О спектральных свойствах операторов, ассоциированных с некоэрцитивными смешанными задачами для эллиптических систем

Пейчева, Анастасия Сергеевна

Введение 3

1 Эрмитовы формы и спектральные свойства смешанных задач 22
1.1 Функциональные пространства и операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Теоремы вложения для функциональных
пространств, ассоциированных с эрмитовыми
формами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Спектральные свойства смешанных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4 О регуляризации задачи Коши для эллиптических систем . . . . . . . . . 65

2 Задача Штурма-Лиувилля для системы Ламе в весовых пространствах
Соболева-Слободецкого 73
2.1 Задача Штурма-Лиувилля для системы Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Спектральные свойства смешанных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 Собственные значения задачи Зарембы для круга 96
3.1 Задача типа Зарембы для единичного диска . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Применение метода Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Применение теоремы об экспоненциальном представлении . . . . . . . . . 102

Заключение 124

Список литературы 125

Хорошо известно, что интегро-дифференциальные эрмитовы формы тесно связаны с
обобщенными постановками краевых задач для дифференциальных уравнений и си-
стем, а также с теоремами существования и единственности для таких задач (см., на-
пример, [1], [2], [8], [20], [21], [28], [52], и другие).
Однако, при изучении краевых задач важны не только теоремы существования и
единственности, но и формулы для нахождения их точных и приближенных решений.
Классический подход к изучению эллиптических уравнений в гильбертовых простран-
ствах позволяет находить решение краевых задач в (весовых) пространствах соболев-
ского типа в различных областях (гладкие области, липшицевы области, области с ко-
ническими и реберными особенностями и тд.), см., например [2], [20], [36], [39], [40], [45],
[50], [68] и многие другие. Не так давно данный подход был адаптирован к изучению
широкого класса некоэрцитивных (субэллиптических) смешанных краевых задач, см.
[30], [63].
Фактически, мы рассматриваем краевые задачи как операторные уравнения в под-
ходящих пространствах Гильберта. Конечно, всегда можно воспользоваться методом
Фаэдо-Галеркина, но дополнительная информация о полной системе функций, с по-
мощью которой строятся решения кравевых задач может существенно упростить вы-
числения. В случае уравнений с самосопряженными операторами обычно применяются
спектральные теоремы; например, теорема Гильберта-Шмидта (см. [9] или в [14, стр.
246]), гарантирующая полноту ортогональной системы собственных векторов самосо-
пряженного компактного оператора, а значит, и возможность построения точных и
приближенных решений операторных уравнений. Поэтому одной из целей будет на-
хождение соответствующих собственных значений и построение собственных функций
краевых задач.
В случае уравнений с несамосопряженными операторами все еще можно использо-
вать концепцию корневых элементов линейного оператора, но для этого опять требуется
доказать полноту системы корневых функций. Это замечание справедливо и в том слу-
чае, если для нахождения решений операторных уравнений используются численные
методы. В таком случае спектральная теория будет полезным инструментом для реше-
ния краевых задач для дифференциальных операторов с частными производными (см.,
например, [9], [12], [44]).
Классическим примером применения спектральной теории для решения систем ли-
нейных алгебраических уравнений является теорема о приведении матрицы самосо-
пряженного преобразования конечномерного пространства к диагональному виду (см.,
например, [9] или [17]). Для несамосопряженных преобразований конечномерного про-
странства плодотворным оказалось понятие корневого вектора преобразования. Ис-
пользование корневых векторов при решении систем алгебраических уравнений требует
доказательства полноты линейной оболочки этих векторов, что эквивалентно возмож-
ности приведения матрицы системы к нормальной жордановой форме.
По-видимому, впервые разложение по корневым векторам несамосопряженных опе-
раторов в пространствах Гильберта обосновал Келдыш [12]. Им была доказана полнота
системы корневых векторов слабых возмущений компактных самосопряженных опе-
раторов, а соответствующие результаты использованы при изучении задачи Дирихле
для слабо возмущенного оператора Лапласа. Применительно к общей теории краевых
задач, результаты такого типа хорошо известны для коэрцитивных (эллиптических)
задач в областях с гладкими границами (см. [36], [40]). Относительно спектральной

