Проекционно-разностные методы приближенного решения параболического уравнения с периодическим условием на решение

Во введении приводятся исторические и библиографические сведения о
предмете исследования, определяются основные понятия и обозначения,
встречающиеся в тексте диссертационной работы. Дано общее описание изу-
чаемой задачи, приводятся основные направления и методы исследования. Ха-
рактеризуются полученные в диссертации результаты, приводятся модельные
задачи, также рассматриваются некоторые задачи, которые могут быть сведены
к изучаемым.
Нумерация приводимых ниже теорем и следствий совпадает с их нумера-
цией в диссертации.

В §1.1 первой главы диссертационной работы приводится постановка за-
дачи. Изучается тройка сепарабельных гильбертовых пространств V ⊂ H ⊂ V 0 ,
где пространство V 0 – сопряжённое к V , а H отождествляется со своим сопря-
жённым. Оба вложения плотны и непрерывны. Рассматривается полуторали-
нейная по u, v ∈ V форма a(t, u, v), измеримая по t ∈ [0, T ]. Для u, v ∈ V и п.
в. t ∈ [0, T ] выполнены оценки |a(t, u, v)| ≤ µkukV kvkV и Re a(t, u, u) ≥ αkuk2V ,
где α > 0. Форма a(t, u, v) при п.в. t ∈ [0, T ] порождает линейный ограничен-
ный оператор A(t) : V → V 0 , такой, что (A(t)u, v) = a(t, u, v), где выражение
типа (z, v) есть значение функционала z ∈ V 0 на элементе v ∈ V .

Рассмотрим в V 0 на [0, T ] параболическую задачу:

u0 (t) + A(t)u(t) = f (t),u(0) = u(T ).(1)

Здесь и далее производные функций понимаются в обобщённом смысле.

В монографии Ж.-Л.Лионса, Э.Мадженеса “Неоднородные граничные за-
дачи и их приложения” приводится (без доказательства)

Теорема 1.1. Для заданного f ∈ L2 (0, T ; V 0 ) существует (и притом
единственное) решение u(t) задачи (1), называемое слабым, такое, что
u ∈ L2 (0, T ; V ) C([0, T ], H), u0 ∈ L2 (0, T ; V 0 ).
T

В §1.2 диссертации проводится доказательство данной теоремы, основан-
ное на применении метода Галёркина с обоснованием последующего слабого
предельного перехода к точному решению. При доказательстве теоремы 1.1
получены априорные оценки решения, необходимые в дальнейшем для получе-
ния условий более гладкой разрешимости задачи (1).

Параграф 1.3 посвящен вопросу гладкой разрешимости задачи (1). Будем
считать, что форма a(t, u, v) абсолютно непрерывна по t ∈ [0, T ] и для формы
a1 (t, u, v) = ∂a(t, u, v)/∂t почти при всех t ∈ [0, T ] справедлива оценка

|a1 (t, u, v)| ≤ µ1 kukV kvkV(u, v ∈ V ).(2)

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1, условие (2) и
a(0, u, v) = a(T, u, v) для всех u, v ∈ V . Пусть f 0 ∈ L2 (0, T ; V 0 ) и выполня-
ется равенство f (0) = f (T ). Тогда слабое решение задачи (1) будет таким,
что u0 ∈ L2 (0, T ; V ) C([0, T ], H), u00 ∈ L2 (0, T ; V 0 ).
T

В §1.4 первой главы диссертации при условии симметричности формы
a(t, u, v), то есть при u, v ∈ V и п.в. t ∈ [0, T ] a(t, u, v) = a(t, v, u), где черта
над комплексным числом означает переход к сопряжённому числу, доказана
обобщённая разрешимость задачи (1).
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 и условие (2), фор-
ма a(t, u, v) симметрична и a(0, u, v) = a(T, u, v) для всех u, v ∈ V . Пусть
функция t → f (t) ∈ H такая, что f ∈ L2 (0, T ; H). Тогда слабое решение u(t)
задачи (1) будет таким, что u0 , Au ∈ L2 (0, T ; H).
Вторая глава диссертационной работы посвящена проекционно-разност-
ному методу решения задачи (1) с неявной схемой Эйлера по времени.
В §2.1 определяются проекционные подпространства Vh как конечномер-
ные подпространства пространства V , где h > 0. Оператор ортогонального
проектирования Ph : H → Vh допускает расширение по непрерывности до огра-
ниченного оператора Ph : V 0 → Vh0 , где пространство Vh0 можно определить,
задав на uh ∈ Vh двойственную норму kuh kVh0 = sup |(uh , vh )|, где точная верх-
няя граница берётся по всем vh ∈ Vh , kvh kV = 1.
Опишем изучаемую приближённую задачу. Для k = 1, N

