Оптимальное восстановление аналитических функций по приближенно заданным граничным значениям : диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук : 01.01.01

В работе исследуются задачи оптимального восстановления аналитиче- ской (голоморфной) в области функции и производной по некасательным предельным значениям функции на части границы области, заданным с по- грешностью, взаимосвязанные точные неравенства, задачи Стечкина наи- лучшего приближения неограниченных операторов ограниченными, задачи наилучшего приближения одного класса аналитических функций другим. Исследуется задача оптимального восстановления аналитической в полу- плоскости функции и производных по сужению её спектральной функции и связанная задача наилучшего приближения целыми функциями экспо- ненциального типа.
Актуальность темы.
Множеством единственности для функций, аналитических в области G с границей – спрямляемой кривой Жордана, является подмножество по- ложительной меры γ границы области. Это утверждение известно как теорема единственности И. И. Привалова (1919), см., например, [23, Гл.X, §2]. Первый результат о методе восстановления аналитической функции по её (точным) значениям на части границы получил Т. Карлеман [82] (1926) для некоторого специального вида областей. Г. М. Голузин и В. И. Кры- лов [24] (1933) обобщили идею Т. Карлемана. Для функции f, представи- мой в односвязной области G интегралом Коши, метод восстановления по её (точным) граничным значениям на γ даёт следующая формула Кар- лемана – Голузина – Крылова [24] (см. также [1, Гл.I, §1], [55, Гл. II, §5, 5.9])
1 f(ζ) φ(z) σ
f(z)= lim 2πi ζ−z φ(ζ) dζ, z∈G, (0.0.1)
σ→−∞ γ
где φ — произвольная аналитическая и ограниченная в G функция, удо-
8
влетворяющая условиям
|φ(ζ)| = 1, ζ ∈ ∂G γ; |φ(z)| > 1, z ∈ G.
Формулам Карлемана – Голузина – Крылова, восстанавливающим анали- тические функции по их значениям на части границы, и их обобщениям по- священо множество работ – см., например, монографию [1], обзоры [72, §3, п.3], [77, §2, п.8-9], статьи [94,100,101] и приведённую там библиографию. Об их применениях в различных задачах комплексного анализа, теории функций, теории управления, теоретической и математической физике, об- работке сигналов см. [1,16,17,71,80] и приведённую там библиографию.
Задача восстановления аналитической функции в области по её пре- дельным значениям, заданным с погрешностью, на части границы (ана- литического продолжения с части границы области) является неустойчи- вой (некорректно поставленной). Методы её регуляризации исследовалась М. М. Лаврентьевым [31], [32, Гл.II, §1, п.4-5] (см. также [1, Гл.I, §2]), для решения были предложены регуляризирующие операторы, которые имеют в качестве ядра функции, названные функциями Карлемана, и являющие- ся по сути аппроксимациями ядра Коши. В частности, в качестве примера такого регуляризующего оператора (метода восстановления) М. М. Лав- рентьев рассмотрел конструкцию, основанную на формуле (0.0.1). Регуля- ризирующий метод Rσ здесь имеет следующий вид
1 g(ζ) φ(z) σ (Rσg)(z)=2πi γζ−z φ(ζ) dζ.
Целью первой и второй глав диссертации является построение наилуч- ших (оптимальных) методов восстановления, соответственно, функции и её производной для некоторых классов (корректности) аналитических функ- ций. Рассматриваемые задачи являются частными случаями следующей задачи оптимального восстановления оператора на классе элементов бана- хова пространства по неточной информации.
9

Пусть X,Y – банаховы пространства; A : X → Y – некоторый опе- ратор с областью определения D(A) ⊂ X; Q – класс элементов X, принадлежащий D(A). Рассматривают три случая множества методов восстановления. А именно, в качестве множества методов восстановле- ния R, из которых выбирается оптимальный, рассматривают множество F = F(X,Y) всех возможных, множество L = L(X,Y) линейных, или множество B = B(X, Y ) линейных ограниченных операторов из X в Y. Для числа δ ≥ 0 и метода T ∈ R величина погрешности восстановления оператора A на классе Q по элементам, заданным с погрешностью δ, с помощью метода T, определяется равенством
U(T,δ)=U(T,δ;A,Q)=sup{∥Af−Tg∥Y :f∈Q,g∈X,∥f−g∥X≤δ}. Тогда
ER(δ) = ER(δ;A,Q) = inf {U(T,δ) : T ∈ R} (0.0.2)
есть величина оптимального восстановления значений оператора A на классе Q по элементам, заданным с известной погрешностью δ, с помо- щью множества методов восстановления R. Задача состоит в вычислении величины ER(δ), δ ≥ 0, и построении оптимального метода восстановления – экстремального оператора (последовательности операторов), на котором в (0.0.2) достигается нижняя грань.
Задача (0.0.2) есть частный случай задачи оптимального восстановле- ния операторов на классе элементов банахова пространства по неполной (в частности, неточной) информации об элементах; общие результаты в этой тематике и дальнейшие ссылки можно найти в [4,6–8,37,53,90,92].
Задачи оптимального восстановления на классах аналитических функ- ций исследовали К. Ю. Осипенко, Ш. Мичелли, Т. Ривлин, С. Д. Фишер, К. Вилдероттер, Б. Боянов, М. И. Стесин, О. Г. Парфенов, М. П. Овчин- цев и др., см. монографию [92], статьи [50–52, 83, 85, 93] и приведённую там библиографию. Задачи оптимального восстановления по предельным гра-
10

ничным значениям, заданным с погрешностью, на части границы ранее не изучались.
В первой и второй главах изучаются конкретные варианты задачи опти- мального восстановления (0.0.2) на классах аналитических функций. Пе- рейдем к их формулировке.
В дальнейшем G – конечносвязная область комплексной плоскости, ограниченная кривой Γ, которая является жордановой спрямляемой кри- вой или объединением таких непересекающихся кривых. Пусть γ1 – изме- римое подмножество Γ положительной меры, и γ0 – дополнение γ1 до Γ, т.е. γ0 = Γ γ1. Пусть g(z, ζ) – классическая функция Грина области G, а ∂g/∂n – производная функции Грина по внутренней, для области G, нормали к кривой Γ. Производную функции Грина по нормали также на- зывают плотностью гармонической меры относительно области G в точке z; в дальнейшем для неё будем использовать обозначение P(z,ζ). Соот- ветственно, гармоническая мера w(z,γ,G) измеримого подмножества γ спрямляемой границы Γ относительно области G в точке z представима по формуле

γ
Подробнее о гармонической мере см., например, [23, гл. VIII, § 4], а так- же [84]. Понятие гармонической меры, возникшее [91] в связи с оценками модуля аналитической функции внутри области, через оценки модуля на границе области, используется в решении и других экстремальных задач, см., например, [25,28,34,35] и приведённые там ссылки.
Через N∗(G) обозначают класс функций f из класса Неванлинны N(G) – аналитических в G функций ограниченного вида (ограниченной характеристики), для которых гармоническая мажоранта функции ln+ |f| представима по формуле Грина. Класс N∗(G) называют классом Смир- нова или универсальным классом Харди; класс был введён В. И. Смирно-
w(z, γ, G) =
P (z, ζ) |dζ|.
11

