Полиномиальная интерполяция на симплексах : диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук : 01.01.01

📅 2018 год
Байдакова, Н. В.
Бесплатно
В избранное
Работа доступна по лицензии Creative Commons:«Attribution» 4.0

Список обозначений 3

Введение 6

Глава 1. Константа и функция Лебега для интерполяционных
многочленов Лагранжа на d -симплексах 47
§ 1.1. Порядок роста констант Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 1.2. Оценка снизу функции Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Глава 2. Оценки погрешности аппроксимации производных
в случаях простой и кратной интерполяции
на треугольниках и тетраэдрах 76
§ 2.1. Оценки сверху для простых конечных элементов . . . . . . . 76
§ 2.2. Оценки снизу для простых конечных элементов . . . . . . . 119
§ 2.3. Оценки сверху для составного конечного элемента . . . . . . 139
§ 2.4. Оценки снизу для составных конечных элементов . . . . . . 150

Глава 3. Об оценках погрешности аппроксимации производ-
ных в случае интерполяции Лагранжа на d -симплексах 165
§ 3.1. Новая геометрическая характеристика симплекса и ее срав-
нение с характеристикой П. Жамэ . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 3.2. Оценки снизу погрешности аппроксимации производных . . 172
§ 3.3. Линейная интерполяция на тетраэдре . . . . . . . . . . . . . 194

Заключение 198

Список литературы 200

Предметом изучения диссертации являются вопросы, связанные с по-
линомиальной интерполяцией и аппроксимацией функций многих пере-
менных на d -симплексе в равномерной норме (рассматриваются случаи
d = 2, 3 или d ∈ N ). Способы интерполяции на произвольном симплек-
се выбираются таким образом, чтобы результирующий сплайн, определен-
ный на триангулированной области, обладал свойством непрерывности или
гладкости порядка m, m ≥ 1 (под сплайном мы понимаем функцию, ко-
торая на каждом симплексе из триангуляции области Ω является алгеб-
раическим многочленом, причем эти многочлены задаются таким образом,
чтобы результирующая кусочно-полиномиальная функция на всей области
обладала свойством непрерывности или гладкости заданного порядка; под
гладкостью порядка m — существование и непрерывность всех производ-
ных до порядка m включительно). В первой и третьей главах рассматри-
вается интерполяция Лагранжа (интерполируются значения приближае-
мой функции) в равномерных узлах симплекса. Такой выбор интерполяци-
онных условий часто используется в методе конечных элементов, но может
также представлять самостоятельный интерес как способ аппроксимации
функции. Во второй главе рассмотрен ряд способов интерполяции Эрмита
и Биркгофа (интерполируются значения приближаемой функции и значе-
ния ее производных: последовательных — в случае интерполяции Эрмита,
и с пропусками — в случае интерполяции Биркгофа) с интерполяцией про-
изводных высокого порядка в связи с изучением возможности применения
соответствующих сплайнов, построенных на триангулированой исходной
области, в методе конечных элементов.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
Для интерполяционного процесса Лагранжа исходной функции по рав-
номерным узлам d -симплекса многочленами степени не выше n по сово-
купности переменных найден точный порядок роста констант Лебега Ldn
по n при фиксированном d . Получена поточечная оценка снизу для верх-
него предела последовательности функций Лебега для указанного интер-
поляционного процесса.
Предложен ряд способов интерполяции функции f ∈ W n+1 M (∆) при
d = 2, 3 , позволяющих получать непрерывные или гладкие сплайны на
триангулированной области. Для построенных таким образом простых (не
составных) конечных элементов получены оценки аппроксимации величин
d
En,s , являющиеся более точными, чем оценки в случаях известных ранее
d
способов интерполяции. Аналогичная задача оценки величины En,s решена
для составного элемента типа Сие-Клафа-Точера при d = 2 с выбором
дополнительной точки в центре вписанной окружности треугольника.
Показано, что требование гладкости результирующей кусочно-
полиномиальной функции на триангулированой области не позволяет
полностью исключить ”условие наименьшего угла” треугольников из
требований к триангуляции, если необходимо аппроксимировать производ-
ные порядка два и выше на множестве функций W n+1 M . Рассмотрены
простые и составные конечные элементы.
Введена новая характеристика d -симплекса, позволяющая контролиро-
вать качество триангуляции и являющаяся более простой для вычисления
и использования на практике, чем классическая характеристика П. Жамэ.
С помощью этой характеристики доказано, что в случае интерполяции
Лагранжа по равномерным узлам d -симплекса оценки П.Жамэ являются
близкими к оптимальным и должны приниматься во внимание при иссле-
довании и использовании величины Edn,s .
Полученные результаты могут использоваться при решении краевых
задач методом конечных элементов, позволяя, в частности, накладывать
меньшие ограничения на триангуляцию исходной области.

