О корректности задачи Коши для полиномиальных разностных операторов

Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В ком- бинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом произво- дящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных за- дач (см., например, [24], [25]). Другой источник появления разностных урав- нений — дискретизация дифференциальных. Так, дискретизация уравнения Коши-Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций (см., например, [32], [33]), которая нашла применение в теории римановых по- верхностей и комбинаторном анализе (см., например, [6], [7]). Методы дискре- тизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям (см., например, [22]). Разностной схемой обычно называют разностное уравнение, аппроксими- рующее исходное дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные) условия.
Сформулируем общий вид задачи, решению которой посвящена диссертаци- онная работа.
Для функции f(x) переменных x = (x1, …, xn) оператор сдвига δj по
j-ойпеременнойимеетвидδjf(x)=f(x1,…,xj−1,xj +1,xj+1,…,xn),апо-
линомиальный разностный оператор P (δ) = cαδα, где δ = (δ1, δ2, . . . , δn),
α = (α1, …, αn), δα = δα1 …δαn. 1n
α
Рассматривается уравнение
P(δ)f(x)=g(x), x∈X, (1)
где f(x) — неизвестная, а g(x) — заданная на некотором фиксированном мно- жестве X ⊂ Zn функция. Из множества X выделим подмножество X0 ⊂ X «на- чальных» («граничных») точек и сформулируем задачу: найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению (1) и совпадающую на X0 с заданной функцией
f(x)=φ(x), x∈X0. (2) Задачу (1)–(2) будем называть задачей Коши для полиномиального разност-
3
ного оператора P (δ).
В одномерным случае (см., например, [3], [18]), как правило, в качестве X бе-
рутся целые неотрицательные числа X = Z+, а в качестве X0 = (0, 1, …, m−1). При этих условиях и при cm ̸= 0 задача (1)–(2) очевидным образом имеет един- ственное решение.
В многомерном случае существование и единственность решения зависят от всех объектов, участвующих в ее постановке: разностного оператора P(δ), мно- жеств X и X0. Разрешимость задачи (1)–(2) означает разрешимость бесконечной системы уравнений относительно бесконечного числа неизвестных f(x), x ∈ X. Если при подходящем упорядочении неизвестных и уравнений матрица этой си- стемы нижнетреугольная, то ее разрешимость очевидна и в этом случае будем говорить о явной разностной схеме. В противном случае задачу (1)–(2) будем на- зывать неявной разностной схемой, и проблема ее разрешимости нетривиальна и выходит на первый план. Приведем некоторые типичные ситуации.
В первой из них, возникающей, как правило, в комбинаторном анализе, X = Zn+, а выбор множества, на котором задаются начальные данные, X0 за- висит от свойства характеристического полинома P (см., например, [13], [16], [31]).
ВовторомслучаеX={x∈Zn,xn 0}ивкачествемножестваX0 ⊂X беремX0 ={x∈X:xn=0,1,…,m−1},ахарактеристическиймногочлен имеет моном старшей степени m по n-ой переменной (см., например, [26]). Та- кого рода разностные операторы появляются в теории разностных схем, на- пример, при дискретизации уравнений математической физики, и называются они линейными многослойными явными разностными схемами с постоянными коэффициентами, коэффициенты разностного оператора при этом зависят от параметров сетки. Если же характеристический многочлен имеет несколько мо- номов старшей степени m по этой переменной, то они называются неявными многослойными линейными разностными схемами.
Теория разностных схем изучает способы построения разностных схем, ис- следует корректность разностных задач и сходимость решения разностной за- дачи к решению исходной дифференциальной задачи, занимается обоснованием алгоритмов решения разностных задач. Важное место среди этих свойств зани-
4