вым [57]; для класса N∗(G) используют несколько эквивалентных опреде- лений (см. [66, §4, 4.2; 68; 72, §2, 1] и приведённую там библиографию). Функции класса N(G) и, следовательно, класса N∗(G) имеют почти всю- ду на Γ некасательные (угловые) предельные граничные значения. Удобно обозначать функцию и её граничные значения одинаково. Обозначим через φk неотрицательные измеримые функции на γk, k = 0,1. Будем предпо- лагать суммируемость функций ln φk с плотностью гармонической меры. Эти функции в дальнейшем называем весовыми функциями или весами. Введем класс H = Hr,q(G; γ0, φ0; γ1, φ1), r, q ≥ 1, аналитических в области G функций из N∗(G) таких, что их некасательные предельные граничные значения на γk, k = 0,1, имеют конечные, соответственно, Lr, Lq -нормы с весом φk , т.е.
1/r |f(ζ)|rφ0(ζ)|dζ|
γ0
1/q
|f(ζ)|qφ1(ζ)|dζ|
Если показатель нормы равен бесконечности, то конечна соответствующая
L∞ -норма
∥f∥L∞(γk) = ess sup {|f(ζ)| : ζ ∈ γk} .
Отметим, что частным случаем H является класс Харди Hq(G) анали- тических в области G функций f, обладающих свойством: субгармониче- ская функция |f|q имеет в области G гармоническую мажоранту. Точнее, критерием принадлежности функции f классу Hq(G) являются условия, что f ∈ N∗(G) и предельные граничные значения функции |f|q на Γ сум-
∥f∥Lrφ0(γ0) = ∥f∥Lqφ1(γ1) =
< +∞, < +∞. мируемы с плотностью гармонической меры P (z0, ζ) ( z0 фиксированная точка области G ), т.е. |f(ζ)|q P(z0,ζ)|dζ| < +∞. Γ – произвольная γ1 12 Это утверждение является аналогом теоремы Полубариновой – Кочиной о характеризации функций пространства Харди Hq в круге (см. [57], [55, §6, 6.4], [66, §4, 4.3]). Отсюда в случае r = q и весов φk(ζ) = ηkP(z0,ζ), ζ ∈ γk, ηk > 0, k = 0, 1, класс H является классом Харди Hq(G).
В H выделим класс Q = Qr,q(G;γ0,φ0;γ1,φ1) функций f, которые удовлетворяют неравенству ∥f ∥Lrφ0 (γ0 ) ≤ 1. В качестве информации о функции f ∈ Q будем рассматривать Iγ1f – её некасательные предель- ные граничные значения на γ1. Класс Q = Qr,q(G;γ0,φ0;γ1,φ1) функ- ций, определённых почти всюду на γ1, состоит из предельных гранич- ных значений на γ1 функций класса Q. Ясно, что справедливо вложе- ние Q ⊂ Lqφ1(γ1). Так как γ1 является множеством единственности, то информация о функции полная, т.е. отображение Iγ1 является биекцией классов Q и Q . В дальнейшем будем классы Q и Q обозначать одина- ково, через Q. Пусть K – подмножество области G. В качестве Y будет рассматриваться B = B(K) – некоторое банахово пространство функций, определённых на множестве K, с нормой ∥ · ∥B, такое, что имеет место вложение Q ⊂ B(K). В качестве оператора A рассматривается либо опе- ратор Υ0K, который ставит в соответствие значениям на γ1 функции f её значение на подмножестве K области G, либо оператор Υ1K , который сопоставляет граничным значениям на γ1 функции f её производную f′ на K.
Величина (0.0.2) исследуется с помощью и вместе с взаимосвязанными задачами о модуле непрерывности оператора и наилучшего приближения оператора линейными ограниченными операторами.
Функцию переменной δ ≥ 0, определяемую равенством
ω(δ) = ω(δ;A,Q) = sup{∥Af∥Y : f ∈ Q, ∥f∥X ≤ δ}, (0.0.3)
называют модулем непрерывности оператора A на классе Q. Из опреде- ления (0.0.3) следует, что для оператора ΥsK и функций из H справедливо
13

точное неравенство
∥f∥ q ∥ΥsKf∥B ≤ ∥f∥Lr (γ0) ω Lφ1(γ1)
φ 0 ∥ f ∥ L rφ 0 ( γ 0 )
. (0.0.4)
Оценки модуля значения аналитической функции (производной) в точ- ке области через её предельные граничные значения исследовали Г. Се- гё, Э. Ландау, К. Каратеодори и Л. Фейер, Ф. Рисс, И. Шур, С. Какей, Ф. Неванлинна и Р. Неванлинна, Г. Пик, С. Такенака, Г. М. Голузин, Н. И. Ахиезер, Я. Л. Геронимус, А. И. Макинтайр, В. В. Рогозинский, Г. С. Шапиро, С. Я. Хавинсон, В. П. Кабайла, С. А. Гельфер, Л. В. Крес- някова, В. П. Важдаев, В. М. Терпигорева (в случае, когда область есть круг или односвязная область); М. Хейнс и Р. М. Робинсон (круговое коль- цо), Г. Грунский, Л. Альфорс, С. Я. Хавинсон, 3. Нехари, П. Р. Гарабедян, X. Уидом, Т. С. Кузина (многосвязная область) и многие др. Об иссле- дованиях задач, близких к (0.0.4), см. в работах [29, 69, 72–74, 87, 89, 98] и приведённую там библиографию. В отличие от классических постано- вок, в (0.0.4) рассматриваются ограничения на (вообще говоря, различные) Lrφ0 (γ0) и Lqφ1 (γ1) -нормы на произвольных измеримых подмножествах гра- ницы области γk, k = 0,1.
Задача наилучшего приближения линейного неограниченного операто- ра множеством B(N) = B(N;X,Y) линейных ограниченных операторов из X в Y, норма которых не превосходит числа N > 0, (задача Стеч- кина) на классе элементов банахова пространства Q появилась в работе С. Б. Стечкина [60] в 1965 году. В статье [61] 1967 года была дана по- становка задачи и получены первые принципиальные результаты. Точная постановка задачи следующая. Величина
U(T)=sup{∥Af−Tf∥Y :f∈Q}
является уклонением оператора T ∈ B(N) от оператора A на классе Q. 14

Соответственно,
E(N) = E(N;A,Q) = inf {U(T) : T ∈ B(N)} (0.0.5)
есть наилучшее приближение оператора A множеством B(N) линейных ограниченных операторов, норма которых не превосходит числа N, на классе Q. Задача состоит в том, чтобы вычислить величину E(N), N > 0, и найти экстремальный оператор (последовательность операторов), на котором в (0.0.5) достигается нижняя грань.
Этой задаче к настоящему времени посвящено большое число исследо- ваний С. Б. Стечкина, В. В. Арестова, В. И. Бердышева, А. П. Буслаева, В. Н. Габушина, Ю. Н. Субботина, Л. В. Тайкова, О. А. Тимошина, В. Г. Ти- мофеева, М. А. Филатовой и др. (см. обзорные работы [7,8], а также [27, 13; 78, 10, 14, 79], и приведённую в них библиографию). В частности, известна взаимосвязь задачи Стечкина с задачей оптимального восстановления опе- ратора и модулем непрерывности оператора. Эта взаимосвязь будет суще- ственно использоваться в данном исследовании и выражается следующим образом. Введем обозначения
∆(N)=sup{ω(δ)−Nδ : δ≥0}, N>0; (0.0.6) l(δ)=inf{E(N)+Nδ : N>0}, δ≥0. (0.0.7)
Следующее утверждение, оценивающее наилучшее приближение операто- ра (0.0.5) через его модуль непрерывности (0.0.3) содержится в статье С. Б. Стечкина [61].
Теорема A. Если A – однородный оператор, Q – выпуклый уравнове- шенный класс, то имеют место неравенства
E(N) ≥ ∆(N), N > 0; (0.0.8) ω(δ) ≤ l(δ), δ ≥ 0. (0.0.9)
15

