Полулинейные вырожденные эволюционные уравнения с дробными производными. Задачи оптимального управления

Во введении описаны актуальность темы исследования, историография во-
проса, постановка задачи, новизна полученных результатов, их теоретическая
и практическая значимость, методы исследования, выносимые на защиту по-
ложения, степень достоверности и апробации, краткое содержание работы.
Цель первой главы — вывод условий разрешимости в классическом
смысле начальных задач для уравнения
Dtα Lx(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t)),(1)
где 0 ≤ α1 < α2 < · · · < αn < α, m−1 < α ≤ m ∈ N, mk −1 < αk ≤ mk ∈ N, k = 1, 2, . . . , n, Dtα , Dtα1 , . . . Dtαn — дробные производные Герасимова — Капуто, X , Y — банаховы пространства, L ∈ L(X ; Y) (линейный ограниченный оператор из X в Y), ker L 6= {0}, M ∈ Cl(X ; Y) (линейный замкнутый оператор, плотно определенный в X , действующий в Y), N : R × X n → Y. В §1.1, 1.2 содержатся предварительные сведения, определение произ- αm m−αm−1 (k) z(t) − k=0 z (t0 )g̃k+1 (t) , P водной Герасимова — Капуто: Dt z(t) = Dt Jt Rt(t−s)β−1 g̃β (t) = gβ (t − t0 ), Γ(β) — гамма-функция в точке β, Jtβ z(t) =Γ(β) z(s)ds, t0 t > t0 . В §1.3 рассматривается невырожденное уравнение (1), т. е. при X =
Y = Z, L = I. Пусть Z — открытое множество в R × Z n , B : Z → Z,
m − 1 < α ≤ m ∈ N, zk ∈ Z, k = 0, 1, . . . , m − 1. Рассмотрим задачу Коши Dtα z(t) = Az(t) + B(t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t)),(2) (k) z (t0 ) = zk , k = 0, 1, . . . , m − 1.(3) Под решением задачи (2), (3) на отрезке t ∈ [t0 , t1 ] будем понимать m−1 функцию z ∈ C m−1 ([t0 , t1 ]; Z), такую, что Jtm−α z −z (k) (t0 )g̃k+1∈ C m ([t0 , t1 ]; Z), P k=1 (t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t)) ∈ Z для любого t ∈ [t0 , t1 ], выполняются ра- венства (2) при t ∈ [t0 , t1 ] и (3). Используя начальные данные z0 , z1 , . . . , zm−1 , определим многочлен Тей- zm−1 лора z̃ = z0 + z1!1 (t − t0 ) + z2!2 (t − t0 )2 + · · · + (m−1)!(t − t0 )m−1 и элементы z̃1 = Dtα1 |t=t0 z̃(t), z̃2 = Dtα2 |t=t0 z̃(t), . . . , z̃n = Dtαn |t=t0 z̃(t). Далее линия над символом будет обозначать набор из n элементов — фазовых переменных нели- нейного оператора, например, z̄ := (z1 , z2 , . . . , zn ). Теорема 1. Пусть A ∈ L(Z), множество Z открыто в R × Z n и отоб- ражение B ∈ C(Z; Z) локально липшицево по z̄, тогда для всех z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z, таких, что (t0 , z̃1 , z̃2 , . . . , z̃n ) ∈ Z, существует t1 > t0 , такое, что
задача (2), (3) имеет единственное решение на [t0 , t1 ].
В четвертом параграфе с помощью редукции к соответствующей началь-
ной задаче исследуется однозначная разрешимость начально-краевой задачи
для одной модификации псевдопараболического уравнения Осколкова – Бен-
джамина – Бона – Махони – Бюргерса:
∂kw
(x, t0 ) = wk (x), k = 0, 1, . . . , m − 1, x ∈ (a, b),(4)
∂tk∂w∂w
w(a, t) = w(b, t),(a, t) =(b, t), t ≥ t0 ,(5)
∂xδ
∂xε
Dtα w − Dtα wxx = βwxx + γwx − Dtα1 w (Dtα2 wx , x ∈ (a, b), t ≥ t0 , (6)

где a, b, β, γ, δ, ε ∈ R, a < b, 0 ≤ α1 < α2 ≤ m − 1 < α ≤ m ∈ N. Пусть X = {v : H 2 (a, b) : v(a) = v(b), v 0 (a) = v 0 (b)}, Y = L2 (a, b), на X ∂2∂2∂δ ε2 заданы операторы L = 1− ∂x2 , M = β ∂x2 +γ ∂x , N (v1 , v2 ) = −v1 v2x , Z = R ×X . По теореме 1 получаем следующий результат. Теорема 2. Пусть δ, ε ≥ 1, wk ∈ X , k = 0, 1, . . . , m−1. Тогда для некоторого t1 > t0 существует единственное решение задачи (4)–(6) на отрезке [t0 , t1 ].
При дальнейшем рассмотрении потребуются условия дополнительной глад-
кости решения невырожденного уравнения, полученные в пятом параграфе.
Теорема 3. Пусть α > 1, 0 ≤ α1 < α2 < · · · < αn ≤ m − 2, A ∈ L(Z), Z — открытое множество в R × Z n , l ∈ N, B ∈ C l (Z; Z), z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z, такие, что (t0 , z̃1 , z̃2 , . . . , z̃n ) ∈ Z, для решения z задачи (2), (3) на [t0 , t1 ] при некотором t1 > t0 выполняются равенства
Dtmk +r z(t0 ) = 0, если mk > αk , k = 1, 2, . . . , n, r = 0, 1, . . . , l − 1,
Dtk |t=t0 [B(t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t))] = 0, k = 0, 1, . . . , l − 1.
Тогда решение задачи (2), (3) на [t0 , t1 ] принадлежит C m−1+l ([t0 , t1 ]; Z).
Далее рассматривается уравнение (1) в случае ker L 6= {0}, называемое
вырожденным. §1.6 содержит определение и свойства (L, p)-ограниченного
оператора. Пусть L ∈ L(X ; Y), M ∈ Cl(X ; Y), DM — область определения опе-
ратора M , снабженная нормой его графика. Определим L-резольвентное мно-
жество ρL (M ) := {µ ∈ C : (µL − M )−1 ∈ L(Y; X )} оператора M , его L-спектр
σ L (M ) := CρL (M ) и операторы RµL (M ) := (µL − M )−1 L, LLµ := L(µL − M )−1 .
Оператор M называется (L, σ)-ограниченным, если внешность круга некото-
рогорадиуса a > 0 лежит ρL (MR ). В такомслучае существуют проекторы P :=
RLL
2πi |µ|=a+1
Rµ (M )dµ, Q := 2πi |µ|=a+1 Lµ (M )dµ, которым соответствуют пред-
ставления пространств X = X 0 ⊕X 1 , Y = Y 0 ⊕Y 1 , где X 0 := ker P , X 1 := imP ,
Y 0 := ker Q, Y 1 := imQ. Обозначим Lk := L|X k , Mk := M |X k ∩DM , k = 0, 1. Ра-
нее доказано1 , что M1 ∈ L X 1 ; Y 1 , M0 ∈ Cl X 0 ; Y 0 , Lk ∈ L X k ; Y k , k = 0, 1,
существуют операторы M0−1 ∈ L Y 0 ; X 0 , L−1
1 1

1 ∈ L Y ; X . Оператор M назы-
вается (L, p)-ограниченным, если он (L, σ)-ограничен, а оператор G := M0−1 L0
нильпотентен степени p ∈ N0 := N ∪ {0}.
В §1.7 рассмотрено уравнение дробного порядка
Dtα Lx(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t)) + f (t),(7)
в случае imN ⊂ Y . Решением обобщенной задачи Шоуолтера — Сидорова
(P x)(k) (t0 ) = xk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(8)
для уравнения (7) является такое x ∈ C([t0 , t1 ]; DM ) ∩ C mn ([t0 , t1 ]; X ), что Lx ∈
m−1
m−1
([t0 , t1 ]; Y),Jtm−αLx −(Lx)(k) (t0 )g̃k+1∈ C m ([t0 , t1 ]; Y), для всех t ∈
P
C
k=0
[t0 , t1 ] t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t) ∈ X и выполнены (7) и (8).

Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators.
Utrecht; Boston: VSP. 216 p.
Теорема 4. Пусть p ∈ N0 , оператор M (L, p)-ограничен, X — открытое
множество в пространстве R × X n , отображение N ∈ C(X; Y) локаль-
но липшицево по x̄, imN ⊂ Y 1 , f ∈ C([t0 , T ]; Y) для некоторого T > t0 ,
(Dtα G)l M0−1 (I − Q)f ∈ C m ([t0 , T ]; X ), l = 0, 1, . . . , p, xk ∈ X 1 , k = 0, . . . , m − 1,
такие, что (t0 , x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n ∈ V := X ∩ (R × (X 1 )n ), при этом
(t0 , Dtα1 |t=t0 x̃ + w , Dtα2 |t=t0 x̃ + w , . . . , Dtαn |t=t0 x̃ + w ∈ X,

(9)
p
где w(t) = −(Dtα G)l M0−1 (I − Q)f (t). Тогда существует t1 ∈ (t0 , T ], такое,
P
l=0
что задача (7), (8) имеет единственное решение на отрезке [t0 , t1 ].
С помощью теоремы 3 о дополнительной гладкости изучим также уравне-
ние, в котором оператор L стоит за оператором дробного дифференцирования:
LDtα x(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t)) + f (t).(10)
Его решением на отрезке [t0 , t1 ] будем называть такое x ∈ C([t0 , t1 ]; DM ) ∩
m−1
m−1
([t0 , t1 ]; X ), чтоJtm−αx(t) −x(k) (t0 )g̃k+1 (t)∈ C m ([t0 , t1 ]; X ), для t ∈
P
C
k=0
α1α2αn
[t0 , t1 ]t, Dt x(t), Dt x(t), . . . , Dt x(t)∈ X и выполняется (10).
Теорема 5. Пусть p ∈ N0 , оператор M (L, p)-ограничен, X — открытое
множество в R × X n , отображение N ∈ C(X; Y) локально липшицево по
x, imN ⊂ Y 1 , для некоторого T > t0 f ∈ C([t0 , T ]; Y), (Dtα G)l M0−1 (I −
Q)f ∈ C m ([t0 , T ]; X ), l = 0, 1, . . . , p, xk ∈ X 1 , k = 0, 1, . . . , m − 1, такие,
что (t0 , x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n ∈ V, при этом выполняется условие (9). Тогда суще-
ствует такое t1 ∈ (t0 , T ], что задача (8), (10) имеет единственное решение
на отрезке [t0 , t1 ].
В §1.8 с помощью теоремы 5 установлена однозначная разрешимость од-
ной начально-краевой задачи для модельной системы уравнений с дробными
производными по времени в ограниченной области с гладкой границей.
Параграф 1.9 посвящен исследованию задачи Шоуолтера — Сидорова для
вырожденного уравнения (1) с нелинейным оператором, не зависящим от эле-
ментов подпространства X 0 , и с (L, 0)-ограниченным оператором M .
Теорема 6. Пусть mn ≤ m−12
, M (L, 0)-ограничен, X открытое множество
n
в R × X , N : X → Y; V := X ∩ (R × (X 1 )n ), для всех (t, z1 , z2 , . . . , zn ) ∈
X выполняется равенство N (t, z1 , z2 , . . . , zn ) = N1 (t, P z1 , P z2 , . . . , P zn ) при
некотором N1 : V → Y, отображение QN1 : V → Y локально липшицево
по x̄, (I − Q)N1 ∈ C mn (V ; Y). Тогда для xk ∈ X 1 , k = 0, 1, . . . , m − 1, для
которых (t0 , x̃1 , . . . , x̃n ) ∈ V , и таких, что xmk +r = 0, если mk > αk , k =
1, 2, . . . , n, r = 0, 1, . . . , mn − 1, найдется такое t1 > t0 , что задача (7), (8)
(при f ≡ 0) имеет единственное решение на [t0 , t1 ].
Полученные результаты использованы в §1.10 при исследовании начально-
краевой задачи для системы уравнений
∂kv
(x, 0) = ψk (x), x ∈ Ω, k = 0, 1, . . . , m − 1,(11)
∂tk
v(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × [t0 , T ),(12)
−χDtα ∆v = ν∆v − (v · ∇)v − vt − r + f, (x, t) ∈ Ω × [t0 , T ),(13)
∇ · v = 0, (x, t) ∈ Ω × [t0 , T ).(14)
При α = 1 это система уравнений Осколкова динамики вязкоупругой жидко-
сти. Здесь Ω ⊂ Rd — область с гладкой границей ∂Ω, χ, ν ∈ R. Вектор-функция
скорости v = (v1 , v2 , . . . , vd ) и градиента давления r = (r1 , r2 , . . . , rd ) не извест-
ны, функция f : Ω × [t0 , T ) → Rd — задана.
Теорема 7. Пусть χ 6= 0, α > 2, d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Тогда существует
единственное решение задачи (11)–(14).
Наконец, случаю зависимости нелинейного оператора только от элемен-
тов подпространства вырождения при (L, 0)-ограниченном операторе M и
приложениям соответствующих абстрактных результатов посвящены послед-
ние три параграфа главы. Рассмотрим начальную задачу
x(i) (t0 ) = xi , i = 0, 1, . . . , mn − 1, (P x)(j) (t0 ) = xj , j = mn , . . . , m − 1, (15)
Dtα Lx(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t)).(16)
Через [(I − Q)N ]xn (t, z1 , z2 , . . . , zn ) обозначим производную Фреше от опе-
ратора (I − Q)N по последнему аргументу xn в точке (t, z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ X.
Обозначим проектор вдоль X 1 на X 0 как P0 := I − P и W := X ∩ (R × (X 0 )n ).
Теорема 8. Пусть оператор M (L, 0)-ограничен, множество X открыто в
R×X n ; N ∈ C(X; Y), для всех (t, z1 , . . . , zn ) ∈ X выполняется N (t, z1 , . . . , zn ) =
N1 (t, P0 z1 , . . . , P0 zn ) для некоторого N1 ∈ C(W ; Y), (I − Q)N1 ∈ C 1 (W ; Y);
x1 , x2 . . . xmn −1 ∈ X , xmn , xmn +1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 , при этом биективно отобра-
жение M0−1 [(I − Q)N1 ]0xn (t, z1 , . . . , zn ) : X 0 → X 0 при всех (t, z1 , z2 , . . . , zn ) из
окрестности точки (t0 , Dtα1 |t=t0 x̃, Dtα2 |t=t0 x̃, . . . , Dtαn |t=t0 x̃) ∈ W, P0 x0 +M0−1 (I −
Q)N1 (t0 , Dtα1 |t=t0 P0 x̃, . . . , Dtαn |t=t0 P0 x̃) = 0. Тогда найдется такое t1 > t0 , что
задача (15), (16) имеет единственное решение на [t0 , t1 ].
В §1.12 в (0, 1) × [t0 , ∞), t0 ∈ R, рассмотрена начально-краевая задача
∂ iw
i
(s, t0 ) = vi (s), i = 0, 1, . . . , m2 − 1, s ∈ (0, 1),(17)
∂t
∂ j ∆w
(s, t0 ) = ∆vj (s), j = m2 , m2 + 1, . . . , m − 1, s ∈ (0, 1),(18)
∂tj∂w∂w
w(0, t) = w(1, t),(0, t) =(1, t), t ≥ t0 ,(19)
β
∂s∂s
Z1Z1
Dtα ∆w +Dtα1 w(s, t)dsDtα2 w(s, t)ds = 0, s ∈ (0, 1), t ≥ t0 .(20)
Здесь m − 1 < α ≤ m, 0 ≤ α1 < α2 < α, m2 − 1 < α2 ≤ m2 , β > 0. Обозначим
через h·, ·i скалярное произведение в пространстве L2 (0, 1). Возьмем X = {v ∈
H 2 (0, 1) : v(0) = v(1), v 0 (0) = v 0 (1)}, Y = L2 (0, 1).
Теорема 9. Пусть m − 1 < α ≤ m, 0 ≤ α1 < α2 ≤ m − 1, m2 − 1 < α2 ≤ m2 , β > 0, vk ∈ X , k = 0, 1, . . . , m − 1, hvj , 1i = 0, j = m2 , m2 + 1, . . . , m − 1,
Dtα1 t=t0 hṽ, 1i 6= 0, Dtα2 t=t0 hṽ, 1i = 0. Тогда при некотором t1 > t0 задача (17)–
(20) имеет единственное решение на множестве (0, 1) × [t0 , t1 ].
Во второй главе рассмотрены вопросы существования и единственности
сильного решения. Первый параграф посвящен предварительным результатам
о разрешимости задач для линейного уравнения дробного порядка.
Во втором параграфе доказывается существование решения задач для
нелинейного невырожденного уравнения. При m − 1 < α ≤ m ∈ N, n ∈ N рассмотрим задачу Коши для нелинейного дифференциального уравнения z (k) (t0 ) = zk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(21) Dtα z(t) = Az(t) + B(t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t)).(22) Сильным решением задачи (21), (22) будем называть функцию m−1 z ∈ C m−1 ([t0 , T ]; Z), для которой Jtm−α z −z (k) (t0 )g̃k+1∈ Wqm (t0 , T ; Z), P k=1 выполняется равенство (22) почти всюду на (t0 , T ) и условия (21). Лемма 1. Пусть A ∈ L(Z), B : (t0 , T ) × Z n → Z — каратеодориево отобра- жение, для всех y1 , y2 , . . . , yn ∈ Z и почти всюду на n (t0 , T ) X kB(t, y1 , y2 , . . . , yn )kZ ≤ a(t) + ckyk kZ(23) k=1 для некоторого a ∈ Lq (t0 , T ; R) и константы c > 0. Тогда функция z ∈
C m−1 ([t0 , T ]; Z) является сильным решением задачи (21), (22) в том и толь-
m−1
ко в том случае, когда для t ∈ [t0 , T ] z(t) =(t − t0 )k Eα,k+1 (A(t − t0 )α )zk +
P
Rtk=0
(t − s)α−1 Eα,α (A(t − s)α )B(s, Dtα1 z(s), Dtα2 z(s), . . . , Dtαn z(s))ds.
t0
Теорема 10. Пусть A ∈ L(Z), q > (α − m + 1)−1 , B : (t0 , T ) × Z n →
Z — каратеодориево отображение, равномерно липшицево по z, для всех
y1 , y2 , . . . , yn ∈ Z и почти всюду на (t0 , T ) выполнено (23); z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z.
Тогда задача (21), (22) имеет единственное сильное решение (t0 , T ).
Следствие 1. Пусть A ∈ L(Z), q > (α − m + 1)−1 , оператор-функции
Bk : (t0 , T ) → L(Z), k = 1, 2, . . . , n, измеримы и существенно ограничены
на (t0 , T ), f ∈ Lq (t0 , T ; Z), z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z. Тогда задача (21) для линей-
n
ного уравнения Dtα z(t) = Az(t) +Bk (t)Dtαk z(t) + f (t) имеет единственное
P
k=1
сильное решение на (t0 , T ).
В §2.3 полученные результаты применяются для изучения разрешимости
начально-краевой задачи
∂kw
(s, t0 ) = vk (s), k = 0, 1, . . . , m − 1, s ∈ (0, π),(24)
∂tk
2 w(0, t) = w(π, t) X= 0, t ∈ (t 0 , T ),(25)
n2
∂ w∂w

Dtα2
+ γw = δw +δl (t)Dtαl2
+ γl w ,(26)
∂sl=1
∂s
в (0, π) × (t0 , T ), где γ, γl , δ ∈ R, δl : (t0 , T ) → R, l = 1, 2, . . . , n, 0 ≤ α1 < α2 < · · · < αn ≤ m − 1 < α ≤ m ∈ N. Теорема 11. Пусть γ 6= b2 для всех b ∈ N, vk ∈ X , k = 0, 1, . . . , m − 1, δl : (t0 , T ) → R измеримы и существенно ограничены, l = 1, 2, . . . , n. Тогда существует единственное сильное решение задачи (24)–(26) на (t0 , T ). Как и в первой главе, возникает необходимость в дополнительной глад- кости уже сильных решений, такой результат получен в §2.4. Теорема 12. Пусть α > 1, q > (α−m+1)−1 , 0 ≤ α1 < α2 < · · · < αn ≤ m−2, A ∈ L(Z), l ∈ N, отображение B ∈ C l ([t0 , T ] × Z n ; Z) равномерно липшицево по z, длясильного решения z задачи (21), (22) выполняется Dtmk +r z(t0 ) = 0, если mk > αk , k = 1, 2, . . . , n, r = 0, 1, . . . , l − 1,
Dtk |t=t0 [B(t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t))] = 0, k = 0, 1, . . . , l − 1.
Тогда для всех z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ X единственное сильное решение z задачи
(21), (22) на (t0 , T ) удовлетворяет условию z ∈ C m−1+l ([t0 , T ]; Z).
В §2.5 рассматривается разрешимость задач для вырожденного уравне-
ния с ограничением на образ нелинейного оператора. Рассмотрим уравнение
Dtα Lx(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t)) + f (t).(27)
Решением обобщенной задачи Шоуолтера — Сидорова
(P x)(k) (t0 ) = xk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(28)
mn
для уравнения (27) называется функция x ∈ C ([t0 , T ]; X )∩L
m−1
q (t0 , T ; DM ), для
которой Lx ∈ C m−1 ([t0 , T ]; Y), Jtm−α Lx −(Lx)(k) (t0 )g̃k+1∈ Wqm (t0 , T ; Y)
P
k=0
и почти всюду на (t0 , T ) выполнено равенство (27) и условия (28).
Теорема 13. Пусть α > 0, q > (α − m + 1)−1 , p ∈ N0 , оператор M (L, p)-
ограничен, отображение N : (t0 , T ) × X n → Y каратеодориево и равномерно
липшицево по z ∈ X n , для всех z1 , z2 , . . . , zn ∈ X и nпочти всюду на (t0 , T )
X
kN (t, z1 , z2 , . . . , zn )kZ ≤ a(t) + ckzk kZ(29)
k=1
для некоторых a ∈ Lq (t0 , T ; R), c > 0, при этом N (t, z1 , z2 , . . . , zn ) ⊂ Y 1 .
Пусть Qf ∈ Lq (t0 , T ; Y), для всех k = 0, 1, . . . , p (Dtα G)k M0−1 (I − Q)f ∈
C mn ([t0 , T ]; X ) ∩ Lq (t0 , T ; DM ). Тогда при любых x0 , x1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 задача
(27), (28) имеет единственное сильное решение.
Рассмотрим полулинейное уравнение
LDtα x(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), Dtα2 x(t), . . . , Dtαn x(t)) + f (t), (30)
где N : (t0 , T ) × X n → Y — нелинейный оператор, f : (t0 , T ) → Y.
Функция x ∈ C m−1 ([t0 , T ]; X )∩Lq (t0 , T ; DM ) называется
сильным решени-
m−1
ем задачи (28), (30), если Jtm−α x −x(k) (t0 )g̃k+1∈ Wqm (t0 , T ; X ), выпол-
P
k=0
нены условия (28) и почти всюду на (t0 , T ) верно равенство (30).
Теорема 14. Пусть α > 0, q > (α − m + 1)−1 , p ∈ N0 , оператор M (L, p)-
ограничен, отображение N : [t0 , T ] × X n → Y каратеодориево, равномерно
липшицево по z̄ ∈ X n , для всех z1 , z2 , . . . , zn ∈ X и почти всюду на (t0 , T ) вы-
полнено неравенство (29) при некоторой функции a ∈ Lq (t0 , T ; R), константе
c > 0; imN ⊂ Y 1 . Пусть также Qf ∈ Lq (t0 , T ; Y), (GDtα )k M0−1 (I − Q)f ∈
C m−1 ([t0 , T ]; X ), Dtα (GDtα )k M0−1 (I − Q)f ∈ Lq (t0 , T ; X ) для всех k = 0, 1, . . . , p.
Тогда задача (28), (30) имеет единственное сильное решение на (t0 , T ).
В §2.6 доказывается теорема о разрешимости линейного уравнения
n
X
Dtα Lx(t)= M x(t) +Nk (t)Dtαk x(t) + f (t),t ∈ (t0 , T ).(31)
k=1
Теорема 15. Пусть α > 0, q > (α − m + 1)−1 , p ∈ N0 , оператор M (L, p)-
ограничен, Nk : (t0 , T ) → L(X ; Y), k = 1, 2, . . . , n, измеримы и существен-
но ограничены на (t0 , T ), imNk (t) ⊂ Y 1 для почти всех t ∈ (t0 , T ), Qf ∈
Lq (t0 , T ; Y), (Dtα G)k M0−1 (I − Q)f ∈ C mn ([t0 , T ]; X ) ∩ Lq (t0 , T ; DM ) для k =
0, 1, . . . , p; x0 , x1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 . Тогда задача (28), (31) имеет единственное
сильное решение.
В §2.7проиллюстрированэтот результат на примере задачи
n
∂2w∂2w
Dtαδl (t)Dtαl+ γl w , s ∈ (0, π), t ∈ (t0 , T ), (32)
P
∂s2
+ γw = δw +∂s2
l=1
∂k w
∂tk
(s, t0 )= vk (s),k = 0, 1, . . . , m − 1,s ∈ (0, π),(33)

∂k∂2w
∂tk∂s2
+ γw (s, t0 ) = vk (s),k = 0, 1, . . . , m − 1,s ∈ (0, π),(34)

Теорема 16. Пусть для всех l = 1, 2, . . . , n, γl = γ = b2 при b ∈ N, vk ∈
Rπ
L2 (0, π),vk (s) sin(bs)ds = 0, k = 0, 1, . . . , m − 1, δl : (t0 , T ) → R измеримы
и существенно ограничены, l = 1, 2, . . . , n. Тогда существует единственное
сильное решение задачи (32)–(34) на (t0 , T ).
Случай другого типа нелинейного оператора исследуется в §2.8.