[1] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, попол-
ненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собра-
ния задач, снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко.
М.: Наука, 1968. 912 с.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?
Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

    Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных и с правилами пользования Платформой

    Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

    Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее
    Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее
    Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее
    Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

    Хочешь уникальную работу?

    Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

    Логик Ф. кандидат наук, доцент
    4.9 (826 отзывов)
    Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские дисс... Читать все
    Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские диссертации, рефераты, контрольные) уже много лет. Качество работ гарантирую.
    #Кандидатские #Магистерские
    1486 Выполненных работ
    Петр П. кандидат наук
    4.2 (25 отзывов)
    Выполняю различные работы на заказ с 2014 года. В основном, курсовые проекты, дипломные и выпускные квалификационные работы бакалавриата, специалитета. Имею опыт напис... Читать все
    Выполняю различные работы на заказ с 2014 года. В основном, курсовые проекты, дипломные и выпускные квалификационные работы бакалавриата, специалитета. Имею опыт написания магистерских диссертаций. Направление - связь, телекоммуникации, информационная безопасность, информационные технологии, экономика. Пишу научные статьи уровня ВАК и РИНЦ. Работаю техническим директором интернет-провайдера, имею опыт работы ведущим сотрудником отдела информационной безопасности филиала одного из крупнейших банков. Образование - высшее профессиональное (в 2006 году окончил военную Академию связи в г. Санкт-Петербурге), послевузовское профессиональное (в 2018 году окончил аспирантуру Уральского федерального университета). Защитил диссертацию на соискание степени "кандидат технических наук" в 2020 году. В качестве хобби преподаю. Дисциплины - сети ЭВМ и телекоммуникации, информационная безопасность объектов критической информационной инфраструктуры.
    #Кандидатские #Магистерские
    33 Выполненных работы
    Вики Р.
    5 (44 отзыва)
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написан... Читать все
    Наличие красного диплома УрГЮУ по специальности юрист. Опыт работы в профессии - сфера банкротства. Уровень выполняемых работ - до магистерских диссертаций. Написание письменных работ для меня в удовольствие.Всегда качественно.
    #Кандидатские #Магистерские
    60 Выполненных работ
    Мария А. кандидат наук
    4.7 (18 отзывов)
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет... Читать все
    Мне нравится изучать все новое, постоянно развиваюсь. Могу написать и диссертацию и кандидатскую. Есть опыт в различных сфера деятельности (туризм, экономика, бухучет, реклама, журналистика, педагогика, право)
    #Кандидатские #Магистерские
    39 Выполненных работ
    Татьяна М. кандидат наук
    5 (285 отзывов)
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    Специализируюсь на правовых дипломных работах, магистерских и кандидатских диссертациях
    #Кандидатские #Магистерские
    495 Выполненных работ
    AleksandrAvdiev Южный федеральный университет, 2010, преподаватель, канд...
    4.1 (20 отзывов)
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.
    #Кандидатские #Магистерские
    28 Выполненных работ
    Шагали Е. УрГЭУ 2007, Экономика, преподаватель
    4.4 (59 отзывов)
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и... Читать все
    Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и диссертаций, Есть любимые темы - они дешевле обойдутся, ибо в радость)
    #Кандидатские #Магистерские
    76 Выполненных работ
    Мария М. УГНТУ 2017, ТФ, преподаватель
    5 (14 отзывов)
    Имею 3 высших образования в сфере Экологии и техносферной безопасности (бакалавриат, магистратура, аспирантура), работаю на кафедре экологии одного из опорных ВУЗов РФ... Читать все
    Имею 3 высших образования в сфере Экологии и техносферной безопасности (бакалавриат, магистратура, аспирантура), работаю на кафедре экологии одного из опорных ВУЗов РФ. Большой опыт в написании курсовых, дипломов, диссертаций.
    #Кандидатские #Магистерские
    27 Выполненных работ
    Алёна В. ВГПУ 2013, исторический, преподаватель
    4.2 (5 отзывов)
    Пишу дипломы, курсовые, диссертации по праву, а также истории и педагогике. Закончила исторический факультет ВГПУ. Имею высшее историческое и дополнительное юридическо... Читать все
    Пишу дипломы, курсовые, диссертации по праву, а также истории и педагогике. Закончила исторический факультет ВГПУ. Имею высшее историческое и дополнительное юридическое образование. В данный момент работаю преподавателем.
    #Кандидатские #Магистерские
    25 Выполненных работ

    Другие учебные работы по предмету

    Многомерные периодические системы всплесков
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    Два сюжета из гармонического анализа: квадратичные функции и задача об изоморфизме
    📅 2021год
    🏢 ФГБУН Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук