Некоторые обратные задачи для квазилинейных параболических уравнений и систем

Коршун, Кирилл Викторович

Введение ………………………………. 4 Глава1.Вспомогательныепредложения……………….. 16
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Основные обозначения, определения и теоремы . . . . . . . . . . 16 Теоремы существования и единственности решения задачи Коши 17 Принцип максимума для параболического уравнения 2-го порядка 18 Формулировка метода слабой аппроксимации . . . . . . . . . . . . 19 Одна теорема сходимости метода слабой аппроксимации . . . . . 20 О задаче идентификации функции источника для уравнения типа
Глава 2. Бюргерса………………………………. 22
2.1 ЗадачаКоши………………………… 22
2.1.1 Постановказадачи………………….. 22
2.1.2 Переходотобратнойзадачикпрямой. . . . . . . . . . . . 23
2.1.3 Доказательство разрешимости прямой задачи . . . . . . . 23
2.1.4 Доказательство существования решения обратной задачи . 29
2.1.5 Доказательство единственности решения обратной задачи 30
2.2 Краеваязадача……………………….. 32
2.2.1 Постановказадачи………………….. 32
2.2.2 ПереходоткраевойзадачикзадачеКоши . . . . . . . . . 33
2.2.3 Доказательство выполнения краевых условий . . . . . . . 34
2.2.4 Доказательство единственности решения краевой задачи . 37
Глава 3. О задаче идентификации функции источника для двумерного уравнениятипаБюргерса………………………. 39
3.1 Постановказадачииполученныерезультаты . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 ЗадачаКоши…………………….. 39 3.1.2 Краеваязадача……………………. 40
3.2 ЗадачаКоши………………………… 41
3.2.1 Переход от обратной задачи к прямой задаче . . . . . . . . 41
3
3.2.2 Доказательство разрешимости прямой задачи . . . . . . . 41
3.2.3 Доказательство существования решения обратной задачи . 46
3.2.4 Доказательство единственности решения обратной задачи 47
3.3 Краеваязадача……………………….. 48
3.3.1 ПереходоткраевойзадачикзадачеКоши . . . . . . . .
3.3.2 Доказательство существования решения краевой задачи
3.3.3 Доказательство единственности решения краевой задачи
. 48 . 49 . 52
Глава 4. О разрешимости задачи Коши для системы нагруженных пара- болическихуравнений………………………… 56 4.1 Постановказадачииполученныерезультаты . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Пример …………………………… 57 4.3 Доказательстворазрешимости ……………….. 59
Глава 5. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с па- раметром………………………………. 64
5.1 Постановказадачи……………………… 64
5.2 ПереходоткраевойзадачикзадачеКоши . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Доказательство существования решения задачи Коши . . . . . . . 67
5.4 Доказательство выполнения краевых условий . . . . . . . . . . . 72
5.5 Доказательство единственности решения краевой задачи . . . . . 74
Заключение……………………………… 77 Списоклитературы …………………………. 78 Списокработавторапотемедиссертации ……………… 85

Актуальность темы исследования
Обратными задачами для дифференциальных уравнений называют за- дачи нахождения неизвестных коэффициентов дифференциальных уравнений, правой части, граничных или начальных условий, границы области. Неизвест- ные элементы начально-краевых задач определяются по некоторой дополни- тельной информации о решении уравнений. Такой информацией являются раз- личного рода условия переопределения [15], [35].
Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической фи- зики в настоящий момент играют большую роль в естественных науках и их приложениях [2], [52], [23], [27], [36]. Коэффициентные обратные задачи – это задачи, в которых вместе с решением дифференциального уравнения неизвест- ным является и один (или несколько) из его коэффициентов. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся диффузионных процессов, электромагнит- ных колебаний, упругих деформаций, геофизики, сейсмологии, компьютерной томографии и обработки изображений, теории рассеяния, акустики, оптики, теории колебания молекул, радиолокации, гравиметрии, и др. приводят к по- добным обратным задачам. [39], [37], [17], [26], [1], [61], [41].
