Оптимизация предварительно напряженных стержневых конструкций с выбором режимов силовых воздействий

Во введении обоснована актуальность темы исследования; дана информация о степени ее разработанности; сформулированы научно-техническая гипотеза, цель и задачи диссертационной работы; оценивается ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость; указаны основные положения, выносимые на защиту; от- ражена достоверность и апробация полученных результатов исследований.
В первой главе изложен обзор литературных источников по проектировоч- ным расчетам предварительно напряженных стержневых несущих систем. Приведе- на информация об использовании детерминированных подходов и современных стохастических схем метаэвристического поиска к получению эффективных кон- струкций для объектов такого типа.
Во второй главе разработаны алгоритмы анализа напряженно-деформи- рованного состояния стержней и стержневых систем, предварительно напрягаемых с помощью гибких затяжек, в статической и динамической постановках.
Представлена методика расчета стержневых конструкций с гибкими затяжка- ми при учете в общем случае возможности их многократных преднапряжений на конструкцию или на упоры. Рассматривается n воздействий в виде преднапряжений затяжек и составляющих эксплуатационных нагружений. Полагается, что стержни в общем случае могут испытывать деформации растяжения-сжатия, изгиба в двух главных плоскостях и чистого кручения, а затяжки – растяжения. Учитывается кон- структивная нелинейность, обусловленная изменением структуры несущей системы при включении в нее каждой новой затяжки. Рассчитываемый объект дискретизиру- ется с помощью метода конечных элементов по схеме метода перемещений. Для любого из воздействий решается следующая система линейных алгебраических уравнений:
J
КO+ i К j =R, (1)

 j=1 
Tii
где KO  – глобальная матрица жесткости для несущей системы без затяжек; Ji –
число затяжек, которые следует включить в расчетную схему i-го воздействия; KT j – дополнение к глобальной матрице жесткости, учитывающее затяжку Tj ;
i– вектор приращений узловых перемещений от воздействия i; Ri – вектор
приведенных к узлам сил для i -го воздействия.
После этого корректируются значения узловых перемещений:
(i) =(i−1) +i, (2) где  ,  – векторы узловых перемещений, полученных по итогам воздей-
(i) (i−1) ствийiиi−1 (0)=0.
( )
Учет преднапряжения на конструкцию с помощью затяжки Tj реализуется в два этапа с использованием условных температурных деформаций. Допустим, за-
тяжка должна получить положительное приращение S jA силы натяжения. На этапе 1 задается пробное изменение температуры t в затяжке, приводящее к появлению
вспомогательных узловых сил F (1) (рисунок 1), модуль которых Oj
сти материала затяжки; АT – площадь поперечного сечения затяжки.
Выполняется расчет объекта
F(1) = t Е А , Oj T TT
(3) где T , ЕT – температурный коэффициент линейного расширения и модуль упруго-
Рисунок 1 – Вспомогательные силы
от условного температурного воздействия на затяжку Tj на этапе l (l =1,2)
только от этих сил с вычислением продольной силы N(1) в затяжке, ко-
Fj
торая здесь будет условно работать на сжатие. Далее определяется фак- тическое приращение продольной силы в затяжке:
N(1)=F(1) +N(1), (4) j Oj Fj
где продольные силы рассматриваются как величины алгебраические. На этапе 2 корректируется значение вспомогательных сил:
(2) F(1) S F=Oj jA.
(5) Расчет конструкции от действия этих сил повторяется, и определяется новое
приращение N(2) продольной силы. Если натяжение осуществляется на упоры, то, j
задав силу F (1) = S , достаточно выполнить только первый этап расчета. Oj jA
В процессе каждого последующего воздействия i сила в затяжке Tj пересчи- тывается следующим образом:
Nj(i) = Nj(i−1) +Nj(i) , (6) где Nj(i), Nj(i−1) – силы натяжения в затяжке Tj после и до воздействия i; Nj(i) –
изменение силы натяжения в затяжке T j , полученное от воздействия i .