В следующей теореме приведено уточнение неравенства (0.0.9), связы- вающее задачу о модуле непрерывности оператора и задачу Стечкина с задачами оптимального восстановления (см. [8]).
Теорема B. Если A – однородный оператор, Q – выпуклый уравнове- шенный класс, то имеют место неравенства
ω(δ) ≤ EF(δ) ≤ EL(δ) = EB(δ) ≤ l(δ), δ ≥ 0. (0.0.10)
Известно (см. [58, 18, 21, 6, 37; 8,92] и приведённую там библиографию), что в задаче оптимального восстановления линейного функционала на вы- пуклом уравновешенном классе с помощью множества F всех возможных функционалов существует наилучший линейный ограниченный функцио- нал и сама величина уклонения равна модулю непрерывности восстанав- ливаемого функционала, и, следовательно, справедливы равенства
EF(δ) = EL(δ) = EB(δ) = ω(δ). (0.0.11) Кроме того, для задач (0.0.2) и (0.0.5) взаимосвязь (см. [48, 49, 21; 7,8; 92] и
приведённую там библиографию) выражается в следующих соотношениях E(N) = ∆(N); ω(δ) = l(δ). (0.0.12)
В настоящее время в задаче Стечкина (0.0.5) о наилучшем приближе- нии неограниченного оператора линейными ограниченными операторами на классе элементов банахова пространства, кроме общих результатов, по- лучены точные решения ряда задач для конкретных операторов в класси- ческих функциональных пространствах. Наиболее полно исследовано наи- лучшее приближение операторов дифференцирования порядка k на клас- се n раз дифференцируемых функций (0 ≤ k < n) в пространствах Lp на числовой оси и полуоси. Для функций многих переменных перечислен- ные задачи исследованы заметно меньше. Однако, и здесь имеется ряд точ- ных, интересных результатов (см. [7,8] и приведённую там библиографию). 16 Задача Стечкина о наилучшем приближении неограниченных операторов ограниченными операторами на классах аналитических функций решена лишь в некоторых частных случаях. В первых двух главах рассматривают- ся задачи наилучшего приближения операторов ΥsK , s = 0, 1, множеством линейных ограниченных операторов на классе Q = Qr,q(G; γ0, φ0; γ1, φ1). Задача приближения одного класса функций другим является классиче- ской для теории приближения. Пусть в линейном пространстве два класса Qj , j = 1, 2, и банахово пространство B удовлетворяют условию: для лю- бого f1 ∈ Q1 существует такое f2 ∈ Q2, что f1 − f2 ∈ B. Наилучшим приближением класса Q1 классом Q2 по норме пространства B назы- вается величина E (Q1, Q2)B = sup {E (f1, Q2)B : f1 ∈ Q1} , (0.0.13) где E (f1, Q2)B – наилучшее приближение f1 классом Q2 – задаётся ра- венством E (f1, Q2)B = inf {∥f1 − f2∥B : f2 ∈ Q2} . Известны двойственная взаимосвязь задачи о модуле непрерывности неограниченного оператора на классе с соответствующей задачей наилуч- шего приближения одного класса другим в сопряжённых пространствах и взаимосвязь задачи Стечкина приближения неограниченного оператора ограниченными операторами на классе с соответствующей задачей наи- лучшего линейного приближения одного класса другим (см. [2]). Наибо- лее обстоятельно исследована взаимосвязь задачи Стечкина о наилучшем приближении операторов дифференцирования ограниченными оператора- ми с задачей наилучшего приближения одного класса дифференцируемых функций вещественной переменной другим классом более гладких функ- ций (подробнее см. [3; 9; 8, §7; 13, §7.5-7.6]). Обозначим через Qp(DR,N) класс функций f из класса Харди Hp(DR), аналитических в круге DR = {z ∈ C : |z| < R}, чьи предельные 17 граничные значения на окружности lR = {z ∈ C : |z| = R} удовлетво- ряют неравенству ∥f∥LpφR(lR) ≤ N, φR ≡ (2πR)−1; через ∂Qp(DR) – класс, состоящий из производных функций класса Qp(DR,1), т.е. ∂Qp(DR) = {g′ : g ∈ Qp(DR, 1)} . Рассматриваются также аналогичные классы функ- ций,аналитическихвкольце Cr,R ={z∈C : r<|z| 0, по норме пространства Lp(lr), 0 < r < ρ < R, 1 ≤ p ≤ ∞ . Аналогичная задача исследуется для функций, аналитических в кольцах. В параграфе 2.4 рассматривается задача наилучшего приближе- ния класса ∂Qp(Dρ) классом Qp(DR, N), N > 0, по норме пространства Lp(lr), 0 0. Пространство Hp(Π+) наделено нормой
∥f∥Hp(Π+)=sup ∥f∥Lp(R+iy) :y>0 ,
которая, как известно (см., например, [30, Гл. VI]), совпадает с Lp -нормой 18

предельных граничных значений на вещественной прямой. Для целого неотрицательного n введем класс Qpn = Qpn(Π+) функций из Hp(Π+), для которых производная порядка n (сама функция, при n = 0 ) так- же принадлежит Hp(Π+) и её норма ограничена единицей, т.е. Qpn = f ∈ Hp(Π+) : f(n) ∈ Hp(Π+), ∥f(n)∥Hp(Π+) ≤ 1 .
Обозначим через Iσ, σ > 0, информационный оператор, который сопо- ставляет функции f из Hp(Π+) сужение (локальный элемент) её спек- тральной (вообще говоря, обобщённой) функции на интервал (−ε,σ), σ > 0,ε > 0. Спектральная функция имеет носитель в [0,+∞) и, сле- довательно, её сужение не зависит от ε. В качестве множества методов восстановления R рассматриваем либо множество F всех возможных, либо L – линейных отображений, определённых на IσQpn, в простран- ство Y. В качестве пространства Y будет рассматриваться Hp(Π+) и Lp(R+iy), y>0.Дляm∈Z+, σ>0иметодаT∈Rвеличи- на погрешности восстановления значений оператора дифференцирования порядка m (функции, при m = 0 ) на классе Qpn по информации Iσ с помощью метода T определяется равенством
Тогда
U[T,m,σ,n]Y =sup ∥f(m) −T(Iσf)∥Y : f ∈Qp . n
ER[m, σ, n]Y = inf {U[T, m, σ, n]Y : T ∈ R}
есть величина оптимального восстановления значений оператора диф- ференцирования порядка m (функции, при m = 0 ) на классе Qpn по информации Iσ с помощью множества методов восстановления R. За- дача состоит в вычислении величины (0.0.14) и построении оптимального метода восстановления — экстремального оператора (последовательности операторов), на котором в (0.0.14) достигается нижняя грань.
Восстановление функции (сигнала, передаточной функции системы) по информации о её частотных характеристиках – одна из основных про-
19
(0.0.14)

блем во многих прикладных задачах. Задачи оптимального восстановления функции и производных по информации о её спектре изучались в цикле работ Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко, см. [38–45].
Близкой к задаче (0.0.14) является задача оптимального восста- новления функции f и её производных на классе Харди – Соболева функций, аналитических в единичном круге, по информации If = (f(0),f′(0),…,f(N−1)(0)) (или, что тоже самое, по коэффициентам Тейло- ра функции f ), см. [90, пример 4.6; 92] и приведённую там библиографию.
В третьей главе также рассматривается связанная с (0.0.14) задача наи- лучшего приближения класса Харди – Соболева Qpn и класса ∂mQpn, со- стоящего из производных порядка m функций из Qpn, пространством Apσ целых функций экспоненциального типа, не превосходящего σ, и принад- лежащих пространству Hp(Π+). Приближения рассматриваются по норме пространств Hp(Π+) и Lp(R + iy), y > 0.
Целые функции экспоненциального типа являются классическим аппа- ратом приближения функций как вещественной, так и комплексной пе- ременной. Таким приближениям посвящена обширная литература (см., например, монографии [11, 26] и приведённую там библиографию). Хо- рошо известно (см., например, [11, гл. V]), что для наилучшего прибли- жения на числовой оси класса Соболева Wnp = {f ∈ Lp(R) : f(n) ∈ Lp(R), ∥f(n)∥Lp(R) ≤ 1} целыми функциями экспоненциального типа, не превосходящего σ, справедливо неравенство
p −n 4 ∞ (−1)k(n+1) E(Wn,Aσ)Lp(R)≤Cnσ , Cn=πk=0(2k+1)n+1.
В случаях p = ∞ и p = 1 в последнем неравенстве имеет место равен- ство. Более того, в работе Г. Г. Магарил-Ильяева [36], в которой введе- ны и исследованы средние поперечники, в частности, показано, что сред- ние ν -поперечники по Колмогорову классов Соболева Wnp в случаях p=∞,p=2 и p=1 реализуютсянапространстве Aσ Lp(R),σ=πν. 20

