Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок прямоугольного сечения с учетом ползучести
Введение……………………………………………………………………………………………………….. 4
Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи ………………………………………… 11
1.1 Обзор публикаций по теории и методам расчета балок на боковое
выпучивание ………………………………………………………………………………….. 11
1.2 Обзор экспериментальных исследований по боковому выпучиванию
балок ……………………………………………………………………………………………… 21
1.3 Выводы по главе …………………………………………………………………………….. 23
Глава 2. Устойчивость плоской формы изгиба упругих балок …………………… 24
2.1 Боковое выпучивание идеальных балок постоянного поперечного
сечения ………………………………………………………………………………………….. 24
2.1.1 Случай шарнирно закрепленной по концам балки под действием
равномерно распределенной нагрузки ………………………………………….. 26
2.1.2 Консольная балка под действием нагрузки, распределенной
равномерно и по треугольному закону …………………………………………. 32
2.1.3 Шарнирно опертая по концам балка под действием
сосредоточенной силы ………………………………………………………………… 37
2.2 Боковое выпучивание идеальных балок переменного поперечного
сечения ………………………………………………………………………………………….. 43
2.3 Боковое выпучивание балок с учетом начальных несовершенств ………. 48
2.4 Выводы по главе …………………………………………………………………………….. 53
Глава 3. Кручение брусьев некруглого поперечного сечения из физически
нелинейного материала ………………………………………………………………………………. 55
3.1 Кручение вязкоупругого бруса некруглого поперечного сечения ………. 55
3.2 Конечно-элементная реализация задачи о кручении вязкоупругого
бруса ……………………………………………………………………………………………… 59
3.3 Решение тестовых задач ………………………………………………………………….. 63
3.3.1 Кручение полимерного бруса прямоугольного поперечного
сечения ………………………………………………………………………………………. 63
3.3.2 Релаксация напряжений в закрученном полимерном брусе ……….. 68
3.3.3 Кручение деревянного бруса прямоугольного сечения с учетом
ползучести ………………………………………………………………………………….. 71
3.4 Приближенная методика расчета на ползучесть для узких
прямоугольных сечений ………………………………………………………………….. 72
3.5 Кручение бруса прямоугольного сечения из упругопластического
материала ………………………………………………………………………………………. 75
3.6 Выводы по главе …………………………………………………………………………….. 80
Глава 4. Устойчивость плоской формы изгиба балок с учетом физической
нелинейности ……………………………………………………………………………………………… 82
4.1 Вывод разрешающих уравнений ……………………………………………………… 82
4.2 Методика расчета …………………………………………………………………………… 84
4.3 Решение тестовых задач ………………………………………………………………….. 87
4.3.1 Устойчивость полимерной балки при ползучести……………………… 87
4.3.2 Устойчивость деревянной балки при ползучести ………………………. 92
4.4 Выводы по главе …………………………………………………………………………….. 96
Заключение ………………………………………………………………………………………………… 97
Список литературы ……………………………………………………………………………………. 99
Приложение А. Программы расчета на ЭВМ ……………………………………………. 109
Приложение Б. Внедрение результатов диссертационной работы …………….. 113
Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена
краткая аннотация всех глав работы.
В главе 1 приведен литературный обзор теоретических и
экспериментальных работ по вопросам бокового выпучивания балок постоянного и переменного сечения с учетом различных факторов.
В главе 2 рассматриваются вопросы устойчивости плоской формы изгиба упругих балок. В качестве объекта исследования выступают идеальные балки без начальных несовершенств, а также конструкции с начальными неправильностями. Для идеальных балок используется полученное А.А. Карамышевой на основе статического критерия Эйлера дифференциальное уравнение устойчивости, учитывающее приложение нагрузки не в центре тяжести поперечного сечения:
где – модуль сдвига материала, к – момент инерции при кручении, – относительный угол закручивания, – интенсивность распределенной нагрузки, – изгибающий момент, – осевой момент инерции в плоскости наименьшей жесткости, – расстояние от центра тяжести до места приложения нагрузки.
А.А. Карамышевой параметр в уравнении (1) не учитывался. Существующие нормы проектирования деревянных конструкций также не учитывают данный параметр.
2 ( ) 2
к 2 + к + ( + ) = 0, (1)
Рисунок 1 – Расчетная схема
С учетом введенных безразмерных величин уравнение (1)
Алгоритм расчета с учетом вертикального смещения нагрузки относительно центра тяжести рассмотрим на примере шарнирно опертой по концам балки, испытывающей действие равномерно распределенной нагрузки q (рис. 1).
для рассматриваемой задачи принимает вид:
2 + (√ + ( )) = 0, (2)
где ( ) = 2(1− )2. 4
При расчете полагали что на опорах исключен поворот поперечного сечения относительно оси , т.е. (0) = (1) = 0. Такие граничные условия могут быть, например, в случае раскрепления балки поперечными связями или прогонами на длине = р.
Решение уравнения (2) нами выполнялось при помощи метода конечных разностей (МКР). После замены производных в уравнении (1) приближенными выражениями приходим к системе линейных алгебраических уравнений:
2
Для решения уравнения (1) вводится безразмерная координата = / а также безразмерные величины
2 6
= √ ; = . кк
([ ] + √ [ ] + [ ]){ } = 0, (3) −210…0 ( 2)0…0
1 1 −2 1 … 0 0 ( 3) … 0 где =Δ 2 0 1 −2 … 0 , =[ … … … … ],
[……………] 000 ( ) 0 0 0 1 −2
={ 2 3 … } .
Матрица [ ] в данной задаче является единичной. Система (3) однородная и имеет ненулевое решение только в случае равенства нулю ее определителя:
|[ ] + √ [ ] + [ ]| = 0. (4) Критическая нагрузка может быть вычислена по формуле:
кр = √ √ к = √ к . 3 3
(5)
При = 0 уравнение (4) представляет обобщенное вековое уравнение. Критической нагрузке соответствует минимальное из собственных значений . Для случая приложения нагрузки в центре тяжести это значение составляет 1 = 800. В случае ≠ 0 уравнение (4) не является обобщенным вековым, и для его решения используется итерационный процесс, состоящий в следующем:
1. В первом приближении вместо уравнения (4) выполняется решение обобщенного векового уравнения, имеющего вид:
|[ 1] + [ ]| = 0, (6) 2. Решив уравнение (6), получим минимальное собственное число ′ . На
где [ 1] = [ ] + √ 1 [ ].