Теорема 17. Пусть α > 0, q > (α − m + 1)−1 , оператор M (L, 0)-ограничен,
N : [t0 , T ]×X n → Y для всех z1 , z2 , . . . , zn ∈ X и почти всех t ∈ (t0 , T ) удовле-
творяет условию N (t, z1 , . . . , zn ) = N1 (t, P z1 , . . . , P zn ) при некотором отоб-
ражении N1 : [t0 , T ] × (X 1 )n → Y, таком, что QN1 ∈ C mn +1 ([t0 , T ] × (X 1 )n ; Y)
равномерно липшицево по z̄ ∈ (X 1 )n , (I − Q)N1 ∈ C m ([t0 , T ] × (X 1 )n ; Y),
x0 , x1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 , для решения задачи
α1α2
Dtα v(t) = L−1−1
1 M1 v(t) + L1 QN1 (t, Dt v(t), Dt v(t), . . . , Dt v(t)),
αn

v (k) (t0 ) = xk , k = 0, 1, . . . , m − 1,
выполняются равенства
если αk < mk , то v (mk +r) (t0 ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, r = 0, . . . , max{mn , m − 1}, Dtk |t=t0 [QN1 (t, Dtα1 v(t), Dtα2 v(t), . . . , Dtαn v(t))] = 0, k = 0, 1, . . . , mn . Тогда (28), (30) (при f ≡ 0) имеет единственное сильное решение на (t0 , T ). Следующий параграф посвящен однозначной разрешимости начально- краевой задачи для системы Соболева дробного порядка по времени ∂k v ∂tk (x, t0 ) = vk (x), x ∈ Ω, k = 0, 1, . . . , m − 1, (35) (x, t) ∈ ∂Ω × (t0 , T ), P vn (x, t) :=vi (x, t)ni (x) = 0,(36) i=1 Dtα v(x, t) = [v(x, t), ω] − r(x, t) + g(Dtα1 v), (x, t) ∈ Ω × (t0 , T ),(37) ∇ · v(x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω × (t0 , T ).(38) m−1 Теорема 18. Пусть 0 ≤ α1 ≤ m1 ≤ 2 < m − 1 < α ≤ m ∈ N {1}, q > (α − m + 1)−1 , g ∈ C ∞ (R; R), производная g 0 ограничена на R, vk ∈ Hσ ,
k = 0, 1, . . . , m − 1; если α1 < m1 , то xm1 +r = 0, r = 0, 1, . . . , m1 − 1. Тогда существует единственное сильное решение задачи (35)–(38). В десятом параграфе второй главы исследуются начально-краевые зада- чи для уравнений с многочленами от самосопряженного эллиптического опе- ратора, а в параграфе §2.11 — с многочленами нескольких переменных от операторов производныхs первого порядка s1 по пространственным переменным. i dj λj , ci , dj ∈ C, i = 0, 1, . . . , s, j = PP Пусть Ps (λ) =ci λ , Qs1 (λ) = i=0j=0 0, 1, . . . , s1 , cs , ds1 6= 0, s ≥ s1 . Кроме того, Ω ⊂ Rd — ограниченная область с гладкой границей ∂Ω, пучок операторов A, B1 , B2 , . . . , Br регулярно эллипти- чен2 , где|q| aq (x) ∂xq1∂∂xqw(x)aq ∈ C ∞ (Ω), P (Aw)(x) =2 ...∂xqd , |q|≤2r12d |q| blq (x) ∂xq1∂∂xqw(x)blq ∈ C ∞ (∂Ω), P (Bl w)(x) =2qd ,l = 1, 2, . . . , r, |q|≤rl12 ...∂xd q = (q1 , q2 , . . . , qd ) ∈ Nd0 , |q| = q1 +q2 +· · ·+qd . Пусть A1 ∈ Cl(L2 (Ω)), A1 w := Aw 2r с областью определения D(A1 ) = H{Bl} (Ω) — самосопряженный оператор с ограниченным справа спектром. Рассмотрим задачу в Ω × (t0 , T ) Ps (A)Dtα w = Qs1 (A)w + g(x, Ps (A)Dtα1 w, . . . , Ps (A)Dtαn w),(39) k Bl A w(x, t) = 0, k = 0, 1, . . . , s − 1, l = 1, 2, . . . , r, (x, t) ∈ ∂Ω × (t0 , T ), (40) Dtk Ps (A)w(x, t0 ) = wk (x), k = 0, 1, . . . , m − 1, x ∈ Ω.(41) Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. Теорема 19. Пусть q > (α − m + 1)−1 , mn ≤ m−12
, s ≥ s1 , спектр σ(A1 ) не
содержит нуля и общих корней многочленов Ps и Qs1 , g ∈ C ∞ (Ω × Rn ; R),
j > 4rd , все частные производные g порядка не больше, чем 2rj +1, ограничены
на Ω × Rn , hwl , ϕk i = 0 при Ps (λk ) = 0, l = 0, . . . , m − 1; если αk < mk , то wmk +r ≡ 0, r = 0, 1, . . . , mn − 1, k = 1, 2, . . . , n. Тогда существует сильное решение задачи (39)–(41). В третьей главе для систем управления, описываемых эволюционны- ми уравнениями с несколькими дробными производными, однозначная раз- решимость начальных задач для которых изучена во второй главе, иссле- дуются задачи с распределенным или стартовым управлением. В §3.1 вве- дены некоторые специальные пространства банаховозначных функций, обоб- щающие пространства Соболева, для которых сформулированы известные ре- зультаты о компактных вложениях, а также пространства функций, старшие дробные производные которых лежат в пространстве Лебега — Бохнера, в частности, Qα,q (t0 , T ; Z) := {z ∈ C m−1 ([t0 , T ]; Z) : Dtα z ∈ Lq (t0 , T ; Z)} , Zα,q := {x ∈ Lq (t0 , T ; DM ) ∩ C m−1 ([t0 , T ]; X ) : Dtα x ∈ Lq (t0 , T ; X )}. Для доказательства разрешимости исследуемых задач управления для нелинейных систем используется существование дополнительного рефлексив- ного банахова пространства Z1 или X1 , в которое компактно вложено рефлек- сивное банахово пространство Z или X соответственно. В §3.2 рассматривается задача распределенного управления Dtα z(t) = Az(t) + N (t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t)) + Bu(t), t ∈ (t0 , T ), (42) z (k) (t0 ) = zk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(43) u ∈ U∂ ,(44) J(z, u) → inf,(45) где 0 ≤ α1 < α2 < · · · < αn ≤ m − 1 < α ≤ m ∈ N, mk − 1 < αk ≤ mk ∈ N, k = 0, 1, . . . , n ∈ N, U — банахово пространство, B ∈ L(U; Z), U∂ — множество допустимых управлений — подмножество некоторого пространства функций управления U, J — функционал качества. Множеством допустимых пар W для задачи (42)–(45) будем называть та- кое множество пар (z, u), что z ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) является сильным решением задачи (42), (43) c u ∈ U∂ . Решения задачи оптимального управления (42)– (45) — это пары (ẑ, û) ∈ W, минимизирующие функционал стоимости. Коэрцитивность функционала J, означает, что для любого R > 0 множе-
ство {(z, u) ∈ W : J(z, u) ≤ R} ограничено в Qα,q (t0 , T ; Z) × U.
Теорема 20. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , q > (mk − αk )−1 при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, Z, Z1 — рефлексивные банаховы пространства, Z компактно вложено в Z1 , A ∈ L(Z), отображение N1 : (t0 , T ) × Z1n → Z1 каратеодориево и равномерно липшицево по z ∈ Z1n , N : (t0 , T ) × Z n → Z — сужение оператора N1 на (t0 , T ) × Z n действует в Z; выполняется условие (29); z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z. Предположим, что U∂ — непустое вы- пуклое замкнутое подмножество пространства Lq (t0 , T ; U), пространство Qα,q (t0 , T ; Z) непрерывно вложено в банахово пространство Y, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Wqm−2 (t0 , T ; Z1 ), функционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y×Lq (t0 , T ; U), коэрцитивный на пространстве Qα,q (t0 , T ; Z) × Lq (t0 , T ; U). Тогда существу- ет решение (ẑ, û) ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) × U∂ задачи (42)–(45). Наряду с каждым классом задач управления в работе рассмотрены ана- логичные задачи без учета затрат на управления или так называемые зада- чи жесткого управления, когда целевой функционал не зависит от функции управления u. В отличие от задачи с компромиссным функционалом, в за- дачах жесткого управления для доказательства разрешимости используется дополнительное условие ограниченности множества U∂ . Кроме того, резуль- таты о разрешимости каждого класса задач управления сопровождаются их использованием в задачах минимизации конкретных функционалов, в §3.2 это функционалы J(z, u) = kz − zd kqC1m−1 ([t0 ,T ];Z) + kDtα z − Dtα zd kqL2q (t0 ,T ;Z) + δku − ud kqL3q (t0 ,T ;U) → inf, q1q3 (46) J(z, u) = kz − zd kC m−1 ([t0 ,T ];Z) + δku − ud kLq (t0 ,T ;U) → inf,(47) m−1 где qi ≥ 1, i = 1, 2, 3, δ ≥ 0, zd ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) для (46) или zd ∈ C (t0 , T ; Z) для (47), ud ∈ Lq (t0 , T ; Z) — заданные функции. С помощью теоремы 20 при δ > 0 или соответствующей теоремы для задачи жесткого управления при
δ = 0 получен следующий результат.
Следствие 2. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , q > (mk − αk )−1 при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, Z, Z1 — рефлексивные банаховы пространства, Z компактно вложено в Z1 , A ∈ L(Z), отображение N1 : (t0 , T ) × Z1n → Z1 каратеодориево и равномерно липшицево по z ∈ Z1n , N : (t0 , T ) × Z n → Z — сужение оператора N1 на (t0 , T ) × Z n действует в Z; выполняется условие (29); z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z. Предположим, что U∂ — непустое выпуклое за- мкнутое подмножество в Lq (t0 , T ; U). Тогда при δ > 0 существует решение
(ẑ, û) ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) × U∂ задачи (42)–(44), (46). При δ = 0 утверждение
справедливо при дополнительном условии ограниченности множества U∂ в
пространстве Lq (t0 , T ; U).
В параграфе §3.3 доказывается теорема для линейной системы.
Теорема 21. Пусть α > 0, q > (α − m + 1)−1 , αn ≤ m − 1, A ∈ L(Z),
отображения Nk : (t0 , T ) → L(Z) измеримы и существенно ограничены на
(t0 , T ), k = 1, 2, . . . , n; z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z. Предположим, что U∂ — непу-
стое выпуклое замкнутое подмножество пространства Lq (t0 , T ; U), прост-
ранство Qα,q (t0 , T ; Z) непрерывно вложено в банахово пространство Y, функ-
ционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу
на Y×Lq (t0 , T ; U), коэрцитивный на пространстве Qα,q (t0 , T ; Z)×Lq (t0 , T ; U).
Тогда существует решение (ẑ, û) ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) × U∂ задачи (43)–(45) для
n
уравнения Dtα z(t) = Az(t) +Nk (t)Dtαk z(t) + Bu(t), t ∈ (t0 , T ). Если функ-
P
k=1
ционал J строго выпуклый на Y, то решение единственно.
В §3.4 исследованы нелинейные задачи для вырожденного уравнения
LDtα x(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), . . . , Dtαn x(t)) + Bu(t), t ∈ (t0 , T ). (48)
Функция состояния здесь ищется в пространстве
Zα,q (t0 , T ; X ) := Qα,q (t0 , T ; X ) ∩ Lq (t0 , T ; DM ).
Рассмотрены случаи принадлежности образа нелинейного оператора подпро-
странству Y 1 и его независимости от элементов подпространства вырождения.
Рассмотрим для системы (48) задачу оптимального управления
(P x)(k) (t0 ) = xk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(49)
u ∈ U∂ ,(50)
J(x, u) → inf .(51)
Теорема 22. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , q > (mk − αk )−1 при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, оператор M (L, p)-ограничен, x0 , x1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 , X , X1 — рефлексивные банаховы пространства, X компактно вложе- но в X1 , N1 : (t0 , T ) × X1n → Y — каратеодориево, равномерно липшице- во по z = (z0 , z1 , . . . , zn ) ∈ X1n отображение, N — сужение оператора N1 на (t0 , T ) × X n , N [(t0 , T ) × X n ] ⊂ Y 1 ; выполнено условие (29). Предполо- жим, что U∂ — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Lq (t0 , T ; U), существует такое u0 ∈ U∂ , что QBu0 ∈ Lq (t0 , T ; Y), для k = 0, 1, . . . , p (GDtα )k M0−1 (I−Q)Bu0 ∈ C m−1 ([t0 , T ]; X ), Dtα (GDtα )k M0−1 (I−Q)Bu0 ∈ Lq (t0 , T ; X ). Пространство Zα,q (t0 , T ; X ) непрерывно вложено в банахово про- странство Y, а оно в свою очередь, непрерывно вложено в пространство Wqm−2 (t0 , T ; X1 ); функционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и по- лунепрерывный снизу на Y × Lq (t0 , T ; U), коэрцитивный на Zα,q (t0 , T ; X ) × Lq (t0 , T ; U). Тогда существует решение (ẑ, û) ∈ Zα,q (t0 , T ; X ) × U∂ задачи (48)–(51). Теорема 23. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , q > (mk − αk )−1 при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, оператор M (L, 0)-ограничен, x0 , x1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 , X , X1 — рефлексивные банаховы пространства, X компактно вложено в пространство X1 , отображение N1 : [t0 , T ] × X1n → Y для почти всех t ∈ (t0 , T ) и всех z1 , z2 , . . . , zn ∈ X удовлетворяет условию N (t, z1 , . . . , zn ) = N2 (t, P z1 , . . . , P zn ) при некотором N2 ∈ C mn +1 ([t0 , T ] × (X 1 )n ; Y). Пусть QN2 равномерно липшицево по z̄ отображение, (I − Q)N2 ∈ C m ([t0 , T ] × (X 1 )n ; Y). Предположим, что U∂ — непустое выпуклое замкнутое подмножество про- странства Lq (t0 , T ; U), существует управление u0 ∈ U∂ , такое, что QBu0 ∈ C mn +1 ([t0 , T ]; Y), (I − Q)Bu0 ∈ C m ([t0 , T ]; Y), для каждого решения v задачи α1 Dtα v(t) = L−1−1αn−1 1 M1 v(t) + L1 QN2 (t, Dt v(t), . . . , Dt v(t)) + L1 QBu0 (t), v (k) (t0 ) = xk , k = 0, 1, . . . , m − 1, выполняются равенства если αk < mk , то v (mk +r) (t0 ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, r = 0, 1, . . . , m − 1, Dtk |t=t0 [L−1α1α2αn−1 1 QN2 (t, Dt v(t), Dt v(t), . . . , Dt v(t)) + L1 QBu0 (t)] = 0; Zα,q (t0 , T ; X ) непрерывно вложено в банахово пространство Y, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Wqm−2 (t0 , T ; X1 ); функционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y × Lq (t0 , T ; U), коэрцитивный на пространстве Zα,q (t0 , T ; X ) × Lq (t0 , T ; U). Тогда существу- ет решение (ẑ, û) ∈ Zα,q × U∂ задачи (48)–(51). Когда нелинейный оператор не является равномерно липшицевым, раз- решимость задачи оптимального управления удается доказать и в случае ло- кально липшицева оператора, если существует хотя бы одно допустимое управ- ление u0 , при котором разрешима соответствующая начальная задача. Соот- ветствующие теоремы доказаны в пятом параграфе главы. Теорема 24. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , αn ≤ m − 2, q > (mk − αk )−1