Близкая к исследуемой, задача для функций, аналитических в круге, хорошо изучена. Пусть Qpn(D) – класс Харди – Соболева функций из про- странства Харди Hp(D), аналитических в единичном круге D, у которых производная порядка n также принадлежит Hp(D) и ее норма ограниче- на единицей. Для наилучшего приближения по норме пространства Hp(D) класса Qpn(D) пространством PN−1 алгебраических многочленов степени не более N − 1 справедливо равенство
E(Qpn(D), PN−1)Hp(D) = (N − n)!, n < N, 1 ≤ p ≤ ∞. (0.0.15) N! В случае p = ∞ это доказано в работе К. И. Бабенко [15]; в случае 1 ≤ p < ∞ – в работе Л. В. Тайкова [62]. Более того, в статьях В. М. Тихомирова [64] (p = ∞) и Л. В. Тайкова [62] (1 ≤ p < ∞) показано, что величина (0.0.15) является N -мерным поперечником класса Qpn(D) в пространстве Hp(D), 1 ≤ p ≤ ∞. Результаты, относящиеся к поперечникам классов аналитических функций, см. [92, Гл. 4; 70; 19], и ссылки там. В работе для класса Харди – Соболева Qpn(Π+), 1 ≤ p ≤ ∞, аналити- ческих в полуплоскости Π+ функций получены аналоги описанных выше результатов для класса Харди – Соболева Qpn(D) функций, аналитиче- ских в круге D. Точнее, найдено наилучшее приближение класса Qpn(Π+) пространством Apσ, построен линейный метод наилучшего приближения; вычислены средние поперечники по Колмогорову и Бернштейну, средний линейный поперечник класса. Цель работы. Исследование задач оптимального восстановления аналитической функ- ции и её производной по приближённо заданным предельным значениям функции на части границы. Решение родственных задач Стечкина наилуч- шего приближения неограниченных операторов линейными ограниченны- ми операторами. Решение задачи оптимального восстановления аналитиче- ской в полуплоскости функции и производных класса Харди – Соболева по 21 сужению её спектральной функции и связанной с ней задачи наилучшего приближения класса целыми функциями экспоненциального типа. Методы исследования. В работе используются методы математиче- ского анализа и теории функций, в частности – теории функций комплекс- ного переменного, теории приближений. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и основ- ные из них состоят в следующем. 1. Исследована задача оптимального восстановления аналитической в области функции по её предельным значениям на измеримой части гра- ницы области, заданным с весовой Lq -погрешностью, на классе функций с ограниченной весовой Lr -нормой предельных значений на дополнитель- ной части границы; исследована взаимосвязанная задача Стечкина наи- лучшего приближения оператора аналитического продолжения функции с части границы линейными ограниченными операторами. Точные решения задач получены в случаях: (а) восстановление значения функции в точке односвязной области при 1 ≤ q, r ≤ ∞ для естественного широкого клас- са весов; (б) аналогичная задача для двусвязной области с погрешностью δn, где δn – геометрическая прогрессия с целым показателем; (в) восста- новление аналитической в односвязной области функции на подмножестве линии уровня гармонической меры, при q = r = ∞; (г) восстановление аналитической в полосе функции на внутренней прямой по её значениям на одной граничной прямой на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной прямой, для Lq -норм на трёх прямых, 1 ≤ q ≤ ∞; (д) восстановления аналитической в кольце функции на внутренней окружно- сти по её значениям, заданным с погрешностью δn, где δn – целые степени отношения радиусов граничных окружностей, на одной граничной окруж- ности, на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной окружности, для Lq -норм на трёх окружностях, 1 ≤ q ≤ ∞. Получено 22 неравенство между значением аналитической функции в конечносвязной области и её весовыми нормами граничных значений на двух измеримых подмножествах границы области, являющееся аналогом теоремы братьев Неванлинна о двух константах при 0 < q, r ≤ ∞. 2. Исследована задача оптимального восстановления производной ана- литической в области функции по предельным значениям функции, задан- ным с Lp -погрешностью на измеримой части границы, на классе функций с ограниченной Lp -нормой предельных значений на дополнительной ча- сти границы; исследована взаимосвязанная задача Стечкина наилучшего приближения оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами. Точные решения задач получены в случаях: (а) восстановле- ние производной в точке односвязной области при p = ∞; (б) восстановле- ние производной аналитической в полосе функции на внутренней прямой по заданным с погрешностью δ значениям функции на одной граничной прямой, на классе функций с ограниченной нормой на другой граничной прямой, для Lp -норм на трёх прямых, 1 ≤ p ≤ ∞, и достаточно большого | ln δ|; (в) восстановление производной аналитической в кольце функции на внутренней окружности по значениям функции на одной граничной окруж- ности, заданным с погрешностью δn, где δn – целые степени отношения радиусов граничных окружностей и | ln δn| достаточно большой, на клас- се функций с ограниченной нормой на другой граничной окружности, для Lp -норм на трёх окружностях, 1 ≤ p ≤ ∞. 3. На классах Харди–Соболева функций, аналитических в полуплос- кости, с ограниченной Hp -нормой, 1 ≤ p ≤ ∞, производной поряд- ка n решена задача оптимального восстановления производной порядка k,0 ≤ k ≤ n, по сужению спектральной функции на интервал. Решена связанная задача наилучшего приближения класса Харди – Соболева про- странством целых функций конечного экспоненциального типа. Вычисле- ны средние поперечники класса. 23 Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоре- тический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть ис- пользованы при проведении исследований задач оптимального восстанов- ления операторов на классе элементов банахова пространства по неполной (в частности, неточной) информации об элементах, экстремальных задач на классах аналитических функций и приложений. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [102]– [116] (без соавторов); в том числе 14 в изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК. Апробация. Результаты диссертации докладывались на Международ- ных летних Школах по теории функций С .Б. Стечкина, Миасс, 2006, 2008, 2010 – 2015, 2017; Алексин, 2007; Пекин (Китай), 2009; Душанбе (Таджи- кистан), 2016; Кыштым, 2018, 2019; Екатеринбург, 2020; Международных Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014, 2016, 2018; Меж- дународных Казанских летних научных школах-конференциях «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», Казань, 2007, 2013, 2015; Международной конференции Воронежская зимняя математическая шко- ла «Современные методы теории функции и смежные проблемы», Воро- неж, 2017; Международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения», Абрау-Дюрсо, 2006, 2012, 2014, 2016, 2018; Международных конференци- ях «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2008, 2011; Челябинск, 2014; Международных конференциях «Современные про- блемы математики, механики, информатики», Тула, 2006, 2007, 2008, 2011, 2012; Семинарах по анализу Фурье и смежным областям, Будапешт (Вен- грия), 2015; Печ (Венгрия), 2017; Международной конференции «Теория 24 приближений», посвященной 90-летию со дня рождения С. Б. Стечки- на, Москва, 2010; Международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествозна- ния», Обнинск, 2011; Крымской международной математической конфе- ренции, Судак, 2013; Международной конференции «Комплексный анализ и теория приближения», посвящённой 80-летию профессора Е. П. Должен- ко, Москва, 2014; Международной конференции «Функциональные про- странства и теория приближения функций», посвящённая 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского, Москва, 2015; Междуна- родной школе-конференции: Соболевские чтения, Новосибирск, 2016; Пер- вой международной конференции «Analysis Mathematica», Будапешт (Вен- грия), 2019; на научном семинаре «Геометрическая теория функций ком- плексного переменного» под руководством профессора Д. В. Прохорова, Саратов, 2019; на научном семинаре «Вопросы оптимального восстанов- ления линейных операторов» под руководством профессора Г. Г. Магарил- Ильяева, профессора К. Ю. Осипенко, профессора В. М. Тихомирова, МГУ, Москва, 2021; на научном семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений ИММ УрО РАН под руководством члена-корреспондента РАН В. В. Васина, Екатеринбург, 2021; на совместных семинарах отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений ИММ УрО РАН под руководством д.ф.-м.н. Н. Ю. Антонова, д.ф.-м.н. А. Г. Бабен- ко, Екатеринбург, многократно; на научных семинарах кафедры матема- тического анализа УрФУ под руководством профессора В. В. Арестова, Екатеринбург, многократно. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Об- щий объём работы – 229 страниц. Список литературы содержит 116 наиме- нований. 25 Обзор основных результатов диссертации. В главе 1 исследуется задача оптимального восстановления (0.0.2) ана- литической в области G функции по некасательным предельным значе- ниям функции, заданным с погрешностью на части границы γ1, на классе Q = Qr,q(G; γ0, φ0; γ1, φ1). Формальная постановка задачи такова. Для чис- ла δ > 0 и метода восстановления T ∈ R величина
U(T,δ)=sup ∥f−Tg∥B(K) :f∈Q,g∈Lqφ1(γ1),∥f−g∥Lqφ1(γ1)≤δ
является погрешностью восстановления на множестве K функции класса Q по её граничным значениям на γ1, заданным с погрешностью δ по норме Lqφ1(γ1), методом T. Тогда
ER(δ) = inf {U(T, δ) : T ∈ R} (0.0.16)
есть величина оптимального восстановления на множестве K функции (или, что то же самое, оптимального восстановления оператора Υ0K ) клас- са Q по её δ -приближённым граничным значениям на γ1 с помощью ме- тодов восстановления R. Задача состоит в вычислении величины ER(δ) и определении оптимального метода восстановления – оператора, на котором в (0.0.16) достигается нижняя грань.
Задача оптимального восстановления исследуется с помощью взаимо- связанных задач (0.0.3) о модуле непрерывности оператора Υ0K на классе Q и наилучшего приближения (0.0.5) оператора Υ0K множеством линей- ных ограниченных операторов B(N) = B(N;Lqφ1(γ1),B(K)) на классе Q.
Функцию переменной δ > 0, определяемую равенством ω(δ) = sup ∥f∥B(K) : f ∈ Q, ∥f∥Lqφ1(γ1) ≤ δ ,
называют модулем непрерывности оператора Υ0K на классе Q. Величина
U(T)=sup ∥f−Tf∥B(K) :f∈Q 26
(0.0.17)

является уклонением оператора T ∈ B(N) от оператора Υ0K на классе функций Q. Соответственно, величина
E(N) = inf {U(T) : T ∈ B(N)} (0.0.18)
есть наилучшее приближение оператора Υ0K множеством линейных огра- ниченных операторов B(N) на классе Q. Задача состоит в вычислении величины E(N) и построении экстремального оператора, на котором в (0.0.18) достигается нижняя грань.
В параграфе 1.1 получено решение задач для функционала Υ0z0 , сопо- ставляющего предельным граничным значениям функции на γ1 её значе- ние в точке z0 односвязной области G.
Класс Q является выпуклым и уравновешенным. Следовательно, как обсуждалось выше, в задаче оптимального восстановления линейного функционала Υ0z0 на классе Q с помощью множества F всех возмож- ных функционалов существует наилучший линейный ограниченный функ- ционал и величина уклонения равна модулю непрерывности функционала Υ0z0 , т.е. справедливы равенства (0.0.11).
По весовым функциям φk, k = 0,1, для δ > 0 определим на границе Γ области G функцию ψδ по формуле
 P(z ,ζ) 1/r  0
 β φ 0 ( ζ ) , ζ ∈ γ 0 ;
ψδ(ζ) = δ

в которой P (z0, ζ) – плотность гармонической меры относительно области G в точке z0 – производная функции Грина по внутренней, для области G, нормали к границе области; величины α и β, соответственно, равны гармонической мере γ1 и γ0 относительно области G в точке z0. Здесь и в дальнейшем, если r и/или q равны бесконечности, то считаем, что величины 1/r и/или 1/q, соответственно, равны нулю.
P(z ,ζ) 1/q
0 , ζ∈γ,
α φ 1 ( ζ ) 1
27

Определим функцию sδ ∈ N∗(G) по функции ψδ равенством sδ(z) = exp (uδ(z) + ivδ(z)) , z ∈ G,
(0.0.19)
где функция
деляемая равенствами
uδ(z) =

Γ
P(z,ζ) lnψδ(ζ)|dζ|, z ∈ G,
является гармонической в области G, а vδ – функция, гармонически со- пряжённая к uδ. Функция vδ однозначная, в силу односвязности области G, и единственная с точностью до вещественной аддитивной константы, выбор значения которой нам не важен.
На пространстве Lqφ1(γ1) определим функционал Tδ формулой
sδ(z0) q P(z0,ζ) s (ζ) g(ζ)|dζ|, g ∈ Lφ1(γ1).
Tδg =
Далее будет использоваться величина C = Cq,r(z0;γ0,φ0;γ1,φ1), опре-
γ1 δ
C = ε1/q(γ1, φ1) ε1/r(γ0, φ0) α−α/qβ−β/r, P(z0,ζ)
(0.0.20)
Основными результатами параграфа 1.1 являются следующие утвер- ждения.
Теорема 1.1.1. При произвольных q, r, 1 ≤ q, r ≤ ∞, весовых функ- ций φk, k = 0,1, и δ > 0 для величины оптимального восстановления (0.0.16) функционала Υ0z0 на классе Q имеет место равенство
EF (δ) = Cδα.
При этом экстремальными в (0.0.17) являются функции вида csδ, |c| = 1; в задаче (0.0.16) оптимальным методом восстановления является линейный ограниченный функционал Tδ.
ε(γk,φk) = exp P(z0,ζ)ln φ (ζ) |dζ|, k = 0,1. γk k
28

В частности, для функций пространства H справедливо точное нера- венство
|f(z )| ≤ C ∥f∥αq ∥f∥β . (0.0.21) 0 L φ 1 ( γ 1 ) L rφ 0 ( γ 0 )
Неравенство обращается в равенство на функциях csδ, δ > 0, c ∈ C.
В случае q = r = ∞ величина (0.0.17) и, соответственно, неравенство (0.0.21) следуют из хорошо известной теоремы братьев Неванлинна о двух
константах (см. [91; 23, Гл. VIII, §4, Теорема 1]). В этом случае C = 1. Теорема 1.1.2. При произвольных q, r, 1 ≤ q, r ≤ ∞, весовых функций φk, k = 0,1, и N > 0 для величины наилучшего приближения (0.0.18) функционала Υ0z0 на классе Q справедливо равенство
E(N) = C1/ββαα/βN−α/β.
При этом в задаче (0.0.18) функционалом наилучшего приближения яв-
ляется функционал Tδ, у которого параметр δ определён равенством δ = C1/βα1/βN−1/β.
Обозначим через H = Hp(G,φ), 1 ≤ p ≤ ∞, класс функций f ∈ N∗(G) с граничными значениями из Lpφ(Γ) с весом φ. Таким образом, класс Hp(G,φ) совпадаетсклассом Hp,p(G;γ0,φ0;γ1,φ1), вкоторомпо- казатели совпадают и равны p, а весовые функции φk являются суже- ниями функции φ на γk, k = 0, 1. Пусть Q = Qp(G, γ1, φ) – подкласс функций f ∈ H таких, что ∥f∥Lpφ(γ0) ≤ 1.
В параграфе 1.2 рассмотрены два случая: (1) область G есть Π+ – верхняя полуплоскость, множество γ1 – промежуток (интервал или полупрямая) граничной прямой; (2) область G является кругом, а γ1 – дуга граничной окружности. На классе Qp(G, γ1, φ) в задаче опти- мального восстановления (0.0.16) значения функции в точке z0 ∈ G по её приближённо заданным предельным граничным значениям на γ1 по
29

норме Lpφ(γ1) и во взаимосвязанной задаче (0.0.18) наилучшего прибли- жения функционала Υ0z0 линейными ограниченными функционалами явно выписаны решения: экстремальная функция, оптимальный метод восстановления – функционал наилучшего приближения. В частности, вычислена константа C неравенства (0.0.21). В теоремах 1.1.1 и 1.1.2 по- лучено решение этих задач в более общей постановке. Однако нахождение явного аналитического вида решений (экстремальной функции и функ- ционала, константы точного неравенства), вообще говоря, затруднителен. Рассмотренные случаи является такими, когда это возможно сделать. С помощью полученных формул можно получить явный вид решений в аналогичных задачах для односвязных жордановых областей G, если явно записана функция, задающая конформное отображение области G на полуплоскость или круг.
Пусть H ∞,∞(γ0, φ0; γ1, φ1) – множество функций f ∈ N∗(G), для кото- рых нормы
∥f∥L∞φk (γk) = ess sup {|f(ζ)|φk(ζ) : ζ ∈ γk} , k = 0, 1,
предельных граничных значений конечны. Класс Q = Q ∞,∞(γ0, φ0; γ1, φ1) состоит из функций f ∈ H ∞,∞(γ0,φ0;γ1,φ1), для которых справедливо неравенство ∥f∥L∞φ0 ≤ 1. В параграфе 1.3 в случае односвязной области G на классе Q = Q ∞,∞(γ0, φ0; γ1, φ1) для произвольной функциональной банаховой решётки B = B(K), K ⊂ G, Q ⊂ B(K), изучаются: задача оптимального восстановления (0.0.16) оператора Υ0K по заданным с L∞φ1 – погрешностью значениям функции на γ1, задача Стечкина (0.0.18) наи- лучшего приближения оператора Υ0K множеством B(N;L∞φ1(γ1),B(K)) и задача о модуле непрерывности оператора Υ0K.
По функциям φk, k = 0, 1, для δ > 0 определим на границе Γ од- носвязной области G функцию ψδ по формуле ψδ(ζ) = δk/φk(ζ), ζ ∈
30

γk , k = 0, 1. Функция sδ задаётся формулой (0.0.19) по функции ψδ . Для числа α ∈ (0, 1) через γα обозначим подмножество точек z обла- сти G, в которых гармоническая мера w(z) = w(z, γ1, G) множества γ1 относительно области G в точке z принимает постоянное значение α : γα ={z∈G : w(z,γ1,G)=α}.
Определим оператор Tδ на пространстве L∞φ1(γ1) формулой
sδ(z)
P(z,ζ)sδ(ζ) g(ζ)|dζ|, z ∈ K.
γ1
Результатами параграфа 1.3 являются следующие утверждения.
Теорема 1.3.3.При произвольных K ⊂ G, весовых функций φk, k = 0,1, и δ > 0 для величин оптимального восстановления (0.0.16) и моду- ля непрерывности (0.0.17) оператора Υ0K на классе Q ∞,∞(γ0, φ0; γ1, φ1) справедливы равенства
EF(δ) = EB(δ) = EL(δ) = ω(δ) = ∥s1δw∥B.
При этом оптимальным методом восстановления является метод Tδ.
В случае K ⊂ γα равенства примут вид
ω(δ) = EB(δ) = EL(δ) = EF(δ) = Cδα,
где коэффициент определяется равенством C = ∥s1∥B.
Теорема 1.3.4.При произвольных K ⊂ γα, весовых функций φk, k = 0, 1, и N > 0 для величины наилучшего приближения (0.0.18) оператора Υ0K на классе Q ∞,∞(γ0, φ0; γ1, φ1) справедливо равенство
E(N) = C1/β β αα/β N−α/β,
где коэффициент определяется равенством C = ∥s1∥B. При этом опера-
тором наилучшего приближения является оператор Tδ с параметром 31
(Tδg)(z) =

δ, задаваемым равенством
δ = C1/βα1/βN−1/β.
Пусть Hp(ΠY ), 1 ≤ p ≤ ∞, – класс функций f, аналитических в полосе ΠY = {z∈C : 0 0 для величин оптимального восстановления (0.0.16) и модуля непрерывности (0.0.17) оператора Υ0R+iy на классе Qp(ΠY ) справедливы равенства
ω(δ) = EB(δ) = EL(δ) = EF(δ) = δα,
Оптимальным методом восстановления является линейный ограничен-
ный оператор Tδ, определённый равенством (0.0.22).
Теорема 1.4.2. При произвольных p, 1 ≤ p ≤ ∞, и N > 0 для величины наилучшего приближения (0.0.18) оператора Υ0R+iy на классе Qp(ΠY ) справедливо равенство
E(N) = β αα/β N−α/β.
Оператором наилучшего приближения является оператор Tδ, опреде- лённый равенством (0.0.22), в котором параметр δ задаётся соотно- шением
δ = α1/β N−1/β.
В параграфе 1.5 рассматривается случай конечносвязной области. Показано, что неравенство (0.0.21) справедливо для функций класса Hr,q(G; γ0, φ0; γ1, φ1) в случае произвольной конечносвязной области G комплексной плоскости, ограниченной кривой Γ, которая является объ- единением спрямляемых жордановых непересекающихся кривых, и для произвольных r, q, 0 < r, q ≤ ∞. Обсуждаются случаи, когда для дву- связной области G справедливы аналоги теорем 1.1.1 и 1.1.2. А именно, 33 показано, что утверждение теоремы 1.1.1 справедливо, если параметр δ является элементом последовательности δν = δ0 r2πν/μ, ν ∈ Z, а утвер- ждение теоремы 1.1.2 справедливо, если параметр N является элементом последовательности Nν = α δ−β , ν ∈ Z. Элемент δ0 определяется равен- ν ством 1 2π ψ1(g−1(reit)) δ0 =exp μ ln ψ (g−1(eit)) dt , 01 в котором g – функция, реализующая однолистное конформное отобра- жениедвусвязнойобласти G накольцо Cr,1 ={z∈C : r<|z|<1}, r – модуль двусвязной области G; μ = μ(er) − μ(e1), где μ(eρ) – мера Лебега измеримого множества eρ = t ∈ [0,2π] : ρeit = g(ζ),ζ ∈ γ1 , ρ = r,1. В пространстве Харди Hp(Cr,R), 1 ≤ p ≤ ∞, аналитических в коль- це Cr,R = {z∈C : r<|z| 0 введем класс функций из Hp(Cr,ρ) равенством Qp(Cr,ρ,N)= f:f∈Hp(Cr,ρ),∥f∥Lpφρ(lρ) ≤N ;
Qp(Cr,ρ, 1) = Qp(Cr,ρ) при N = 1. В последней части параграфа рассмат- ривается задача (0.0.13) наилучшего приближения класса Qp(Cr,ρ) клас- сом Qp(Cr,R,N),N>0.
Определим оператор U ν,η = U ν,η[r,ρ,R] формулой
1 2π
(U ν,ηf)(Reix) = 2π
Теорема 1.6.3. При произвольном p, 1 ≤ p ≤ ∞, для положительного
числа
N = ρ−νRν(β − η),
где ν – целое число и η ∈ [−η1, η0], справедливо равенство
E(Qp(Cr,ρ), Qp(Cr,R, N))Lpφr (lr) = (α + η) (β − η)β/α N−β/α.
При этом линейный метод U ν,η, определённый равенством (0.0.24), до-
ставляет наилучшее приближение класса классом.
В главе 2 исследуется задача оптимального восстановления (0.0.2) про- изводной аналитической в области G функции (оператора Υ1K ) по нека- сательным предельным значениям функции, заданным с погрешностью на части границы γ1, на классе Q = Qp(G;γ1,φ). Формальная постановка задачи такова. Для числа δ > 0 и метода восстановления T ∈ R величина
U(T,δ)=sup ∥f′−Tg∥B(K) :f∈Q,g∈Lpφ1(γ1),∥f−g∥Lpφ1(γ1)≤δ 37
0
u−ν,η (t − x) f(ρeit) dt. (0.0.24)

является погрешностью восстановления на множестве K производной функции класса Q по граничным значениям функции на γ1, заданным с погрешностью δ по норме Lpφ1(γ1), методом T . Тогда
ER(δ) = inf {U(T, δ) : T ∈ R} (0.0.25)
есть величина оптимального восстановления на множестве K производ- ной функции класса Q (или, что то же самое, оптимального восстановле- ния оператора Υ1K ) по δ -приближённым граничным значениям функции на γ1 с помощью методов восстановления R. Задача состоит в вычисле- нии величины ER(δ) и определении оптимального метода восстановления – оператора, на котором в (0.0.25) достигается нижняя грань.
Задача оптимального восстановления исследуется с помощью и вме- сте с взаимосвязанной задачей (0.0.3) о модуле непрерывности операто- ра Υ1K на классе Q, и c задачей Стечкина (0.0.5) наилучшего прибли- жения оператора Υ1K множеством линейных ограниченных операторов B(N) = B(N;Lpφ1(γ1),B(K)) на классе Q.
Функция переменной δ > 0, определяемая равенством ω(δ) = sup ∥f′∥B(K) : f ∈ Q, ∥f∥Lpφ1(γ1) ≤ δ ,
является модулем непрерывности оператора Υ1K на классе Q. Величина
(0.0.26)
U(T)=sup ∥f′−Tf∥B(K) :f∈Q
является уклонением оператора T ∈ B(N) от оператора Υ1K на классе
функций Q. Соответственно, величина
E(N) = inf {U(T) : T ∈ B(N)} (0.0.27)
есть наилучшее приближение оператора Υ1K множеством линейных огра- ниченных операторов B(N) на классе Q. Задача состоит в вычислении величины E(N) и построении экстремального оператора, на котором в 38