втором шаге в матрицу [ ] вместо подставляется = ( + ′ )/2.
1 11211
Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не выполнится условие:
| − ′|
Для расчета была разработана программа в пакете Matlab. На рис. 2 представлен полученный в результате график, показывающий зависимость коэффициента от параметра . Из данного графика видно, что если > 0 (нагрузка приложена над центром тяжести), ее критическая величина понижается, а при < 0 (приложение нагрузки под центром тяжести) – повышается. При помощи метода наименьших квадратов зависимость ( ) аппроксимировалась линейной функцией (штриховая линия на рис.2):
( ) = −40.2 + 28.31. (8)
·100%< , (7)
где – допустимая погрешность в % (принималась равной 0.1%).
Рисунок 2 – Зависимость коэффициента от параметра
Для контроля правильности результатов был выполнен конечно- элементный расчет деревянной балки в программном комплексе ЛИРА-САПР 2013. Исходные данные для расчета: b = 5 см, h=20 см, l=6 м. При расчете учитывалась ортотропия материала, значения упругих постоянных:
E1 = 104 МПа, E2 = 400 МПа, G = 500 МПа, ν12 = 0.018, ν21=0.45
При = h/2 получена величина критической нагрузки qкр = 1.17 кН/м (форма потери устойчивости приведена на рис. 3), а при приложении нагрузки в центре тяжести – qкр = 1.23 кН/м. Теоретические значения, полученные по
формуле (5), составили 1.16 и 1.22 кН/м.
Помимо шарнирно опертой по концам балки рассматривалась консольные
балки под действием равномерно распределенной и неравномерной нагрузки. При этом задача также сводится к уравнению (4), но матрица [ ] уже не является единичной. Кроме того, был рассмотрен случай приложения сосредоточенной силы не в середине пролета со смещением относительно центра тяжести. (рис. 4).
Рисунок 3 – Потеря устойчивости при приложении нагрузки над центром тяжести поперечного сечения
Рисунок 4 – Приложение сосредоточенной силы не в середине пролета
Окончательно задача сводится к уравнению вида (4). Критическая нагрузка из (9) может быть определена по формуле:
Переход сосредоточенной
от силы к распределенной нагрузке выполняется по
равномерно
формуле: = = . Параметр
Δ Δ вводится как:
= . к
2 4
(9)
=√ √ к = √ к .
кр
проф. А.С. Вольмира представлено решение для частного случая = 0.5. В диссертации приводится сравнение результатов с данным решением, расхождение не превышает 1%.
Помимо конструкций постоянного сечения в главе 2 исследуются вопросы устойчивости балок переменной жесткости.
Также в главе 2 получено разрешающее уравнение для балки переменного поперечного сечения, имеющей начальное искривление, которое задается двумя функциями: 0 = 0( ) и 0 = 0( ) (рис. 5):
+
0 2
2 2
Коэффициент в формуле (10) зависит от параметров и . В монографии
2 к 2
( ) к
2 2 2
+ ( + )=− ( + )+ 0− 0. (11)
(10)
Помимо начального искривления в данном уравнении учитывается приложение нагрузки с эксцентриситетом .
Рисунок 5 – Элемент балки с начальными несовершенствами
Рисунок 6 – Расчетная схема
Методом конечных разностей была решена тестовая задача для шарнирно опертой по концам деревянной балки (рис. 6), к которой нагрузка приложена с эксцентриситетом . В опорных сечениях рассматриваемой балки исключен поворот относительно ее продольной оси. Вычисления выполнялись при = 4 м, =5см, h=15см, =104 МПа, =500МПа. При отсутствии начальных несовершенств потеря устойчивости для такой балки происходит при кр = 2.56 кН/м. На рис. 7 представлены графики зависимости максимального угла закручивания от нагрузки при различной величине эксцентриситета . Из представленного рисунка видно, что для упругой балки начальные несовершенства не оказывают значительного влияния на процесс потери устойчивости.
Во всех случаях при приближении к критической нагрузке наблюдается резкий рост относительного угла закручивания. Тот же самый результат был получен при задании начальных несовершенств в виде начального угла закручивания 0 и начального прогиба в плоскости наименьшей жесткости 0.
Рисунок 7 – Зависимость максимального угла закручивания от нагрузки при различных значениях
где = – относительный угол закручивания.
2. Величина депланации пропорциональна закручивания , т.е.
= ( , ).
(12)
относительному углу
(13) сечения получено
Для вязкоупругого бруса произвольного дифференциальное уравнение относительно функции напряжений:
Прежде чем переходить к расчету балок на устойчивость плоской формы изгиба с учетом физической нелинейности и ползучести, необходимо рассмотреть вспомогательную задачу кручения брусьев некруглого поперечного сечения (рис. 8) из физически нелинейного материала, поскольку боковое выпучивание сопровождается деформациями кручения.
Глава 3 посвящена решению данной задачи. Используются допущения, введенные Сен-Венаном при решении задачи для упругого бруса:
1. Для перемещений и в плоскости справедливы соотношения: = − ; = ,
2Ф 2Ф ∗ ∗
2+ 2=−2 + ( − ), (14)
где = – относительный угол закручивания, ∗ и ∗ – деформации
ползучести, функция напряжений Ф введена по формулам:
= Ф; = − Ф. (15)
Рисунок 8 – Расчетная схема
В качестве граничных условий для уравнения (14) выступает равенству нулю функции напряжений на контуре.
Также получена связь между крутящим моментом и относительным углом закручивания, имеющая вид:
= − ∗, ∗ = ∫(− ∗ + ∗ ) .
кккк (16)
Окончательно задача сводится к уравнению:
( , )∇2 + + = − +
+1[ ( ( , ) ∗ )+ ( ( , ) ∗ )].
Граничные условия записываются в виде:
(17)
Для прямоугольного сечения решение задачи о кручении может быть выполнено методом конечных разностей в комбинации с методом Эйлера. Также в диссертации представлена конечно-элементная реализация данной задачи, позволяющая рассчитывать брусья произвольного поперечного сечения.
