О вычетных интегралах и степенных суммах корней систем неалгебраических уравнений в Сⁿ

Исследование систем алгебраических уравнений является классической задачей. Частью ее является задача исключения неизвестных. Для двух переменных и систем из двух уравнений она решается с помощью результанта Сильвестра (см., например, [17]). Для систем из большего числа уравнений построена классическая схема исключения неизвестных (см., например, [12]), но она, как правило, является весьма трудоемкой. В настоящее время общепринятым методом исключения неизвестных является метод базисов Гребнера, созданный в работах Бухбергера и его учеников (основы этого метода можно, например, найти в [6]).
Модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений в Cn возник в работе Л.А.Айзенберга [1]. Основная идея метода заключается в нахождении степенных сумм корней системы с помощью формулы многомерного лога- рифмического вычета, не вычисляя самих корней, а затем в использовании классических рекуррентных формул Ньютона для построения результанта. В отличие от классического метода исключения он менее трудоемок и не увеличивает кратности корней. Дальней- шая его разработка продолжена в монографиях [5, 7, 30]. В качестве приложений этой теории были рассмотрены системы нелинейных уравнений, возникающих в химической кинетике (см. [2, 3, 4, 8, 19, 37, 39]) и зависящих от параметров.
Во многих прикладных задачах возникают также неалгебраические системы урав- нений, состоящих из экспоненциальных многочленов, т.е. из функций конечного порядка роста (см., например, [11]). Для систем неалгебраических уравнений, множество корней которых, как правило, бесконечно, степенные суммы корней в положительной степени, вообще говоря, являются расходящимися рядами. Но степенные суммы корней в отрица- тельной степени часто являются сходящимися. Возникает задача о их вычислении через коэффициенты Тейлора функций, входящих в систему. Это вычисление можно осуще- ствить с помощью вычетных интегралов. В работах [9, 21] рассмотрен простейший класс
4
систем уравнений для целых и мероморфных функций, фактически функций не выше первого порядка роста. В работе [18] для этих формул дана их компьютерная реализация в системе MAPLE. Тем самым тематика работы является актуальной.
Цель диссертации
Целью работы является изучение и нахождение степенных сумм корней разного вида систем неалгебраических уравнений, состоящих из целых или мероморфных функ- ций конечного порядка роста. Установление связи между степенными суммами и вы- четными интегралами, построенными по заданной системе функций. Нахождение сумм некоторых видов кратных рядов на основе разработанной теории.
Методика исследования
В основу исследования положены методы многомерного комплексного и функци- онального анализа, а также системы компьютерной алгебры.
Научная новизна
Результаты работы являются новыми. Они заключаются в изучении некоторых типов систем неалгебраических уравнений; в рассмотрении вычетных интегралов и до- казательстве формул для их вычисления, содержащих конечное число коэффициентов Тейлора функций, входящих в уравнения; в установлении связи между интегралами и степенными суммами корней в отрицательной степени.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Их ценность состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплекс- ном анализе, в математических задачах химической кинетики, а также в компьютерной алгебре.
Практическое применение полученных результатов состоит в их внедрении в учеб- ный процесс в виде материала для проведения специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.
5

Степень достоверности и апробация работы
Достоверность результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами.
Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих конференциях: VIII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспиран- тов и молодых ученых (Красноярск, Россия, 2012); IV российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Рос- сия, 2012); IХ Всероссийская научно-техническая конференция с международным уча- стием (Красноярск, Россия, 2013); международные научные студенческие конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2013, 2014); школа- конференция (Ярославль, Россия, 2013); ХIII Всероссийская молодежная школа- конференция «Лобачевские чтения-2014» (Казань, Россия, 2014); V российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ере- ван, Армения, 2014); международная школа-конференция по многомерному комплексно- му анализу и дифференциальным уравнениям (Красноярск, Россия, 2014).
Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском се- минаре по многомерному комплексному анализу (2012–2015 г. г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42-55], из них 5 работ [42–46] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 5 публикаций [47– 51] в материалах конференций, 4 публикации [52–55] являются тезисами конференций.
Личный вклад автора
В соавторстве выполнены три работы [42, 43, 46]. В диссертации приведены ре- зультаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 55 наимено- ваний. Общее число страниц диссертационной работы 102.