Степень разработанности темы исследования
Теория обратных задач является важным самостоятельным направлением исследований в области дифференциальных уравнений.
В настоящее время теория обратных задач математической физики разви- вается представителями ряда отечественных математических школ, в том числе Московской (основанной А.Н. Тихоновым) и Сибирской (основанной М.М. Лав- рентьевым и В.Г. Романовым).
Вопросы корректности обратных задач для параболических уравнений, а также задач идентификации коэффициентов или функции источника для па- раболических уравнений изучались в работах Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова,
5
Ю.Я. Белова, Е.Г. Саватеева, В.М. Волкова, А.И. Прилепко, В.В. Соловьева, А.И. Кожанова, И.В. Фроленкова и других [48], [7], [60], [43], [44].
Ряд результатов в данном направлении получили в последнее время за- рубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др.: G. Anger, H.D. Bui, Y. Chen, D. Colton, R. Durridge, E. Francini, J. Gottlieb, M. Grasselli, R. Kress, G. Kunetz, J.Q. Lin, A. Lorenzi, J.M. Mendel, R.D. Murch, S. Rionero, M. Sondhi, S. Strom, L. Yanping, M. Yamamoto [51], [55], [57], [59].
В работе [52] Ю.Я. Беловым изучены задачи определения неизвестных коэффициентов для квазилинейных уравнений типа Бюргерса
ut(t,x)+νuux =μ(t)uxx +g(t)f(t,x), u(0,x) = u0(x), −∞ < x < ∞, u(t, x0) = φ(t), x0 = const. в случае, когда входные данные допускают преобразование Фурье по простран- ственной переменной. Целью настоящей работы является исследование разрешимости задач определения функции источника в случаях задачи Коши и первой краевой за- дачи в классах гладких функций, а также обобщение полученных результатов на уравнения большей размерности и системы уравнений. Методы исследования В работах [36], [60] приводятся методы решения различных обратных за- дач математической физики. Исследование разрешимости рассматриваемых в диссертации задач про- изводится методом, позволяющим переходить от обратной задачи к прямой за- даче для нагруженного [23] (содержащего следы неизвестных функций и их производных) уравнения. Данный метод аналогичен методу, впервые предло- женному Ю.Е. Аниконовым [4] (в котором обратная задача сводилась к пря- мой для интегродифференциального уравнения при помощи преобразования Фурье). Отказ от использования преобразования Фурье позволяет расширить 6 класс допустимых входных данных, а также позволяет рассматривать задачи с различными краевыми условиями. Для доказательства разрешимости прямых задач для нагруженных урав- нений применяется метод слабой аппроксимации, являющийся методом рас- щепления на дифференциальном уровне. Метод был впервые предложен Н.Н. Яненко [47] и А.А. Самарским [46]. В работе [14] приводится подробное описание метода и систематизированы полученные результаты. В работах [19], [47], [22] описывается применение метода слабой аппроксимации к решению различных задач математической физики. Исследование обратных задач с краевыми условиями производится мето- дом разложения входных данных в тригонометрические ряды по синусам и/или косинусам [6], с последующим их продолжением с исходной области определе- ния на всё пространство и приведением исходной краевой задачи к задаче Коши. Научная новизна и практическая значимость работы Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и имеют строгое доказательство. Полученные результаты имеют теоретическую значи- мость и могут быть использованы при построении общей теории обратных за- дач. Положения, выносимые на защиту 1. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса в случаях задачи Коши и первой краевой задачи. 2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи идентификации функции источника для двумерного уравнения типа Бюргерса в случаях задачи Коши и смешанной краевой задачи в прямоугольной области. 