Продолжимость степенных рядов посредством аналитических интерполяций коэффициентов

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СТЕ-
ПЕННЫХ РЯДОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Продолжение путем мероморфных интерполяций коэффициентов 15
1.1.1 Условия продолжимости в сектор . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Условия продолжимости в некоторую окрестность дуги . 23
1.1.3 Условия продолжимости на всю комплексную плоскость
кроме некоторой дуги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 О непродолжимости одномерных рядов . . . . . . . . . . . . . . . 30
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ КРАТНЫХ СТЕПЕН-
НЫХ РЯДОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1 Критерий продолжимости кратного ряда через семейство полидуг 36
2.1.1 Формулировка основного результата . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Необходимость условия Теоремы 2.1 . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Достаточность условия Теоремы 2.1 . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Условия продолжимости кратного ряда в секториальную область 51
2.3 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 О непродолжимости кратных степенных рядов . . . . . . . . . . . 61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
П.1 Индикатор роста целой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
П.2 Многомерные вычеты и аналог леммы Жордана . . . . . . . . . . 69
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Основные результаты диссертационной работы следющие:
1. Получен критерий продолжимости кратного степенного ряда через гра-
ничное множество полидуг на языке асимптотического поведения целой функ-
ции, интерполирующей коэффициенты ряда.
2. Для одномерных рядов найдены условия локальной продолжимости ря-
да через граничную дугу, и условия продолжимости ряда в секториальную об-
ласть, используя мероморфные интерполяции коэффициентов ряда.
3. Построена лакунарная шкала степенных рядов одного переменного,
непродолжимых за пределы круга сходимости и бесконечно дифференцируемых
в замыкании круга, включающая в себя ряды Фредгольма. На основе этой шка-
лы построены примеры кратных степенных рядов с аналогичными свойствами
в единичном поликруге.
ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1 Индикатор роста целой функции

Говорят, что целая функция ϕ(z) комплексного переменного z ∈ C имеет
экспоненциальный тип, если

ln |ϕ(z)|
lim < +∞. z→∞ |z| Индикатором (или индикатрисой роста) целой функции ϕ(z) экспоненци- ального типа называется предел [6] ln |ϕ(reiθ )| hϕ (θ) := lim , θ ∈ R. r→∞ r Индикатор характеризует рост функции ϕ на лучах z = reiθ (здесь r ∈ R+ , а θ фиксировано). Из определения следует, что hϕ (θ) является действительно знач- ной 2π-периодической функцей. Одно из основных свойств индикатора hϕ (θ) состоит в его тригонометрической выпуклости [38],[6]: Если θ1 < θ < θ2 и θ2 − θ1 < π, то справедливо неравенство hϕ (θ) sin (θ2 − θ1 ) ≤ hϕ (θ1 ) sin (θ2 − θ) + hϕ (θ2 ) sin (θ − θ1 ). Если целая функция ϕ(z) представляется степенным рядом ∞ X ϕ(z) = ak z k , k=0 то ряд Лорана ∞ X ϕ̂ = ak k!z −k−1 (3.1) k=0 называется преобразованием Бореля функции ϕ. Связь между множеством особенностей функции ϕ̂ и индикатором функции ϕ описывается теоремой Полиа [34], [22]. Для ее формулировки напомним, что опорной функцией выпуклого множества K называется функция k(θ) = sup Re(ze−iθ ). z∈K Заметим, что если z = x + iy, то Re(ze−iθ ) = x cos θ + y sin θ. Теорема (Полиа [34]) Индикатор hϕ (θ) целой функции ϕ экспоненциаль- ного типа связан с опорной функцией k(θ) наименьшего выпуклого компакта K, вне которого аналитически продолжается hϕ , по формуле hϕ (θ) = k(−θ). Заметим, что ввиду выпуклости компакт K представляется пересечением полуплоскостей : K= {z : Re(ze−iθ ) < ν}. θ∈[0,2π] Этот факт берется за основу формулировки многомерного аналога теоремы По- лиа. В n-мерном случае под целой функции экспоненциального типа понимает- ся функция ϕ(z) = ϕ(z1 , ..., zn ), для которой существуют положительные числа A, σ1 , ..., σn такие, что для всех z ∈ Cn имеет место неравенство |ϕ(z)| ≤ Aeσ1 |z1 |+...+σn |zn | . Аналогично одномерному случаю целой функции X ϕ(z) = ak z k , (3.2) k∈Nn где k = (k1 , ..., kn ), z k = z1k1 ...znkn , сопоставляется преобразование Бореля ∞ X ϕ̂(z) = ak k!z −k−1 , |k|≥0 где k! = k1 !...kn !. Для целой функции ϕ экспоненциального типа определим множество Tϕ (θ) = {ν ∈ Rn : ln |ϕ(reiθ )| ≤ ν1 r1 + ... + νn rn + Cν,θ }, где неравенство выполняется для любого r ∈ Rn+ при некоторой константе Cν.θ . Пусть Cϕ (θ) — множество векторов ν ∈ Rn таких, что функция ϕ̂(z) из окрестности (∞, ..., ∞) продолжается в область Gν,θ = {z : Re(zj e−iθj ) > νj , j = 1, .., n},

