Разработка математического и алгоритмического обеспечения проверки статистических гипотез о деградационных моделях надежности

Во введении обоснована актуальность темы диссертации,
сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и
практическая ценность работы, дано краткое содержание работы по разделам.
В первой главе основной части диссертационной работы рассмотрены
деградационные гамма- и винеровская модели, описан метод максимального
правдоподобия для оценивания параметров деградационных моделей, а также
проведен анализ статистических свойств оценок параметров моделей.
Деградационные модели надежности применяются для решения двух
видов задач:
− оценка остаточного времени безотказной работы для некоторого
конкретного объекта;
− оценка распределения времен наработки до отказа для расчета
основных показателей надежности совокупности однородных объектов.
Прогноз остаточного времени безотказной работы получают на основе
данных о деградации одного конкретного объекта с использованием как
параметрических авторегрессионных моделей, так и таких методов
машинного обучения, как рекуррентные нейронные сети, градиентный
бустинг, скрытые марковские модели и другие. Для построения вероятностной
модели надежности, на основе которой получают оценки показателей
надежности, требуются данные о деградации некоторой выборки объектов из
исследуемой генеральной совокупности. В настоящей диссертационной
работе рассматриваются деградационные модели надежности для решения
второй задачи – оценивания распределения времен наработки до
деградационного отказа.
Сформулируем основные предположения, лежащие в основе построения
деградационных моделей надежности. Пусть случайный процесс Z ( t ) ,
характеризующий процесс деградации исследуемых изделий и называемый
деградационным процессом, удовлетворяет следующим условиям:
1. Z ( 0 ) = 0 ;
2. Z ( t ) является случайным процессом с независимыми приращениями;
3. математическое ожидание случайного процесса M ( Z ( t ) ) –
положительная возрастающая функция.
4. приращения Z ( t ) = Z ( t + t ) − Z ( t ) подчиняются некоторому
распределению с функцией плотности f ( t ; ) , где t – положительное
приращение по времени,  – вектор параметров распределения.
Предполагается, что деградационный процесс наблюдается при
некоторой постоянной во времени нагрузке (ковариате) x , диапазон значений
которой определяется условиями проведения эксперимента и представляет
собой отрезок числовой прямой. В общем случае ковариата x представляет
собой векторную величину, поскольку может учитываться влияние
нескольких факторов, например температуры, напряжения, давления и
прочих. Однако в настоящей работе для упрощения математических
выражений ковариата рассматривается как скалярная величина.
Влияние ковариаты x на изменение показателя деградации будем
учитывать так же, как это делается в модели ускоренных испытаний:
 t 
Z x (t ) = Z ,
 r ( x;  ) 
где r ( x;  ) – положительная функция,  – регрессионный параметр.
Обозначим математическое ожидание случайного процесса Z x (t ) через
M ( Z x ( t ) ) = mx ( t ) ,
где mx ( t ) – положительная возрастающая функция. Будем называть ее
функцией тренда показателя деградации.
Таким образом, время наработки до отказа, которое зависит от
ковариаты x , представляет собой случайную величину
Tx = sup{t : Z x (t )  z}.
Для удобства введем следующее обозначение функции тренда:
mx ( t ) =  0   x ( t ) , (1)
где  x ( t ) – положительная возрастающая функция.
Функцией надежности называется вероятность безотказной работы за
время t :
S x (t ) = P{Tx  t} = P{Z x (t )  z},
где z – критическое значение показателя деградации, при достижении
которого фиксируется отказ объекта.
Деградационный процесс Z x (t ) является деградационным гамма-
процессом, если приращение Z x (t ) = Z x (t + t ) − Z x (t ) подчиняется гамма-
распределению с функцией плотности
 x ( t ) −1
ue−u /
fGamma ( u; ,  x (t ) ) =  ,
   Г (  x (t ) )
где  x (t ) = ( mx (t + t ) − mx (t ) )  – параметр формы,   0 – параметр
масштаба.
Функция надёжности для рассматриваемой деградационной гамма-
модели принимает вид:
m (t ) 
S x (t ) = P{Tx  t} = P{Z x (t )  z} = FGamma  z; , x (2)
 
