О спектральных свойствах операторов, порожденных некоэрцитивными эрмитовыми формами

Полковников, Александр Николаевич

Введение 4

1 Предварительные сведения 19
1.1 Краевые задачи для сильно эллиптических операторов . . . 22
1.2 Элементы спектральной теории несамосопряженных опера-
торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Об одном классе операторных уравнений, порожденных
эрмитовыми формами 29
2.1 Теорема вложения для функциональных пространств, по-
рожденных эрмитовыми формами . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Смешанные краевые задачи для сильно эллиптических опе-
раторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Фредгольмовы семейства операторных уравнений . . . . . . 54

3 Спектральные свойства операторов, порожденных эрмито-
выми формами 67
3.1 Смешанные задачи, соответствующие компактным возмуще-
ниям самосопряженных фредгольмовых операторов . . . . . 67
3.2 Спектральные свойства смешанных краевых задач для эл-
липтического с параметром оператора . . . . . . . . . . . . . 73

4 Применения и примеры 84
4.1 О некорректной задаче Коши для оператора Коши-Римана 84
4.2 Смешанные задачи в шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Заключение 115
Список литературы 116

Теория смешанных краевых задач для эллиптических дифференциальных
операторов второго порядка активно развивалась в течение всего послед-
него столетия. Различные варианты таких задач рассматривались многими
математиками с начала XX века. Так, еще в 1910 году С. Заремба в своей
работе [69] описал условия разрешимости смешанной задачи для операто-
ра Лапласа в области с гладкой границей и непрерывными начальными
данными Неймана и Дирихле на разных кусках границы.
Бурное развитие теории эллиптических задач пришлось на начало вто-
рой половины XX века, чему способствовали работы таких математиков
как С. Агмон, А. Дуглис и Л. Ниренберг [1], Ж.-Л. Лионс и Э. Мадженис
[19], Ф. Браудер [36], С. Кампанато [37] и многие другие. Существенную
роль в развитии краевых задач в целом и эллиптических задач в частно-
сти сыграли работы М.С. Соболева, Л.Н. Слободецкого, О.А. Ладыжен-
ской, Н.Н. Уральцевой и других известных ученых.
Одним из результатов явилось то, что, как оказалось, в случае, когда
граница области является гладкой и выполнено условие коэрцитивности
(см. (1.12) ниже), то фредгольмовость задачи эквивалентна так называе-
мому условию Шапиро – Лопатинского (см., например, [28] или [20]). Одна-
ко, в случае негладкой границы необходимо более детальное исследование
проблемы.
Отметим, что при решении смешанных задач чаще всего пользуются
либо методом потенциалов, либо методом эрмитовых форм и слабых ре-
шений. Идя вторым путем, на соответствующую эрмитову форму часто
накладывают условие коэрцитивности, которое автоматически позволяет
получить достаточно гладкое решение задачи вплоть до границы области,
где ищется решение, если данные задачи также являются достаточно глад-
кими.
Однако, Ж. Кон в своей работе [50] при изучении ∂-задачи Неймана
столкнулся с феноменом так называемой субэллиптичности. Именно, в этой
задаче, при выполнении условия сильной эллиптичности, происходит по-
теря гладкости решения вблизи границы. Тем не менее, Ж. Кону удалось
доказать фредгольмовость задачи на шкале пространств соболевского типа
в псевдо-выпуклых областях с гладкой границей.
В настоящей работе рассматриваются операторные уравнения, порож-
денные некоэрцитивными эрмитовыми формами, соответствующими неко-
эрцитивным смешанным краевым задачам с граничными условиями ро-
беновского типа для сильно эллиптических дифференциальных операто-
ров в произвольных областях с липшицевой границей. При этом, вместо
условий на геометрические свойства области мы накладываем некоторые
ограничения на граничные операторы, более слабые, чем условия Шапиро-
Лопатинского.
Наряду с этим мы также рассматриваем некоэрцитивные эрмитовы
формы, соответствующие смешанным задачам для эллиптических с пара-
метром операторов. Мотивацией для изучения таких задач является тот
факт, что, использование преобразования Фурье по параметру выявляет
тесную связь между эллиптическими с параметром задачами и начально
краевыми задачами для параболических уравнений, см., например, работу
М.С. Аграновича и М.И. Вишика [2], где рассмотрена задача с постоян-
ными комплексными коэффициентами в области с гладкой границей при
выполнении условия Шапиро-Лопатинского с параметром и доказана од-
нозначная разрешимость этой задачи при достаточно больших по модулю
значениях параметра.
Дальнейшее развитие теории эллиптических с параметром краевых за-
дач можно наблюдать в работах таких математиков как Р. Денк и Л. Во-
левич [39], А.С. Маркус [53], Б.В. Пальцев [54], Н.Н. Тарханов и А.А. Шла-
пунов [60] и многих других. В настоящей работе рассматривается неко-
эрцитивная задача для эллиптического с параметром дифференциального
оператора второго порядка. Мы также доказываем однозначную разреши-
мость таких задач при достаточно больших по модулю значениях парамет-
ра, позволяя при этом “слабо” меняться аргументу функции, содержащую
этот параметр.
Таким образом, ослабляя условия на граничные дифференциальные
операторы, мы, тем не менее, доказываем фредгольмовость соответству-
ющих операторных уравнений в специальных пространствах соболевского
типа (с некоторой потерей гладкости, по сравнению с классическим ре-
зультатами теории смешанных краевых задач), и при этом не накладывая
ограничений на геометрические свойства области. Наряду с теорией разре-
шимости операторных уравнений, порожденных некоэрцитивными эрмито-
выми формами, мы также изучаем их спектральные свойства и доказываем
полноту корневых векторов соответствующих операторов в рассматривае-
мых пространствах.
Цель диссертационной работы – найти подходящие функциональ-
ные пространства для решения некоэрцитивных смешанных задач, отыс-
кать условия разрешимости соответствующих операторных уравнений и
доказать полноту систем их корневых векторов.
Основные результаты работы:
1. Доказана теорема вложения в шкалу пространств Соболева-Слобо-
децкого для пространств соболевского типа, порожденных некоэрцитивны-

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Описаны пространства соболевского типа, порожденные некоэрци-
тивными эрмитовыми формами. Доказана теорема вложения для
этих пространств в пространства Соболева-Слободецкого.

2. Изучены условия разрешимости некоэрцитивных смешанных задач
в пространствах, порожденных соответствующими эрмитовыми фор-
мами. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости и фредголь-
мовости для данных задач.

3. Описаны спектральные свойства операторов, индуцированных неко-
эрцитивными эрмитовыми формами. Получены критерии полноты
корневых функций в рассматриваемых пространствах.

4. Построены формулы Карлемана для некорректной задачи Коши для
оператора Коши-Римана в плоских областях, описаны условия ее раз-
решимости в специальных пространствах, порожденных подходящи-
ми некоэрцитивными формами.

Изложенные результаты имеют теоретический характер и могут быть
использованы специалистами, работающими в различных областях анализа
и дифференциальных уравнений.

[1] Агмон, С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы
/ С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг // М.: Издательство иностран-
ной литературы, 1962.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Татьяна Б.
    4.6 (92 отзыва)
    Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские ди... Читать все
    Добрый день, работаю в сфере написания студенческих работ более 7 лет. Всегда довожу своих студентов до защиты с хорошими и отличными баллами (дипломы, магистерские диссертации, курсовые работы средний балл - 4,5). Всегда на связи!
    #Кандидатские #Магистерские
    138 Выполненных работ
    Александр Р. ВоГТУ 2003, Экономический, преподаватель, кандидат наук
    4.5 (80 отзывов)
    Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфин... Читать все
    Специальность "Государственное и муниципальное управление" Кандидатскую диссертацию защитил в 2006 г. Дополнительное образование: Оценка стоимости (бизнеса) и госфинансы (Казначейство). Работаю в финансовой сфере более 10 лет. Банки,риски
    #Кандидатские #Магистерские
    123 Выполненных работы
    Анна С. СФ ПГУ им. М.В. Ломоносова 2004, филологический, преподав...
    4.8 (9 отзывов)
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания... Читать все
    Преподаю англ язык более 10 лет, есть опыт работы в университете, школе и студии англ языка. Защитила кандидатскую диссертацию в 2009 году. Имею большой опыт написания и проверки (в качестве преподавателя) контрольных и курсовых работ.
    #Кандидатские #Магистерские
    16 Выполненных работ
    Анна Н. Государственный университет управления 2021, Экономика и ...
    0 (13 отзывов)
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уни... Читать все
    Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уникальности с нуля. Все работы оформляю в соответствии с ГОСТ.
    #Кандидатские #Магистерские
    0 Выполненных работ
    Анна Александровна Б. Воронежский государственный университет инженерных технол...
    4.8 (30 отзывов)
    Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственно... Читать все
    Окончила магистратуру Воронежского государственного университета в 2009 г. В 2014 г. защитила кандидатскую диссертацию. С 2010 г. преподаю в Воронежском государственном университете инженерных технологий.
    #Кандидатские #Магистерские
    66 Выполненных работ
    Дмитрий М. БГАТУ 2001, электрификации, выпускник
    4.8 (17 отзывов)
    Помогаю с выполнением курсовых проектов и контрольных работ по электроснабжению, электроосвещению, электрическим машинам, электротехнике. Занимался наукой, писал стать... Читать все
    Помогаю с выполнением курсовых проектов и контрольных работ по электроснабжению, электроосвещению, электрическим машинам, электротехнике. Занимался наукой, писал статьи, патенты, кандидатскую диссертацию, преподавал. Занимаюсь этим с 2003.
    #Кандидатские #Магистерские
    19 Выполненных работ
    Алёна В. ВГПУ 2013, исторический, преподаватель
    4.2 (5 отзывов)
    Пишу дипломы, курсовые, диссертации по праву, а также истории и педагогике. Закончила исторический факультет ВГПУ. Имею высшее историческое и дополнительное юридическо... Читать все
    Пишу дипломы, курсовые, диссертации по праву, а также истории и педагогике. Закончила исторический факультет ВГПУ. Имею высшее историческое и дополнительное юридическое образование. В данный момент работаю преподавателем.
    #Кандидатские #Магистерские
    25 Выполненных работ
    Екатерина Б. кандидат наук, доцент
    5 (174 отзыва)
    После окончания института работала экономистом в системе государственных финансов. С 1988 года на преподавательской работе. Защитила кандидатскую диссертацию. Преподав... Читать все
    После окончания института работала экономистом в системе государственных финансов. С 1988 года на преподавательской работе. Защитила кандидатскую диссертацию. Преподавала учебные дисциплины: Бюджетная система Украины, Статистика.
    #Кандидатские #Магистерские
    300 Выполненных работ
    Елена Л. РЭУ им. Г. В. Плеханова 2009, Управления и коммерции, пре...
    4.8 (211 отзывов)
    Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно исполь... Читать все
    Работа пишется на основе учебников и научных статей, диссертаций, данных официальной статистики. Все источники актуальные за последние 3-5 лет.Активно и уместно использую в работе графический материал (графики рисунки, диаграммы) и таблицы.
    #Кандидатские #Магистерские
    362 Выполненных работы

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук