, на которой при определенной температуре скачком происходит переход льда в воду. При таком подходе не требуется задавать интенсивность фазового перехода. Другой подход к процессу таяния снега подразумевает, что фазовый переход “лед-вода” происходит во всей толще снежно-ледового покрова и для описания распространения тепла нужно ис- пользовать уравнение вида (14) с соответствующей правой частью. Близкой по проблематике является задача тепломассопереноса в протаивающих (про- мерзающих) грунтах19. Имеется ряд экспериментальных результатов по за- висимости концентрации льда в пористой среде от температуры20. Исполь- зуемые в данной работе зависимости для интенсивности фазового перехода “лед-вода”опираются на идеи работ19,21:
I =
 −λ1φθs, θ < θ−; 0, θ− ≤ θ ≤ θ+;  λ2(1 − φ)2 exp(β(θ − θ+)), θ > θ+.
Здесь θ+ – температура плавления льда, θ− – температура замерзания воды, β, λ1, λ2 – размерные постоянные, характеризующие интенсивность фазового перехода ([β]=1/K,[λ1]=кг/(м3 · c· K), [λ2]=кг/(м3 · c)).
В разделе 4.2 сделан обзор используемых эмпирических зависимостей для капиллярного давления, коэффициентов проницаемости и теплопроводности снега. Показано хорошее совпадение с экспериментальными данными из ли- тературных источников коэффициента теплопроводности снега.
Раздел 4.3 посвящен преобразованию системы уравнений (12) – (14). Пре- образованная система уравнений при заданном I рассматривается относи- тельно s, θ, φ и приведенного давления p (см. формулу (6)).
19Нерсесова З. А. Изменение льдистости грунтов в зависимости от температуры //ДАН СССР. 1950. Т. 75. No. 6. С. 845-846.
20Белолипецкий В. М., Генова С. Н., Туговиков В. Б., Шокин Ю. И. Численное моделирование задач гидроледотермики водотоков. – Новосибирск: СО РАН Институт вычислительных технологий. 1993. С. 138.
21Колесников А. Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта //До- клады Академии Наук СССР. 1953. Т. LXXXII, No 6. С. 889–891.
В разделе 4.4 преобразованные уравнения системы (12) – (14) приводят- ся к безразмерному виду и рассматривается алгоритм решения одномерной задачи фильтрации воды в тающем снеге.
Верификации рассматриваемой модели в одномерном случае посвящен раздел 4.5. В работе17 экспериментально исследовалось движение воды в та- ющем снеге. Два вида снега были упакованы слоями в контейнеры. Первый контейнер заполнялся сначала крупнозернистым снегом с плотностью 480±8 кг·м−3, а затем мелкозернистым с плотностью 540 ± 8 кг·м−3. Второй контей- нер наоборот, сначала заполняли мелкозернистым, а потом крупнозернистым снегом. Датчики, измеряющие влажность, располагались на высоте 17, 14.5 и 5 см от дна контейнеров, соответственно. В дальнейшем будем называть эти датчики верхний, средний и нижний. Датчики температуры были только на нижнем уровне (5 см от дна контейнеров). Процесс таяния инициировался с помощью четырех инфракрасных ламп (100 Вт), установленных над каждым контейнером.
На Рисунке 2 представлены результаты численного моделирования перво- го (а) и второго (б) экспериментов. Лампы работали 180 минут. В период на- грева верхний датчик уловил увеличение концентрации воды в снеге. Верхний
(a) (б)
(в)
Рис. 2: Результаты численного моделирования изменения водонасыщенности s (1-2) и экс- периментальные данные для первого эксперимента (3 – измерения верхнего датчика, 4 – измерения среднего датчика) (a) и второго эксперимента (б). Результаты численного моделирования распределения пористости φ по глубине для первого эксперимента 1 – в начальный момент времени, 2 – после завершения эксперимента (в).
датчик стоял выше границы раздела двух слоев снега. Так как сверху лежал крупнозернистый слой (пористость больше), то на верхнем участке скорость воды больше и на границе раздела двух слоев формируется насыщенная во- дой область. Математическая модель хорошо описывает период постепенного таяния снега в верхнем слое (от 50 до 120 мин) и формирование слоя, насы- щенного водой. Несовпадение экспериментальных данных и численного мо- делирования в период от 150 до 250 мин (см. Рисунок 2б) может быть связано
с неоднородностью снега. Увеличение концентрации воды в период от 150 до 250 мин, зафиксированное нижним датчиком, скорее всего связано с форми- рованием в снеге областей с большей пористостью (предпочтительных путей фильтрации). На верхнем слое данный эффект имеет меньшее влияние, про- таивание происходит более равномерно. На Рисунке 2в показано изменение пористости снега за время проведения первого эксперимента.
Как правило, при моделирование теплообмена поверхности земли (снеж-
ного покрова)22 и водоемов23,20 с атмосферой на границе раздела задают гра-
ничное условие третьего рода: λc ∂θ − αc(θ − θa) = q, где αc – коэффициент ∂y
теплообмена, θa – температура воздуха, q – заданный поток тепла.
В заключении приведены основные результаты работы:
1. Построена замкнутая математическая модель фильтрации смеси твер-
дых частиц и жидкости в пористых средах с учетом внутренней суффозии, в рамках модели численно решена одномерная задача внутренней суффозии, проведено исследование сходимости метода и сравнение изменения эродиро- ванной массы и экспериментальных данных из литературных источников для трех грунтов с различной суффозионной устойчивостью.
2. Доказана глобальная теорема существования и единственности клас- сического решения начально-краевой задачи для невырожденных уравнений внутренней эрозии.
3. На основе уравнений двухфазной фильтрации с учетом суффозионных процессов исследована профильная задача внутренней эрозии в межмерзлот- ном водоносном слое при заданной концентрации подвижных частиц грунта. Определена область, подверженная внутренней эрозии грунта.
4. Построена математическая модель тепломассопереноса в тающем снеге. В рамках полученной модели численно решена одномерная задача фильтра- ции воды и воздуха в тающем снеге, исследовано изменение пористости и водонасыщенности снега. Используя экспериментальные данные из литера- турных источников проведена верификация математической модели филь- трации воды и воздуха в тающем снеге, состоящем из двух слоев с разной плотностью.

Актуальность темы исследования
Актуальность теоретического исследования моделей механики многофазных сред с переменной пористостью и учетом фазовых переходов обусловлена их широ- ким применением к решению важных практических задач: ирригации и дренажа сельскохозяйственных полей [1–3]; фильтрации вблизи речных плотин, дамб и дру- гих гидротехнических сооружений [4–7]; разработки трудноизвлекаемых запасов нефти и газа [8, 9]; движение магмы в земной коре [10]; прогноза возникновения и роста опухолей [11]; очистки с помощью фильтров воды, жидкого топлива, сма- зочных масел [12,13].
Многочисленные исследования, проведенные как в нашей стране (В. Н. Никола- евский, А. М. Блохин, В. Н. Доровский, Л. С. Кучмент, Г. Г. Ципкин, Ю. М. Шех- тман, А. Н. Коновалов и др.), так и за рубежом (K. Terzaghi, S. C. Colbeck, J.M.N.T. Gray, I. Vardoulakis и др.), посвящены фильтрации многофазных смесей. Однако, проведенные до настоящего времени исследования не включали в себя множество задач, в частности, задачи о фильтрации воды и воздуха в тающем снеге и внутренней суффозии с учетом переменной пористости (пористость мо- жет изменяться, в частности, из-за деформации пористого скелета [14]), фазовых переходов и определения скоростей фильтрующихся фаз.
Степень разработанности темы исследования
Результаты систематического исследования динамики многофазных сред изло- жены в монографиях Р. И. Нигматулина [15,16], К. L. Rajagopal и L. Тао [17], В. Н. Николаевского [18,19]. Система уравнений многофазного течения выводит- ся из законов сохранения массы, импульса и энергии сплошной среды и, как пра- вило, является недоопределенной. Для ее замыкания необходимо конкретизиро- вать величины, описывающие внутрифазные и межфазные массовые, силовые и энергетические взаимодействия. Примерами такой конкретизации служат работы Н. Е. Жуковского, связанные с выводом уравнений фильтрации; Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия; С. С. Кутателадзе, М. А. Стыри- ковича, М. Е. Дейча и Г. А. Филиппова по газожидкостным системам; Н. Н. Янен- ко, Р. И. Солоухина по сверхзвуковым двухфазным течениям; Я. И. Френке- ля, В. Н. Николаевского по деформированию водонасыщенных грунтов и выносу песка в работающую скважину [19]; А. М. Блохина и В. Н. Доровского по мо- делям континуальной теории фильтрации, не использующим закон Дарси [20]; С. К. Годунова по термодинамически согласованным моделям многофазных сред; К. Wilmanski по моделированию процессов сорбции в деформируемой пористой среде; И. О. Протодьяконова и Ю. Г. Чеснокова по моделированию движения псевдоожиженного слоя [21]; Ю. М. Шехтмана по движению жидкости со взве- шенными твердыми частицами через пористые среды [12].
Численному исследованию задач фильтрации многофазных смесей в пори- стых средах с заданной пористостью посвящено множество работ (см., напри- мер, [22,24–26]). Обоснованию приближенных методов решения задач стационар- ной фильтрации с предельным градиентом посвящены работы А. Д. Ляшко и М. М. Карчевского [25, 26]. В работе Ю. М. Лаевского и соавторов для решения задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости используется метод конеч- ных элементов [24]. В работах А. Н. Коновалова ( см., например, [22]) исследуют- ся разностные схемы для задач двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости. Двумерные модели исследовались в работе [23]. Сравнению моделей фильтрации двухфазных жидкостей и анализу численных методов их решения посвящены ра- боты [27,28].
Если через слой неподвижных твердых частиц (со степенью неоднородности η > 20 [29]) пропускать восходящий поток жидкости (или газа), постепенно уве- личивая его скорость, то при определенной скорости, называемой критической, мелкая фракция перейдет в псевдоожиженное состояние [21]. При этом мелкие твердые частицы приобретут подвижность и будут перемещаться между более крупными частицами. Данный процесс захвата и выноса частиц грунта называет- ся внутренней суффозией (эрозией) грунта [30].