где FGamma ( ) – функция распределения гамма-распределения.
Для учета разброса значений деградационного показателя от объекта к
объекту будем рассматривать параметр  =  −1 в гамма-модели в качестве
случайной величины, имеющей гамма-распределение с параметрами  −1 и  :
FGamma ( t; −1 , ) ,
где параметр  −1 является параметром масштаба, а параметр  – параметром
формы. Выбор параметра масштаба  в качестве случайной величины,
отвечающей за разброс значений показателя деградации между объектами,
обусловлен тем, что значения данного параметра оказывают влияние на
величину наклона функции тренда.
Поскольку математическое ожидание случайной величины  равно
M  =   , а дисперсия D =   2 , получаем, что параметр масштаба  имеет
математическое ожидание, равное M  =  ( − 1) , а также дисперсию1
2
D =
( − 1) ( − 2 )
при   2 . Тогда маргинальная функция распределения для Z x (t ) в некоторый
фиксированный момент времени будет записана как:

f Z x (t ) ( u; , , x ( t ) ) =  fGamma ( u; −1 , x ( t ) ) fGamma (; −1 , ) d  =
 x ( t )−1 

−1 ( x ( t ) ; ) ,
u
= x ( t )+
(u +  )
Lawless J. Covariates and random effects in a gamma process model with application to
degradation and failure / J. Lawless, M. Crowder // Lifetime Data Analysis. – 2004. – V. 10. – P.
213–227.
где B ( x, y ) =  t x −1 (1 − t )dt при x  0 , y  0 – бета-функция (интеграл Эйлера
y −1
I рода). Параметр формы  x ( t ) в таком случае равен:

 x (t ) =
( − 1)  mx ( t ) .


Следуетотметить,что Z ( t ) будет иметь
величина
  x ( t ) x
распределение Фишера с параметрами 2 x ( t ) и 2 . В таком случае функция
надежности деградационной гамма-модели со случайным параметром
запишется следующим образом:
z
S x (t ) = P{Tx  t} = P{Z x (t )  z} =  f Z x (t ) ( u; , , x ( t ) ) du =
 z
= F; 2 x ( t ) , 2  ,(3)
   x ( t )
где F ( ) – функция распределения Фишера.
Деградационный процесс Z x (t ) является винеровским деградационным
процессом, если приращения Z x (t ) = Z x (t + t ) − Z x (t ) подчиняются
нормальному распределению с функцией плотности
1  u −sx ( t ) 
− 
f N ( u; sx ( t ) ,  x ( t ) ) =
12   x ( t ) 
e,
2   x ( t )
гдеsx ( t ) = mx ( t + t ) − mx ( t )–этопараметрсдвига,а
 x ( t ) =   x ( t + t ) −  x ( t )–параметрмасштаба,функцияx (t )
определена в выражении (1).
Функция надёжности для рассматриваемой винеровской деградационной
модели принимает вид:
 z − m (t ) 
S x ( t ) = P{Tx  t} = P{Z x ( t )  z} =  x
, (4)
   x (t ) 

где  () – функция стандартного нормального распределения.
Поскольку параметр  0 функции тренда mx ( t ) характеризует, по сути,
скорость роста показателя деградации, то в случае винеровской модели для
учета разброса значений деградационного показателя от объекта к объекту
параметр  =  0 будем рассматривать как случайную величину, имеющую
усеченное нормальное распределение с функцией плотности:
f ( u;  ,  )
ftrunc (u;  ,  ) = N, (5)
1 − FN ( 0;  ,  )
где f N ( ) , FN ( ) – функции плотности и распределения нормального закона,
соответственно, параметр  является параметром сдвига, а параметр  –
параметром масштаба.
В случае винеровской модели со случайным параметром маргинальная
функция плотности для Z x (t ) в фиксированный момент времени равна:

()

