Операторный подход к построению комплексных и отражающихся случайных процессов

Пусть ξx (t) – это однородный марковский процесс со значениями в Rd с услови-
ем ξx (0) = x, переходная функция P (t, x, A) которого порождает C0 -полугруп-
пу T t : C0 (Rd ) → C0 (Rd ), где
Z
t
(T f )(x) = f (y) P (t, x, dy) = Ef (ξx (t)).
A

Такие процессы называются феллеровскими. Это весьма широкий класс,
при этом обладающий многими хорошими свойствами, выгодно отличающими
его от общего случая марковского процесса. Полугруппа однозначно определя-
ется своим генератором
Tt − I
L = lim .
t→0+ t
Именно, полугруппа T t сопоставляет функции ϕ решение задачи Коши

ut = Lu (0.1)

с начальным условием u|t=0 = ϕ. Таким образом, всякий однородный фелле-
ровский процесс даёт интегральное представление решения задачи Коши (0.1).
При этом семейство его одномерных распределений есть фундаментальное ре-
шение задачи (0.1).
Класс процессов, который фактически будет рассматриваться, это класс
симметричных процессов Леви. В этот класс входит как процесс броуновского
движения с генератором
L = ∆,
так и класс скачкообразных процессов Леви с мерой Леви Π, имеющей конеч-
ный второй момент и инвариантной относительно вращений. В этом случае
генератор соответствующей полугруппы имеет вид
Z
− Lf (x) = f (x + y) − f (x) − f (x) · y dΠ(y) (0.2)
Rd

с ядром Cc∞ (Rd ) ⊂ D(L), −L ≥ 0, где Cc∞ (Rd ) – это множество бесконечно-
дифференцируемых функций на Rd с компактным носителем.
Сам процесс ξ(t) мы будем называть свободным, имея в виду, что его полу-
группа T t сопоставляет функции ϕ решение задачи Коши ut = Lu с начальным
условием u|t=0 = ϕ. Отметим, что введённый термин “свободный процесс” не
имеет отношения к широко известному понятию свободной вероятности. “Вер-
сиями” ξ(t) мы будем называть процессы, соответствующие другим задачам
для оператора L.
В частности, начально-краевая задача Дирихле для оператора ∆/2 приво-
дит к версии винеровского процесса, остановленного в момент первого дости-
жения границы. Задача Неймана для того же оператора приводит к отражаю-
щейся версии винеровского процесса.
Существует два подхода к построению версий свободных процессов. Первый
подход (Леви, Ито, Скороход) можно условно назвать потраекторным: версии
процессов строятся при помощи преобразований траекторий свободного про-
цесса. Главным преимуществом этого подхода является ясный вероятностный
смысл. Однако возможности этого подхода ограничены с точки зрения класса
генераторов, для которых удаётся строить версии. Именно, генератор должен
удовлетворять принципу максимума, или, что практически то же самое, соот-
ветствующее фундаментальное решение должно быть вероятностным распре-
делением.
Второй подход (восходящий к работам Винера, Колмогорова, Феллера,
Иосиды, Дынкина) основан на более прямом использовании функционально-
аналитических методов.
Используемый в настоящей работе метод идейно близок ко второму подходу.
При построении версий свободных процессов мы будем использовать идеологию
теории обобщённых функций. Именно, мы будем рассматривать функционалы
от траекторий, и определять операции над траекториями через операции над
функционалами. Это позволит нам строить вероятностные представления (в
виде математического ожидания функционалов от случайных процессов) для
решения задачи Коши и начально-краевых задач в ситуации, когда фундамен-
тальные решения, вообще говоря, не являются вероятностными распределени-
ями. Данный подход является развитием идей работ И. А. Ибрагимова, Н. В.