(0.0.27) достигается нижняя грань.
В параграфе 2.1 рассматривается класс Харди H∞(G) аналитических и ограниченных функций в односвязной области G. На классе Q = Q∞(G; γ1, 1) получено решение трёх взаимосвязанных экстремальных за- дач (0.0.25), (0.0.26), (0.0.27) для функционала Υ1z0 , который ставит в соот- ветствие граничным значениям на γ1 функции f значение её производной f′(z0) в точке z0 односвязной области G. В этом случае, как и в парагра- фе 1.1, имеют место равенства (0.0.11).
Рассматривая w – гармоническую меру γ1 относительно области G в точке z = x + iy – как гармоническую в области G функцию пере- менных x и y, введём обозначения: α = w(z0) и β = 1 − w(z0) для величин гармонической меры γ1 и γ0 относительно области G в точке z0; κ = κ(z0), ν = ν(z0) и t = t(z0), соответственно, – для длины, направ- ления и аргумента градиента функции w в точке z0, т.е. определённых равенствами
κ = κ(z0) = |∇w(z0)|, ν = ν(z0) = ∇w(z0) , ν = (cost,sint). |∇w(z0)|
Пусть g – функция, задающая однолистное отображение области G на единичный круг, удовлетворяющая условиям: g(z0) = 0, g′(z0) > 0. Обо- значим через η(z0) положительную величину
η(z0) = 2g′(z0), κ(z0)
если κ(z0) ̸= 0, и равную +∞, если длина градиента есть нуль.
Пусть sδ – функция, определяемая равенством (0.0.19) по функции ψδ, определённой на границе Γ формулой ψδ(ζ) = δk, ζ ∈ γk, k = 0,1, т.е.
аналитическая в области G функция
sδ(z) = hσ(z), σ = ln δ, h(z) = exp{w(z) + iv(z)}. 39

Для δ > 0 и точки z0 ∈ G, удовлетворяющих неравенству | ln δ| ≥ η(z0),
определим функционал Tδ1 на пространстве L∞(γ1) равенством 1 −it sδ(z0)
(0.0.28)
(0.0.29)
где
Jz0(ζ) s (ζ) f(ζ)|dζ| = γ1 δ
Tδ f = e −it
γ1
Jz0(ζ)= ∂P(z0,ζ)+lnδκ(z0)P(z0,ζ). ∂ν
= e
h(z0) σ
Jz0(ζ) h(ζ) f(ζ)|dζ|,
Для δ > 0 и точки z0 ∈ G, удовлетворяющих неравенству | ln δ| < η(z0), (0.0.30) обратному к неравенству (0.0.28), определим в области G функцию Fδ формулой Fδ(z)= g(z)−g0 sδ(z), g0=−eitκ(z0)lnδ=−eit lnδ. 1 − g(z) g0 2g′(z0) В случае (0.0.30) определим функционал Tδ1 равенством −it sδ(z0) Iz0(ζ) F (ζ) f(ζ)|dζ| = η(z0) в котором 1 Tδ f = e −it =e γ1 δ 1 − g0g(ζ) h(z0) σ (0.0.31) Iz0(ζ) g(ζ)−g h(ζ) γ1 0 f(ζ)|dζ|, ln2δ Основными результатами параграфа являются две теоремы. lnδ ∂P 1 Iz0(ζ)=η(z0) ∂ν(z0,ζ)+κ(z0)2 η(z0)+η(z0) P(z0,ζ). Теорема 2.1.1. Для величины (0.0.25) справедливы следующие утвер- ждения. 40 (I) В случае | ln δ| ≥ η(z0) справедливо равенство EF(δ) = κ(z0)δα |lnδ|. Экстремальными являются функции вида csδ, |c| = 1, а оптимальным методом восстановления является линейный ограниченный функционал Tδ1, определённый равенством (0.0.29). (II) В случае | ln δ| < η(z0) справедливо равенство α 1 ln2δ EF(δ)=κ(z0)δ 2 η(z0)+η(z0) . Экстремальными являются функции вида cFδ, |c| = 1, а оптимальным методом восстановления является линейный ограниченный функционал Tδ1, определённый равенством (0.0.31). Теорема 2.1.2. Для величины (0.0.27) наилучшего приближения функ- ционала Υ1z0 справедливы следующие утверждения. (I ∗) Если N > 0 представимо в виде
N =κ(z0)δ−β |αlnδ+1|, |lnδ|≥η(z0),
то справедливо равенство
E(N) = κ(z0) δα |β ln δ − 1|.
Функционал Tδ1, определённый формулой (0.0.29), является функциона- лом наилучшего приближения.
(II ∗) Если N > 0 представимо в виде
−β α ln2δ lnδ
N =κ(z0)δ 2 η(z0)+η(z0) +η(z0) , |lnδ|<η(z0), то справедливо равенство α β ln2δ lnδ E(N)=κ(z0)δ 2 η(z0)+η(z0) −η(z0) . 41 Функционал Tδ1, определённый формулой (0.0.31), является функциона- лом наилучшего приближения. Случаи (I ∗) и (II ∗) исчерпывают все возможные значения N > 0.
В параграфе 2.2 рассматривается случай, аналогичный изучаемому в параграфе 1.4, но для оператора Υ1R+iy, сопоставляющего предельным гра- ничным значениям на R функции, аналитической в полосе ΠY , её произ- водную на прямой R + iy, 0 < y < Y. Точнее, исследуются задачи (0.0.25), (0.0.26) и (0.0.27) для оператора Υ1R+iy на классе Q = Qp(ΠY ), в которых область G – полоса ΠY, γk = R+iY(1−k),k = 0,1, весовые функ- ции тождественно равны единице, K = R + iy и B(K) = Lp(R + iy), 1 ≤ p ≤ ∞. Определим оператор T1δ = T1δ[y,Y], δ > 0, из Lp(R) в Lp(R + iy) формулой
с ядром

R
1 1 ∂ eσ(ix−y) sinαπ tδ(z)=2Yi∂y ch(xπ/Y)+cosαπ =
T1δ f (x + iy) =
t1δ (x − t) f (t) dt, (0.0.32)
ieσ(ix−y) σY sinαπ+πcosαπ πsin2απ −1
= 2Y2 ch(xπ/Y)+cosαπ +(ch(xπ/Y)+cosαπ)2 ,σ=Y lnδ.
Основными результатами параграфа являются следующие две теоремы.
Теорема 2.2.1. При произвольных p, 1 ≤ p ≤ ∞, и δ > 0, удовлетворя- ющего условию
|lnδ|≥ π , (0.0.33) sin απ
для величин оптимального восстановления (0.0.25) и модуля непрерыв- ности (0.0.26) оператора Υ1R+iy на классе Qp(ΠY ) справедливы равен- ства
ω(δ) = EB(δ) = EL(δ) = EF(δ) = Y1 δα |lnδ|. 42