f Z x (t ) ( u; x ( t ) , ,  ,  ) =  f N u;   x ( t ) ,  x ( t ) f trunc ( ;  ,  ) d  .
Тогда функция надёжности для винеровской деградационной модели со
случайным параметром будет вычисляться по формуле:
z
S x ( t ) = P{Tx  t} = P{Z x ( t )  z} =  f Z x (t ) ( u; x ( t ) , ,  ,  ) du .(6)
Пусть для каждого из n случайно отобранных из генеральной
совокупности объектов получены измерения показателя деградации в виде
случайного процесса Z i (t ) , а также соответствующая величина нагрузки
(ковариаты) x i , при которой эксплуатировался i -й объект, i = 1, n . Обозначим
измерения показателя деградации для i -го объекта через
(0, Z 0i ),(t1i , Z1i ),…,(tki i , Z ki i ) , j = 1, ki ,
где ki – это число измерений деградационного показателя во времени. Без
потери общности будем считать, что начальное значение показателя
деградации Z 0i = 0 , i = 1, n .
Обозначим выборку приращений через
Xn =( Xi
j= Z ij − Z ij −1 , xi ) , i = 1, n, j = 1, ki .
Для оценивания неизвестных параметров деградационной модели
воспользуемся методом максимального правдоподобия.
Пусть случайные процессы Z xi (t ) , i = 1, n , подчиняются деградационной
гамма-модели с математическим ожиданием mx ( t ;  ,  ) и функцией от
ковариат r ( x;  ) , тогда оценка максимального правдоподобия вектора
параметров  = ( ,  ,  ) будет вычисляться в результате решения задачи
оптимизации:

()
ki
ln L ( Xn , ) =  ln fGamma X ij ; ,  x ( t ij ) → max ,
n
(7)

i =1 j =1

mx ( t ij ;  ,  ) − mx ( t ij −1 ;  ,  )
где  x ( ti
)=– параметр формы.
j

В случае деградационной гамма-модели со случайным параметром,
учитывая тот факт, что для данной модели параметр  =  −1 имеет гамма-
распределение с параметрами  −1 и  , функция правдоподобия будет записана
как произведение совместных функций плотности приращений X ij и функции
плотности случайного параметра:
()
n
L ( X n ) =  f X 1i , X 2i ,…, X kii =
i =1

 ki
n 
()
=    fGamma X ij ; −1 ,  x ( t j )  fGamma ( ,  −1 , )d  =
i =1 0  j =1
  x ( t j )−1 

= 
n
 (( t) )ki
( X ij )
,
 x ( tk )+ 

xk

i =1  ( ) ( Z +  )


i
k
j =1   x ( t j ) (
)

где  ( ) – гамма-функция Эйлера.
Если случайные процессы Z xi ( t ) , i = 1, n подчиняются винеровской
деградационной модели с математическим ожиданием mx ( t ;  ,  ) и функцией
от ковариат r ( x;  ) , тогда оценка максимального правдоподобия вектора
параметров  = ( ,  ,  ) будет получена в результате оптимизации:

()
ki
ln L ( X n , ) =  ln f N X ij ; sx ( t ij ) ,  x ( t ij ) → max ,
n
(8)

i =1 j =1

(
где sx ( t ij ) =  0  x ( t ij ;  ,  ) −  x ( t ij −1 ;  ,  ))– параметр сдвига,  x ( t ij ) =  

 x ( t ij ;  ,  ) −  x ( t ij −1 ;  ,  ) – параметр масштаба.
Если же рассматривается винеровская деградационная модель со
случайным параметром, где параметр  =  0 имеет усеченное нормальное
распределение (5), функция правдоподобия будет записана аналогично
деградационной гамма-модели со случайным параметром:

()
n
L ( X n ) =  f X 1i , X 2i ,…, X kii =
i =1

 ki
(
)
n 
=    f N X ij ;   x ( t ) ,  x ( t )  ftrunc (;  ,  )d  .
i =1 0  j =1
Обязательным этапом построения деградационной модели надежности,
впрочем, как и любой другой вероятностной модели, является проверка
статистической гипотезы о виде модели. Данный этап включает в себя
проверку предположений о виде функции распределения приращений
деградационного показателя, функции тренда и функции от ковариат, а также
проверку значимости дисперсии случайного параметра, если рассматривается
деградационная модель со случайным параметром.
Наиболее популярными критериями для проверки гипотезы о виде
распределения являются критерии согласия типа Колмогорова, Крамера-
Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга. Однако при проверке сложных
гипотез условные распределения статистик данных критериев зависят от ряда
факторов: от метода оценивания параметров, типа и числа оцениваемых
параметров, а в случае таких законов как гамма- и бета-распределения,
обратного гауссовского закона – от конкретных значений параметров формы2.
Кроме того, в случае проверки сложных гипотез о виде деградационных
моделей на распределения статистик критериев согласия, в общем случае,
могут оказывать влияние вид функции тренда, функции от ковариат, а также
план эксперимента.
Еслинаблюдаетсядостаточнобольшойразбросзначений
деградационного показателя от объекта к объекту, то можно предположить,
что более подходящей для описания деградационных процессов является
модель со случайным параметром. Однако для проверки данного
предположения требуется разработать специальные критерии для проверки
значимости дисперсии случайного параметра.
Таким образом, актуальными задачами являются разработка алгоритма
корректного применения критериев согласия типа Колмогорова, Крамера-
Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга для проверки гипотез о виде
деградационных моделей, а также разработка критериев для проверки
гипотезы о незначимости дисперсии случайного параметра для
деградационных гамма- и винеровской моделей.
Во второй главе приведены исследования влияния величины дисперсии
случайного параметра на точность оценивания параметров гамма- и
винеровских деградационных моделей, предложены критерии проверки
гипотезы о незначимости дисперсии случайного параметра рассмотренных
моделей, а также проведено исследование мощности предложенных
критериев.
Вполне естественно, что процесс деградации развивается по-разному для
различных объектов, и кажется разумным построение деградационной модели
со случайным параметром, который отвечает за разброс значений показателя
деградации от объекта к объекту. Однако выбор такой модели приводит к
увеличению размерности вектора неизвестных параметров, так как помимо
уже имеющихся параметров в модели, добавляются параметры распределения
случайного параметра. Поэтому необходимо выяснить, позволяет ли введение
случайного параметра в модель получить более точные оценки параметров.
В работе приведены результаты исследования точности получаемых
оценок параметров для деградационных гамма- и винеровских моделей в
зависимости от величины дисперсии случайного параметра. Дисперсия
случайного параметра  определяется следующим образом:
− в случае деградационной гамма-модели:
D =   2 ,
− в случае винеровской модели:
   f N ( 0;  ,  )    f N ( 0;  ,  )  
− D =  1 −
− .
 1 − FN ( 0;  ,  )  1 − FN ( 0;  ,  )  

Лемешко Б.Ю. Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия
при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия.
Ч.I / Б.Ю. Лемешко, С.Б. Лемешко // Измерительная техника, 2009. – № 6. – С.3–11.
В результате проведенных методами статистического моделирования
исследований показано, что правильно выбранный тип деградационной
модели (со случайным параметром или без) повысит точность оценивания
параметров, а, следовательно, и позволит в дальнейшем получить более
точную оценку надежности. В качестве примера на рисунке 1 представлены
усредненные по 10000 экспериментам значения относительной погрешности
оценки регрессионного параметра ˆ деградационных гамма-моделей:
ист − ˆ
=,
ист
где ист– истинное значение параметра  .

 0.25

0.2

0.15

0.1

0.05
D = 0.04D = 0.15D = 3.86
Без случайного параметраСо случайным параметром

Рисунок 1 – Значения относительной погрешности  параметра 
деградационных гамма-моделей
Как видно из рисунка 1, при небольшой величине дисперсии случайного
параметра целесообразно рассматривать модель без случайного параметра, в
то время как с ростом величины дисперсии случайного параметра ОМП
регрессионного параметра оказывается точнее в случае модели со случайным
параметром.
Пусть требуется проверить гипотезу о незначимости дисперсии
случайного параметра деградационной модели:
H 0 :  = const .
Принятие данной гипотезы будет фактически означать, что исходные данные
соответствуют деградационной модели без случайного параметра.
Конкурирующая гипотеза, соответствующая деградационной модели со
случайным параметром, имеет вид:
H1 : D  0 .
Для проверки гипотезы H 0 в настоящей диссертационной работе
предложены критерий отношения правдоподобия, а также критерий,
основанный на оценке дисперсии случайного параметра.
Значениестатистикикритерияотношения правдоподобия
рассчитывается как:
L ( X n | H1 )
n = ln,
L ( Xn | H 0 )
где L ( X n | H 0 ) – это значение максимума функции правдоподобия для
деградационной модели без случайного параметра, L ( X n | H1 ) – значение
максимума функции правдоподобия для деградационной модели со
случайным параметром. Нулевая гипотеза отклоняется при больших
значениях n .
Как известно, согласно лемме Неймана-Пирсона, критерий отношения
правдоподобия является наиболее мощным при проверке лишь простых
гипотез, чего нельзя сказать о нем в случае проверки сложных гипотез с
учетом оценки параметров. Поэтому в качестве альтернативного подхода в
диссертации предлагается критерий, основанный на оценке дисперсии
случайного параметра деградационной модели.
При работе с деградационной гамма-моделью со случайным параметром
вида (3) оценка дисперсии случайного параметра  равна
ˆn2
dn =,
(n − 1) (n − 2 )
ˆˆ
где ˆ и ˆ являются оценками максимального правдоподобия параметров
nn
формы и масштаба распределения случайного параметра  , соответственно.
Для винеровской деградационной модели со случайным параметром вида
(6) оценка дисперсии случайного параметра рассчитывается следующим
образом:

()()
ˆ  f 0; ˆ , ˆ  

ˆ f0; 
ˆ, ˆ 
 ,
d n = ˆn2 1 −−
nNnnnNnn



()
1 − FN 0; ˆ n , ˆn ( )
 1 − F 0; ˆ , ˆ  
Nnn
 
где ˆ n и ˆn являются оценками максимального правдоподобия параметров
сдвига и масштаба усеченного нормального распределения, соответственно.
Аналитический вид функции распределения статистик n и d n
предложенных критериев неизвестен, так как на вид распределения влияет ряд
факторов, таких как вид функции тренда, значения и число моментов замера
показателя деградации, объем выборки и другие. Следовательно, применение
данных критериев возможно только с использованием методов
статистического моделирования в интерактивном режиме проверки гипотезы.
Алгоритм проверки гипотезы о незначимости дисперсии случайного
параметра можно сформулировать следующим образом:
1. Сгенерировать выборку приращений для деградационной модели без
случайного параметра в соответствии с заданными планом эксперимента и
параметрами, представляющими собой значения оценок максимального
правдоподобия, полученные по исходной выборке.
2. Методом максимального правдоподобия оценить параметры
деградационной модели без случайного параметра по смоделированной
выборке, полученной в пункте 1, используя функцию правдоподобия вида (2)
в случае деградационной гамма-модели или вида (4) в случае винеровской
деградационной модели.
3. Методом максимального правдоподобия оценить параметры
деградационной модели со случайным параметром по смоделированной
выборке, полученной в пункте 1, используя функцию правдоподобия вида (3)
в случае деградационной гамма-модели или вида (6) в случае винеровской
деградационной модели.
4. Вычислить значения статистик n и d n .
5. Повторив действия из пунктов 1 – 4 M число раз, получить
эмпирическую функция распределения GM ( s | H 0 ) для каждого из
предложенных критериев.
6. Вычислитьзначениядостигаемогоуровнязначимости
 n = 1 − GM ( Sn | H 0 ) , где Sn – это соответствующее значение статистики ( n
или d n ).
7. Если значение  n меньше заданного уровня значимости  , то
гипотеза H 0 отклоняется.
С помощью метода Монте-Карло проведено исследование мощности
предложенных критериев для деградационной гамма-модели и винеровской
деградационной модели при различных объемах выборок, моментах времени
измерения показателя деградации, а также различной величине дисперсии
случайного параметра. Оценки мощности критерия, основанного на оценке
дисперсиислучайногопараметра,оказалисьнескольковыше
соответствующих оценок мощности критерия отношения правдоподобия при
малых объемах выборок.
Основные результаты, представленные в главе 2, опубликованы в [2, 3, 8,
13].
В третьей главе представлены результаты исследования распределений
статистик непараметрических критериев согласия при проверке простых и
сложных гипотез о виде деградационных гамма- и винеровской моделей,
приведен алгоритм проверки сложных гипотез о виде деградационных гамма-
и винеровской моделей с использованием непараметрических критериев
согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и Андерсона-
Дарлинга, а также продемонстрированы результаты исследования мощности
данных критериев относительно близких конкурирующих гипотез,
соответствующих различным видам деградационных моделей.
В случае деградационной гамма-модели гипотезу H 0 о виде модели
можно записать следующим образом:
m (t + t ;  ,  ) − mx (t ;  ,  )
H 0 : FZ x (t ) ( z )   FGamma ( z; ,  ( t ) ) ,  ( t ) = x,