мает корректность.
Для функции f : X → C обозначим ∥f∥ = sup|f (x)|. X
Говорят (см., например, [21]), что задача вида (1)–(2) для полиномиального разностного оператора P (δ) поставлена корректно, если выполнены условия: а) задача однозначно разрешима при любых начальных данных φ (x) и пра-
вых частях g(x);
б) существуют постоянные M1 > 0, M2 > 0 такие, что при любых g(x) и
φ(x) справедлива оценка
∥f (x)∥ M1 ∥g(x)∥ + M2 ∥φ(x)∥ . (3)
Отметим, что при выполнении условия б) разностный оператор называется устойчивым.
Таким образом, разностная задача (1)–(2) поставлена корректно, если она для любых φ и g имеет единственное решение и устойчива.
Устойчивость задач вида (1)–(2) в случае одного переменного исследуется в рамках теорий дискретных динамических систем и цифровых рекурсивных фильтров (см., например, [5], [8]). Различные варианты определения устойчиво- сти в случае n = 1 для однородного линейного разностного уравнения с посто- янными коэффициентами означают, что все корни характеристического урав- нения по модулю не превосходят единицу, а если корень по модулю равен еди- нице, то он простой. Для неоднородного уравнения критерий устойчивости состоит в том, что корни по модулю меньше единицы.
Есть разные подходы к понятию устойчивости в случае n > 1. Так, разност- ную схему можно рассматривать как операторное уравнение с операторами, действующими в пространстве сеточных функций, и соответствующим образом определить понятие устойчивости (см., например, [22], [2]). В теории Лакса [20] сходимость разностной схемы изучается в пространстве решений исходной диф- ференциальной задачи и теорема эквивалентности утверждает, что если исход- ная дифференциальная задача корректна и схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость необходима и достаточна для сходимости.
В монографии [26] устойчивость однородной двухслойной линейной разност- 5

ной схемы с постоянными коэффициентами исследована методами комплексного анализа. Условие устойчивости здесь дается в терминах, связанных с понятием разностной функции Грина задачи Коши.
Отметим, что в диссертационной работе к исследованию устойчивости явных многослойных линейных разностных схем применяется теория амеб алгебраи- ческих гиперповерхностей. Понятие амебы позволяет сформулировать много- мерный аналог условия, что все корни характеристического многочлена лежат в единичном круге, т.е. условия устойчивости многомерных разностных схем.
Пионерской работой по теории амеб является статья Форсберга – Пассаре – Циха [34]. После этой работы появилось множество других, связанных как с описанием самих амеб, так и с их применением в теории димеров, в теории расширений неархимедовых полей и др. Недавно Лейнартасом – Пассаре – Ци- хом [17] теория амеб была применена к исследованию асимптотик многомерных разностных уравнений, играющих важную роль в теории обработки цифровых сигналов, в частности, при исследовании устойчивости двумерных цифровых рекурсивных фильтров (см., например, [5]).
Целью диссертационной работы является отыскание условий разреши- мости различных вариантов задачи Коши для полиномиальных разностных опе- раторов и ее устойчивости в случае явных разностных схем.
Основные результаты работы:
1. Дан критерий, а также приведено легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи Коши с начально-краевыми условиями типа Рикье для полиномиального разностного оператора с постоянными коэффициен- тами.
2. Доказано, что разрешимость задачи Коши эквивалентна существованию некоторого определенного мономиального базиса в факторе кольца поли- номов по идеалу, порожденному характеристическим многочленом.
3. Получены формулы, в которых решение задачи Коши для однородных и неоднородных многослойных явных разностных схем выражается через фундаментальное решение и начальные данные.
6

4. Используя эти формулы, в терминах теории амеб алгебраических гипер- поверхностей найдены как необходимые, так и достаточные условия устой- чивости однородных многослойных явных разностных схем. Для неодно- родной схемы доказан критерий устойчивости.
Все основные результаты диссертации являются новыми, представляют на- учный интерес.
Методы исследования. В работе рассматриваются полиномиальные раз- ностные операторы, основным источником появления которых является теория разностных схем. В исследовании корректности разностных операторов исполь- зуется терминология этой теории, методы линейной алгебры, математического анализа, а также методы теории амеб алгебраических гиперповерхностей.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в теории разностных схем и теории дискретных динамических систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на
1) Красноярском городском научном семинаре по комплексному анализу и алгебраической геометрии (СФУ, 2011-2014 гг.);
2) 50-ой международной научной конференции «Студент и научно- технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.);
3) Четвертом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012 г.);
4) 51-ой международной научной конференции «Студент и научно- технический прогресс» (Новосибирск, 2013 г.);
5) IХ Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспиран- тов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и наука» (Крас- ноярск, 2013 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях и 4 тезисах. Все статьи опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК. Одна статья совместная, ее результаты получены в нераздельном соавтор- стве с Е.К. Лейнартасом.