(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ahk uhk = fkh ,uh0 = uhN ,(3)

где N ∈ N, T = τ N , tk = kτ ; uhk ∈ Vh ; fkh ∈ Vh . Указанные параметры
используются во всех приведённых ниже приближённых задачах. Операторы
R tk
Ahk : Vh → Vh определяются следующим образом: Ahk = τ1 tk−1 Ph A(t) dt.
Результаты об энергетической сходимости проекционно-разностного мето-
да с неявной схемой Эйлера по времени представлены в §2.2. Они установлены
R tk
для задачи (3), в которой fkh = τ1 tk−1 Ph f (t) dt.
Для сходимости проекционно-разностного метода предположим, что зада-
на последовательность конечномерных подпространств {Vh }, предельно плот-
ная в V при h → 0, то есть k(I − Qh )vkV → 0 при h → 0 и любом v ∈ V , где
Qh – ортогональный проектор пространства V на Vh .
Предположим также, что подпространства Vh удовлетворяют условиям:

k(I − Qh )vkH ≤ r1 hkvkV ,(4)kvh kV ≤ r2 h−1 kvh kH ,(5)

где r1 и r2 не зависят от v ∈ V , vh ∈ Vh и h.
Теорема 2.2. Пусть u(t) – слабое решение задачи (1), а (uh0 , uh1 , . . . , uhN ) –
решение задачи (3). Пусть {Vh } предельно плотная в V последовательность,
для которой верно (4) и (5), и пусть τ = o(h2 ). Тогда при h → 0
N Ztk
X
max u(tk ) −uhk H+u(t) − uhkV
dt−→0.(6)
0≤k≤Ntk−1
k=1

В следующих утверждениях показано, что при дополнительных предпо-
ложениях на гладкость решения задачи (1) требование τ = o(h2 ) в теореме
2.2 можно существенно ослабить. Так, в следствии 2.3 при τ → 0 и h → 0
вместе с (6) справедлива и сходимость Nh 2
P
k=1 ku(tk ) − uk kV τ −→ 0 , при этом

согласования параметров не требуется.
Для получения порядка скорости сходимости по пространственным пере-
менным предположим существование гильбертова пространства E, такого, что
E ⊂ V и V = [E, H]1/2 . Пусть подпространства Vh ⊂ V такие, что

k(I − Qh )vkV ≤ rhkvkE ,(7)

где r не зависит от v ∈ E и h.
В предположениях выполнения аппроксимационных свойств (5) и (7), а
также дополнительной гладкости решения, установлены порядки скорости схо-
димости как по времени, так и по пространству (теорема 2.3 – теорема 2.5).
В §2.3 второй главы диссертационной работы установлена энергетиче-
ская сходимость погрешности приближённых решений к нулю в условиях глад-
кой разрешимости задачи (1) без дополнительных предположений (4) и (5) на
подпространства Vh .
В условиях гладкой разрешимости приближённая задача имеет вид:

(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ph A(tk )uhk = Ph f (tk ),uh0 = uhN .

Из утверждения теоремы 2.6 в предположении предельной плотности
последовательности {Vh } в V следует при τ → 0 и h → 0 сходимость
PN
max0≤k≤N ku(tk ) − uhk k2H +k=1 ku(tk )− uhk k2V τ → 0

Порядки скорости сходимости установлены в теореме 2.7 при дополни-
тельном предположении гладкости решения u ∈ L2 (0, T ; E), а также выполне-
нии аппроксимационного свойства (7).
Далее в пространстве V 0 рассматривается периодическая задача

u0 (t) + Au(t) = f (t),u(0) = u(T ).(8)