В главе 3 приведен ряд тестовых задач: кручение деревянного и полимерного бруса с учетом ползучести, релаксация напряжений в брусе, закрученном на заданный угол.
Также рассматривается задача кручения бруса прямоугольного сечения с одновременным учетом ползучести и нелинейной зависимости между напряжениями и мгновенными деформациями. Физически нелинейная задача сводится к последовательному решению упругих задач для стержня, у которого модуль сдвига является функцией от и .
=0, ∗ =0→ =− ; (18)
при =±h/2: при =± /2:
Крутящий момент вычисляется следующим образом:
= − ∗ ,где ∗ =−∫ ( , )( ∗ − ∗ ) , кккк
к = ∫ ( , ) ( 2 + 2 + − ) .
=0, ∗ =0→ = . (19)
(20) Алгоритм расчета состоит в следующем. На первом этапе решается задача
при = 0 и ∗ = ∗ = 0. Нагрузка прикладывается небольшими порциями.
Решение уравнения (17) выполняется методом конечных разностей. После определения функции вычисляется путем численного интегрирования
крутильная жесткость к. Далее определяется приращение относительного угла
закручивания ∆ = ∆ к. к
Затем определяются приращения деформаций сдвига по формулам:
∆ =∆ (− + ); ∆ =∆ ( + ). (21)
Полученные приращения прибавляются к деформациям сдвига, вычисленным на предыдущем шаге и затем определяется интенсивность сдвиговых деформаций. Далее по интенсивности сдвиговых деформаций во всех узлах сетки определяется касательный модуль сдвига. Затем процесс повторяется для следующего шага. После завершения расчета при = 0 выполняется шаговый расчет на ползучесть.
В диссертации представлена тестовая задача для деревянного бруса сечением 4х10 см. Связь между интенсивностями касательных напряжений и сдвиговых деформаций принималась в виде:
= − 0 2, 0 4 ск
где 0 – начальный модуль сдвига, ск – прочность древесины на сдвиг (скалывание).
Расчет выполнялся при 0 = 500 МПа, ск = 7.5 МПа. На рис. 9 приведен график зависимости относительного угла закручивания от величины крутящего момента. Разрушение происходит при кр =
42 кН ∙ см. Представленная задача могла быть решена и с учетом ползучести, однако в настоящее
Рисунок 9 – Зависимость относительного угла закручивания от величины крутящего момента
2
время для дерева не существует общей теории, которая позволяла бы одновременно определять деформации ползучести и пластические деформации при сложном напряженном состоянии.
∗ 2 ∗ 2 = к− ( + )+ 0− − 0.
0 2
В главе 4 рассматриваются вопросы бокового выпучивания балок в физически нелинейной постановке. Получено дифференциальное уравнение, позволяющее рассчитывать балки переменной жесткости с начальными несовершенствами с учетом ползучести и нелинейной зависимости между напряжениями и мгновенными деформациями:
2 ( ) 2
к 2+ к +( + ) =
(22) В случае изменения механических характеристик как функций от , ,
величины и ∗ определяются по формулам:
( )=∫ ( , , ) 2 ; ∗ =−∫ ( , , ) ∗ ∙ ,
(23)
где ∗ – деформация ползучести.
Решению уравнения (22) на каждом шаге при учете только ползучести предшествует решение уравнения (14) для каждого поперечного сечения. Если в расчете учитывается нелинейная зависимость между напряжениями и мгновенными деформациями, вместе с уравнением (22) используется уравнение (17). Расчетная блок-схема при учете только ползучести приведена на рис. 10.
Рассматривается задача бокового выпучивания деревянной балки (рис. 11), материал которой подчиняется уравнению Максвелла-Томпсона:
∗ 1 дл ∗ = [(1− ) − дл ],
(24)
где ∗ – деформация ползучести, где – мгновенный модуль упругости материала ( = 1.48 ∙ 104 МПа), дл – длительный модуль деформации ( дл = = (0.6 ÷ 0.75) = 1 · 104 МПа), – время релаксации ( = 10 ÷ 25 сут, обычно принимают = 18 сут).
Путем замены в упругом решении, полученном С.П. Тимошенко, мгновенного модуля упругости и мгновенного модуля сдвига на длительные вводится величина длительной критической нагрузки по формуле:
Ввод исходных данных
Определение к
нет
Рисунок 10 – Расчетная схема для балок из вязкоупругого материала
=1; =0; ∗ =0; ∗ =0; ∗ =0
Определение ∗, ∗, ∗ к
Определение ( ) из уравнения (22)
Определение = ( ) для каждого сечения
Определение функции Ф для каждого сечения из уравнения:
2Ф 2Ф ∗ ∗
2+ 2=−2 + ( − ).
Определение изменений кривизн 2 и 2 2 2
Определение напряжений, ∗ , ∗
≤ + 1
да
: = + 1; : = + Δ
Вывод результатов
∗ ∗
∗ = ∗ +
+∆ +∆
∆ ; ∗ = ∗ + ∆ ;
=4.01√ . дл 2 дл к дл
Исследуетсяповедениебалкипри < , = и > . дл дл дл
(25)
Исходные данные: = 3 м, h = 15 см, = 5 см, = 0.1 см, = 500 МПа,
дл = 338 МПа. Длительная критическая сила для рассматриваемой балки
составляет = 2.26 кН. дл
На рис. 12 представлены графики изменения во времени максимальной величиныуглазакручиванияпритрехзначенияхнагрузки( =2кН< , =
2.26 кН = и = 2.4 кН > ). При нагрузке меньше длительной дл дл
критической скорость роста перемещений во времени затухает. При = дл
перемещения растут с постоянной скоростью, и при > скорость роста дл
перемещений возрастает во времени.
Рисунок 11 – Консольная деревянная балка
Также исследовалось влияние начальных несовершенств на процесс ползучести при > . На рис. 13 показаны графики роста максимальной
дл
величины угла закручивания при = 2.4 кН для различных значений
эксцентриситета . Из представленных графиков видно, что, если за критерий потери устойчивости принимать величину перемещений, либо скорость их роста, начальные несовершенства оказывают существенное влияние на величину критического времени. Таким образом, нагрузки, действующие на балку, не должны превышать длительную критическую.