Работоспособность данного алгоритма подтверждена на основе расчетов для двух известных тестов А.А. Воеводина, в которых стержневые системы подвергают- ся предварительным напряжениям с помощью затяжек. Кроме того, возможности представляемой процедуры проиллюстрированы на двух примерах расчета стро- пильных ферм. В одной из задач для ферм выполнялся анализ напряженно-
Oj N(1) j
деформированного состояния стальной конструкции со стержнями из круглых труб и канатом (рисунок 2). Учитывались силы тяжести фермы и полезная нагрузка в ви- де сосредоточенных сил при Р =30 кН. Воздействия рассматривались в следующей последовательности: 1 – силы тяжести; 2 – преднапряжение затяжки силой (1 3)Т ;
3 – приложение 1 4 полезной нагрузки; 4 – донатяжение затяжки силой (1 3)Т ; 5 – догружение 1 4 полезной нагрузки; 6 – донатяжение затяжки силой (1 3)Т ; 7 – до-
гружение 1 2 полезной нагрузки, где T =480 кН – суммарная сила преднапряжения в затяжке без учета самонапряжения от полезной нагрузки. Некоторые полученные
результаты по силам в затяжке и перемещениям приведены на рисунках 3, 4.
Рисунок 2 – Плоская стальная предварительно напряженная ферма: 1 – стержни; 2 – канат
Рисунок 3 – Силы в затяжке Рисунок 4 – Вертикальные перемещения узла L
При исследовании нагруженности в случае внезапной структурной перестрой- ки принимается во внимание геометрическая нелинейность задачи с точки зрения возможности учета больших перемещений и конструктивная нелинейность, связан- ная с работой канатов только на растяжение, а также последовательным включением затяжек в деформируемую систему и выключением из объекта несущего элемента при аварийной ситуации. Пусть исходная конструкция нагружена системой сил, ко-
торые приводятся к вектору обобщенных узловых сил Q(t) , в общем случае зави- 
сящих от времени t . Рассматривается мгновенное разрушение одного из конструк- тивных элементов несущей системы. В соответствии с принципом Даламбера си- стема уравнений динамического равновесия конечноэлементной модели объекта в деформированном состоянии записывается в виде

R* ,t +()R ,t +,,t +L,,t =Q(t), (7)  ( )  ( ) (   ) (   )  
где R* (,t) – вектор приведенных к узлам реакций от конечных элементов без 
учета жесткости устраняемого в момент времени t = to несущего элемента;   – вектор узловых перемещений; () – функция Хэвисайда от аргумента =t-to
(()=0, если  0; ()=1, если  0); R (,t)– вектор узловых реакций от
, L ,  ,t ( )
векторы приведенных к узлам сил инерции и сил вязкого сопротивления, для кото- рых учитывается фактор перестройки расчетной схемы при отражении аварийного воздействия.
Решается задача Коши для системы уравнений (7) при нулевых начальных условиях на основе численного интегрирования. Согласно процедуре метода конеч- ных элементов принимается
конечных элементов удаляемой части конструкции;  ,  ,t ( )
–
,,t =−M () 
; L,,t =−C ( ) 
, (8) где M , C – матрица масс и матрица демпфирования системы конечных элемен-
тов для деформированного состояния.
Используется подход метода Ньюмарка, предусматривающий учет постоян-
ных значений ускорений на каждом шаге вычислительного процесса, и принципи- альные положения методики исследования динамических задач в геометрически не- линейной постановке, изложенной в работах научного руководителя с соавторами. Полагается, что на каждом шаге по времени t численного интегрирования решает- ся линейная задача. Для начального времени tn-1 некоторого шага п рассматривают-
ся матрица масс M(tn-1), матрица демпфирования С(tn-1) и касательная матрица жесткости K (t ). В диссертации векторы R* (,t) , R (,t) для момента
 n-1
времени tn окончания этого шага приближенно определяются с помощью зависимо- стей
nn
R* ,t = K(t )Δ; R(,t)= K(t )Δ, (9)
()  n k-1k
 k=1
k-1 k 
n
данного элемента; Δk  – вектор приращений перемещений на k -м шаге:
Δk=(tk ) – (tk-1). (10) Учитывая зависимости (8) – (10), соотношение (7) для момента времени tn за-
писывается следующим образом:
k=1
где K(t ) – касательная матрица жесткости на шаге k-1 без учета разрушаемо-
 k-1
го конструктивного элемента; K(t ) – составляющая касательной матрицы
 k-1
жесткости конечноэлементной модели объекта на шаге k-1, связанная с жесткостью

nn
M(t )(t )+С(t )(t )+ K(t )Δ +( ) K (t )Δ =Q(t ). (11)
где
R(t)= R* ,t + R ,t ;
 ( )( ) (13)
 k=1 k=1
M(tn-1)(tn)+С(tn)+R(tn )=Q(tk )−R, (12)

n-1 n n-1 n    
k-1 k n
Для расчета при tn  to равенство (11) преобразуется к виду
nnm
m – шаг, окончание которого соответствует моменту аварийной ситуации; R 
–
k−1 k k

вектор, включающий силы в устраняемом несущем элементе перед его локальным разрушением и определяемый зависимостью
(14)
Учитывается демпфирование с помощью формулы Релея: С(tn-1)=M(tn-1)+K (tn-1), (15)
где ,  – задаваемые коэффициенты соответственно инерционного и конструкци-
онного демпфирования.