Смородиной и М. М. Фаддеева. В работах [1], [2] и [3] они впервые предложили
описанный выше способ и приложили его к задаче о построении вероятностного
представления решений одномерной задачи Коши для уравнения Шрёдингера
(точнее, для уравнения теплопроводности с комплексным коэффициентом σ,
удовлетворяющим условию 0 < arg σ ≤ π/4). В работах [3] и [4] они исполь- зовали эти же идеи для построения представлений решений начально-краевых задач для оператора Лапласа с условиями типа Дирихле и Неймана. Наконец, в работе [5] авторы обобщили эти построения на класс одномерных симметрич- ных процессов Леви с конечным вторым моментом. В работах [6] и [7] похожие идеи используются для описания невероятностных безгранично-делимых рас- пределений (например, 2 < α-устойчивые) и строятся вероятностные представ- ления решений задачи Коши для их генераторов. В работе М. Платоновой [8] получены вероятностные представления решений задачи Коши для операторов дифференцирования высокого порядка, а в работе [9] рассмотрены процессы, связанные с оператором Римана–Лиувилля. В настоящей диссертации эти результаты обобщаются на многомерный слу- чай. В случае задачи Коши обобщение оказывается относительно несложным, тогда как начально-краевые задачи требуют более тонких свойств собственных функций генераторов (которые почти всегда не доступны в явной форме). В первом параграфе первой главы настоящей диссертации излагается фор- мальный аппарат для возникающих в этой теории невероятностных распреде- лений. Во втором и третьем параграфах первой главы мы строим версию броунов- ского движения, соответствующую задаче Коши для уравнения Шрёдингера −iut = ∆u/2. При этом семейство фундаментальных решений, очевидно, не является вероятностным. Во второй главе содержатся необходимые в дальнейшем сведения о свой- ствах собственных функций операторов Лапласа–Дирихле и Лапласа–Неймана. Следующие главы работы посвящены построению версий свободных про- цессов, соответствующих начально-краевым задачам в гладких ограниченных областях. В третьей главе мы строим версию броуновского движения, соответ- ствующую начально-краевым задачам Дирихле и Неймана в d-мерном шаре для уравнения Шрёдингера −2iut = ∆u, а также доказываем соответствую- щие предельные теоремы. В четвёртой главе работы мы используем операторный подход для постро- ения разложения Скорохода для вещественного броуновского движения в d- мерном шаре D. Именно, мы доказываем, что разность полугрупп отражаю- щегося процесса и свободного процесса является оператором, действующим из границы ∂D в область D. Мы называем этот оператор оператором среднего на- копленного импульса. Этот оператор является аналогом среднего локального времени. Во втором параграфе четвёртой главы мы показываем, что средний накопленный импульс действительно является средним значением некоторого оператора, который определён потраекторно. В третьем параграфе мы строим накопленный импульс случайного блуждания и доказываем предельную теоре- му о сходимости к накопленному импульсу броуновского движения. В пятой главе результаты про броуновское движение с отражением в ша- ре получают обобщение по двум направлениям: вместо шара рассматривает- ся произвольная область с гладкой границей, а в качестве процесса ξ берётся симметричный процесс Леви с единичной матрицей ковариации. По формуле Леви–Хинчина характеристическая функция такого процесса равна Z eip·x − 1 − ip · x dΠ(x), ϕt (p) = exp(−tL(p)), L(p) = − (0.3) Rd причём мера Леви Π инвариантна относительно поворотов и имеет конечный второй момент, cov ξ(1) = I. В пятом параграфе мы рассматриваем случай сим- метричных α-устойчивых процессов, которые уже не имеют второго момента. Математическая мотивация для изучения процессов Леви и, в частности, α-устойчивых процессов в ограниченных областях, как отмечают авторы [10], связана с тем, что их предельные (α = 2) аналоги – броуновское движение с поглощением/отражением – являются важными моделями в теории вероятно- стей. С точки зрения приложений, отражающиеся процессы играют важную роль в теории стохастического управления и финансовой математике в моделях с ограничениями на кредит или потребление (см. [11]). Кроме того, отражающие- ся процессы являются удобным инструментом для изучения времени ожидания в очередях с конечной пропускной способностью ([12], [13], [14], [15]), а также дамб и моделей для жидкостей ([16], [17]). Генератором процесса Леви ξ(t) является нелокальный оператор (теорема 31.5, [18]) Z − Lf (x) = f (x + y) − f (x) − f (x) · y dΠ(y) (0.4) Rd с ядром Cc∞ (Rd ) ⊂ D(L), −L ≥ 0. Он