дл
Рисунок 12 – Изменение во времени максимального угла закручивания при различных величинах силы F
Рисунок 13 – Рост максимальной величины угла закручивания при различных значениях эксцентриситета e
Довольно интересная картина наблюдается на графиках изменения во времени максимальных величин нормальных напряжений. До определенного момента времени, несмотря на рост угла закручивания, нормальные напряжения убывают, но затем начинают возрастать. Из рис. 14 видно, что чем выше величина эксцентриситета , тем раньше наступает момент, с которого нормальные напряжения начинают расти. Время, соответствующее точке
экстремума на графиках
( ), можно принять за критическое.
Касательные напряжения и ,
Рисунок 14 – Изменение во времени максимальной величины нормальных напряжений по отношению к первоначальным значениям
в отличие от нормальных, во времени только возрастают.
Также был выполнен расчет на устойчивость с учетом ползучести полимерной балки с использованием нелинейного уравнения Максвелла-Гуревича. Характер изменения напряжений и перемещений при этом оказался такой же, как и для деревянной балки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработан алгоритм определения критической нагрузки для упругих балок постоянного и переменного сечения без начальных несовершенств с учетом приложения нагрузки с вертикальным смещением относительно центра тяжести поперечного сечения. Для различных вариантов нагружения и закрепления балок определен корректирующий коэффициент, учитывающий положение точки приложения нагрузки. Достоверность результатов подтверждена конечно-элементным моделированием в программном комплексе ЛИРА-САПР, а также сравнением с решением проф. А.С. Вольмира.
2. Получено разрешающее уравнение для расчета на боковое выпучивание балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных несовершенств в виде эксцентриситета приложения нагрузки, а также начальной погиби в плоскости наименьшей жесткости и начального угла закручивания. Установлено, что для упругих балок начальные неправильности не оказывают влияния на выпучивание: при приближении к критической нагрузке, независимо от величины начальных несовершенств, перемещения балки резко возрастают.
3. Получено решение задачи о закручивании вязкоупругого бруса некруглого поперечного сечения с использованием метода конечных разностей и метода конечных элементов для определения напряжений в балке при боковом выпучивании.
4. Построена группа разрешающих уравнений и разработан алгоритм расчета на боковое выпучивание балок постоянного и переменного по длине прямоугольного сечения с учетом ползучести и начальных несовершенств. Данные уравнения также применимы и для конструкций из вязкоупругопластического материала. Кроме того, они позволяют использовать произвольный закон ползучести, в том числе и нелинейный.
5. Исследовано явление бокового выпучивания при ползучести для полимерных балок с использованием нелинейного закона Максвелла-Гуревича, а также для деревянных балок с применением линейного уравнения Максвелла-
Томпсона. Введена величина длительной критической нагрузки, справедливая как для линейного, так и нелинейного уравнения связи между деформациями ползучести и напряжениями. Если действующая на балку нагрузка меньше длительной критической, то ползучесть носит ограниченный характер, и потеря устойчивости не наблюдается. При нагрузке равной длительной критической перемещения растут с постоянной скоростью, а при превышении этой величины скорость роста перемещений возрастает во времени.
6. Выполнено теоретическое исследование ползучести деревянной и полимерной балки при нагрузке выше длительной критической .
Установлено, что при > начальные неправильности существенно влияют дл
на величину критического времени, поэтому нагрузки, действующие на балку, должны быть меньше длительной критической.
7. Введен новый критерий устойчивости при ползучести, основанный на эффекте начального убывания нормальных напряжений с последующим их возрастанием. За критическое время предлагается принимать значение, которому на графике ( ) соответствует минимум напряжений.
Актуальность темы исследования. Анализ несущей способности любых
конструкций помимо расчета на прочность и жесткость должен включать проверку
устойчивости как в целом системы, так и ее элементов в отдельности. Для
строительной отрасли это особенно актуально, так как потеря устойчивости
происходит внезапно, зачастую при напряжениях существенно ниже предела
прочности материала, а также может приводить к значительным разрушениям.
Во многих строительных конструкциях применяются балки постоянной
жесткости. С целью снижения материалоемкости целесообразно использовать
элементы переменной по длине геометрии. При конструировании элементов
сплошного прямоугольного сечения стремятся к наименьшему отношению
ширины балки к высоте, из чего следует необходимость проверки на устойчивость
плоской формы изгиба. Наиболее актуально это для дощатоклееных балок,
поскольку древесина отличается низким модулем сдвига, и плохо работает на
кручение.
Кроме того, в настоящее время все большее распространение получают
конструкции из полимерных композиционных материалов, для которых также
характерен низкий модуль сдвига.
Многие материалы, включая дерево, полимеры и композиты на полимерной
основе, характеризуются явно выраженными реологическими свойствами, которые
могут существенно влиять на устойчивость элементов конструкций. Таким
образом, имеется необходимость в более точной формулировке задачи
устойчивости плоской формы изгиба балок с учетом физической нелинейности,
обусловленной ползучестью материала.
Степень разработанности проблемы. Вопросами геометрически
нелинейного расчета а также анализа устойчивости плоской формы
деформирования балочных конструкций занимались многие отечественные и
зарубежные исследователи, в том числе Л. Прандтль, С.П. Тимошенко,
А.С. Вольмир, Ф. Блейх, А.Р. Ржаницын. Существует сравнительно немного
публикаций, в которых рассматриваются балки переменного сечения, например,
работы А.А. Журавлева и А.А. Карамышевой. Довольно редко при расчете на
устойчивость плоской формы изгиба учитывается физическая нелинейность, и в
основном, как правило, рассматривается нелинейная зависимость между
напряжениями и мгновенными деформациями без учета эффекта времени.
Вопросы бокового выпучивания балок в условиях ползучести остаются
незатронутыми. Экспериментальные исследования показывают значительное
отклонение теоретических величин критических нагрузок от экспериментальных,
вероятно связанные с неучтенными начальными несовершенствами и работой
материала за пределами упругости.
Цель работы: разработка методов расчета балок на устойчивость плоской
формы изгиба в условиях ползучести с учетом переменной жесткости и начальных
несовершенств.