Принимаются во внимание только энергетические потери, обусловленные
действием сил сухого трения. Коэффициент конструкционного демпфирования при анализе последствий аварийного воздействия можно приближенно вычислять с по-
мощью выражения
= (f1), (16) где  – коэффициент затухания; f1 – первая частота собственных колебаний.
В соответствии с подходом метода Ньюмарка принимается
,
грирования:
n−1
m R=KΔ .
k k=1 
(t)=b(t)-(t )-(t )
  ( )  (17)
; (tn) =b0 (tn)-(tn-1) -b2 (tn-1) – (tn-1)
n1n n-1 n-1
  ( )    (18)
гдепараметрыинтегрирования b =4/t2; b =2/t; b =4/t. 012
В результате для движения после локального разрушения получается следую- щая система линейных алгебраических уравнений, решаемая на каждом шаге инте-
 nnn
где
= Q(t)− K*(t )+ (t )+M(t )(t )− R 
, (19) (20)
k−1knn−1 n−1n−1 k−1
 =bM(t )+bС(t )+K(t ); =bM(t )+С(t ). n 0 n-1 1 n-1 n−1n 2 n-1 n-1
При построении касательной матрицы Ke  конечного элемента е с учетом геометрической нелинейности используется следующее выражение для вектора его
узловых реакций в отклоненном состоянии: T
Re= BeSedV, (21) Ve
где матрица Be  связывает вектор виртуальных приращений обобщенных деформа- ций e и вектор виртуальных приращений обобщенных узловых перемещений e конечного элемента:
de =Bede
; (22) Se – вектор обобщенных напряжений конечного элемента; Ve – объем конечного
элемента; d
рованного состояния объекта.
– обозначение дифференциала характеристик напряженно-деформи-
Связь виртуальных приращений узловых реакций и узловых перемещений определяется зависимостью
dRe=Ke de Из соотношения (21) следует, что
. (23)
T
dBe SedV =Ke de
Ve
где Ke  – матрица начальных напряжений.
Для второго интеграла в диссертации принимается, что матрица Be  опреде-
ляет бесконечно малые деформации в отклоненном состоянии. Тогда
T Ve Ve
dR= dBSdV+ BdSdV eeeee
. (24) Первый интеграл в выражении (24) обычно представляется в виде
T
, (25)
BdSdV=K d e e eo e
T
, (26)
Ve
где Keo  – построенная для этого состояния матрица жесткости бесконечно малых
деформаций конечного элемента.
Принимая во внимание соотношения (21) – (26), будем иметь выражение
Ke =Keo+Ke . (27) Матрицы Keo , Ke  могут определяться с помощью известных процедур ко- нечноэлементного анализа. При этом следует использовать матрицы Be  с учетом
корректировки координат узлов конечных элементов.