3. Доказана теорема разрешимости для системы нагруженных уравнений, к которой приводятся некоторые обратные задачи для параболических уравне- ний и систем. 4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи 7 идентификации функции источника для параболического уравнения с пара- метром в случаях задачи Коши и первой краевой задачи. Апробация результатов По теме диссертации опубликовано 13 работ, из них работы [64, 68, 73, 74] опубликованы в изданиях, входящих в Перечень периодических научных из- даний, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации. Четыре работы написаны и опубликованы в соавторстве. Во всех случаях вклад каждого из соавторов равноценен. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на на- учном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных урав- нений Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета под руководством д. ф.-м. н. Белова Ю.Я. (г. Крас- ноярск, 2011 – 2015 гг.); XLIX международной научной студенческой конференции «Студент и на- учно-технический прогресс»: Математика (г. Новосибирск, 16–20 апреля 2011 г.); 50-й юбилейной международной научной студенческой конференции «Сту- дент и научно-технический прогресс»: Математика (г. Новосибирск, 13–19 ап- реля 2012 г.); 51-й международной научной студенческой конференции «Студент и на- учно-технический прогресс»: Математика (г. Новосибирск, 12–18 апреля 2013 г.); IХ Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспиран- тов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и наука», по- священной 385-летию со дня основания г. Красноярска, cекция «Математика, информатика: Дифференциальные уравнения» (г. Красноярск, 15–25 апреля 2013 г.); Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функци- ональные пространства. Теория приближений.», посвященной 105-летию со дня 8 рождения С. Л. Соболева (г. Новосибирск, 18–24 августа 2013 г.); 52-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2014: Ма- тематика (г. Новосибирск, 11–18 апреля 2014 г.); Тринадцатой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения- 2014» (г. Казань, 24–29 октября 2014 г.); 53-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Ма- тематика (г. Новосибирск, 11–17 апреля 2015 г.); Международной конференции «Дифференциальные уравнения и матема- тическое моделирование» (г. Улан-Удэ, 22–27 июня 2015 г.); Представлялись на Лаврентьевский конкурс студенческих и аспирантских работ по математике и механике (г. Новосибирск, 2014 г.); Докладывалась и обсуждалась на семинаре Отдела условно-корректных задач Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством член-корр. РАН, д. ф.-м. н. В.Г. Романова, д. ф.-м. н. Д. С. Аниконова (г. Но- восибирск, 8 сентября 2015 г.) Структура диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка лите- ратуры, включающего 61 наименование и списка работ автора по теме дис- сертации, включающего 13 наименований. Объем диссертации составляет 87 страниц. В первой главе вводятся необходимые обозначения, приводятся необхо- димые определения и теоремы. Вторая глава посвящена обратной задаче идентификации функции ис- точника для уравнения типа Бюргерса. Поставленная задача относится к клас- су коэффициентных обратных задач для параболических уравнений. Данная задача исследована в случае задачи Коши и первой краевой задачи. Получе- ны условия на входные данные, гарантирующие однозначную разрешимость поставленной задачи в классах гладких ограниченных функций. Основные ре- зультаты второй главы опубликованы в работе [64]. 