при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, Z, Z1 — рефлексивные банаховы простран- ства, Z компактно вложено в Z1 , A ∈ L(Z), z0 , z1 , . . . , zm−1 ∈ Z, отоб- ражение N1 : (t0 , T ) × Z1n → Z1 равномерно по t ∈ (t0 , T ) локально лип- шицево по z ∈ Z1n , N : (t0 , T ) × Z n → Z — сужение оператора N1 на (t0 , T ) × Z n действует в Z. Предположим, что U∂ — непустое выпуклое за- мкнутое подмножество пространства Lq (t0 , T ; U), при некотором u0 ∈ U∂ существует сильное решение задачи (42), (43); пространство Qα,q (t0 , T ; Z) непрерывно вложено в банахово пространство Y, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Wqm−2 (t0 , T ; Z1 ); функционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y × Lq (t0 , T ; U), коэрцитив- ный на пространстве Qα,q (t0 , T ; Z) × Lq (t0 , T ; U). Тогда существует решение (ẑ, û) ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) × U∂ задачи (42)–(45). В вырожденном случае аналогично, заменив условие равномерной лип- шицевости оператора N на условие равномерной по t ∈ (t0 , T ) локальной липшицевости, напрямую потребовав существования допустимой пары и отка- завшись от всех условий, которые в соответствующих теоремах третьей главы использовались только для доказательства этого существования, получим сле- дующее утверждение. Теорема 25. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , q > (mk − αk )−1 при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, оператор M (L, p)-ограничен, x0 , x1 , . . . , xm−1 ∈ X 1 , X , X1 — рефлексивные банаховы пространства, X компактно вложено в X1 , отображение N1 : (t0 , T ) × X1n → Y равномерно по t ∈ (t0 , T ) локаль- но липшицево по z ∈ X1n ; предположим, что U∂ — непустое выпуклое за- мкнутое подмножество пространства Lq (t0 , T ; U), для некоторого u0 ∈ U∂ существует сильное решение задачи (48), (49); пространство Zα,q (t0 , T ; X ) непрерывно вложено в банахово пространство Y, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Wqm−2 (t0 , T ; X1 ), функционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y × Lq (t0 , T ; U), коэрци- тивный на Zα,q (t0 , T ; X ) × Lq (t0 , T ; U). Тогда существует решение (ẑ, û) ∈ Zα,q (t0 , T ; X ) × U∂ задачи (48)–(51). В шестом параграфе третьей главы приведен пример задачи управления для одной системы уравнений дробной динамики вязкоупругой жидкости, в которой нелинейный оператор не является равномерно липшицевым, но рабо- тает предложенный в §3.5 подход. Пусть Ω ⊂ R3 — ограниченная область с гладкой границей ∂Ω. Рассмотрим систему a(1 − µ1 ∆)Dtα z − µ2 ∆z + a2 (Dtα1 z · ∇)Dtα1 z + b2 (z · ∇)z+ +ab[(Dtα2 z · ∇)z + (z · ∇)Dtα2 z] + r = u, (s, t) ∈ Ω × (t0 , T ),(52) ∇ · z = 0, (s, t) ∈ Ω × (t0 , T ),(53) z(x, t) = 0, (s, t) ∈ ∂Ω × (t0 , T ),(54) k Dt z(s, 0) = zk (s), k = 0, . . . , m − 1, s ∈ Ω,(55) которая при α = 2, α1 = α2 = 1 моделирует движение жидкости Кельви- (3) на — Фойгта порядка L = 1 (система уравнений (0.47) при условии µ0 α3,1 + µ1 α3,2 = 0 в работе3 ). Здесь s = (s1 , s2 , s3 ) — пространственные переменные, z = (z1 , z2 , z3 ) — функция памяти от вектора скорости, задаваемая его сверт- кой, r = ∇p — градиент давления жидкости. Константы a, b, µ1 , µ2 заданы. Пусть L2 = (L2 (Ω))3 , H1 = (W21 (Ω))3 , H2 = (W22 (Ω))3 . Замыкание линеала L = {v ∈ (C0∞ (Ω))3 : ∇ · v = 0} по ноpме L2 обозначим через Hσ , а по норме H1 — через H1σ . Будем использовать также обозначения H2σ = H1σ ∩ H2 , Hπ — оpтогональное дополнение к Hσ в L2 , Σ : L2 → Hσ , Π = I − Σ — соответству- ющие оpтопpоектоpы, H1π — оpтогональное дополнение к H1σ в H1 . Оператор A = Σ∆, продолженный до замкнутого оператора в простран- стве Hσ с областью определения H2σ . Обозначим через {λk } его собственные Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина — Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С. 126–164. значения, занумерованные по их невозрастанию с учетом кратности, а через {ϕk } — ортонормированную систему соответствующих собственных функций, которая образует базис в Hσ . Определим линеал E∞ всех вектор-функций ви- N vj ϕj , где vj ∈ R, j = 1, 2, . . . , N, N зависит от v. Обозначим через P да v = j=1!1/2 ∞ H3σ замыкание E∞ по норме|λk |3 |vk |2 P . Зададим пространства j=1 X = H3σ × H1π , X1 = H2σ × Hπ , Y = U = H1 = Hσ × Hπ . Пусть множество допустимых управлений U∂ состоит из вектор-функций u = (u1 (x), u2 (x), u3 (x)) ∈ H1 , удовлетворяющих условию kukH1 ≤ R.(56) Функционал стоимости при заданных zd ∈ Zα,q (t0 , T ; Hσ ), rd ∈ Zα,q (t0 , T ; H1π ), ud ∈ Lq (t0 , T ; H1 ), q > 1, δ ≥ 0 имеет вид
J(z, r, u) = kz−zd k2Zα,q (t0 ,T ;H3σ ) +kr−rd k2Zα,q (t0 ,T ;H1π ) +δku−ud k2Lq (t0 ,T ;H1 ) → inf . (57)
При таком выборе пространств задачу (52)–(55) можно свести к абстракт-
ной задаче (48), (49) с помощью операторов
a(I − µ1 A) Oµ2 A O
L=−aµ1 Π∆ O ∈ L(X ; Y), M = µ2 Π∆ −I ∈ L(X ; Y).
Нелинейный оператор N : (X1 )3 → Y задается формулой
N (t, v0 , v1 , v2 ) = −a2 (v1 · ∇)v1 − b2 (v0 · ∇)v0 − ab[(v2 · ∇)v0 + (v0 · ∇)v2 ].
Показано, что при a 6= 0, µ1 6= 0, µ−11 6∈ σ(A) опеpатоp M (L, 0)-огpаничен.
Зададим
(t − t0 )m−2(t − t0 )m−1
ψ(s, t) = z0 (s) + (t − t0 )z1 (s) + · · · +zm−2 (s) +zm−1 (s).
(m − 2)!(m − 1)!