В диссертации были рассмотрены и решены следующие вопросы:

1. Доказаны теоремы вложения для (весовых) пространств соболевского типа, по-
рожденных некоэрцитивными (и коэрцитивными) эрмитовыми формами, в шкалу
пространств Соболева-Слободецкого. Как следствие, описаны условия разреши-
мости и фредгольмовости для широкого класса соответствующих этим формам
смешанных задач, а также доказаны теоремы о полноте их корневых функций.

2. В весовых пространствах соболевского типа получены условия разрешимости и
фредгольмовости для трех задач Штурма-Лиувилля (двух коэрцитивных и одной
некоэрцитивной) для возмущенного оператора Ламе в Rn с граничными условиями
робеновского типа, а также доказаны теоремы о полноте соответствующих систем
корневых функций.

3. Указан один способ нахождения собственных значений некоэрцитивной задачи ти-
па Зарембы для оператора Лапласа в единичном круге на комплексной плоскости
и построения ее собственных функций.

4. Получены условия разрешимости некорректной задачи Коши для матричного эл-
липтического дифференциального оператора первого порядка A, а также найдены
формулы точных и приближенных решений для данной задачи.

[1] М.С. Агранович, Смешанные задачи в липшицевой области для сильно эллипти-
ческих систем 2-го порядка, Функ. анализ и его прил., 45(2011), №. 2, 1-22.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Анна Н. Государственный университет управления 2021, Экономика и ...
    0 (13 отзывов)
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уни... Читать все
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уникальности с нуля. Все работы оформляю в соответствии с ГОСТ.
    #Кандидатские #Магистерские
    0 Выполненных работ
    Кирилл Ч. ИНЖЭКОН 2010, экономика и управление на предприятии транс...
    4.9 (343 отзыва)
    Работы пишу, начиная с 2000 года. Огромный опыт и знания в области экономики. Закончил школу с золотой медалью. Два высших образования (техническое и экономическое). С... Читать все
    Работы пишу, начиная с 2000 года. Огромный опыт и знания в области экономики. Закончил школу с золотой медалью. Два высших образования (техническое и экономическое). Сейчас пишу диссертацию на соискание степени кандидата экономических наук.
    #Кандидатские #Магистерские
    692 Выполненных работы
    user1250010 Омский государственный университет, 2010, преподаватель,...
    4 (15 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    21 Выполненная работа
    Вики Р.
    5 (44 отзыва)
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написан... Читать все
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написание письменных работ для меня в удовольствие.Всегда качественно.
    #Кандидатские #Магистерские
    60 Выполненных работ
    Татьяна М. кандидат наук
    5 (285 отзывов)
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    #Кандидатские #Магистерские
    495 Выполненных работ
    Оксана М. Восточноукраинский национальный университет, студент 4 - ...
    4.9 (37 отзывов)
    Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политоло... Читать все
    Возможно выполнение работ по правоведению и политологии. Имею высшее образование менеджера ВЭД и правоведа, защитила кандидатскую и докторскую диссертации по политологии.
    #Кандидатские #Магистерские
    68 Выполненных работ
    Сергей Е. МГУ 2012, физический, выпускник, кандидат наук
    4.9 (5 отзывов)
    Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все
    Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.
    #Кандидатские #Магистерские
    5 Выполненных работ
    Евгений А. доктор, профессор
    5 (154 отзыва)
    Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - ... Читать все
    Более 40 лет занимаюсь преподавательской деятельностью. Специалист в области философии, логики и социальной работы. Кандидатская диссертация - по логике, докторская - по социальной работе.
    #Кандидатские #Магистерские
    260 Выполненных работ
    Кормчий В.
    4.3 (248 отзывов)
    Специализация: диссертации; дипломные и курсовые работы; научные статьи.
    Специализация: диссертации; дипломные и курсовые работы; научные статьи.
    #Кандидатские #Магистерские
    335 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук