О резольвентах Чеха-де Рама в теории многомерных вычетов
Введение 3
1 Резольвенты комплекса Чеха – де Рама 18
1.1 Двойной комплекс Чеха – де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Резольвенты для U-цепей и U-коцепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Спаривание между U-цепями и U-коцепями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Резольвенты в случае конечного покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Разделяющие циклы, связанные с резольвентами . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Исследование разделяющих циклов с помощью резольвент 46
2.1 Локальные вычеты и разделяющие циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Резольвенты, связанные с локальными вычетами . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Доказательство теоремы Циха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 О принципе разделяющих циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Примеры разделяющих циклов в теории узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Разделение тропических гиперповерхностей
и теорема Гельфонд – Хованского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Гипотеза о разделяющих циклах в многообразиях Штейна 71
3.1 Гипотеза Южакова – Циха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 О разделении особенностей голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Одно обобщение теоремы Южакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Случай центрированного (n + 1)-набора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Другие примеры, подтверждающие гипотезу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Список литературы 89
В рамках комплексного анализа теория многомерных вычетов предполагает исследование
¯
интегралов ∂-замкнутых форм бистепени (p, q) на n-мерном комплексном многообразии
X. В случае p = n такие формы автоматически d-замкнуты (замкнуты по де Раму), поэто-
му их естественно интегрировать по (n + q)-мерным циклам с компактными носителями
(или с замкнутыми, если формы остаются интегрируемыми на цепях в подходящей ком-
пактификации многообразия X). Особое внимание уделяется формам с особенностями на
аналитических множествах, в частности, рациональным дифференциальным формам в Cn
или CPn (см. [39], [1], [51]).
В одномерном случае (n = 1) имеется два эквивалентных определения вычета в изо-
лированной особой точке a ∈ C функции g(z) (дифференциальной формы ω = g(z) dz).
Вычет — это коэффициента c−1 ряда Лорана функции g(z), либо интеграл формы (2πi)−1 ω
по окружности малого радиуса с центром в точке a. В многомерной ситуации диапазон
определений вычета значительно расширяется. Так, в теории Лере вычет формы — это
снова форма, но меньшей степени. Но даже в рамках концепции вычета как числа имеется
несколько подходов к его определению.
Наиболее распространен взгляд, согласно которому вычет — это коэффициент ря-
да Лорана c−I = c−1,…,−1 мероморфной функции g(z) (дифференциальной формы ω =
g(z) dz1 ∧ . . . ∧ dzn ). Этот коэффициент получается в результате интегрирования формы
(2πi)−1 ω по «торическому» циклу вида
[1] Айзенберг, Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном
анализе / Л.А. Айзенберг, А.П. Южаков. – Новосибирск: Наука, 1979.
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.7 (96 отзывов)
4.9 (343 отзыва)
4.2 (13 отзывов)
4.6 (30 отзывов)
4.5 (330 отзывов)
4.8 (13 отзывов)
4.9 (826 отзывов)
4.9 (298 отзывов)
5 (9 отзывов)