9 В полосе Π[0,T ] = {(t, x)|0 ≤ t ≤ T, −∞ < x < ∞} рассматривается задача Коши для уравнения типа Бюргерса ut(t,x)=μ(t)uxx +A(t)uux +B(t)u+C(t)+g(t)f(t,x), (2.3) где A(t), B(t), C(t), f(t, x) - заданные функции, с данными Коши u(0,x) = u0(x),−∞ < x < ∞. (2.4) Функции u(t, x), g(t) неизвестны. Считаем, что выполнены условие пере- определения и условие согласования u(t, x0) = φ(t), x0 = const, (2.5) φ(0) = u0(x0). (2.6) Исходная задача приводится к вспомогательной прямой задаче для нагру- женного уравнения. Существование решения вспомогательной задачи доказы- вается методом слабой аппроксимации. Вспомогательная задача разрешима в малом временном интервале, т.е. для всех t ∈ [0, t∗], где 0 < t∗ ≤ T – некоторая постоянная, зависящая от входных данных. Показывается, что решение вспомо- гательной задачи является решением исходной обратной задачи. Доказывается единственность решения обратной задачи. ВобластиQT ={(t,x)|00рассматри- вается краевая задача
ut(t,x)=μuxx +A(t)uux +Bu+g(t)f(t,x),
u(0, x) = u0(x), x ∈ [0, l], u(t,0) = u(t,l) = 0, t ∈ [0,T], u(t,x0) = φ(t), 0 < x0 < l, u0(x0) = φ(0). (2.48) (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) 10 Предполагается, что функции u0(x), f(t,x) имеют непрерывные произ- водные по x до шестого порядка включительно, и удовлетворяют условиям u0(0) = u′′(0) = u(4)(0) = u(6)(0) = 0, 000 u0(l) = u′′(l) = u(4)(l) = u(6)(l) = 0. 000 ∂4 ∂6 f(t,0) = fxx(t,0) = ∂x4f(t,0) = ∂x6f(t,0) = 0, ∂4 ∂6 f(t,l) = fxx(t,l) = ∂x4f(t,l) = ∂x6f(t,l) = 0. (2.53) (2.54) (2.55) (2.56) Функция u0(x) продолжается на отрезок [−l,l]: u0(x) = −u0(−x) при −l ≤ x < 0. Затем функция u0(x) продолжается с [−l, l] на R до периодической по x функции. Функция f (t, x) продолжается с [0, T ] × [0, l] на [0, T ] × R до перио- дической и нечётной по x функции. Продолженные данным способом функции u0(x),f(t,x) берутся в качестве входных данных для задачи Коши ut(t,x)=μuxx +A(t)uux +Bu+g(t)f(t,x), (2.58) u(0, x) = u0(x), x ∈ (−∞, ∞). (2.59) Доказывается, что решение задачи (2.58), (2.59) удовлетворяет краевым условиям (2.50). Доказывается единственность решения задачи (2.48)–(2.52). В данной главе доказаны следующие теоремы: Теорема 2.1. Пусть выполняются условия 6 ∂ku0(x) + 6 ∂kf(t, x) + |A(t)| + |B(t)| + |C(t)| + ∂xk ∂xk k=0 k=0 +|ψ(t)| ≤ K, |f(t,x0)| ≥ K1 , K = const > 0, (t,x) ∈ Π[0,T].
Тогда существует постоянная t∗, 0 < t∗ ≤ T, такая, что в полосе Π[0,t∗] существует единственное решение (u, g) задачи (2.3)-(2.6) класса 1,4 ∂ 4 ∂s Z = {u(t, x), g(t)|u(t, x) ∈ Ct,x (Π[0,t∗]), u(t, x) + u(t, x) ≤ K, ∂t s=0 ∂xs При этом ∂u ∂k C1,4(ΠM ∗ ) = {u(t,x)| , u(t,x) ∈ C(ΠM ∗ ),k = 0,1...4}, [0,t ] t,x [0,t ] Для любого M > 0
при τ → 0.
∂ k u τ
∂xk
∂t ∂xk ∂ k u
→ 0,

∂xk C(ΠM[0,t∗])
k = 0, 1…4,
11
(t, x) ∈ Π[0,t∗], g(t) ∈ C([0, t∗])},
Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (2.53)-(2.56), а условия Теоремы 2.1 выполнены при (t, x) ∈ QT . Тогда существует постоянная t∗, 0 < t∗ ≤ T , такая, что в области Qt∗ существует единственное решение (u, g) задачи (2.48)-(2.52) класса W = {u(t, x), g(t)|u(t, x) ∈ C1,4(Qt∗ ), g(t) ∈ C([0, t∗])}. t,x ∂ k u τ ∂ k u − → 0, k = 0, 1...4, τ → 0. ∂xk ∂xk C([0,t∗]×[0,l]) В третьей главе исследована задача идентификации функции источни- ка для двумерного уравнения типа Бюргерса. Данная задача является обоб- щением задачи (2.3)-(2.6) на двумерный случай. Рассмотрены случаи условий Коши и смешанных краевых условий в прямоугольной области. Доказана теоре- ма существования и единственности решения поставленной задачи. Результаты исследования опубликованы в работе [68]. ВполосеΠ[0,T] ={(t,x,y)|0≤t≤T,−∞ 0,ai(t),bi(t),f(t,x,y),i = 1,2 – заданные функции, с начальными условиями
u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ R2. (3.2)

Считаем, что выполнены условие переопределения
u(t, x0, y0) = φ(t), x0 = const, y0 = const, и условие согласования
(3.3)
12
φ(0) = u0(x0, y0).
Под решением задачи (3.1)-(3.4) понимается пара функций u(t, x, y), g(t), при-
надлежащая классу
1,p ∂ Zp(T)={u(t,x,y),g(t)|u(t,x,y)∈C (Π[0,T]), ∂tu(t,x,y) +

+ |Dαu(t,x,y)| ≤ K,(t,x,y) ∈ Π[0,T],g(t) ∈ C([0,T])}, p ≥ 2 ∈ Z,
|α|≤p
где C1,p(Π[0,T]) = {u(t,x,y)|∂u,Dαu(t,x,y) ∈ C(Π[0,T]),|α| ≤ p}.
∂t
ВобластиQT ={(t,x,y)|0 0 рассматривается краевая задача
ut(t,x,y)=μ1(t)uxx +μ2(t)uyy +b1(t)uux +g(t)f(t,x,y), u(0, x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ [0, l1] × [0, l2],
u(t,0,y) = u(t,l1,y) = 0, uy(t, x, 0) = uy(t, x, l2) = 0,
(3.6) (3.7) (3.8) (3.9)
(3.10)
u(t, x0, y0) = φ(t), (x0, y0) ∈ Ω = (0, l1) × (0, l2).
Уравнение (3.6) получено из уравнения (3.1) при a1(t) = a2(t) = b2(t) = 0.
В данной главе доказаны теоремы:
Теорема 3.1. При выполнении условий
u0(x,y) ∈ Cp+2(R2), f(t,x,y) ∈ C0,p+2(Π[0,T]), μi ∈ C([0,T]), ai ∈ C([0,T]), bi ∈ C([0,T]), φ(t) ∈ C1([0,T])
|Dαu0(x,y)|+ |Dαf(t,x,y)|+|μi(t)|+|ai(t)|+|bi(t)|+ |α|≤p+2 |α|≤p+2
(3.5)
+|φ(t)|+|φ′(t)|≤K, |f(t,x0,y0)|≥K1, i=1,2, K=const>0, p≥4,
(3.4)

∂mu0(x,l2) = ∂mf(t,x,0) = ∂mf(t,x,l2) = 0, ∂ym ∂ym ∂ym
13
существует единственное решение задачи (3.11)-(3.14) в классе Zp(t∗), где t∗ > 0 – некоторая постоянная, зависящая от входных даных.
Теорема 3.2. Пусть функции u0(x, y), f (t, x, y), μ1(t), μ2(t), b1(t) удовлетворя- ют условиям Теоремы 3.1 при (x, y) ∈ Ω ̄ и p = 6. При выполнении условий
∂ku0(0,y) = ∂xk
∂mu0(x,0) = ∂ym
∂ku0(l1,y) = ∂kf(t,0,y) = ∂kf(t,l1,y) = 0, k = 0,2,4,6,8, ∂xk ∂xk ∂xk
m = 1,3,5,7
|α|≤6
В четвёртой главе рассмотрена задача Коши для системы нагруженных
[23] (содержащих следы неизвестных функций и их производных) уравнений.