порождает сильно-непрерывную полу- группу (T t )t≥0 в пространстве C0 (Rd ) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Вместо того, чтобы пытаться сузить оператор L (что само по себе затрудни- тельно, так как L – не локальный) на функции, заданные в области D, мы, сле- дуя за авторами [5], построим специальное продолжение функции f ∈ W22 (D) до функции, fe, лежащей в D(L). При помощи этого продолжения, мы опреде- лим полугруппу P t , полагая для f ∈ W22 (D) P t f = T t fe. Продолжение f 7→ fe будет строиться так, чтобы в него были “зашиты” кра- евые условия для генератора, и тем самым была выполнена описанная выше программа. Дальнейшее исследование полугруппы P t является целью следующих ра- бот. Отметим, что построение процесса по полугруппе является нетривиальной задачей, которая однако может решаться сугубо аналитическими методами. Примером исследования процесса, отвечающего квадратичной форме Z E(u, v) = ∇u · ∇v dx, D[E] = W21 (D) D в области D с гёльдеровой границей является работа [19]. Нетрудно заметить, что эта форма – не что иное, как квадратичная форма оператора Лапласа с условиями Неймана. Так как оператор Лапласа является генератором стан- дартного броуновского движения в Rd , авторы рассматривают отражающееся броуновское движение в смысле данного выше определения. В своём исследо- вании Басс и Хсу ссылаются на общую теорию соответствия форм Дирихле (симметричных замкнутых квадратичных форм с дополнительным свойством марковости) процессам Ханта (квази-левонепрерывные строго марковские про- цессы), возникшую в шестидесятых годах в работах Ханта, Дынкина, Бёрлинга, Дени, и получившую свой законченный вид в книге Фукушима [20]. В частно- сти, общая теория говорит, что каждой регулярной форме Дирихле соответ- ствует процесс Ханта (теорема 6.2.1 из [20]). Если к тому же форма обладает свойством локальности, то процесс может быть выбран непрерывным (теоре- ма 4.5.1 из [20]). Наконец, авторы обобщают результат [21] о вероятностном представлении решения задачи Неймана un = f ∈ B(∂D) Z t u(x) = lim E f (Xx (s)) dL(s), t→∞ 2 0 где Xx (s) – отражающаяся версия броуновского движения в области D, а L(s) – процесс локального времени (см. [22]). Для построения процесса локального времени они так же пользуются техникой форм Дирихле (теорема 5.1.1 из [20]). Однако теория форм Дирихле применима не только к процессам с непре- рывными траекториями, но и к скачкообразным процессам. Общий вид замы- каемой марковской формы в пространстве L2 (D) с ядром C0∞ (D) даётся так называемой формулой Бёрлинга–Дени (теоремы 2.2.1 и 2.2.2 из [20]): Z E(u, v) = uxi (x)vxj (x) νij (dx) + D Z + u(x) − u(y) v(x) − v(y) J(dx × dy) + D×Dδ Z + u(x)v(x) k(dx) D для u, v ∈ D(E). Первое слагаемое интерпретируется как диффузионный вклад. Семейство мер νij симметрично (νij = νji ) и положительно определено: для любого компакта K ⊂ D и вектора ξ ∈ Rd выполнено неравенство X ξi ξj νij (K) ≥ 0. ij Вклад второго слагаемого интерпретируется как вклад скачков. При этом мера J(dx × dy) должна быть положительной вне диагонали δ, и для любого ком- пакта K ⊂ D удовлетворять Z |x − y|2 J(dx × dy) < ∞. K×Kδ Наконец, относительно k(dx) предполагается лишь, что это положительная ме- ра, и третье слагаемое интерпретируется как поглощение процесса в среде. Нас интересует только второе слагаемое в этой формуле, однако простран- ство C0∞ (D) не плотно в W21 (D), а значит не является ядром формы, отвечаю- щей отражающемуся процессу Леви. Отметим ещё, что для отражения диффузий в случае достаточно гладкой границы (скажем, C 3 -гладкой; см. [23]) есть способ конструктивного построения траекторий отражающегося процесса, восходящий к работе Скорохода [24]. В самом простом случае отражения броуновского движения w(t) от точки 0 на полуоси [0, ∞) используется формула Танаки (см. [25] или [26]) d |w(t)| = w(t) + ζ(t). Здесь ζ(t) – это процесс локального времени. Процесс |w| является очевидным кандидатом на роль отражающейся в [0, ∞) версии процесса, и можно убедить- ся, что так оно и есть. В терминах траекторий (а не генераторов) это проверя- ется при помощи леммы Скорохода. В случае D = [−1, 1] легко показать, что рассматриваемая нами в третьей части работы конструкция отражающегося броуновского движения совпадает с конструкцией Скорохода, хотя и получает- ся из других соображений. В пятой части работы мы в некоторой степени воспроизведём это семимар- тингальное разложение (точного соответствия быть не может, так как процессы Леви, вообще говоря, не обладают локальным временем). Для этого мы по- строим не одно, а два продолжения f и fe до класса D(L) начальной функции f ∈ W22 (D). По f мы определим полугруппу Rt , отвечающую процессу в об- ласти (аналог w(t) в формуле Танака), а по fe – полугруппу P t , отвечающую отражающейся версии процесса (|w(t)| в формуле Танака). При этом естествен- но ожидать, что их разность будет сосредоточена на границе ∂D. Мы покажем, что эту разность полугрупп удобно рассматривать в терминах некоторого опе- ратора 1/2 Qt : W2 (∂D) → W22 (D). Как заметили авторы [5], этому оператору естественно придать смысл среднего накопленного границей в результате отражений процесса импульса. Мы пока- жем, что накопленный импульс можно определить не только в среднем, но и потраекторно (в смысле сходимости в L2 (dx × dP )). Есть группа общих результатов, касающихся отражения общих процессов Ханта в смысле форм Дирихле в гладкой области D. Они восходят к статьям о reflected Dirichet spaces Сильверстейна [27] и Чена [28]. По аналогии с ортого- нальным (по норме W21 (D)) разложением в прямую сумму (см. [29], гл. 2, §10, теорема 4) W21 (D) = W21,0 (D) ⊕ G12 (D), (0.5) где G12 (D) – пространство гармонических функции из W21 (D), авторы рассмат- ривают форму E с ядром Cc∞ (D) ⊂ D(E), определяют аналог понятия гармо- ничности, отвечающий такой форме, и расширяют форму до e12 (D). D(E ref ) = D(E) ⊕ G Процесс Ханта, отвечающий E ref можно назвать отражённым в смысле Силь- верстейна-Чена. В некоторых случаях удаётся продвинуться дальше. Авторы работы [10] построили процессы, отвечающие форме Дирихле дробного оператора Лапласа в области D u(x) − u(y) v(x) − v(y) Z Z E(u, v) = dx dy c D D |x − y|d+α на области определения F, состоящей из функций u ∈ L2 (D) таких, что конечен интеграл 2 u(x) − u(y) Z Z d+α dx dy < ∞. D D |x − y| Они показали, что построенные ими процессы являются в точности отражением с смысле Сильверстейна–Чена, а последнее неравенство определяет область определения формы E ref . Иной подход был предложен в работе [30]. Именно, авторы рассматривают с квадратичной формой дробного оператора Лапласа в Rd u(x) − u(y) v(x) − v(y) Z Z E(u, v) = dx dy, c Rd Rd |x − y|d+α а в качестве “граничного условия” ставят нелокальное условие Неймана u(x) − u(y) Z Ns u(x) = d+α dy = 0 для x 6∈ D. D |x − y| Такая постановка обладает многими преимуществами. Среди них ясная вероят- ностная интерпретация. Процесс с таким генератором, выскакивая за пределы области D, немедленно возвращается в случайную точку области с плотно- стью пропорциональной |x − y|d+α . Следует также упомянуть работу [31], в которой рассматривается дробный лаплассиан в смысле спектральной теоремы (разложение по собственным функ- циям оператора Лапласа с условиями Неймана в области). Наконец, в работах [32] и [33] рассматривается детерминистический воз- врат процесса в область, и доказывается связь с задачей типа Неймана для нелокальных операторов. Наша работа, наследующая работе [5], отличается от описанных выше ре- зультатов тем, что мы работаем с генератором процесса Леви с классическим условием Неймана. Иначе говоря, мы рассматриваем аналог AN генератора L в области D, с областью определения D(AN ) = N (D), где N (D) = u ∈ W22 (D) : γ1 u = 0 , 1/2 а оператор γ1 : W22 (D) → W2 (D) – это замкнутый с Cc∞ (Rd ) оператор взятия нормальной производной на ∂D. В качестве мотивации для рассмотрения задачи в такой постановке можно указать на тот факт, что любое решение u ∈ C ∞ (Rd ) уравнения −∆u = κ 2 u удовлетворяет уравнению −Lu = L(κ)u, где оператор L определён формулой (0.4), а через L(p) для p ≥ 0 обозначена функция (0.3), которая для симметричного процесса Леви оказывается завися- щей только от модуля p = |p|. При этом справедливо неравенство |L(p)| ≤ Cp2 для всех p ≥ 0. Подчеркнём, что во всех частях работы мы интересовались скорее методом, нежели общностью результатов. Поэтому в пятой части мы ограничиваемся случаем гладкой границы и чисто скачкообразного симметричного процесса Леви с конечным вторым моментом. Добавить диффузионный член к чисто скачкообразному процессу Леви не составляет труда. Процессы Леви, не име- ющие второго момента (например, α-устойчивые процессы) также могут быть рассмотрены этим методом, однако непосредственно изложенная в данной ра- боте схема на них не распространяется. В конце пятой части мы сделаем серию замечаний о том, что следует делать в этом случае. Симметричность процес- са Леви на данный момент является существенным ограничением на приме- нимость метода. В приложениях 1 и 2 приводятся необходимые обозначения и стандартные факты о начально-краевых задачах в ограниченных многомерных областях.