Как и прежде, mi − 1 < αi ≤ mi ∈ N, i = 1, 2. Теорема 26. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , αi ≤ m − 2, q > (mi − αi )−1 при
αi < mi , i = 1, 2; a 6= 0, µ1 6= 0, µ−11 ∈/ σ(A), δ ≥ 0, zk ∈ H3σ , k = 0, 1, . . . , m − 1, ka(1 − µ1 ∆)Dtα ψ − µ2 ∆ψ + a2 (Dtα1 ψ · ∇)Dtα1 z+ +b2 (ψ · ∇)ψ + ab[(Dtα2 ψ · ∇)ψ + (ψ · ∇)Dtα2 ψ]kLq (t0 ,T ;H1 ) ≤ R. Тогда существует решение (ẑ, r̂, û) ∈ Zα,q (t0 , T ; X ) × U∂ задачи (52)–(57). В параграфе 3.7 исследуются задачи стартового управления для невы- рожденного полулинейного уравнения Dtα z(t) = Az(t) + B(t, Dtα1 z(t), Dtα2 z(t), . . . , Dtαn z(t)), t ∈ (t0 , T ),(58) (k) z (t0 ) = uk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(59) u = (u0 , u1 , . . . , um−1 ) ∈ U∂ ,(60) J(z, u) → inf .(61) −1−1 Теорема 27. Пусть α > 1, q > (α − m + 1) , q > (mk − αk ) при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, Z, Z1 — рефлексивные банаховы простран- ства, Z компактно вложено в Z1 , A ∈ L(Z), отображение B1 : (t0 , T ) × Z1n → Z1 каратеодориево и равномерно липшицево по z ∈ Z1n , B : (t0 , T ) × Z n → Z — сужение оператора B1 на (t0 , T ) × Z; выполняется условие (23). Предположим, что U∂ — непустое выпуклое замкнутое подмноже- ство пространства Z m , пространство Qα,q (t0 , T ; Z) непрерывно вложено в банахово пространство Y, которое, в свою очередь, непрерывно вложе- но в Wqm−2 (t0 , T ; Z1 ), функционал качества J выпуклый, ограниченный сни- зу и полунепрерывный снизу на Y × Z m , коэрцитивный на пространстве Qα,q (t0 , T ; Z) × Z m . Тогда существует решение (ẑ, û) ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) × U∂ задачи (58)–(61). Рассмотрена также задача без учета затрат на управление и задачи ми- нимизации функционалов J(z, u) = kz − zd kqC1m−1 ([t0 ,T ];Z) + kDtα z − Dtα zd kqL2q (t0 ,T ;Z) + δku − ud kqZ3m → inf, (62) J(z, u) = kz − zd kqC1m−1 ([t0 ,T ];Z) + δku − ud kqZ3m → inf,(63) где qi ≥ 1, i = 1, 2, 3, δ ≥ 0, zd ∈ Qα,q (t0 , T ; Z) для (62) или zd ∈ C m−1 (t0 , T ; Z) для (63), ud = (u0d , u1d , . . . , um−1 d) ∈ Z m заданы. В параграфе 3.8 исследуются задачи стартового управления для вырож- денного полулинейного уравнения LDtα x(t) = M x(t) + N (t, Dtα1 x(t), . . . , Dtαn x(t)) + f (t), t ∈ (t0 , T ),(64) (P x)(k) (t0 ) = uk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(65) u = (u0 , u1 , . . . , um−1 ) ∈ U∂ ,(66) J(x, u) → inf .(67) Теорема 28. Пусть α > 1, q > (α − m + 1)−1 , q > (mk − αk )−1 при αk < mk , k = 1, 2, . . . , n, αn ≤ m − 2, X , X1 — рефлексивные банаховы простран- ства, X компактно вложено в X1 , оператор M (L, p)-ограничен, отобра- жение N1 : (t0 , T ) × X1n → Y каратеодориево, равномерно липшицево по x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X1n , N — сужение оператора N1 на (t0 , T ) × X n , N [(t0 , T ) × X n ] ⊂ Y 1 ; выполнено условие (29); Qf ∈ Lq (t0 , T ; Y), (GDtα )k M0−1 (I − Q)f ∈ C m−1 ([t0 , T ]; X ), Dtα (GDtα )k M0−1 (I − Q)f ∈ Lq (t0 , T ; X ) для всех k = 0, 1, . . . , p. Предположим, что U∂ — непустое выпуклое замкнутое подмножество про- странства (X 1 )m , Zα,q (t0 , T ; X ) непрерывно вложено в банахово простран- ство Y, которое непрерывно вложено в пространство Wqm−2 (t0 , T ; X1 ); функ- ционал качества J выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y × (X 1 )m , коэрцитивный на Zα,q (t0 , T ; X ) × (X 1 )m . Тогда существует решение (x̂, û) ∈ Zα,q (t0 , T ; X ) × U∂ задачи (64)–(67). В §3.9 доказана разрешимость задачи стартового управления для вырож- денного линейного уравнения с nнесколькими дробными производными X LDtα x(t) = M x(t) +Nk (t)Dtαk x(t) + f (t),t ∈ (t0 , T ),(68) k=1 (P x)(k) (t0 ) = uk , k = 0, 1, . . . , m − 1,(69) u = (u0 , u1 , . . . , um−1 ) ∈ U∂ ,(70) J(x, u) → inf .(71) −1 Теорема 29. Пусть α > 0, q > (α − m + 1) , αn ≤ m − 1, p ∈ N0 , опера-
тор M (L, p)-ограничен, отображения Nk : (t0 , T ) → L(X ; Y) измеримы и
существенно ограничены на (t0 , T ), imNk (t) ⊂ Y 1 для почти всех t ∈ (t0 , T ),
k = 1, 2, . . . , n; Qf ∈ Lq (t0 , T ; Y), для всех l = 0, 1, . . . , p (GDtα )l M0−1 (I −Q)f ∈
C m−1 ([t0 , T ]; X ), Dtα (GDtα )l M0−1 (I − Q)f ∈ Lq (t0 , T ; X ); U∂ — непустое выпук-
лое замкнутое подмножество пространства (X 1 )m , Zα,q (t0 , T ; X ) непрерыв-
но вложено в банахово пространство Y; функционал качества J выпуклый,
ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на Y×(X 1 )m , коэрцитивный на
Zα,q (t0 , T ; X ) × (X 1 )m . Тогда существует решение (x̂, û) ∈ Zα,q (t0 , T ; X ) × U∂
задачи (68)–(71). Если функционал J строго выпуклый на Y × (X 1 )m , то ре-
шение единственно.
В последнем, десятом, параграфе абстрактные результаты из §3.9 проил-
люстрированы на примере задачи стартового управления для одной системы,
состояние которой описывается начально-краевой задачей для уравнения в
частных производных, не разрешимого относительно старшей дробной произ-
водной по времени.
Заключение
В диссертационной работе исследованы вопросы однозначной разреши-
мости начальных задач для эволюционных уравнений в банаховых простран-
ствах с нелинейной частью, зависящей от нескольких дробных производных
Герасимова – Капуто: задачи Коши для разрешенного относительно старшей
дробной производной уравнения и обобщенной задачи Шоуолтера — Сидоро-
ва для вырожденного эволюционного уравнения с относительно ограниченной
парой операторов. Полученные результаты о начальных задачах позволили
исследовать разрешимость задач оптимального управления для соответству-
ющих систем в случае распределенного и стартового управления, компромисс-
ного функционала и задач без учета затрат на управление.
Дальнейшие перспективы развития тематики диссертационной работы
связаны с применением ее результатов в различных моделях, поведение кото-
рых описывается уравнениями и системами с несколькими дробными произ-
водными, при рассмотрении обратных задач для соответствующих уравнений,
при построении численных решений рассмотренных задач. Теоретические ре-
зультаты предполагается перенести на случай более общих пар линейных опе-
раторов, задающих линейную часть вырожденного уравнения, а также иссле-
довать аналогичные задачи для уравнений с дробными производными других
типов, например, для уравнений с производными Джрбашяна — Нерсесяна.