Применение метода линейных определяющих уравнений и преобразований Эйлера-Дарбу для интегрирования уравнений в частных производных

Несмотря на развитие современной вычислительной техники построение точ-
ных решений по-прежнему остается важной и актуальной задачей. Эти решения
позволяют глубже понять качественные особенности описываемых процессов и
явлений, свойства математических моделей, а также могут быть использованы в
качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных
методов.
Данная работа посвящена применению методов интегрирования линейных
и нелинейных уравнений в частных производных. Рассматриваются уравнение
нелинейной теплопроводности с источником, линейное уравнения второго по-
рядка, описывающее стохастические процессы – уравнение Фоккера-Планка, а
так же уравнение Шредингера и уравнение Клейна-Гордона-Фока.
Групповой анализ дифференциальных уравнений, открытый С. Ли в конце
XIX века, является методом нахождения точных решений, основанном на ин-
вариантности уравнений относительно непрерывных групп преобразований. В
настоящее время ему посвящена обширная литература. Назовем классические
монографии Л.В. Овсянникова, Н.Г. Чеботарева, Л.П. Эйзенхарта. Идея, при-
надлежащая С. Ли – переход к инфинитезимальному оператору – позволяет по-
строить регулярный замкнутый алгоритм поиска группы, допускаемой диффе-
ренциальным уравнением. Это позволило добиться впечатляющих результатов
в поиске точных решений дифференциальных уравнений. Вместе с тем, эффек-
тивность метода оказалась ограничена и актуальным стал поиск иных подходов
к симметрийному анализу уравнений. Среди развиваемых подходов следует упо-
мянуть теорию высших симметрий (в литературе используются также термины
“обобщенные симметрии” [13], преобразования Ли-Беклунда [20]), неклассиче-
ский метод исследования симметрийных редукций Блумана и Коула.
Основная идея неклассического метода [36] состоит в том, что уравнение с
частными производными E