Допустим, аварийная ситуация для плоской фермы выражается во внезапном
разрыве каната, предварительно напрягаемого на конструкцию. Предусматривается использование домкратов с введением в общем случае i0 затяжек. При условии раз-
рушения затяжки Ti систему воздействий на ферму представляем следующим обра- зом: 1. Приложение к стержневой системе сил тяжести конструктивных элементов
фермы. 2. Включение в объект затяжки Т1 и приложение сил Р1 к затяжке и стерж- невой системе, соответствующих воздействию домкрата (рисунок 5, а). 3. Введение
условного элемента Н1 большой жесткости, имитирующего анкер (рисунок 5, б). 4. Удаление сил Р1 , соответствующее устранению домкрата. 5. Выполнение при i0 1 действий 2-4 для каждой из остальных затяжек с использованием сил Рi и элементов Нi (i = 2, … , i0 ). 6. Приложение полезной нагрузки. 7. Исключение эле- мента Нi и приложение в соответствии с равенством (19) сил Fi (рисунок 5, в), каж-
дая из которых равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой эта затяжка действовала на стержневую систему до момента разрыва.
Рассматривались примеры анализа динамического поведения ферм при ло- кальных разрушениях. В частности, рассчитывалась двухопорная стальная ферма арочного типа (рисунок 6). Предусматривалось, что на стержневую конструкцию фермы, установленную на строительном объекте, вводится с преднапряжением ка- нат Т1, а затем без преднапряжения – канат Т2 . Далее прикладывается полезная
нагрузка, и осуществляется аварийное воздействие на канат Т1. Канат Т2 главным
образом служит для страховки. Ферма раскреплена из своей плоскости по узлам. Стержни изготовлены из круглых труб.
а
б
в
Рисунок 5 – Схемы учета введения и разрыва канатов: а – приложение сил Р1 ; б – постановка элемента Н1 ;
в – приложение сил Fi
и сил растяжения N в за- тяжках в зависимости от времени. На этих графиках указаны участки достижения установившихся результатов для следующих процессов: 1 – действие сил тяжести фермы, 2 – преднапряжение затяжки T1, 3 – приложение полезной нагрузки. Участок 1 для затяжки T1 и участки 1, 2 для затяжки T2 отражают отсутствие этих элементов в несущей системе. Позициями 4 обозначены затухающие колебания, вызванные об-
рывом каната T1.
Полезная нагрузка
на ферму представлена
системой сосредоточен-
ных сил Q =12,75 кН; 1
Q = 2Q . При анализе 21
деформаций объекта в динамической постанов- ке соответствующие си- лам Q1 , Q2 инерционные
Рисунок 6 – Ферма с затяжками: 1 – стержни; 2 – затяжки
факторы добавлялись в расчетную схему в виде сосредоточенных масс т1 , т2 . Расчеты показа-
ли возможность обеспе- чения устойчивости про- цесса численного инте- грирования в представ- ляемой модификации метода Ньюмарка для задач такого типа. На ри- сунках 7 и 8 приведены полученные графики из- менения вертикального перемещения WL узла L
Рисунок 7 – Вертикальное перемещение Рисунок 8 – Силы в канатах Т1 и Т2 узла L
В третьей главе разработана методика постановки и решения задач опти- мального проектирования предварительно напряженных стержневых конструкций. Для объектов с гибкими затяжками предусмотрена возможность задания избыточно- го числа силовых воздействий различных типов и избыточных структур для стерж- ней и затяжек. Управление этой системой избыточных возможностей обеспечивает- ся учетом во множествах допустимых значений параметров нулевых сил предвари- тельного напряжения и нулевых долей полезных нагрузок, а также условных вари- антов стержней и затяжек с пренебрежимо малыми площадями поперечных сечений. Тогда структурно-параметрическая оптимизация сводится к параметрической. Ми- нимизируется приведенная масса стержневой системы, вычисляемая с учетом раз- ницы в стоимости материалов:
n
М V ,V ,…,V ,П,Н,,X = k ()
М  + М + М  min , (28) iiAB
1 2 k0 Т
i =1
гдеV =К (n , )(n , )…(n , )К К …К (k=1,2,..,k)–

k () () () () () () () () () 0()
0 вектор, определяющий группу воздействий k ; k0 – общее число возможных групп воздействий; Кg(k) – доля сил тяжести конструкции, относимая к группе k;
(nj(k),j(k)) ( j =1,2,…,m) – пара чисел, определяющая для группы k номер nj(k) за-