Задачи исследования:
– разработка алгоритма расчета упругих идеальных балок постоянной и
переменной жесткости на устойчивость плоской формы изгиба с учетом
вертикального смещения нагрузки относительно центра тяжести поперечного
сечения;
– получение разрешающих уравнений и разработка алгоритма расчета на
Итоги выполненного исследования:
1. Разработан алгоритм определения критической нагрузки для упругих
балок постоянного и переменного сечения без начальных несовершенств с учетом
приложения нагрузки с вертикальным смещением относительно центра тяжести
поперечного сечения. Для различных вариантов нагружения и закрепления балок
определен корректирующий коэффициент, учитывающий положение точки
приложения нагрузки. Достоверность результатов подтверждена конечно-
элементным моделированием в программном комплексе ЛИРА-САПР, а также
сравнением с решением проф. А.С. Вольмира.
2. Получено разрешающее уравнение для расчета на боковое выпучивание
балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных несовершенств в
виде эксцентриситета приложения нагрузки, а также начальной погиби в плоскости
наименьшей жесткости и начального угла закручивания. Установлено, что для
упругих балок начальные неправильности не оказывают влияния на выпучивание:
при приближении к критической нагрузке, независимо от величины начальных
несовершенств, перемещения балки резко возрастают.
3. Получено решение задачи о закручивании вязкоупругого бруса некруглого
поперечного сечения с использованием метода конечных разностей и метода
конечных элементов для определения напряжений в балке при боковом
выпучивании.
4. Построена группа разрешающих уравнений и разработан алгоритм расчета
на боковое выпучивание балок постоянного и переменного по длине
прямоугольного сечения с учетом ползучести и начальных несовершенств. Данные
уравнения также применимы и для конструкций из вязкоупругопластического
материала. Кроме того, они позволяют использовать произвольный закон
ползучести, в том числе и нелинейный.
5. Исследовано явление бокового выпучивания при ползучести для
полимерных балок с использованием нелинейного закона Максвелла-Гуревича, а
также для деревянных балок с применением линейного уравнения Максвелла-
Томпсона. Введена величина длительной критической нагрузки, справедливая как
для линейного, так и нелинейного уравнения связи между деформациями
ползучести и напряжениями. Если действующая на балку нагрузка меньше
длительной критической, то ползучесть носит ограниченный характер, и потеря
устойчивости не наблюдается. При нагрузке равной длительной критической
перемещения растут с постоянной скоростью, а при превышении этой величины
скорость роста перемещений возрастает во времени.
6. Выполнено теоретическое исследование ползучести деревянной и
полимерной балки при нагрузке выше длительной критической дл . Установлено,
что при > дл начальные неправильности существенно влияют на величину
критического времени, поэтому нагрузки, действующие на балку, должны быть
меньше длительной критической.
7. Введен новый критерий устойчивости при ползучести, основанный на
эффекте начального убывания нормальных напряжений с последующим их
возрастанием. За критическое время предлагается принимать значение, которому
на графике ( ) соответствует минимум напряжений.
1. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней пластин и оболочек [Текст] /
С.П. Тимошенко. – М.: Наука, 1971. – 810 с.
2. Тимошенко, С.П. Механика материалов [Текст] / С.П. Тимошенко, Дж.
Гере. – М.: Мир, 1976. – 669 с.
3. Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем [Текст] / С.П. Тимошенко.
– Л., М.: Гостехиздат, 1946. – 532 с.
4. Блейх, Ф. Устойчивость металлических конструкций [Текст] / Ф.Блейх. –
М.: Физматгиз, 1959. – 544 с.
5. Ржаницын, А.Р. Расчет металлических двутавровых балок, получивших
начальное искривление в горизонтальной плоскости [Текст] / А.Р. Ржаницын. – Л.,
М.: Стройиздат, 1946. – 30 с.
6. Ржаницын, А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем [Текст] / А.Р.
Ржаницын. – М.: Гостехиздат, 1955. – 475 с.
7. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А.С.
Вольмир. – М.: Наука, 1975. – 984 с.
8. Attard, M. M. Lateral buckling analysis ol beams by the FEM [Текст] / M.M.
Attard // Comput. and Struct. – 1986. – № 2. – Pp. 217-231.
9. Borri, С. Geometrically nonlinear behavior of space beam structures [Текст] /
C. Borri, H.W. Hulendiek // J. Struct. Mech. – 1985. – № 1. – Pp. 1-26.
10. Hsiao, K.M. A practical large displacements inplane analysis of elastic beams
[Текст] / K.M. Hsiao, G.Y. Hou // Comput. Mech. 86: Theory and Appl. Proc. Int. Conf.,
Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. 1. Tokyo e.a., 1986, III/59-III/64.
11. Рыбаков, В. А. Напряженно-деформированное состояние элементов
каркасных сооружений из тонкостенных стержней [Текст] / В.А. Рыбаков, О.С.
Гамаюнова // Строительство уникальных зданий и сооружений. – 2013. – №7. URL:
http://unistroy.spb.ru/index_2013_12/10_rybakov_.
12. Гарифуллин, М. Р. Устойчивость тонкостенного холодногнутого профиля
при изгибе – краткий обзор публикаций [Текст] / М.Р. Гарифуллин, Н. И. Ватин //
Строительство уникальных зданий и сооружений. – 2014. – №6. URL:
http://www.unistroy.spb.ru/index_2014_21/3_gari.
13. Krumm, R. Bemessung eines Stabilisierungsriegels unter Beriicksichtigung der
Riegelhohe [Текст] / R. Krumm // Stahlbau. – 1987. – № 9. – Pр. 267-270.
14. Dumonteil, P. Calcul numerique exact du deversement ela-stique d’une poutre
flechie [Текст] / P. Dumonteil // Constr. met. – 1986. – № 26. – Pp. 17-70.
15. Агаев, Н. Г. Вычисление значений критического параметра для балок с
переменным поперечным сечением [Текст] / Н.Г. Агаев // Изв. вузов.
Строительство и архитектура. – 1985. – №12. – С. 19-22.
16. Агаев, Н.Г. Некоторые особенности решения задач устойчивости плоской
формы изгиба балок [Текст] / Н.Г. Агаев // Изв. вузов. Строительство и
архитектура. – 1986. – № 12. – С. 20-24.
17. Алиев, Т. Х. Решение задач неупругой устойчивости плоской формы
изгиба методом конечных элементов [Текст] / Н.Г. Агаев, Т.Х. Алиев //
Строительная механика сооружений. – 1989. – С. 66-71.
18. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба балок ломанного
очертания [Текст] / А. Я. Дривинг, В. А. Косиченко // Исследования по
строительной механике и надежности конструкций. – 1986. – №5. – С. 143-153.
19. Дурднев, Б. Устойчивость плоской формы чистого изгиба балок
ломанного очертания с точечными подкреплениями [Текст] / Б. Дурднев // Теория
сооружений и расчет строительных конструкций в зонах Каракумского канала им.
В.И. Ленина. – 1985. – №1. – С. 106-119.
20. Дривинг, А. Я. Исследование устойчивости плоской формы чистого
изгиба балок с дискретными подкреплениями [Текст] / А. Я. Дривинг, Б. Дурднев
// Теория сооружений и расчет строительных конструкций в зонах Каракумского
канала им. В.И.Ленина. – 1985. – №1. – С. 126-.
21. Дривинг, А. Я. Аппарат метода перемещений в задачах устойчивости
плоской формы сжато-изгибаемых стержневых систем [Текст] / А.Я. Дривинг //
Строительная механика и расчет сооружений. – 1987. – №1. – С. 56-62.
22. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба стальных
стержневых конструкций [Текст] // Металлоконструкции и испытание сооружений
/ А.Я. Дривинг. – Л., 1987. – С. 49-55.
23. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба статически
неопределимых тонкостенных балок [Текст] / А.Я. Дривинг // Строительная
механика и расчет сооружений. – 1988. – № 5. – С. 34-37.
24. Пятикрестовский, К. П. Силовое сопротивление пространственных
деревянных конструкций при кратковременных и длительных нагрузках : дис. …
докт. техн. наук : 05.23.01 / – К.П. Пятикрестовский. – Москва, 2011. – 320 с.
25. Стружанов, В. В. Итерационные процедуры расчёта параметров
равновесия и устойчивость процесса чистого изгиба балок из пластических и
хрупких разупрочняющихся материалов [Текст] / В. В. Стружанов, Е.А. Бахарева
//Вестник Самарского гос. техн. ун-та. – 2010. – №. 1.
26. Aristizabal-Ochoa, I. D. Statics, stability and vibration ol nonprismatic beams
and columns [Текст] / I.D. Aristizabal-Ochoa // J. Sound and Vibr. – 1993. – № 3. – Pp.
441-445.
27.Scheer,C.Vorschlageinererwei-tertenSeitenlastqbei
Normalkraftbeamspruchung [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, F. S. Szu // Bauen mit
Holz. – 1992. – Pp. 1014-1021.
28. Scheer, C. Beitrag zum Kipp-Stabi-litatsnachweis im Holzbau. Vorschlag eines
lastabhangigen K-Werts [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, S. Eang. // Bauen Holz. –
1994. – № 1. – Pp. 17-21.
29. Scheer, C., Laschinski C., Szu F.S. Vorschlag eines lastabhangigen К –Werts
[Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, F.S. Szu // Holzbau-Statik-Aktuel. Information zur
Berechnung von Holzkonstruktionen. – 1992. – №4. – Pp. 12-16.
30. Nethercot, D.A. Lateral buckling [Текст] / D.A. Nethercot // Stabil.
Steel.Struct. – 1988. – №1. – Pp.217-235.
31. Шейнкман, В. С. Расчет по деформированной схеме стержней-полос,
соединенных плоскостью связей [Текст] / В.С. Шейнкман // Изв. вузов.
Строительство и архитектура. – 1983. – №2. – С. 18-22.
32. Шейнкман, В.С. Устойчивость плоской формы изгиба системы балок с
непрерывными связями [Текст] / В.С. Шейнкман // Строительная механика и расчет
сооружений. – 1989. – № 4. – С. 44-48.
33. Власов, В. З. Тонкостенные упругие стержни [Текст] / В.З. Власов. – М.:
Физматгиз, 1959. – 586 с.
34. Островерх, Р. А. Исследование потери устойчивости стержней
переменного сечения [Текст] / Р.А. Островерх // Прочность корпуса и зашита судов
от коррозии. – 1985. – №3. – С. 38-40.
35. Островерх, Р.А. Собственные значения при потере устойчивости
стержней [Текст] / Р.А. Островерх // Прочность корпуса и защита судов от
коррозии. – 1989. – №5. – С. 80-85.
36. Heimeshoff, В. Zur Berechnung von Biegetragern aus nach-giebig miteinander
verbundenen Querschnittsteilen im Ingenieurholzbau [Текст] / B. Heimeshoff // Holz
Roh- und Werkst. – 1987. – № 6. – Pp. 237-241.
37. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба криволинейного
составного стержня с учетом начальных неправильностей [Текст] / И. С. Заривняк,
Г. Р. Заривняк // Проблемы прочности. – 1986. – № 2. – С. 43-44.
38. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба слоистого стержня
под воздействием начальных прогибов [Текст] / И. С. Заривняк // Проектирование
самолетных конструкции и их соединений. – 1986. – №3. – С. 132-136. .
39. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составного стержня
со случайными начальнымим неправильностями [Текст] / И. С. Заривняк // Изв.
вузов. Строительство и архитектура. – 1988. – № 5. – С. 32-35.
40. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составных балок с
переменными поперечными сечениями и начальными неправильностями [Текст] /
И.С. Заривняк, В.Ю. Перель // Изв. вузов. Строительство и архитектура. – 1988. –
№1. – С. 36-39.
41. СП 64.13330.2017 Деревянные конструкции.Актуализированная
редакция СНиП II-25-80.
42. Родин, Б. Е. Деформационный метод расчета устойчивости деревянных
изгибаемых элементов [Текст] / Б.Е. Родин // Исследование прочности и
эффективности современных конструкций из древесины и пластмасс. – МИСИ им.
В. В. Куйбышева. – 1987. – С. 62-66.
43. Wang, Y. C. Bracing reguirements for elate-rally unrestrained beams / Y.C.
Wang, D.A. Nethercot [Текст] // J. Constr. Steel Res. – 1990. – №4. – Pp. 305-315.
44. Зарифьян, А. З. Об устойчивости двутавровых балок при действии
внецентренно приложенной поперечной нагрузки [Текст] / А.З. Зарифьян //
Строительство и архитектура. – 1966. – № 1. – С. 69-74.
45. Duy, W. Das Ersatzstabverfahren im Holzbau [Текст] / W. Duy //
Bauingenieur. – 1988. – № 6. – Pp. 253-266.
46. Mollman, H. Interactive buckling in thin-walled beams. Part. 1. Theory [Текст]
/ H. Mollman, P. Golterman // Rept. Dan. Cent. Appl. Math and Mech. – 1987. – № 344.
– Pp. 1-26.
47. Nevrly, V. Pouziti metodi prenosovych matic pro reseni kombinace ohybu a
tlaku (tahu) primych nosniku [Текст] / V. Nevrly // Strojirenstvi. – 1988. – № 11. – P.
597-603.
48. Williams, F. W. Buckling curves for elastically-supported columns with
varying axial force, to predict lateral buckling of beams [Текст] / F. W. Williams, A.K.
Jemah // Constr. Steel Res. – 1987. – № 2. – Pp. 133-147.
49. Wang, C. M. Out-of-plane buckling formulae for beam-columns (tiebeams)
[Текст] / C.M. Wang, S. Kitipornehai // Res. Rept. Univ. Queensl. Dep. Civ. Eng. – 1988.
– № 92. – Pp. 11-23.
50. Тамакулов, С. П. Исследование устойчивости плоской формы изгиба
клееных деревянных балок, раскрепленных боковыми жесткими связями [Текст] /
С.П. Тамакулов // Новые облегченные конструкции зданий. – Ростов-на-Дону:
РИСИ, 1982. – С. 102-107.
51. Goltermann, P. Lateral distirtional buckling: pedicting elastic critical stress
[Текст] / P. Goltermann, S.E. Svensson // J. Struct. Eng. (USA). – 1988. – №7. – Pp.
1606-1625.
52. Kessel, M. H. Zur seitlichen Stabilisierung des unterspannten Tragers [Текст]
/ M. H. Kessel // Bauingeniertr. – 1988. – № 6. – Pp. 281-287.
53. Kessel, M. H. Zum raumlichen Tragverhalten von Nagelplatten-bindern
[Текст] / M. H. Kessel // Bauingenieur. – 1996. – №71. – Pp. 211-218.
54. Mohler, K. Zur Bemessung von Knickverbanden und Knickaussteif ungen im
Holzbau [Текст] / K. Mohler, W. Schelling // Bauingenieur. – 1968. – №. 2. – Pp. 43-48.
55. Pienaar, R. P. The effective length and bracing requirments for out of plane
buckling of timber rafters in compression [Текст] / R.P. Pienaar // J. Afr. Forest. J. –
1986. – № 137. – Pp. 13-25.
56. Wang, C. M. Buckling of braced monosymmetrie cantilever [Текст] / C.M.
Wang, S. Kitipornehai, V. Thevendran // Int. J. Mech. Sci. – 1987. – № 5. – Pp. 321-337.
57. Reyer, E. Zum genaueren Nachweis der Kippstabi-litat biegebeanspruehter
parallelgurtiger Brettschichtholz-Trager mit seitliehen Zwisehenabstiitzimgen des
Obergurtes nach Theorie II.Ordnung [Текст] / E. Reyer, D. Stojic // Holzbau-Statik-
Aktuel. – 1992. – № 4. – Pp.2-11.
58. Чепурненко, А.С. Расчёт на устойчивость полимерных стержней при
изменении температуры в поперечном сечении [Текст] / А.С. Чепурненко, С.В.
Литвинов, А.А. Тараева // Строительство–2013: Материалы международ. науч.–
практ. конф. — Ростов–н/Д: РГСУ, 2013. — С.194-195.
59. Чепурненко, А.С. Расчёт стержней на продольно-поперечный изгиб с
учётомдеформацийползучестииначальныхнесовершенств[Текст]/
А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов, М.А. Филенко // Строительство–2013: Матер.
междунар. науч. – практ. конф. — Ростов–н/Д: РГСУ,2013. — С.195.
60. Козельская, М.Ю. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней
с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций [Текст] /
М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научно–технический
вестник Поволжья. — 2013. — №4. — С. 190–194.
61. Козельская, М.Ю. Применение метода Галёркина при расчете на
устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести [Текст] / М. Ю. Козельская, А.
С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2013. — №2. —
URL: http:/ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
62. Козельская, М.Ю. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней
с учетом физической нелинейности методом конечных элементов [Текст] / М. Ю.
Козельская, А. С. Чепурненко, С.Б. Языев // Науковедение. — 2013. — № 3. — URL:
http://naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.
63. Чепурненко, А.С. Энергетический метод при расчете на устойчивость
сжатых стержней с учетом ползучести [Текст] / А. С. Чепурненко, В. И. Андреев,
Б. М. Языев // Вестник МГСУ. — 2013. — №1. — С. 101–108.
64. Andreev, V.I. Energy method in the calculation stability of compressed
polymer rods considering creep [Текст] / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M.
Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 1004-1005. — С. 257-260.
65. Дудник, А.Е. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с
учетом дискретного спектра времен релаксации полимера [Текст] / А.Е. Дудник,
Н.И. Никора, А.С. Чепурненко, С.Б. Языев // Известия Кабардино-Балкарского
государственного университета. — 2015. — C. 106-108.
66. Никора, Н.И. Устойчивость полимерного стержня в условиях нелинейной
термовязкоупругости [Текст] / Н. И. Никора, А. С. Чепурненко, А. Е. Дудник //
Научно-технический вестник Поволжья. — 2015. — № 4. — С. 107-110.
67. Чепурненко, А.С. Устойчивость продольно-сжатых стержней переменной
жесткости [Текст] / А.С. Чепурненко, Н.И. Никора // Строительство–2015:
Материалы международ. науч.-практ. конф. — Ростов–н/Д: РГСУ, 2015. — С. 103–
104.