Следуя общепринятым положениям, грунт можно характеризовать двумя пара- метрами [31]: средним диаметром частиц d и степенью неоднородности η = d60/d10 (по Хазену), где d60 – контролирующий диаметр, меньше которого в данном грунте содержится 60 % частиц по массе; d10 – эффективный диаметр, меньше которого содержится 10 % частиц. Вынос мелкой фракции зависит от диаметра минималь- ных поровых каналов dпор между крупными зернами, который определяется экс- периментально (см, например, [31]). Приведенные в монографии [29] данные изме- рений устойчивости разнородных грунтов показывают, что при η < 10 суффозия практически отсутствует и слой, после достижения модуля скорости фильтрации несущей фазы критического значения, переходит в псевдоожиженное состояние без выделения мелких частиц. При η > 20, напротив, происходит интенсивная суффозия мелкозернистого “наполнителя” задолго до того, как основной “скелет” из крупнозернистых частиц потеряет устойчивость. В настоящей работе рассмат- риваются процессы фильтрации подземных вод и внутренней механической суф- фозии в грунтах со степенью неоднородности η > 20.
Одной из весьма острых проблем эксплуатации скважин в слабосцементиро- ванных породах является разрушение призабойной зоны пласта и поступление в скважины песка, что ведет к образованию глинисто-песчаных пробок на забое и в насосно-компрессорных трубах [8, 9]. Это приводит к снижению дебитов, раз- рушению обсадных колонн и фильтров, износу внутрискважинного и наземного оборудования, влечет значительные экономические потери вследствие снижения производительности, увеличения затрат на текущий и капитальный ремонт сква- жины, очистку газа от механических примесей. Проблема обостряется для ме- сторождений, которые эксплуатируются в завершающей стадии и при разработке трудноизвлекаемых нефтегазовых запасов. Проблемы, связанные с эрозией почвогрунтов, широко исследуются на протя- жении последнего столетия. Существуют различные подходы при моделировании процесса внутренней эрозии. В работах В.Н. Николаевского процесс эрозии моде- лируется на основе моделей однофазной фильтрации и упругопластических кри- териев разрушения [18]. Для насыщенных водой почвогрунтов при рассмотрении процесса эрозии может быть использована модель Био [32].
Принципиально иные подходы к моделированию эрозии используются в рабо- тах Бонелли [33,34]. В этих работах вводится неизвестная граница раздела между твердым скелетом и водой с подвижными твердыми частицами со стандартной реологией. Для определения неизвестной границы используются аналоги кинема- тического и динамических условий в задачах со свободными границами.
Наиболее полные модели теории движения воды и подвижных твердых частиц в пористой среде предложены в работах I. Vardoulakis и его последователей (см., например, [8,35–37]). Почвогрунты в данных работах, с одной стороны, рассмат- ривались как многофазные среды, но в то же время предполагалась пропорцио- нальность скоростей воды и подвижных частиц грунта. Это являлось следстви- ем предположения о равенстве давлений подвижных фаз. Несовпадение давле- ний в фазах может иметь место, в частности, из-за капиллярных эффектов [15]. Основной проблемой при таком подходе является описание силового взаимодей- ствия и совместного деформирования фаз. Подробное описание силового взаимо- действия жидкости (газа) и твердых частиц, движущихся в потоке, изложено в работах [21,38,39]. Но в них процесс суффозии не описывался.
В серии работ (см., например, [40,41] ) для моделирования движения смеси воды и подвижных твердых частиц в пористой среде используется следующий подход: рассматривается движение подвижных твердых частиц в потоке жидкости и два “вида” неподвижных твердых частиц, для нахождения концентраций которых ис- пользуются уравнения кинетики. В этом подходе истинная скорость подвижных твердых частиц не определяется, скорость жидкости находится из закона Дарси. Отрыв частиц от матрицы породы описывается на основе уравнения кинетики. В работе [41], как и в работах I. Vardoulakis [8, 36] предполагается, что ско- рость подвижных твердых частиц меньше скорости фильтрующейся жидкости и является заданным параметром, определяемым экспериментально [41]. Кроме то- го, скорость воды считается заданной функцией времени [41], изменяющаяся при отрыве частиц пористость не определяется в ходе решения задачи. Возникает ряд других параметров, связанных с уравнением кинетики и определяющихся экспе- риментально.
Следует также отметить, что не существует единого подхода к описанию процес- са обмена массой между пористым скелетом и твердыми подвижными частицами грунта. Корректное описание фазового перехода должно гарантировать выпол- нение физических принципов максимума для пористости и концентрации фаз. В настоящей работе предложена математическая модель фильтрации жидкости в пористой среде, подверженной внутренней эрозии с учетом сил межфазного взаи- модействия фильтрующихся фаз. Рассматриваемый подход позволяет определять скорости воды и подвижных частиц грунта в ходе решения начально-краевой за- дачи.
Вторая рассматриваемая в данной диссертации задача тепломассопереноа в та- ющем снеге не менее актуальна. Преобладающая часть стока северных рек форми- руется за счет таяния сезонного снежного покрова. Условия снеготаяния оказыва- ют основное влияние не только на количество поступающих в водоемы-приемники талых вод, но и на их качество. Кроме того, величина снежного покрова (снегоза- пас) влияет на промерзание поверхностного слоя почв и, следовательно, его впи- тывающую способность, определяющую соотношение между склоновым и грун- товым стоками. Поэтому моделирование состояния снежного покрова и солепере- носа в период снеготаяния имеет важное значение при разработке методов рас- четов и прогнозов гидрографов весеннего половодья и качества воды в водоемах- приемниках [42] . Имеется большое количество работ, посвященных исследованию солемассопереноса в тающем снеге, в которых используются данные наблюдений и эмпирические зависимости (см. библиографию в работе [43]). Большая часть эм- пирических моделей являются одномерными и не позволяют вычислить скорость фильтрации воды, а модели, позволяющие определить скорость фильтрации воды, обычно не учитывают фазовые переходы или пригодны только для специфичных режимов движения воды в снежном покрове и также не позволяют получить необ- ходимую информацию о поле скоростей и насыщенности водной фазы для оценки водного стока и стока загрязняющих веществ.
Таким образом, для достоверного прогноза водного стока и стока загрязняющих веществ необходимы данные о поле скоростей и насыщенности водной фазы, т.е. предлагается использовать комплексные модели, описывающие совместное дви- жение загрязняющих веществ и воды в снежном покрове с учетом различных краевых условий, фазовых переходов. Эти модели позволят рассчитать нестаци- онарное движение загрязняющих веществ внутри снежного покрова и оценить поверхностный и подземный стоки веществ. Для этого они должны учитывать ряд важных факторов: переменную пористость снежного покрова; фазовые пере- ходы; специфику граничных условий (в частности, наличие промерзшего или не промерзшего грунта). Основы теории движения воды и воздуха в тающем снеге заложены в работах S.C. Colbeck [44] и его последователей [45,46]. Несмотря на то, что в [44–46] снег моделировался как многофазная среда, переменная пористость льда, его деформация и фазовые переходы не учитывались.
В работе [47] снежный покров рассматривается как трехфазная среда (вода, воз- дух, лед). Приведены эмпирические зависимости для капиллярного скачка (вода– воздух) и эмпирические формулы для коэффициента проницаемости снега. Одна- ко, авторы пренебрегают движением воздуха и существенно упрощают уравнение для температуры. В результате трехфазная модель сводится к уравнению для температуры и уравнению для объемной концентрации водной фазы.
В работах [48, 49] построено автомодельное решение для модели двухфазной фильтрации при естественных граничных условиях. В [43] даны постановки сле- дующих задач тепломассопереноса в тающем снеге: 1) о движении воды и воздуха в тающем снеге с учетом фазовых переходов и деформации ледового скелета; 2) о распределении водного стока тающего снега между грунтовыми и поверхностны- ми водами; 3) об абляции деформируемого снежно–ледового покрова. Также в [43] разработан алгоритм численного решения задачи о переносе консервативных со- лей в тающем снеге и построена модель движения грунтовых вод, контактирую- щих с промерзшим грунтом.
Цели и задачи исследования
Целью данной работы является аналитическое и численное исследование про- цесса взаимопроникающего движения двух сред в пористой среде с переменной пористостью и учетом фазовых переходов. Разработка математических методов и вычислительных алгоритмов для решения задач, возникающих при исследова- нии процесса внутренней изотермической эрозии грунта при напорном движении грунтовых вод и тепломассопереноса в тающем снеге.
Научная новизна исследуемых задач состоит в учете переменной пористости вмещающей среды. Рассматриваемые в диссертации задачи осложняются тем, что пористость изменяется в результате фазовых переходов, а фильтрующиеся фазы имеют различные скорости, определяемые в ходе решения задач. В рамках теории многофазной фильтрации с учетом переменной пористости и фазовых переходов получены следующие новые результаты:
1. Построена замкнутая математическая модель фильтрации смеси твердых ча- стиц и жидкости в пористых средах с учетом внутренней суффозии. Подвижные частицы грунта рассматриваются как отдельная фаза, скорость которой опреде- ляется в ходе решения задачи. В рамках полученной модели численно решена одномерная задача внутренней суффозии грунта и проведено сравнение с экспе- риментальными данными для трех грунтов с различной суффозионной устойчи- востью.
2. В случае одномерного движения доказана глобальная разрешимость начально-краевой задачи для невырожденных уравнений внутренней эрозии при заданной суммарной скорости фильтрации.
3. На основе уравнений двухфазной фильтрации с учетом суффозионных про- цессов исследована профильная задача внутренней эрозии в межмерзлотном водо- носном слое при заданной концентрации подвижных частиц грунта. Определена область, подверженная внутренней эрозии грунта.
4. Построена математическая модель тепломассопереноса в тающем снеге. Снег рассматривается как трехфазная среда, состоящая из воды, воздуха и неподвиж- ного твердого пористого ледового скелета с переменной искомой пористостью. В рамках полученной модели численно решена одномерная задача фильтрации во- ды и воздуха с учетом фазового перехода, исследовано изменение пористости и водонасыщенности снега. Используя экспериментальные данные из литературных источников проведена верификация математической модели фильтрации воды и воздуха в тающем снеге, состоящем из двух слоев с разной плотностью.
Теоретическая и практическая значимость
Полученные результаты носят теоретический и прикладной характер и пред- ставляют интерес для специалистов в области гидродинамики, математической теории фильтрации и уравнений в частных производных. Работа вносит вклад в изучение фильтрации в пористых средах с переменной пористостью и учетом фазовых переходов. Полученные результаты развивают теорию фильтрации и до- полняют результаты изученной ранее задачи движения двухфазной смеси в по- ристой среде с заданной пористостью (классической модели Маскета–Леверетта). Результаты данной работы могут использоваться в решении прикладных задач по проектированию гидротехнических сооружений (речных плотин, водохранилищ, дамб и т.д.), ирригации и дренажа сельскохозяйственных полей, при оценки рисков механического разрушения коллекторов скважин, прогнозе гидрографа весеннего половодья, оценки распространения загрязнений талыми водами.