Здесь форма, порождающая оператор A, не зависит от времени и симметрична.
Для оператора A, порожденного симметричной формой a(u, v), сепара-
бельное гильбертово пространство E определим так, что D[A] ⊂ E ⊂ V , где
D[A] = {v ∈ V : Av ∈ H}, и V = [E, H]1/2 . Пусть выполняется оценка

kukE ≤ δkAukH(u ∈ D[A], δ > 0)(9)

Параграф 2.4 посвящен среднеквадратичной сходимости приближённых
решений к точному в условиях слабой разрешимости задачи (8). В подпро-
странстве Vh ⊂ V рассматривается следующая приближённая задача:
Z tk
(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ph Auhk =f (t) dt, uh0 = uhN .
τ tk−1
PN
Согласно теореме 2.8,k=1 ku(tk )− uhk k2H τ → 0 для {Vh } – предельно
плотной в V последовательности и τ → 0 и h → 0. При выполнении аппроксима-
ционного свойства (7) подпространств Vh и условия (9) установлена (следствие
2.4) и скорость сходимости приближённых решений к точному.
В §2.5 для задачи (8) в условиях гладкой разрешимости рассматривается
приближённая задача:

(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ph Auhk = Ph f (tk ),uh0 = uhN .

В условиях дополнительной гладкости u00 ∈ Lp (0, T ; H), где 1 ≤ p ≤ 2, и в
предположении предельной плотности в V последовательности {Vh } при τ → 0
и h → 0 доказана сходимость погрешности в сильных нормах
PN2
max0≤k≤N ku(tk ) − uhk k2V +k=1u0 (tk ) − (uhk − uhk−1 )τ −1H
τ →0

и получены результаты о порядке сходимости погрешности (следствие 2.5).
Третья глава посвящена проекционно-разностному методу со схемой
Кранка-Николсон по времени. В §3.1 для гладко разрешимой задачи (1) в под-
пространстве Vh ⊂ V рассматривается приближённая задача:

(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ahk (uhk + uhk−1 )2−1 = fkh ,uh0 = uhN ,

где Ahk = Ph (A(tk ) + A(tk−1 ))2−1 .
Обратим внимание, что если для схемы Эйлера скорость сходимости при-
ближённого решения к точному получается не более чем с первым порядком по
времени, то для схемы Кранка-Николсон сходимость в случае гладкого решения
установлена по времени со вторым порядком.
В §3.2 в предположении fkh = 2−1 Ph (f (tk ) + f (tk−1 )) доказана сходимость
приближённых решений к точному (следствие 3.1): если {Vh } предельно плот-
на в V , то при τ → 0 и h → 0
N
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−12X u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−12
max−+−τ → 0.
1≤k≤N22H22V
k=1
Также установлены порядки скорости сходимости, точные как по времени,
так и по пространству (следствие 3.2 – следствие 3.5).
В §3.3 рассматривается в условиях слабой разрешимости задача (8), для
которой в подпространстве Vh приводится приближённая задача:
Z tk
(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ph A(uhk + uhk−1 )2−1 =f (t) dt, uh0 = uhN .
τ tk−1
В предположениях гладкости u ∈ L2 (0, T ; E) решения задачи (8) установ-
лена среднеквадратичная сходимость погрешностей к нулю (теорема 3.4). При
дополнительных предположениях гладкости u0 ∈ Lp (0, T ; V ), u00 ∈ Lp (0, T ; H),
где 1 ≤ p ≤ 2, а также выполнении условий (7) и (9) получены (следствие
3.6) оценки погрешности со вторым порядком при p = 2 скорости сходимости
как по временной, так и по пространственным переменным:
N2
X u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1
−τ≤
22H
k=1
( ZT 2/pZT
)
Mτ 5−2/pku00 (t)kpH dt+ h4ku(t)k2E dt .
В §3.4 в подпространстве Vh для гладко разрешимой задачи (8) рассмат-
ривается приближённая задача следующего вида:

(uhk − uhk−1 )τ −1 + Ph A(uhk + uhk−1 )2−1 = Ph (f (tk ) + f (tk−1 ))2−1 ,uh0 = uhN .

В предположениях гладкости u ∈ C([0, T ], E), u000 ∈ Lp (0, T ; H) (1 ≤
p ≤ 2), а также выполнении условий (7) и (9) установлена (следствие 3.7)
сходимость в сильных нормах с порядком τ 5−2/p по времени приближенного
решения к точному:
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−12
max−→ 0.
1≤k≤N22V