существует единственное решение задачи (3.6)-(3.10) в классе
1 , 6 ∂ (Qt∗), ∂tu(t,x,y) +
W ={u(t,x,y),g(t)|u(t,x,y)∈C
+ |Dαu(t,x,y)| ≤ K,(t,x,y) ∈ Qt∗,g(t) ∈ C([0,t∗])}.
∂u ̄
∂t =μ(t,ω ̄(t))∆u ̄+ν(u ̄·∇)u ̄+f(t,x,u ̄,ω ̄(t)), (4.1)

̄
u ̄(0, x) = φ ̄(x), (4.2)
где 0 ≤ t ≤ T, x ∈ Rn, u ̄ = u1(t,x),…,un(t,x) – неизвестные функции, μ(t,ω ̄(t)), f ̄= f1,…,fn), φ ̄ = φ1(x),…,φn(x) – заданные функции, ν ∈ R – заданныйкоэффициент.Черезω ̄(t)= ui(t,xj),Dαui(t,xj) ; i=1,…,n; j= 1,…,r; |α| = 0,…,p0 обозначена вектор-функция, компонентами которой являются следы неизвестных функций и их производных по пространственным переменным до порядка p0 включительно, взятые в точках x1, . . . , xr ∈ Rn.
К системе такого типа сводятся некоторые коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений и систем. Для рассмотренной задачи доказана теорема разрешимости. Приведён пример коэффициентной обратной задачи, приводящейся к рассматриваемой системе уравнений, и указан способ проверки условий теоремы разрешимости.

|f(t,y,y)| ≥ K1 > 0, α β
y ∈ D,
α βf(t,x,y)
β Dyφt(t,y) ≤K4,
DxDyu0(x,y) ≤K2,
|α|≤p, |β|≤1,(t,x,y)∈QT, p≥6;
(5.5)
14
Основное содержание четвёртой главы опубликовано в работе [73].
В пятой главе рассмотрена краевая обратная задача для n-мерного па- раболического уравнения с параметром
∂u(t,x,y) =λ∆xu(t,x,y)+μ(t,y)f(t,x,y), ∂t
u(0, x, y) = u0(x, y), u(t,x,y)|x∈∂Ω =0, u(t,x,y)|x=y =φ(t,y), (t,x,y)∈QT,
QT ={(t,x,y)|t∈[0,T], x∈Ω, y∈D},
(5.1)
(5.2) (5.3) (5.4)
где
T > 0, Ω – прямоугольный параллелепипед [0,l1] × [0,l2] × ··· × [0,ln] в Rn,
D – компактное подмножество Ω с достаточно гладкой границей ∂D, ∆x =
n ∂2 – оператор Лапласа, u(t, x, y) и μ(t, y) – неизвестные функции; функ- i=1 ∂x2i
ции f (t, x, y), u0(x, y) заданы.
Для данной задачи получены следующие результаты:
Теорема 5.1. Пусть входные данные задачи (5.1)–(5.4) удовлетворяют усло- виям
DxDy f(t,y,y) ≤K3,
∂k
∂xku0(x1,…,xi,…,xn,y)|xi=0,xi=li = 0,
i ∂k
∂xkf(t,x1,…,xi,…,xn,y)|xi=0,xi=li = 0, i = 1,…,n, k = 0,2,4,6. i
Тогда задача (5.1)–(5.4) имеет решение класса.
Zp(Ω) = {(u(t, x, y), μ(t, y)) |Dxαu(t, x, y) ∈ C([0, T ] × Ω × D), |Dxαu(t,x,y)|≤K, μ(t,y)∈C([0,T]×D), |α|≤p−2}−

15
Теорема 5.2. Решение задачи (5.1)–(5.4) класса Zp(Ω) единственно. Теорема 5.3. Рассмотрим задачу Коши (5.1), (5.2), (5.4) в полосе
E = {(t,x,y)|t ∈ [0,T],x ∈ Rn,y ∈ D}.
а) Задача (5.1), (5.2), (5.4) имеет решение класса Zp(Rn), если условия (5.5) выполняются в E.
б) Решение задачи (5.1), (5.2), (5.4) единственно.
Полученные результаты опубликованы в работе [74].

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Сергей Е. МГУ 2012, физический, выпускник, кандидат наук
    4.9 (5 отзывов)
    Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все
    Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.
    #Кандидатские #Магистерские
    5 Выполненных работ
    Шагали Е. УрГЭУ 2007, Экономика, преподаватель
    4.4 (59 отзывов)
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и... Читать все
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и диссертаций, Есть любимые темы - они дешевле обойдутся, ибо в радость)
    #Кандидатские #Магистерские
    76 Выполненных работ
    Елена Л. РЭУ им. Г. В. Плеханова 2009, Управления и коммерции, пре...
    4.8 (211 отзывов)
    Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно исполь... Читать все
    Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно использую в работе графический материал (графики рисунки, диаграммы) и таблицы.
    #Кандидатские #Магистерские
    362 Выполненных работы
    Катерина В. преподаватель, кандидат наук
    4.6 (30 отзывов)
    Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации... Читать все
    Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации. Опыт работы 7 лет. Всегда на связи и готова прийти на помощь. Вместе удовлетворим самого требовательного научного руководителя. Возможно полное сопровождение: от статуса студента до получения научной степени.
    #Кандидатские #Магистерские
    47 Выполненных работ
    Егор В. кандидат наук, доцент
    5 (428 отзывов)
    Здравствуйте. Занимаюсь выполнением работ более 14 лет. Очень большой опыт. Более 400 успешно защищенных дипломов и диссертаций. Берусь только со 100% уверенностью. Ск... Читать все
    Здравствуйте. Занимаюсь выполнением работ более 14 лет. Очень большой опыт. Более 400 успешно защищенных дипломов и диссертаций. Берусь только со 100% уверенностью. Скорее всего Ваш заказ будет выполнен раньше срока.
    #Кандидатские #Магистерские
    694 Выполненных работы
    Екатерина С. кандидат наук, доцент
    4.6 (522 отзыва)
    Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.
    Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.
    #Кандидатские #Магистерские
    1077 Выполненных работ
    Екатерина Б. кандидат наук, доцент
    5 (174 отзыва)
    После окончания института работала экономистом в системе государственных финансов. С 1988 года на преподавательской работе. Защитила кандидатскую диссертацию. Преподав... Читать все
    После окончания института работала экономистом в системе государственных финансов. С 1988 года на преподавательской работе. Защитила кандидатскую диссертацию. Преподавала учебные дисциплины: Бюджетная система Украины, Статистика.
    #Кандидатские #Магистерские
    300 Выполненных работ
    Виктор В. Смоленская государственная медицинская академия 1997, Леч...
    4.7 (46 отзывов)
    Имеют опыт грамотного написания диссертационных работ по медицине, а также отдельных ее частей (литературный обзор, цели и задачи исследования, материалы и методы, выв... Читать все
    Имеют опыт грамотного написания диссертационных работ по медицине, а также отдельных ее частей (литературный обзор, цели и задачи исследования, материалы и методы, выводы).Пишу статьи в РИНЦ, ВАК.Оформление патентов от идеи до регистрации.
    #Кандидатские #Магистерские
    100 Выполненных работ
    Дмитрий К. преподаватель, кандидат наук
    5 (1241 отзыв)
    Окончил КазГУ с красным дипломом в 1985 г., после окончания работал в Институте Ядерной Физики, защитил кандидатскую диссертацию в 1991 г. Работы для студентов выполня... Читать все
    Окончил КазГУ с красным дипломом в 1985 г., после окончания работал в Институте Ядерной Физики, защитил кандидатскую диссертацию в 1991 г. Работы для студентов выполняю уже 30 лет.
    #Кандидатские #Магистерские
    2271 Выполненная работа

    Другие учебные работы по предмету