тяжки T j в общей системе нумерации несущих элементов и долю  j(k ) приращения
силы натяжения на данном этапе от ее суммарного предварительного напряжения; т – максимальное число затяжек, которое допускается использовать по условию задачи; Крt(k) – доля полезной нагрузки t для группы k (t =1,2,…,t0 ); t0 – число по-
Т
gk
1k 1k
2k 1k
mk mk
лезных нагрузок; П=П1 П2 …Пr – вектор независимо варьируемых указателей Пl на варианты профилей поперечных сечений для r групп стержней (l =1,2,..,r );
Т
Н=(D , )(D , )…(D , ) – вектор пар чисел, каждая из которых
Т1 Т1 Т2 Т2 Тт Тт
определяетдлязатяжкиТj (j=1,2,..,т)диаметрDТj идолюТj силыSj еесум-
марного предварительного напряжения от разрывной силы R ( S =  R Тj j ТjTj
); =1 2 …s0  – вектор независимо варьируемых классов материалов s для
s0 групп стержней; X – вектор варьируемых координат узлов присоединения за-
тяжек к стержневой системе; п – число используемых материалов стержней и кана- тов; Мi – масса элементов конструкции, изготовленных из i-го материала;
жения, в том числе на усиление сопряженных конструкций, обеспечение безопасно- сти при монтаже и эксплуатации.
При оптимальном проектировании объектов, для которых принято условие
р1k р2k рt k
 = С C ; С – стоимость единицы массы i-го материала; k ii1i
– коэффициент, учиты- вающий технологические операции, стоимость которых зависит от массы конструк- тивных элементов; М A = СA / C1 , М B = СB / C1 – слагаемые, несущественно зависящие от варьируемых параметров для предварительно напряженных конструкций; СA – постоянная для процесса оптимизации часть расходов по возведению основной стержневой системы; СB – неизменяемая часть расходов по реализации преднапря-
преднапряжения, значения k
,МA
,МB
можно не задавать, так как масштабирование
и постоянные слагаемые для целевой функции не будут влиять на эффективные кон- структивные решения. Рассматривается возможность учета следующих ограниче-
ний:
1. Геометрическая неизменяемость механической системы. 2. Ограничение по напряжениям в стержнях:
Э Rу,
где Э – эквивалентное по энергетической теории прочности напряжение в попе-
речном сечении стержня; Ry – расчетное сопротивление материала. 3. Условие по силам в затяжках:
NTRT kT,
где NT – продольная сила в любой из затяжек; RT – разрывная сила для этой затяж-
ки; kT
– коэффициент запаса.
4. Условие по жесткости:
f,
(30)
(31)
где  – проекция вектора перемещения узла стержневой системы на любую из осей декартовой системы координат; f – допустимое значение модуля этого перемеще-
ния.
5. Ограничения по гибкости стержней. Для стальных сжатых стержней при-
нималась предельная гибкость 120, растянутых – 400.
6. Обеспечение устойчивости стержней.
7. Обеспечение устойчивости стенок замкнутых профилей.
8. Выполнение условия общей устойчивости несущей системы. Для стальных
конструкций данная проверка должна осуществляться с учетом коэффициента надежности по устойчивости системы в целом, равного 1,3.
9. Недопущение общих разрушений при локальных аварийных воздействиях для конструкций повышенного уровня ответственности и нормального уровня ответ- ственности с массовым пребыванием людей.
10. Конструктивные и технологические требования.
Выполнение ограничений при рассмотрении аварийной ситуации проверяется с учетом динамических коэффициентов, получаемых на основе расчетов поврежда- емых несущих систем в динамической постановке. При этом для стержней учиты- ваются нормативные сопротивления материалов, не принимаются во внимание тре- бования по жесткости, не учитываются коэффициент запаса для канатов и коэффи- циент надежности по устойчивости.
Ограничения 1–6, 8, 9 рассматриваются как активные, и их выполнение прове- ряется для всех рассматриваемых этапов преднапряжения и приложения полезных нагрузок. Ограничение 10 принимается во внимание при задании допустимых зна- чений варьируемых параметров, структур и силовых воздействий. Ограничение по местной устойчивости проверяется, при необходимости, для полученных в процессе оптимизации вариантов конструкции. Силы тяжести несущей системы корректиру- ются в зависимости от значений варьируемых параметров.