68. Horvath, L. Lateral buckling of continuous beams [Текст] / L. Horvath, M.
Ivanyi, W. Karoly // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Colloq., Tihany, Sept. 25-26, 1986:
Mem Otto Halasz. – Vol. 1. – Budapest. – 1988. – Pp. 287-294.
69. Ings, N. L. Beam and column buckling under directed loading [Текст] / N.L.
Ings, N.S. Trahair // J. Struct. Lng. – 1987. – № 6. – Pp. 1251-1263.
70. Lindner, J. Comments to theme III: lateral buckling [Текст] / J. Lindner //
Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Colloq., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem. Otto Halasz. –
Vol.1. – Budapest, 1988. – Pp. 345-348. .
71. Melcher, J. Restrained beam buckling-theory and experiments [Текст] / J.
Melcher // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Collog., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem Otto
Halasz. – Vol.1. Budapest, 1988. – Pp. 303-310.
72. Журавлев, А. А. Устойчивость плоской формы деформирования
непризматических дощатоклееных балок : дис. … канд. техн. наук : 05.23.01. –
Ростов-на-Дону, 1998. – 154 с.
73. Журавлёв, А. А. Устойчивость непризматических балок при чистом
изгибе [Текст] / А. А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. – 1995. – № 5 – 6. – С.
29-35.
74. Журавлёв, А. А. Устойчивость непризматических балок при действии
сосредоточенной силы [Текст] / А.А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. – 1996.
– № 4. – С. 110-113.
75. Журавлёв, А. А. Влияние положения точки приложения силы на
устойчивость плоской формы изгиба непризматической балки [Текст] / А.А.
Журавлев // Изв. вузов. Строительство. – 1996. – № 7. – С. 7-10.
76. Мартемьянов, В. И. Об устойчивости призматических деревянных балок
при изгибе силой, приложенной не посередине пролёта [Текст] / В. И.
Мартемьянов, А. А. Журавлев // Лёгкие строительные конструкции. – Ростов-на-
Дону: РГАС, 1996. – С. 58-69.
77. Карамышева, А. А. Совершенствование расчета на устойчивость плоской
формы изгиба деревянных балок переменного сечения и их оптимизация: дис. …
канд. техн. наук: 05.23.17 / А.А. Карамышева. – Ростов-на-Дону, 2016 – 124 с.
78. Карамышева, А.А. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок
переменной жесткости [Текст] / А. А. Карамышева, С. Б. Языева, А. С. Чепурненко
// Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия:
Технические науки. — 2016. — № 1. — С. 95-98.
79. Карамышева, А.А. Устойчивость плоской формы изгиба односкатной
дощатоклееной балки [Текст] / А.А. Карамышева, А.С. Чепурненко, Б.М. Языев //
Научное обозрение. — 2016. — № 7. — С. 25-27.
80.Карамышева,А.А.Расчетнаустойчивостьплоскойформы
деформирования односкатной балки [Текст] / А.А. Карамышева, Н.И. Никора, С.Б.
Языев // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. – 2015. –
С. 32-35.
81. Карамышева, А.А. Выпучивание двухскатной балки при чистом изгибе //
А.А. Каамышева, С.Б. Языев, А.Е. Дудник [Текст] // Актуальные проблемы
технических наук в России и за рубежом. – 2015. – С. 35-37.
82. Karamisheva, A.A. Calculation of plane bending stability of beams with
variable stiffness [Текст] / A.A. Karamisheva, S.B. Yazyev, A.A. Avakov // Procedia
Engineering. – 2016. – Vol.150. – Pp. 1872-1877.
83. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] / В.И.
Самуль. – М.: Высшая школа, 1982. – 264 с.
84. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости
и пластичности [Текст] / Г.С. Варданян [и др.] – М.: Издательство АСВ, 2015. – 568
с.
85. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л.
Сегерлинд. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
86. Andreev, V.I. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep [Текст]
/ V. I. Andreev, B. M. Yazyev, A. S. Chepurnenko // Advanced Materials Research. —
2014. — Т. 900. — С. 707-710.
87.Сhepurnenko,A.S.DeterminationofRheologicalParametersof
Polyvinylchloride at Different Temperatures [Электронный ресурс]/ A.S. Chepurnenko,
V.I. Andreev, A.N. Beskopylny, B.M. Jazyev // MATEC Web of Conferences. — 2016.
—Т.67.—С.06059.—Режимдоступа:https://www.matec-
conferences.org/articles/matecconf/abs/2016/30/matecconf_smae2016_06059/mateccon
f_smae2016_06059.html
88. Клименко, Е. С. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учётом
физической нелинейности материала : дисс. … канд. техн. наук: 05.23.17 / Е.С.
Клименко. – Ростов-на-Дону, 2011. – 112 с.
89. Вареник, К. А. Расчет центрально-сжатых деревянных элементов с учетом
ползучести: дисс. … канд. техн. наук: 05.23.01 / К.А. Вареник. – Великий Новгород,
2015. – 167 с.
90. Никора, Н.И. Определение длительных критических нагрузок для сжатых
полимерных стержней при нелинейной ползучести [Электронный ресурс] / Н. И.
Никора, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2015.
— № 1. — Режим доступа: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2796.
91. Никора, Н. И. Продольный изгиб стержней переменной жесткости с
учетом деформаций ползучести и температурных воздействий: дисс. … канд. техн.
наук: 05.23.17 / Н.И. Никора. – Махачкала, 2016. – 118 с.
92. Никора, Н.И. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с
учетом дискретного спектра времен релаксации полимера [Текст] / Н.И. Никора [и
др.] // Научное обозрение. — 2016. — № 4. — С. 40-43.
Публикации автора в научных журналах
Помогаем с подготовкой сопроводительных документов
Хочешь уникальную работу?
Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!
4.9 (298 отзывов)
4.6 (92 отзыва)
5 (145 отзывов)
5 (18 отзывов)
4.6 (522 отзыва)
4.9 (522 отзыва)
4.8 (9 отзывов)
5 (18 отзывов)
4.8 (105 отзывов)