Полученные численные результаты могут использоваться для оценки рисков формирование пустот в грунте и образования суффозионных воронок. Результа- ты работы могут применяться для анализа экспериментов по определению суф- фозионной устойчивости грунтов и фильтрационных характеристик тающего сне- га. Модели и методы численного моделирования процессов фильтрации в средах с переменной пористостью позволяют создать новые и усовершенствовать суще- ствующие прикладные расчетные комплексы программ. С теоретической точки зрения работа вносит вклад в изучение систем уравнений в частных производных и развитие методов решения данных систем.
Методология и методы исследования
В работе применяются математический аппарат механики сплошной среды и теории фильтрации; гидродинамики; уравнений математической физики; общей теории дифференциальных уравнений; методы функционального анализа, а имен- но теорема Шаудера о неподвижной точке. Для численного решения задач при- менялись конечно-разностные методы Рунге–Кутты и переменных направлений для дифференциальных уравнений второго порядка. При реализации конечно- разностных схем использовались метод “замороженных коэффициентов” и методы прогонки, для нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений. Для проведения численных расчетов использованы авторские коды на языке C++.
Положения, выносимые на защиту
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образователь- ном учреждении высшего образования «Алтайский государственный универси- тет». На защиту выносятся следующие результаты:
– построена математическая модель фильтрации смеси твердых частиц и жид- кости в пористых средах с учетом внутренней суффозии, проведена верификация одномерной модели внутренней эрозии грунта на основе сравнения результатов численных расчетов изменения эродированной массы (частиц грунта вынесенных из области фильтрации) и экспериментальных данных из литературных источни- ков для трех грунтов с различной суффозионной устойчивостью;
– для профильной задачи внутренней эрозии в межмерзлотном водоносном слое при заданной концентрации подвижных частиц грунта в фильтрующемся потоке найдена область, подверженная внутренней эрозии;
– выведена математическая модель фильтрации воды и воздуха в тающем снеге с переменной пористостью и учетом фазового перехода, проведено сравнение ре- зультатов моделирования изменения водонасыщенности талого снега, состоящего из двух слоев с разной плотностью, и экспериментальных данных из литератур- ных источников;
– доказана глобальная разрешимость начально-краевой задачи для невырож- денных уравнений внутренней эрозии при заданной суммарной скорости филь- трации.
Степень достоверности и апробация результатов Обоснованность и до- стоверность научных положений, выводов и рекомендаций достигается: использо- ванием классических подходов механики сплошных сред, гидродинамики и теории фильтрации при построении и анализе математических моделей; проверкой кор- ректности результатов численных расчетов различными способами: устойчивость и порядок сходимости вычислительного алгоритма проверяются путем вычисли- тельных экспериментов, применяя известное правило Рунге [50]; путем сравнения результатов вычислений с экспериментальными данными из литературных источ- ников; опубликованием результатов исследований в ведущих журналах и обсуж- дением результатов на международных и всероссийских конференциях. Основные результаты работы докладывались на семинарах:
– ИГиЛ СО РАН ”Математические модели механики сплошных сред” (руководи- тели: член.-корр. РАН П.И. Плотников, д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтов), Новосибирск, 2021;
– ИГиЛ СО РАН “Прикладная гидродинамика” (руководители: член.-корр. РАН В.В. Пухначев и д.ф.- м.н. Е.В. Ерманюк), Новосибирск, 2021;
– ИМ СО РАН ”Теоретические и вычислительные проблемы задач математиче- ской физики” (руководитель: д.ф.-м.н. Д.Л. Ткачев), Новосибирск, 2021;
– ”Задачи индустриальной и прикладной математики” (руководитель: д.ф.-м.н. А.А. Папин), Барнаул, 2016-2021;
– кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного уни- верситета, Барнаул, 2016-2021.
А также на следующих научных конференциях: – Всероссийская конференция с участием зарубежных учёных по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, посвященная 100-летию со дня рождения Н. Н. Яненко (Красноярск, 2021);
– Международный молодежный научный форум “ЛОМОНОСОВ-2021” (Москва, 2021);
– IX Международная конференция, посвященная 120-летию со дня рождения академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2020);
– Всероссийская конференция c участием зарубежных ученых “Задачи со сво- бодными границами: теория, эксперимент и приложения”(Красноярск 2020, Бар- наул 2017, Бийск, 2014);
– Всероссийская конференция с международным участием и школа для моло- дых ученых, посвященные 100-летию академика Л.В. Овсянникова “Математиче- ские проблемы механики сплошных сред” (Новосибирск, 2019);
– Международная школа-конференция “Соболевские чтения” (Новосибирск 2016, 2018);
– Международная школа-семинар ”Ломоносовские чтения на Алтае” (Барнаул, 2012–2018);
– Всероссийская конференция с международным участием “Современные про- блемы механики сплошных сред и физики взрыва” посвященная 60-летию Инсти- тута гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2017);
– Всероссийская конференция «Нелинейные волны: теория и приложения» по- священная 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН В. М. Тешукова (Новосибирск, 2016).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51–61].
Личный вклад
Автор диссертации принимал активное участие в получении результатов, от- ражённых во всех совместных публикациях на равноправной основе: постанов- ке задачи, доказательстве теорем, обсуждении полученных результатов, а также оформлении результатов в виде публикаций и научных докладов. Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литера- туры. Полный объём диссертации составляет 113 страниц. Диссертация содержит 23 рисунка. Список литературы содержит 121 наименование.
