Полиномиальная интерполяция на симплексах : диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук : 01.01.01

Список обозначений 3

Введение 6

Глава 1. Константа и функция Лебега для интерполяционных
многочленов Лагранжа на d -симплексах 47
§ 1.1. Порядок роста констант Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 1.2. Оценка снизу функции Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Глава 2. Оценки погрешности аппроксимации производных
в случаях простой и кратной интерполяции
на треугольниках и тетраэдрах 76
§ 2.1. Оценки сверху для простых конечных элементов . . . . . . . 76
§ 2.2. Оценки снизу для простых конечных элементов . . . . . . . 119
§ 2.3. Оценки сверху для составного конечного элемента . . . . . . 139
§ 2.4. Оценки снизу для составных конечных элементов . . . . . . 150

Глава 3. Об оценках погрешности аппроксимации производ-
ных в случае интерполяции Лагранжа на d -симплексах 165
§ 3.1. Новая геометрическая характеристика симплекса и ее срав-
нение с характеристикой П. Жамэ . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 3.2. Оценки снизу погрешности аппроксимации производных . . 172
§ 3.3. Линейная интерполяция на тетраэдре . . . . . . . . . . . . . 194

Заключение 198

Список литературы 200

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
Для интерполяционного процесса Лагранжа исходной функции по рав-
номерным узлам d -симплекса многочленами степени не выше n по сово-
купности переменных найден точный порядок роста констант Лебега Ldn
по n при фиксированном d . Получена поточечная оценка снизу для верх-
него предела последовательности функций Лебега для указанного интер-
поляционного процесса.
Предложен ряд способов интерполяции функции f ∈ W n+1 M (∆) при
d = 2, 3 , позволяющих получать непрерывные или гладкие сплайны на
триангулированной области. Для построенных таким образом простых (не
составных) конечных элементов получены оценки аппроксимации величин
d
En,s , являющиеся более точными, чем оценки в случаях известных ранее
d
способов интерполяции. Аналогичная задача оценки величины En,s решена
для составного элемента типа Сие-Клафа-Точера при d = 2 с выбором
дополнительной точки в центре вписанной окружности треугольника.
Показано, что требование гладкости результирующей кусочно-
полиномиальной функции на триангулированой области не позволяет
полностью исключить ”условие наименьшего угла” треугольников из
требований к триангуляции, если необходимо аппроксимировать производ-
ные порядка два и выше на множестве функций W n+1 M . Рассмотрены
простые и составные конечные элементы.
Введена новая характеристика d -симплекса, позволяющая контролиро-
вать качество триангуляции и являющаяся более простой для вычисления
и использования на практике, чем классическая характеристика П. Жамэ.
С помощью этой характеристики доказано, что в случае интерполяции
Лагранжа по равномерным узлам d -симплекса оценки П.Жамэ являются
близкими к оптимальным и должны приниматься во внимание при иссле-
довании и использовании величины Edn,s .
Полученные результаты могут использоваться при решении краевых
задач методом конечных элементов, позволяя, в частности, накладывать
меньшие ограничения на триангуляцию исходной области.

[1] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, попол-
ненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собра-
ния задач, снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко.
М.: Наука, 1968. 912 с.