В диссертации анализ обеспечения условия общей устойчивости осуществля-
ется на основе подтверждения положительной определенности касательной матри-
цы жесткости К дискретизированного объекта, определяемой следующим урав-
нением:

К =К+К (N ), (32) Gu
(29)
где К – обычная матрица жесткости системы конечных элементов; К (N ) –
G u глобальная геометрическая матрица, которая выражается через продольные силы Nu в стержнях и затяжках (u =1,2,…,uо ), полученные при расчете напряженно-
деформированного состояния конструкции; uо – общее число стержней и затяжек. Используется начальный этап алгоритма квадратного корня (Холецкого). Этот
метод предусматривает треугольную факторизацию матрицы:
где T матрицы T
вычисляются с помощью такой рекурсивной формулы: k−1
К =(T)Т T 
, (33) Допустим, матрица К имеет порядок m и является ленточной. Элементы
– верхняя треугольная матрица. 
kkj− tt

ik ij
i=i0 ;k=1,2,…,m; j=k+1,…,min(m,k+s ), (34) kjt 
t =
– элемент матрицы К  ;
где k kj
kk

i0 =max(1,j−s);
(35)
(36)
Для подтверждения положительной определенности матрицы К  достаточно 
проверить положительность радиканда в равенстве (36), то есть выполнение условия k−1
s – половина ширина ленты без учета диагонального элемента. При j = k выражение (34) может быть записано в виде
k−1
tkk=kkk− t2,k=1,2,…,m.
ik
kk
ik (37) i=i0

 i=i0
k  t2 (k=1,2,…,m).
При этом не требуется решения обобщенной проблемы собственных значений для матриц. Высокая точность используемого подхода к оценке устойчивости про- иллюстрирована на примере оптимизации сжатой стойки.
Эволюционная оптимизация стержневых конструкций с затяжками осуществ- лялась с использованием ряда положений подхода к генетическому алгоритму науч- ного руководителя с соавторами. В вычислительной схеме учитывается основная популяция A , имеющая фиксированный размер Nh хромосомы, и вспомогательная
популяция B элитных особей, размер которой зависит от результатов работы гене- тического алгоритма, но не превышает Nh . Популяция B используется для сохра-
нения эффективного генетического материала, принимаемого во внимание при по- полнении популяции A . Учет ограничений осуществляется путем простого отсеи-
вания неработоспособных вариантов конструкции. Применяется подход к мутации, обеспечивающий случайную замену значений параметров с чередованием выбора из ближайших по номеру в хромосоме вариантов и из элементов, произвольно распо- ложенных в хромосоме. Кроссинговер реализуется по одноточечной схеме.
Возможность обеспечения с помощью разработанной вычислительной проце- дуры поиска оптимальных решений для объектов рассматриваемого типа подтвер-
ждена на известном тесте Н.П. Абовского для балки, предварительно напрягаемой гибкой затяжкой. На основе численных экспериментов для плоской фермы подобра- ны рациональные значения управляющих параметров предложенной схемы эволю- ционного поиска.
В четвертой главе представлены результаты применения разработанных вы- числительных процедур для решения задач оптимального проектирования ряда предварительно напряженных конструкций. Полагалось, что оптимизация осу- ществляется для конструкций, по которым принято условие предварительного
напряжения. Соответственно в целевой функции не использовались величины k
. В исходных данных для части задач допускалась возможность отсутствия
каждого из канатов, но по итогам расчетов оставалась хотя бы одна предварительно
напряженная затяжка. Учитывались классы материалов, отвечающие требованиям строительных норм и правил. Приведем информацию о некоторых из рассмотрен- ных примеров.
Оптимальный поиск для плоской фермы с определением структуры стерж-
невой системы. Для фермы, избыточная топология которой приведена на рисун-
ке 9, а, выбирались структура, сценарии и величины силовых воздействий, профили
стержней и диаметры канатов, классы материалов стержней. В качестве полезной
нагрузки учитывалась группа сосредоточенных сил Р , Р = Р 2 при нормативном 121
значении Р = 25 кН. Ферма раскреплена из своей плоскости по узлам поясов. При- 1
нималось, что стержни изготовлены из круглых труб. Всего предусматривалась воз- можность выбора из 18-ти вариантов профилей. Для вариации материалов стержней учитывались стали С255 и С345. Задавались 33 группы стержней по поперечным се- чениям и 5 групп стержней по материалам. Для каждого из канатов T1 , T2 выбор
осуществлялся из 36-ти вариантов пар ( DТj ; Тj ). Всего принималось во внимание 42 сценария силовых воздействий на ферму. Порядок воздействий рассматривался при
ko = 2 , to = 1 по следующему шаблону:
V=1 (n , )(n , )K T;V=0 (n , )(n , )K T. (38)
а
б
Рисунок 9 – Ферма: а – избыточная структура; б – структура для наилучшего решения
1 1(1) 1(1) 2(1) 2(1) p1(1) 2 1(2) 1(2) 2(2) 2(2) p1(2)
,
МA
,МB

Данный шаблон показывает, что первоначально принимаются во внимание силы тяжести объекта, затем может осуществляться последовательное натяжение канатов и приложение части полезной нагрузки. Далее предусмотрена возможность донатяжения канатов и учета оставшейся части полезной нагрузки. Хромосома со- держала такую информацию:
G=ПП…П (D;)(D;)…, (39)  1 2 33 T T T T 1 2 5
1122 где  – номер сценария воздействия на конструкцию.
Избыточная система разделялась на 890 конечных элементов для стержней и канатов. Получившаяся топология для наилучшего варианта конструкции приведена на рисунке 9, б. Вычислительный процесс оставил обе затяжки. Был выбран сцена- рий силовых воздействий с двухкратным натяжением каждого из канатов и двух- этапным приложением полезной нагрузки. Структура стержневой системы в цен- тральной части соответствует классической схеме фермы. Для приопорных частей было удалено четыре стойки и оставлено шесть узлов вне поясов. Для всех стержней в результате расчета принята сталь С255. График сходимости процесса оптимизации для этого варианта конструкции приведен на рисунке 10. К 844-й итерации было по- лучено значение целевой функции 29847 кг. В дальнейшем до 2000-й итераций эта величина не корректировалась.
Рисунок 10 – График сходимости эволюционного процесса
Плоская ферма с фиксирован- ной структурой стержневой си- стемы. Выполнялось оптимальное проектирование для плоской фермы на двух опорах, раскрепленной из своей плоскости по узлам (рису- нок 11). Полезная нагрузка пред- ставлялась системой сосредоточен- ных сил, приложенных к верхнему поясу, где расчетная величина
Р = 30 кН. Предусматривалось изго- товление стержней из круглых труб. Материал стержней – сталь С245.
Учитывалось 17 групп стержней, для каждой из которых мог использоваться только один из профилей. Выбор осуществлялся из 17-ти вариантов профилей. Пары чисел ( DТj ; Тj ) для любого из канатов выбирались из 36-ти вариантов. Для каждого
стержня и каната вводилось по одному конечному элементу. Порядок воздействий принимался в соответствии с зависимостями (38).
Рисунок 11 – Плоская большепролетная ферма: 1 – стержни; 2 – затяжки

В результате оптимизации для наилучшего по значению целевой функции ва- рианта конструкции была оставлена только одна затяжка T1 и выбрано два возмож-
ных сценария воздействий, каждый из которых предусматривает двухэтапное при- ложение полезной нагрузки. В одном из сценариев используется двухкратное пред- напряжение каната, в другом – первоначальное введение каната без существенного преднапряжения и его преднапряжение между этапами воздействий от полезной нагрузки. Приведенная масса несущей системы при этом составила 9544 кг.
Рисунок 12 – Пространственная рама: 1 – стержни; 2 – затяжки
Пространственная рама с затяжками. Рассматривалась ра- ма (рисунок 12), несущая полез- ные распределенные нагрузки со следующими расчетными значе- ниями: q1 = 12 кН/м; q2 = 20 кН/м;
q3 = 11,3 кН/м; q4 = 19 кН/м; q5 =15,7 кН/м; q6 =30кН/м; q7 =15 кН/м; q8 =26 кН/м. Полага-
лось, что стержни изготавливают- ся из круглых труб. Материал стержней – сталь С255. Варьиро- вались профили поперечных сече- ний стержней, диаметры канатов, силы предварительного натяжения в канатах, а также расположения
по отрезкам ab, cd, ef и gh мест соединения канатов с нижними ригелями. Стержни по профилям поперечных сечений разделялись на 6 групп, для каждого каната рас- сматривался 31 возможный вариант пар ( DТj ; Тj ). Воздействия принимались в сле-
дующей последовательности: силы тяжести конструкции; поочередное преднапря- жение канатов Т1 – Т4 ; полезная нагрузка. Объект разделялся на 136 конечных эле-
ментов. В результате оптимального поиска были оставлены затяжки Т1, Т2 и Т4 с выбором соответственно точек d, a и e присоединения к стержням. Получено значе-
ние М
Случай учета аварийной ситуации. Выполнялась оптимизация плоской сталь-
ной фермы, совпадающей по общей схеме конструкции, полезной нагрузке, аварий- ной ситуации, порядку силовых воздействий, материалам с рассматриваемой во вто- рой главе динамической задачей (см. рисунок 6). Принималось, что стержни изго- товлены из круглых труб. Материал стержней фермы – сталь С245. Стержни объ- единялись в 14 групп по поперечным сечениям. Для расчета в статической и дина- мической постановках поврежденной конструкции было первоначально задано зна- чение динамического коэффициента 1,3. Чередовались шаги оптимизации и оценок динамического коэффициента. Этот коэффициент получался последовательно 1,13; 1,23; 1,20; 1,18; 1,17. Далее его значение сколько-нибудь существенно не корректи- ровалось. В процессе итогового эволюционного поиска было достигнуто значение
=10170 кг.
М
=5090 кг.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработана методика постановки и решения задач оптимального проекти- рования стержневых конструкций, предварительно напрягаемых с помощью гибких затяжек, на основе эволюционного поиска. В общем случае предусмотрен ком- плексный выбор топологии основной несущей системы и затяжек, сил предвари- тельного напряжения, последовательности преднапряжения и приложения эксплуа- тационных нагрузок, профилей стержней, площадей поперечных сечений затяжек, координат узлов точек присоединения затяжек к стержням, классов материалов. В активных ограничениях учтена возможность обеспечения геометрической неизме- няемости, прочности, жесткости и устойчивости деформируемых объектов, а также недопущения для конструкций повышенного уровня ответственности и нормального уровня ответственности с массовым пребыванием людей общих разрушений при локальных аварийных воздействиях.
2. Разработан алгоритм расчета методом конечных элементов предварительно напряженных стержневых конструкций с гибкими затяжками с учетом возможности использования многократного натяжения каждой из затяжек и чередования этапов преднапряжения и приложения долей эксплуатационных нагрузок. Принималась во внимание конструктивная нелинейность, связанная с введением в расчетную схему новых затяжек.
3. Предложен алгоритм конечноэлементного моделирования в геометрически и конструктивно нелинейной постановке динамики стержневых конструкций, пред- варительно напряженных с помощью гибких затяжек, при возникновении аварийной ситуации в виде мгновенного разрушения стержня или затяжки. Рассматривалась конструктивная нелинейность, обусловленная включением новых затяжек в несу- щую систему, предоставлением возможности их работы только на растяжение и мо- делированием мгновенной структурной перестройки.
4. Предложен подход к проверке общей устойчивости стержневых конструк- ций, включая устойчивость отдельных стержней, без решения обобщенной пробле- мы собственных значений.
5. Установлены путем численных экспериментов рациональные значения управляющих параметров реализованной эволюционной схемы.
6. Подтверждена на основе известных тестовых задач работоспособность предлагаемых алгоритмов.
7. Проиллюстрированы возможности получения с помощью разработанных вычислительных схем эффективных конструктивных решений с выбором режимов силовых воздействий на примерах оптимизации подвергаемых предварительному напряжению плоских ферм и пространственной рамы.
Перспективы дальнейшей разработки темы. Дальнейшие исследования бу- дут направлены на разработку алгоритмов оптимального проектирования вантовых предварительно напряженных конструкций.