Краткое изложение содержания работы
Во введении обосновывается актуальность задачи двухфазной фильтрации в пористых средах с переменной пористостью и учетом фазовых переходов, дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цели и задачи работы, а также ее научная новизна и практическая значимость, представлены ос- новные положения, выносимые на защиту, обоснована достоверность результатов и описан личный вклад автора работы.
Первая глава диссертации посвящена численному исследование одномерной задачи фильтрации смеси воды и твердых подвижных частиц в недеформируемом грунте при постоянной температуре в потоке и с учетом процессов внутренней суффозии. Грунт моделируется как трехфазная сплошная пористая среда. Поры полностью заполнены смесью воды и подвижных частиц грунта.
В разделе 1.1 приведена постановка трехмерной задачи и сделан вывод системы уравнений. В основе математической модели лежат уравнения сохранения массы каждой фазы и обобщенный закон Дарси для фильтрующейся смеси. Существу- ют различные подходы замыкания системы уравнений описывающей фильтрацию жидкости (газа) и подвижных частиц грунта: I. Vardoulakis постулировал, что мо- дуль скорости подвижных частиц грунта меньше модуля скорости фильтрации воды [36]. В работе [38] вводится понятие эффективного давления жидкости pe и эффективного давления псевдоожиженной фазы pse, так что давление жидкости есть p1 = spe, а давление твердых подвижных частиц p2 = (1 − s)pse, причем pe = pse + pc(s) и функция pc(s) обладает свойствами pc(s) → ∞ при s → 0, pc(1) = 0. Следуя изложенному выше подходу, для замыкания системы использу- ем соотношение p2 − p1 = pc(s).
Наиболее эффективным при качественном исследовании системы, описываю- щей фильтрацию двухфазной смеси в грунте при заданной пористости (модель Маскета–Леверетта), оказалось использование С.Н. Антонцевым и В.Н. Монахо- вым в качестве искомых функций насыщенности и “приведенного” давления [62]. Особенностью рассматриваемой в данной диссертации задачи является перемен- ная пористость. Исходная система уравнений сводится к равномерно эллиптиче- скому уравнению для приведенного давления, уравнению первого порядка для пористости и вырождающегося на решении параболическому уравнению для во- донасыщенности.
В разделе 1.2 рассмотрены различные зависимости для интенсивности обмена массой между пористым скелетом и твердыми подвижными частицами грунта. Главной причиной фильтрационных деформаций и фильтрационных разрушений грунтов является вынос частиц грунта из области фильтрации.
Суффозионный процесс начинается после достижения модуля скорости филь- трации критического значения vk. К. Терцаги получил условие равновесия грунта в виде I∗ = (γ−1)(1−φ), где I∗ – критический градиент напора, при котором грунт находится во взвешенном состоянии; γ – удельный вес грунта; φ–пористость [63]. В работе [9] J. Wang для интенсивности суффозионного процесса используется зависимость
λρ03φ(1 − φ)(1 − s)|⃗v|, |⃗v| ≥ vk;
I=
0 , | ⃗v | < v k ; где λ – функция, определяемая экспериментально [35] (отвечает за устойчивость грунта суффозионному воздействию); ρ03 – плотность грунта; ⃗v – скорость филь- трации смеси воды и подвижных частиц грунта; s – водонасыщенность. В рабо- те [36] I. Vardoulakis использовал аналог приведенного выше соотношения для ин- тенсивности суффозионного процесса (рассматривался частный случай |⃗v1| > vk).
В разделе 1.3 рассматривается алгоритм решения одномерной задачи филь- трации грунтовых вод с учетом внутренней суффозии. В разделе 1.4 приведены результаты численного моделирования. Для верификации предложенной матема- тической модели фильтрации смеси воды и подвижных частиц грунта использу- ется результаты эксперимента, представленного в работе [35]. Экспериментальная установка состоит из резервуара, наполненного жидкостью, и создающего гидрав- лическую нагрузку, приложенную к горизонтальной трубе, заполненной образ- цом грунта. В ходе эксперимента были исследованы несколько образцов грунта с разной суффозионной устойчивостью. Суффозионные тесты были проведены для смеси крупного песка, размеры частичек которого изменялись между 0.315 и 1.60 мм, и мелких частиц, размеры которых изменялись от 1 до 80 микрон. Концен- трация мелких частиц в смеси песка изменялась от 2 до 8 процентов от веса [35].
Проведено сравнение рассчитанных значений вынесенной массы из области фильтрации и концентрации подвижных частиц грунта с экспериментальными данными, взятыми из работы [35].
В разделе 1.5 изложен метод определения приближенного (экспериментального) порядка сходимости разностного решения. В разделе 1.6 приводится пример тести- рования численного алгоритма путем определения экспериментальных порядков сильной и слабой сходимости.
В разделе 1.7 численно исследована одномерная задача внутренней суффозии грунта при заданной суммарной скорости фильтрации. Проведено сравнение двух эмпирических зависимостей для интенсивности суффозионного процесса.
Во второй главе доказана теорема существования и единственности класси- ческого решения первой краевой задачи для одномерных уравнений внутренней эрозии при заданной сумарной скорости фильтрации и условии |⃗v| > vk. В разде- ле 2.1, носящем вспомогательный характер, содержатся необходимые сведения из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
В разделе 2.2 приводится постановка задачи и формулируется теорема об одно- значной классической разрешимости.