которая представляет собой прямое произведение полуплоскостей.
Теорема (Иванов-Ставский [28], [22]) Пусть ϕ(z) целая функция экспо-
ненциального типа, тогда
Tϕ (θ) = Cf (−θ).
П.2 Многомерные вычеты и аналог леммы Жордана

Пусть ω мероморфная в Cn дифференциальная форма вида
h(z)dz1 ∧ … ∧ dzn
ω= (3.3)
f1 (z)…fn (z)
с полюсами на дивизорах Dj = {z : fj (z) = 0}, j = 1, …, n. В предположении,
что пересечение Z = D1 ∩ … ∩ Dn дискретно, для каждой точки a ∈ Z опреде-
ляется локальный вычет (вычет Гротендика) относительно системы дивизоров
{Dj } как интеграл (см. [39], гл. 5 или [37], §5)
Z
resa ω = ω, (3.4)
(2πi)n
Γa

где Γa = {z ∈ Ua : |fj (z)| = ε, j = 1, …, n} – цикл в некоторой малой окрестно-
сти Ua точки a, ориентация которого задается неравенством

d(argf1 ) ∧ … ∧ d(argfn ) ≥ 0.

Когда f1 , …, fn таковы, что якобиан ∂(f )/∂(z) в точке a отличен от нуля, локаль-
ный вычет равен (формула Коши)
h(a)
resa ω = ∂(f )
. (3.5)
∂(z) (a)

Рассмотрим вопрос о том, когда интеграл
Z
ω (3.6)
(2πi)n
Γa

мероморфной формы (3.3) по остову σ некоторого полиэдра Π равен сумме вы-
четов (3.4) в точках a ∈ Π. Под полиэдром подразумевается прообраз g −1 (∂G)
собственного отображения g : Cn → Cn области G = G1 × … × Gn , где каж-
дая Gj является областью комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей
∂Gj . Остов полиэдра – это множество g −1 (∂G1 × … × ∂Gn ), ориентация кото-
рого определяется порядком параметров τ1 , …, τn , параметризующих границы
∂G1 , …, ∂Gn соответственно.
С каждым мультииндексом K = {k1 , …, ks } ⊂ {1, …, n} ассоциируется
грань
σK = {z : gk (z) ∈ ∂Gk , k ∈ K, gj (z) ∈ Gj , j ∈
/ K}.

Семейство дивизоров {Dj } называется согласованным с полиэдром Π, ес-
ли
Dj ∩ σj =, j = 1, …, n. (3.7)

Если Π – ограниченный полиэдр и {Dj } – согласованное с Π семейство
дивизоров, то интеграл 3.6 равен сумме вычетов 3.4 по всем точкам a ∈ Π [36].
Для неограниченных полиэдров необходимо дополнительное условие убывания
подынтегрального выражения на бесконечности, как это требуется в классиче-
ской одномерной лемме Жордана [36]. С помощью функций fj определяющих
дивизоры Dj , введем в рассмотрение функции

|fj |2
ρj = 2
, где ||f ||2 = |f1 |2 + … + |fn |2 .
||f ||

С каждым мултииндексом J = {j1 , …, js } ⊂ {1, …, n} при 1 ≤ s ≤ n свяжем
(n, s − 1)-дифференциальную форму
X
ξJ = ¯ J [j] ∧ ω,
(−1)(j,J)−1 ρj ∂ρ
j∈J

¯ 1 ∧ …[j]… ∧ ∂ρ
¯ J [j] = ∂ρ
где (j, J) означает позицию j в наборе J, а ∂ρ ¯ s.

Говорят, что дифференциальная форма ξj удовлетворяет условию Жор-
дана на грани σJ o где J o = {1, …, n} J, если существует последовательность
вещественных чисел Rk , сходящаяся к +∞ при k → ∞, такая, что

Z
lim ξj = 0, (3.8)
k→∞
SRk ∩ σJ o

где SR – сфера радиуса R с центром в некоторой точке остова σ = σ1…n полиэдра
Π.
Теорема (многомерная абстрактная лемма Жордана [31], [45]). Если се-
мейство дивизоров {Dj } согласовано с полиэдром Π и для каждого мултиин-
декса J форма ξJ удовлетворяет условию Жордана на грани σJ o , то

Z X
n
ω = (2πi) resa ω.
σ a∈Π

Последовательность сфер SRk в теореме можно заменить любой другой
последовательностью кусочно-гладких поверхностей такой, что области, огра-
ниченные гранями полиэдра и поверхностями этой последовательности, исчер-
пывают весь полиэдр при R → ∞.

1. Hadamard J. La série de Taylor et son prolongement analytique. / Hadamard J. –
C. Hérissey, 1901. – №12. – С. 102.