При этом оптимальным методом восстановления является линейный ограниченный оператор T1δ, определённый равенством (0.0.32).
Условие (0.0.33) совпадает с неравенством (0.0.28) для рассматриваемо- го случая.
Теорема 2.2.2. При произвольных p, 1 ≤ p ≤ ∞, и N > 0, представи- мого в виде
N=e−σy ασ+1 , |σ|≥π 1 , σ∈R, Y Y sinαπ
для наилучшего приближения (0.0.27) оператора Υ1R+iy на классе Qp(ΠY ) справедливо равенство
E(N)=eσ(Y−y) βσ−Y1 .
При этом оператором наилучшего приближения является T1δ, опреде- лённый равенством (0.0.32), в котором параметр δ задаётся соотно- шением lnδ=σY.
В параграфе 2.3 рассматривается случай, аналогичный изучаемому в параграфе 1.6, но для оператора Υ1lρ, сопоставляющего предельным гра- ничным значениям на окружности lr функции, аналитической в кольце Cr,R, её производную на окружности lρ, 0 < r < ρ < R. Точнее, ис- следуются задачи (0.0.25), (0.0.26) и (0.0.27) для оператора Υ1lρ на классе Q = Qp(Cr,R), в которых область G есть кольцо Cr,R, γ0 = lR, γ1 = lr, весовые функции тождественно равны величинам, обратным к длинам окружностей, K = lρ и B(K) = Lpφρ(lρ), φρ ≡ (2πρ)−1, 1 ≤ p ≤ ∞. Определим оператор (свертки) T1δν,η = T1δν,η[ρ,r], ν ∈ Z, η ∈ R, из Lpφr(lr) в Lpφρ(lρ) формулой 1 2π (T1δ ,ηf)(ρeix)=e−ix Λ1ν,η(x−t)f(reit)dt (0.0.34) ν 2π 0 43 с ядром ∂ ∞ Λ1ν,η(t)=r−νeiνt λ1ν(t)+η , λ1ν(t)=∂ρρνΛ1(t)=λ1ν,0+2 λ1ν,kcoskt; k=1 коэффициенты λ1ν,k задаются равенствами 1 ν−1νln(ρ/R)+1 1 ν−1(ν+k)(ρ/R)k −(ν−k)(R/ρ)k λν,0 =ρ ln(r/R) ,λν,k =ρ (r/R)k −(R/r)k ,k̸=0. Для функций f из пространства Харди Hp(Cr,R), с представлением в виде ряда Лорана, оператор T1δν ,η можно выписать следующим образом +∞ +∞ T1δν,ηf (ρeix) = ηfνei(ν−1)x+e−ix λ1ν,k−νfkrk−νeikx, f(z) = fk zk. k=−∞ k=−∞ Пусть μ1ν(t) = ∂ ρνΛ0(t) и отрезок Sν = [ην−,ην+] имеет граничные точки ∂ρ ην− = max min{−λ1ν (t), μ1ν (t)}, ην+ = t∈[0,2π] min max{−λ1ν (t), μ1ν (t)}. t∈[0,2π] Следующие две теоремы являются основными результатами параграфа. Теорема 2.3.1. При произвольных p, 1 ≤ p ≤ ∞, и δν = (r/R)ν, где ν ∈ Z удовлетворяет условию π −1 ln(R/ρ) |ν| ≥ ln(R/r) sin ln(R/r)π , (0.0.35) для величин оптимального восстановления (0.0.25) и модуля непрерыв- ности (0.0.26) оператора Υ1lρ на классе Q = Qp(Cr,R) справедливы ра- венства ω(δν) = EF(δν) = EL(δν) = EB(δν) = |ν|ρν−1/Rν. В этом случае линейный ограниченный оператор T1δν,0, определённый равенством (0.0.34), является оптимальным методом восстановления, а функция sδν (z) = czν R−ν , |c| = 1, – экстремальной. 44 Теорема 2.3.3. При произвольных p, 1 ≤ p ≤ ∞, параметра N, имею- щего представление лучшего приближения (0.0.27) оператора Υ1lρ на классе Q = Qp(Cr,R) справедливо равенство 1 ν−1 νln(ρ/R)+1 ρ rν ln(r/R) в котором ν ∈ Z удовлетворяет условию (0.0.35) и η ∈ Sν, для наи- 1 1 Nν,η = λν,0 + η = + η , rν 1 1 1 ν−1 νln(r/ρ)−1 ρ −η . μν,0 −η = В этом случае оператор T1δν ,η , В случае, когда ν ∈ Z удовлетворяет условию (0.0.35), оператор T1δν,η, определённый формулой (0.0.34), для произвольного η ∈ Sν также яв- ляется методом оптимального восстановления. Однако эти операторы не дают новых случаев решения задачи оптимального восстановления. Точ- нее, справедливо равенство U(T1δν,η,δν) = |ν|ρν−1R−ν. В параграфе 2.4 рассматривается задача (0.0.13) наилучшего приближе- ния класса ∂Qp(Dρ), состоящего из производных функций класса Харди в круге Dρ, другим классом Харди Qp(DR,N), N > 0, функций, анали- тических в круге DR большего радиуса, по норме пространства Lpφr (lr ), 0 < r < ρ < R, 1 ≤ p ≤ ∞. Для произвольной аналитической в кольце Cr0,ρ = {z∈C:r0 <|z|<ρ},0 < r0 < r, функции f, представимой в Cr0,ρ рядом Лорана, и целого числа ν определим функцию F формулой vν = ln R − ln r , vν+k = R2k − r2k , k ̸= 0. 45 E(Nν,η)= Rν является оператором наилучшего приближения. Rν ln(R/r) определённый равенством (0.0.34), +∞ +∞ F(z)= vkfkzk−1, f(z)= fkzk, k=−∞ νlnρ−νlnr−1 k=−∞ (ν−k)ρ2k −(ν+k)r2k Определим линейный оператор V 1 равенством ν,η V 1 f (z)=F(z)−ηfνzν−1. (0.0.36) ν,η Теорема 2.4.1. Пусть числа r, ρ, R удовлетворяют неравенствам 0 < r < ρ < R. Тогда при произвольном p, 1 ≤ p ≤ ∞, справедливы следую- щие утверждения. 1. Имеет место порядковое равенство E (∂Qp(Dρ), Qp(DR, N))Lpφr (lr) ≍ N−β/α ln1/α N, при N → +∞, в котором α=lnR−lnρ, β=1−α=lnρ−lnr. lnR−lnr lnR−lnr 2. Если положительное число N представимо в виде Rν−1 νlnρ−νlnr−1 Nν,η = ρν lnR−lnr −η , (0.0.37) где ν есть произвольное натуральное число, удовлетворяющее неравен- ству (0.0.35), и η – произвольное число из отрезка Sν , то имеет место равенство p p rν−1 νlnR−νlnρ+1 E(∂Q (Dρ),Q (DR,Nν,η))Lp(lr) = ρν lnR−lnr +η . (0.0.38) При этом линейный метод, определённый равенством (0.0.36), достав- ляет наилучшее приближение класса классом. Аналогичное (0.0.38) равенство справедливо для величины E (∂Qp(Cr0,ρ), Hp(Cr,R, Nν,η))Lpφr (lr) , где величина Nν,η определяется формулой (0.0.37), в которой ν – произвольное целое число, удовлетворя- ющее (0.0.35), и η – произвольное число из отрезка Sν. Глава 3 посвящена исследованию экстремальных задач на классах функций, аналитических в полуплоскости Π+. Изучаются: задача (0.0.14) 46 оптимального восстановления функции и производных функции класса по сужению её спектральной функции, и задача наилучшего приближения класса пространством целых функций экспоненциального типа. В параграфе 3.1 рассматривается задача наилучшего приближения класса Харди – Соболева Qpn и класса ∂mQpn пространствами Aσ це- лых функций экспоненциального типа, не превосходящего σ, и Apσ = Apσ Hp(Π+). Приближения рассматриваются по норме пространств Hp(Π+) и Lp(R+iy),y>0.
Пусть функция l чётная, имеет носитель [−σ,σ] и на отрезке [0,σ] задаётся равенством l(t) = 1−tn−m(2σ−t)m−ne−2y(σ−t); l – преобразование Фурье функции l. Определим оператор L(m) равенством
+∞ −∞
Образ оператора L(m)f зависит только от сужения спектральной функции φσ функции f на интервал (−ε, σ), ε > 0. Обозначим через Ψ отобра- жение, определяемое равенством Ψφσ = L(m)f.
Полученные в теоремах 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.4 результаты сформулированы в следующем утверждении.
Теорема 3.1.(1,2,4). Для произвольных 1 ≤ p ≤ ∞, σ > 0, n, m ∈ Z+, 0 ≤ m ≤ n, справедливы равенства
E(∂mQpn, Aσ)Lp(R+iy) = E(∂mQpn, Apσ)Lp(R+iy) = σm−n e−yσ, y > 0, E(∂mQpn, Aσ)Hp = E(∂mQpn, Apσ)Hp = σm−n.
Линейный оператор L(m) является методом наилучшего приближения. Показано, что пространство Apσ и построенный метод реализуют средние поперечники по Колмогорову и Бернштейну, средний линейный попереч- ник класса Qpn по норме пространства Lp(R + iy), y ≥ 0.
(L(m)f)(z)=
l(m)(z−ζ)f(ζ)dζ, z=x+iy.
47

В параграфе 3.2 исследуется задача (0.0.14) оптимального восстанов- ления аналитической в полуплоскости Π+ функции и её производных на прямой R + iy, y > 0, по известной информации о функции – сужении её спектральной функции на (−ε, σ). В качестве априорной информации рассматривается принадлежность функции классу Qpn = Qpn(Π+).
Полученные в теоремах 3.2.1 и 3.2.2 результаты сформулированы в сле- дующем утверждении.
Теорема3.2.(1,2).Пусть m,n∈Z+,0≤m≤n, σ,y>0 и 1≤p≤∞. Тогда для величины оптимального восстановления (0.0.14) справедливы равенства
EF [m, σ, n]Lp(R+iy) = EL[m, σ, n]Lp(R+iy) = σm−n e−yσ, (0.0.39) EF [m, σ, n]Hp = EL[m, σ, n]Hp = σm−n.
Оптимальным методом восстановления является метод Ψ.
В Теореме 3.2.3 для случая 0 ≤ n < m и y > 0 показано существова- ние такого σ0 = σ0(m − n), что для произвольных σ ≥ σ0 для величи- ны оптимального восстановления (0.0.14) справедливы равенства (0.0.39).
Оптимальным методом восстановления является метод Ψ.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному консуль- танту профессору, д.ф.-м.н. Виталию Владимировичу Арестову за по- стоянное многолетнее внимание к работе, полезные обсуждения и поддержку.