В разделе 2.3 изложены семь лемм, в том числе установлены физические прин- ципы максимума для насыщенности воды и пористости. Ключевым моментом яв- ляется доказательство гельдеровской непрерывности насыщенности. После этого проверяются условия теоремы Шаудера о неподвижной точке. Третья глава диссертации посвящена двумерной математической модели изо- термической внутренней эрозии. В разделе 3.1 дана постановка задачи фильтра- ции подземных вод в водоносном горизонте, который соприкасается с промерзшим песчаным грунтом. В процессе оттаивания грунта и при достижении определен- ной величины скорости фильтрации происходит вынос частиц грунта из области течения и образование подземных полостей. В результате увеличения и дости- жения критических размеров этих полостей происходит обрушение свода много- летнемерзлых пород. В качестве математической модели используются уравнения сохранения массы для воды, подвижных твердых частиц и неподвижного пористо- го скелета, а также закон Дарси для воды и подвижных твердых частиц (аналог классической модели Маскета–Леверетта) и соотношение для интенсивности суф- фозионного потока. В разделе 3.2 рассмотрена двумерная задача изотермической фильтрации в недеформированном грунте при заданной концентрации подвиж- ных твердых частиц в фильтрующемся потоке. Приведены результаты числен- ного исследования процесса внутренней суффозии в межмерзлотном водоносном горизонте и найдена область, подверженная внутренней суффозии. В разделе 3.3 рассматривается алгоритм решения двумерной задачи фильтрации грунтовых вод с учетом внутренней суффозии в верхних слоях почвогрунтов.
Четвертая глава посвящена исследованию тепломассопереноса в тающем сне- ге, разработке алгоритма численного решения одномерной задачи. Проведены чис- ленные расчеты и сравнение полученных результатов с экспериментальными дан- ными [64].
В разделе 4.1 тающий снег рассматривается как сплошная среда, состоящая из воды , воздуха и льда, составляющего твердый пористый скелет [46]. Фильтрация воды и воздуха в пористом ледовом скелете описывается уравнениями сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых переходов [45], уравнениями двух- фазной фильтрации и уравнением теплового баланса для трехфазной среды [42]. Система дополняется гипотезами: частицы льда неподвижны; сублимацией и об- меном массами между водой и воздухом пренебрегаем, плотности фаз постоянны. В рассматриваемом подходе важным моментом является корректное опреде- ление интенсивности фазового перехода “лед-вода”. Следует отметить, что для моделирования интенсивности фазового перехода, как правило, используется ме- тодология задачи Стефана, т.е. предполагается, что существует межфазная грани- ца, на которой при определенной температуре скачком происходит переход льда в воду. При таком подходе не требуется задавать интенсивность фазового пере- хода. Другой подход к процессу таяния снега подразумевает, что фазовый пере- ход “лед-вода” происходит во всей толще снежно-ледового покрова и для опи- сания распространения тепла нужно использовать уравнение теплопроводности для трехфазной среды с соответствующей правой частью [42]. Близкой по про- блематике является задача тепломассопереноса в протаивающих (промерзающих) грунтах [65]. Имеется ряд экспериментальных результатов по зависимости концен- трации льда в пористой среде от температуры [66]. Используемые в данной работе зависимости для интенсивности фазового перехода “лед-вода”опираются на идеи работ [65,67]
 −λ φθs, θ < θ−;  1 I =  0, θ− ≤ θ ≤ θ+;  λ2(1 − φ)2 exp(β(θ − θ+)), θ > θ+.
Здесь θ – температура снега, θ+ – температура плавления льда, θ− – температура замерзания воды, β, λ1, λ2 – размерные постоянные, характеризующие интенсив- ность фазового перехода ([β]=1/K,[λ1]=кг/(м3 · c· K), [λ2]=кг/(м3 · c)).
В разделе 4.2 сделан обзор используемых эмпирических зависимостей для ка- пиллярного давления, коэффициентов проницаемости и теплопроводности снега. Показано хорошее совпадение с экспериментальными данными из литературных источников коэффициента теплопроводности снега.
В разделе 4.3 исходная система уравнений сводится к равномерно эллиптиче- скому уравнению для приведенного давления, уравнению первого порядка для пористости, параболическому уравнение для температуры и вырождающегося на решении параболическому уравнению для водонасыщенности. В разделе 4.4 рассматривается алгоритм решения одномерной задачи фильтра- ции воды в тающем снеге. Раздел 4.5 посвящен численному исследованию одно- мерной задачи и верификации рассматриваемой модели. Сравнение результатов расчетов и экспериментальных данных показало, что математическая модель хо- рошо описывает период постепенного таяния снега в верхнем слое и формирование слоя, насыщенного водой. Несовпадение экспериментальных данных и численно- го моделирования после выключения инфракрасных ламп, скорее всего связано с формированием в снеге областей с большей пористостью (предпочтительных путей фильтрации). На верхнем слое данный эффект имеет меньшее влияние, по- скольку, протаивание происходит более равномерно.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной рабо- ты.
Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук А. А. Папину за постоянное внимание и руководство ра- ботой, доктору техн. наук С. Г. Яковченко за ценные советы и поддержку в ходе подготовки данной диссертации. Автор также благодарит руководителей и участ- ников научных семинаров, на которых были представлены результаты данной дис- сертации, за конструктивные вопросы и замечания.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Читать

    Читать «Моделирование движения двухфазных смесей в пористых средах с переменной пористостью и с учетом фазовых переходов»

    Публикации автора в научных журналах

    Тепломассоперенос в тающем снеге
    При- кладная механика и техническая физика. –2–Т. 62, No –C. 109 – 22Красс М. С., Мерзликин В. Г. Радиационная теплофизика снега и льда. — Ленинград: Гидрометеоиз- дат, 1— 261 с.23Бекежанова В. Б. Устойчивость неизотермических жидкостей в различных моделях конвекции: дис. ... д-р физ.-мат. наук: Красноярск. Ин-т вычислительного моделирования СО РАН, 2–268 с. 17
    Моделирование движения смеси твердых частиц и жидкости в пористых средах с учетом внутренней суффозии
    Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2– No – С. 82 – Sibin A. Numerical study of a mathematical model of internal erosion of soil // Journal of Physics: Conference Series. – 2Vol. 894, No. – 012
    Model isothermal internal erosion of soil
    Journal of Physics: Conference Series. – 2– Vol. 722, No. – 012Папин А. А., Сибин А. Н., Шишмарев К. А. Модель изотермической внутренней эрозии в деформируемом грунте // Изв. Алтайского госу- дарственного университета. – 2– No 4 (96). – С. 131
    Численное решение двумерной задачи фильтрации в верхних слоях почвогрунтов с учетом суффозионных процессов
    Изв. Алтайского государственного университета. – 2No 4 (96). – С. 146 – Сибин А. Н., Сибин Н. Н. Численное решение одномерной задачи филь- трации с учетом суффозионных процессов // Изв. Алтайского государ- ственного университета. – 2No 1 (93). – С. 123
    О разрешимости первой краевой задачи для одномерных уравнений внутренней эрозии
    Изв. Алтайского государ- ственного университета. – 2– No 1-2 (85). – С. 136 – Папин А. А., Вайгант В. А., Сибин А. Н. Математическая модель изо- термической внутренней эрозии // Изв. Алтайского государственного университета. – 2– No 1-1 (85). – С. 98

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Дмитрий К. преподаватель, кандидат наук
    5 (1241 отзыв)
    Окончил КазГУ с красным дипломом в 1985 г., после окончания работал в Институте Ядерной Физики, защитил кандидатскую диссертацию в 1991 г. Работы для студентов выполня... Читать все
    Окончил КазГУ с красным дипломом в 1985 г., после окончания работал в Институте Ядерной Физики, защитил кандидатскую диссертацию в 1991 г. Работы для студентов выполняю уже 30 лет.
    #Кандидатские #Магистерские
    2271 Выполненная работа
    Ксения М. Курганский Государственный Университет 2009, Юридический...
    4.8 (105 отзывов)
    Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитыв... Читать все
    Работаю только по книгам, учебникам, статьям и диссертациям. Никогда не использую технические способы поднятия оригинальности. Только авторские работы. Стараюсь учитывать все требования и пожелания.
    #Кандидатские #Магистерские
    213 Выполненных работ
    Родион М. БГУ, выпускник
    4.6 (71 отзыв)
    Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.
    Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.
    #Кандидатские #Магистерские
    108 Выполненных работ
    Мария А. кандидат наук
    4.7 (18 отзывов)
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет... Читать все
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет, реклама, журналистика, педагогика, право)
    #Кандидатские #Магистерские
    39 Выполненных работ
    Вирсавия А. медицинский 1981, стоматологический, преподаватель, канди...
    4.5 (9 отзывов)
    руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - ... Читать все
    руководитель успешно защищенных диссертаций, автор около 150 работ, в активе - оппонирование, рецензирование, написание и подготовка диссертационных работ; интересы - медицина, биология, антропология, биогидродинамика
    #Кандидатские #Магистерские
    12 Выполненных работ
    user1250010 Омский государственный университет, 2010, преподаватель,...
    4 (15 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    21 Выполненная работа
    Елена Л. РЭУ им. Г. В. Плеханова 2009, Управления и коммерции, пре...
    4.8 (211 отзывов)
    Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно исполь... Читать все
    Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно использую в работе графический материал (графики рисунки, диаграммы) и таблицы.
    #Кандидатские #Магистерские
    362 Выполненных работы
    Олег Н. Томский политехнический университет 2000, Инженерно-эконо...
    4.7 (96 отзывов)
    Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Явл... Читать все
    Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Являюсь действующим преподавателем одного из ВУЗов.
    #Кандидатские #Магистерские
    177 Выполненных работ
    Кормчий В.
    4.3 (248 отзывов)
    Специализация: диссертации; дипломные и курсовые работы; научные статьи.
    Специализация: диссертации; дипломные и курсовые работы; научные статьи.
    #Кандидатские #Магистерские
    335 Выполненных работ

    Последние выполненные заказы

    Другие учебные работы по предмету

    Численное и экспериментальное исследование процессов, протекающих в ротационном биореакторе при выращивании костной ткани
    📅 2021 год
    🏢 ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики им. С. А.Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук
    Конвективное движение и термодиффузионное разделение многокомпонентных смесей в цилиндрической колонне
    📅 2021 год
    🏢 ФГБУН Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
    Модели гранулированных микрополярных жидкостей
    📅 2021 год
    🏢 ФГБУН Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук