О многомерных аналогах эллиптических функций Вейерштрасса

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 1. Эллиптические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Обращение эллиптических интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Эллиптические и тэта-функции Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Эллиптические функции Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Связь эллиптических функций Вейерштрасса и функций Якоби . 22
1.5 Представление числа в виде двойного ряда . . . . . . . . . . . . 26

Глава 2. Многомерные аналоги эллиптических функций
Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Многомерный аналог ℘-функции Вейерштрасса и её свойства . . 33
2.2 Многомерный аналог -функции Вейерштрасса и её свойства . . 35
2.3 Нахождение периодической формы ( ) = ( ) − ( ) . . . . . . . 41

Глава 3. Применение -формы к проблеме числа точек
решётки в замыкании области . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Интегральное представление для взвешенного числа точек
решётки в замыкании области из C . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Интегральное представление для взвешенного числа точек
решётки в замыкании области из R . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Вычисление объёмов решётчатых многогранников . . . . . . . . . 57

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

В диссертации исследованы свойства многомерных аналогов ℘- и
-функций Вейерштрасса и их применение. Основные результаты состоят в
следующем:
1. Получена интегральная формула для разности взвешенного числа то­
чек произвольной решётки максимального ранга в C в замыкании об­
ласти с кусочно-гладкой границей и её объёма. Указанная разность
представляется в виде интеграла по границе этой области.
2. Получено новое представление числа в виде двойного ряда по решётке
гауссовых чисел.
3. Получено аналитическое доказательство многомерного аналога фор­
мулы Пика для многогранника с вершинами в узлах решётки и цен­
трально-симметричными гипергранями.
Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказа­
тельствами, опубликованы в 8 работах и могут быть использованы в комплекс­
ном анализе, алгебраической геометрии, комбинаторике и теории чисел.

1. Айзенберг, Л.А. Применение многомерного логарифмического вычета
для представления в виде интеграла разности между числом целых точек
в области и её объёмом / Л.А. Айзенберг // Докл. Акад. Наук СССР. —
1983. — Т. 270, № 3. — С. 521—523.
2. Вальфиш, А.Ж. Целые точки в многомерных шарах / А.Ж. Вальфиш. —
Издательство Академии Наук Грузинской ССР, 1959. — 460 с.
3. Варченко, А.Н. О числе целых точек в семействах гомотетичных обла­
стей в R / А.Н. Варченко // Функц. анализ и его прил. — 1983. — Т. 17,
№ 2. — С. 1—6.
4. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столе­
тия: Пер. с нем. под ред. А.П. Юшкевича / Г. Вилейтнер. — М. : Гос. изд.
физ.-мат. лит, 1960. — 468 с.
5. Галушина, Е.Н. Об одном представлении числа в виде двойного ряда
/ Е.Н. Галушина // Известия Иркутского государственного университе­
та. — 2016. — Т. 17. — С. 3—11.
6. Гриффитс, Ф. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ. / Ф.
Гриффитс, Дж. Харрис. — М. : Мир, 1982. — 496 с. — Т. 1.
7. Гурвиц, А. Теория функция / А. Гурвиц, Р. Курант. — М. : Наука, 1968. —
648 с.
8. Зубченкова, Е.В. Интегральный признак сходимости некоторых крат­
ных рядов / Е.В. Зубченкова // Journal of Siberian Federal University.
Mathematics & Physics. — 2011. — Т. 4, № 3. — С. 344—349.
9. Кытманов, А.М. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения / А.М.
Кытманов. — Новосибирск : Наука, 2002. — 240 с.
10. Мамфорд, Д. Лекции о тэта-функциях: Пер. с англ. / Д. Мамфорд. —
М. : Мир, 1988. — 448 с.
11. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под
ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. — М. : Наука, 1981. — 270 с.
12. Прасолов, В.В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения /
В.В Прасолов, Ю.П. Соловьев. — М. : Факториал, 1997. — 288 с.
13. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков,
О.И. Марычев. — М. : Наука, 1981. — 800 с.
14. Терешонок, Е.Н. Двумерный аналог дзета-функции Вейерштрасса в за­
даче оценки числа целых точек в области / Е.Н. Терешонок // Материа­
лы Юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции
Студент и научно-технический прогресс: Математика. — Новосибирск :
Новосиб. гос. ун-т., 2012. — С. 101.
15. Терешонок, Е.Н. О многомерной версии формулы Пика / Е.Н. Терешо­
нок // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: мате­
риалы Тринадцатой молодежной научной школы-конференции Лобачев­
ские чтения. — Казань : Изд-во Казан. ун-та., 2014. — С. 163—165.
16. Терешонок, Е.Н. О многомерном аналоге дзета-функции Вейерштрасса
/ Е.Н. Терешонок, А.В. Щуплев // Четвёртое российско-армянское со­
вещание по математической физике, комплексному анализу и смежным
вопросам: тезисы докладов. — Красноярск : Сибирский федеральный уни­
верситет., 2012. — С. 69—70.
17. Терешонок, Е.Н. Формула Макмюллена и многомерный аналог дзета­
функции Вейерштрасса / Е.Н. Терешонок // Сборник материалов меж­
дународной научной конференции студентов, аспирантов и молодых уче­
ных Молодёжь и наука: проспект Свободный. — Красноярск : Сибирский
федеральный университет., 2015.
18. Терешонок Е. Tex2Cpp: свидетельство о государственной регистрации
программы для ЭВМ / Е.Н. Терешонок. — М. : Реестр программ для
ЭВМ, 2014. Номер гос. рег. 2014616394.
19. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа: в 2 частях. Часть 2. Транс­
цендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. — М. : Гос. изд.
физ.-мат. лит, 1963. — 516 с.
20. Abel, N. Memoire sur une propriété générale d’une classe tres étendue de
fonctions transcendents / N. Abel // Memoires presentes par divers savants
a l’Academie des sciences, Paris, 1841, Oeuvres Completes. Vol. 1. —
P. 145–211.
21. Abel, N. Recherches sur les fonctions elliptiques / N. Abel // J. Reine
Angew. Math. — 1827. — Vol. 2. — P. 101–181.
22. Abel, N. Recherches sur les fonctions elliptiques / N. Abel // J. Reine
Angew. Math. — 1828. — Vol. 3. — P. 160–187.
23. Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions with formulas,
graphs, and mathematical tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun. —
Washington, D.C. : 10 ed., Dept. of Commerce : U.S. G.P.O., 1972. —
1046 p.
24. Aizenberg, A. An integral formula for the number of lattice points in a
domain / L. Aizenberg, N. Tarkhanov // Journal of Siberian Federal
University. Mathematics & Physics. — 2015. — Vol. 8, no. 2. — P. 134–
139.
25. Apostol, Tom M. Modular function and Dirichlet series in number theory
/ Tom M. Apostol. — 2nd ed. p. cm. — (Graduate texts in mathematics;
41). — New York : Springer Verlag, 1990. — 206 p.
26. Barvinok, A. An algorithmic theory of lattice points in polyhedra / A.
Barvinok, J. Pommersheim // New Perspectives in Algebraic Combina-
torics. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999. — Vol. 38. — P. 91–
147.
27. Bottazzini, U. Hidden harmony — geometric fantasies / U. Bottazzini, J.
Gray. — Springer New York Heidelberg Dordrecht London, 2013. — 848 p.
28. Brion, M. Lattice points in simple polytopes / M. Brion, M. Vergne //
Journal of the AMS. — 1997. — Vol. 10. — P. 371–392.
29. Brion, M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points
in rational polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the AMS. —
1997. — Vol. 10, no. 4. — P. 797–833.
30. Cappell, S.E. Some problems in number theory I: the circle problem / S.E.
Cappell, J.L. Shaneson. — 2007. — URL: http : / / arxiv . org / pdf / math /
0702613v3.pdf.
31. Diaz, R. Pick’s Formula via the Weierstrass ℘-Function / R. Diaz, S.
Robins // The American Mathematical Monthly. — 1995. — Vol. 102,
no. 5. — P. 431–437.
32. Erhart, E. Sur les polyèdres rationnels homothétiques à n dimensions / E.
Erhart // C. R. Acad. Sci., Paris. — 1962. — Vol. 254. — P. 616–618.
33. Guy, R.K. Unsolved problems in number theory / R.K. Guy. — 3rd rd. —
Springer Science & Business Medis Inc., 2004. — 438 p.
34. Jacobi, C. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum / C. Ja-
cobi // Sumptibus fratrum Borntrager, Regiomonti in Ges. Werke. —
1829. — P. 49–239.
35. Korn, G.A. Mathematical handbook for scientists and engineers: defini-
tions, theorems, and formulas for reference and review / G.A. Korn, T.M.
Korn. — 2nd rd. — Mineola, New York : Dover publications, 2000. —
1130 p.
36. Macdonald, I. G. The volume of a lattice polyhedron / I.G. Macdonald //
Proc. Camb. Phil. Soc. — 1963. — Vol. 59. — P. 719–726.
37. McMullen, P. Lattice invariant valuations on rational polytopes / P. Mc-
Mullen // Arch. Math. — 1978/79. — No. 31. — P. 509–516.
38. McMullen, P. Polytopes with centrally symmetric faces / P. McMullen //
Israel J. Math. — 1970. — Vol. 8. — P. 194–196.
39. McMullen, P. Polytopes with centrally symmetric facets / P. McMullen //
Israel J. Math. — 1976. — Vol. 23, no. 3. — P. 337–338.
40. Mordell, L.J. Lattice points in a tetrahedron and generalized Dedekind
sums / L.J. Mordell // J. Indian Math. Soc. — 1951. — Vol. 15. —
P. 41–46.
41. Morelli, R. Pick’s theorem and the Todd class of a toric variety / R.
Morelli // Adv. Math. — 1993. — No. 100. — P. 183–231.
42. Pick, G. Geometrisches zur Zahlenlehre / G. Pick // Naturwissenschaft
Zeitschrift Lotos, Prague. — 1899.
43. Reeve, J.E. On the volume of lattice polyhedra / J.E. Reeve // Proc.
London Math. Soc. — 1957. — No. 7. — P. 378–395.
44. Riemann, G.F.B. Theorie der Abelischen Funktionen / G.F.B. Riemann //
J. Reine Angew. Math. — 1857. — Vol. 54. — P. 115–155.
45. Rosen, K.H. Dedekind-Rademacher sums and lattice points in triangle and
tetrahedra / K.H. Rosen // Acta Arithmetica. — 1981. — Vol. 39. —
P. 59–75.
46. Serre, J.-P. A course in Arithmetic / J.-P. Serre. — NewYork : Springer-
Verlag, 1973. — 115 p.
47. Stillwell, J. Mathematics and its history / J. Stillwell. — Springer-Verlag
New York, 2010. — 662 p.
48. Tereshonok, E.N. McMullen’s formula and a multidimensional analog of
the Weierstrass zeta-function / E.N. Tereshonok // Complex variables and
elliptic equations: an international journal. — 2015. — Vol. 60.– Issue
11. — P. 1594–1601.
49. Tereshonok, E.N. Multidimensional Analog of the Weierstrass -function
in the Problem of the Number of Integer Points in a Domain / E.N.
Tereshonok, A.V. Shchuplev // Journal of Siberian Federal University.
Mathematics & Physics. — 2012. — Vol. 5, no. 4. — P. 480–484.
50. Yau, S.T. On formulas for Dedekind sums and the number of lattice points
in tetrahedra / S.T. Yau, L. Zhang // Journal of Number Theory. —
2009. — Vol. 129, no. 8. — P. 1931–1955.
51. Zappa, P. Osservazioni sui nuclei di Bochner-Martinelli / P. Zappa // Acc.
Naz. Lincei. — 1979. — Vol. VIII, no. LXVII. — P. 21–26.
52. Zappa, P. Su una generalizzazione della ℘ di Weierstrass / P. Zappa //
Bollettino U. M. I. — 1983. — Vol. 6, 2–A. — P. 245–252.
53. Zappa, P. Sulle classi di Dolbeault di tipo (0, − 1) con singolarita in un
insieme discreto / P. Zappa // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci.
Fis. Mat. Natur. — 1981. — Vol. 8, no. 70. — P. 87–95.