 ,  ,    .
Когда же в рассмотрении находится винеровская деградационная модель,
гипотеза H 0 принимает вид:
H 0 : FZ x (t ) ( z )  FN ( z; s ( t ) , ) , s ( t ) =  0 ( x ( t + t ;  ,  ) −  x ( t ;  ,  ) ) ,
 ( t ) =   x ( t + t ;  ,  ) −  x ( t ;  ,  ) ,  ,   .
Для проверки гипотез о виде вероятностной модели по выборкам
независимых одинаково распределенных случайных величин существует
целый ряд критериев согласия, например критерии типа хи-квадрат,
непараметрические критерии согласия Колмогорова, Крамера-Мизеса-
Смирнова, Андерсона-Дарлинга и многие другие. Однако к выборке
приращений X n классические критерии согласия неприменимы, поскольку
элементы данной выборки в общем случае не являются одинаково
распределенными.
Введём следующее преобразование приращений деградационного
показателя:
− для деградационной гамма-модели:
(
R ij = FGamma X ij ;ˆ ,  ( t ij ) , i = 1, n, j = 1, ki ,)
(9)
mx (t ij ; ˆ, ˆ ) − mx (t ij −1 ; ˆ, ˆ )
где  ( ti
)=;
j
ˆ
− для винеровской деградационной модели:
()
R ij = FN t ; s ( t ij ) ,  ( t ij ) , i = 1, n, j = 1, ki ,(10)

( ()(
где s ( t ij ) =  0  x t ij ;ˆ, ˆ −  x t ij −1 ;ˆ, ˆ ,))
()(
 ( t ij ) =   x t ij ; ˆ, ˆ −  x t ij −1 ; ˆ, ˆ .)
При справедливости гипотезы H 0 :
RijRav(0,1) , i = 1, n, j = 1, ki .
Таким образом, задача проверки гипотезы о виде распределения
приращений сводится к проверке гипотезы о равномерном распределении
случайных величин R ij , i = 1, n, j = 1, ki .
n
Обозначим через R  R *
(1)
*
(2) …  R
*
(N), N =  ki элементы вариационного
i =1
ряда, построенного по выборке

R N = R ij , i = 1, n, j = 1, ki.
Для проверки гипотезы о принадлежности выборки R N равномерному
распределению Rav ( 0,1) можно воспользоваться непараметрическими
критериями согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и
Андерсона-Дарлинга.
В результате исследования распределений статистик непараметрических
критериев согласия при проверке простых и сложных гипотез о виде
деградационных гамма- и винеровской моделей показано, что при проверке
сложных гипотез распределения статистик рассмотренных критериев зависят
от вида проверяемой гипотезы: выбора функции тренда, функции от ковариат,
а также от плана эксперимента.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что применение
рассматриваемых критериев согласия для проверки сложных гипотез о виде
деградационных гамма- и винеровской моделей возможно только при
моделировании распределений статистик в интерактивном режиме проверки
гипотезы. В связи с этим, сформулирован алгоритм, позволяющий
осуществлять корректную проверку гипотезы о виде деградационных гамма-
и винеровской моделей:
1. По исходной выборке приращений показателя деградации найти ОМП
параметров деградационной модели, соответствующей гипотезе H 0 , по
формуле (7) для деградационной гамма-модели или (8) для винеровской
деградационной модели.
2. На основе деградационной модели с полученными оценками
параметров сгенерировать выборку приращений X n в соответствии с
заданным планом эксперимента (при заданных значениях ковариаты,
количествах объектов, соответствующих различным значениям ковариаты, и
моментах времени измерения показателя деградации).
3. По полученной выборке X n оценить параметры модели методом
максимального правдоподобия по формуле (7) для деградационной гамма-
модели или (8) для винеровской деградационной модели.
4. Сформировать выборку R N по формуле (9) для деградационной
гамма-модели или (10) для винеровской деградационной модели.
5. По выборке R N вычислить значение статистики непараметрического
критерия согласия.
6. Повторяя пункты 2 – 5 M раз, получить выборку статистик объёма
M , на основе которой построить эмпирическую функцию распределения
GM ( s | H 0 ) .
По полученному эмпирическому распределению GM ( s | H 0 ) вычисляется
оценка достигнутого уровня значимости  N = 1 − GM ( S N | H 0 ) , где S N –
значение соответствующей статистики, полученное по исходной выборке, по
которой проверяется гипотеза H 0 . Если  N не превышает заданного уровня
значимости  , то гипотеза H 0 отвергается.
В результате проведенных исследований мощности критериев типа
Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга для
деградационных гамма- и винеровской моделей показано, что на
рассмотренных объемах выборок данные критерии способны различать
близкие конкурирующие гипотезы, соответствующие различным видам
деградационных моделей (различным распределениям приращений
деградационного показателя, функциям тренда и функциям от ковариат).
Основные результаты, представленные в главе 3, опубликованы в [1, 8, 9,
12].
В четвертой главе представлено описание реализованных модулей
программной системы статистического анализа данных типа времени жизни
«LiTiS» для работы с деградационными моделями, продемонстрировано
применение разработанных модулей для решения задач анализа надежности
арсенид-галлиевых лазеров, углеродистых резисторов и турбовентиляторных
двигателей.
Разработанные в рамках программной системы статистического анализа
данных типа времени жизни «LiTiS» модули позволяют оценивать
неизвестные параметры и проверять гипотезы относительно деградационных
гамма- и винеровских моделей. Для проведения исследований статистических
свойств ОМП параметров моделей и распределений статистик критериев
проверки гипотез о незначимости дисперсии случайного параметра и о виде
деградационной модели спроектирован соответствующий пользовательский
интерфейс.
Реализованный функционал использовался при решении задач анализа
надежности арсенид-галлиевых лазеров [3], углеродистых резисторов [1] и
турбовентиляторныхдвигателей[13]. Наосновепостроенных
деградационных моделей вычислены показатели надежности, такие как
вероятность безотказной работы за заданную наработку и время безотказной
работы при заданных условиях эксплуатации.
В качестве примера рассмотрим задачу построения деградационной
модели надежности по данным об арсенид-галлиевых (GaAs) лазерах.
Ускоренным испытаниям на надежность в течение 4000 часов при
повышенной до 80oC температуре окружающей среды было подвергнуто 15
лазеров. За время испытаний для 3 лазеров потребляемый ток превысил
номинальное значение на 10%, что является критерием выхода из строя. На
рисунке 2 продемонстрированы графики изменения показателя деградации
тестируемых лазеров.
Рисунок 2 – Изменение деградационного показателя тестируемых
арсенид-галлиевых лазеров
Глядя на графики, представленные на рисунке 2, действительно можно
предположить, что разброс значений показателя деградации между объектами
значим, а, следовательно, появляется необходимость проверки значимости
дисперсии случайного параметра деградационной модели.
Следуя результатам, полученным в [10], в настоящей диссертационной
работе предполагается, что наблюдаемые деградационные процессы
подчиняются гамма-модели с линейным трендом. Для проверки гипотезы о
незначимости дисперсии случайного параметра модели были применены
критерии, предложенные во второй главе, и получены следующие результаты:
− n = 24.24 ,  n  10−4 для критерия отношения правдоподобия;
− d n = 0.0001 ,  n  10−4 для критерия, основанного на оценке дисперсии
случайного параметра.
Поскольку достигаемый уровень значимости  n меньше заданного
уровня значимости  = 0.05 для обоих критериев, гипотеза о незначимости
дисперсии случайного параметра отвергается. Таким образом, можно сделать
вывод о том, что модель со случайным параметром является более
подходящей для данной задачи.
С учетом полученных значений оценок параметров деградационной
гамма-модели со случайным параметром:
ˆn = 1.45 , ˆn = 28.86 , ˆn = 0.002 ,
согласно выражению функции надежности деградационной гамма-модели (3),
вероятность безотказной работы (надежность) данных лазеров на момент
времени 5000 часов будет равна 0.67, что существенно ниже, чем
предварительная оценка надежности производителя.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В соответствии с поставленными задачами получены следующие
основные результаты:
1. В результате исследования статистических свойств ОМП параметров
деградационных гамма- и винеровских моделей показано, что при небольшой
величине дисперсии случайного параметра целесообразно рассматривать
модель без случайного параметра, в то время как с ростом величины
дисперсии случайного параметра ОМП параметров тренда и регрессионного
параметра оказываются точнее в случае модели со случайным параметром.
2. Впервые предложены статистические критерии проверки гипотезы о
незначимости дисперсии случайного параметра деградационных моделей:
критерий отношения правдоподобия, а также критерий, основанный на оценке
дисперсии случайного параметра. Применение критериев предполагает
использование для формирования вывода о результатах проверки
распределенийстатистик,получаемыхметодамиимитационного
моделирования в интерактивном режиме проверки гипотезы. Показано, что в
случае рассмотренных пар конкурирующих гипотез и объемов выборок
предложенные критерии являются близкими по мощности.
3. Разработан алгоритм проверки сложных гипотез о виде
деградационных гамма- и винеровской моделей с использованием
непараметрических критериев согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-
Смирнова и Андерсона-Дарлинга. Показано, что на рассмотренных объемах
выборок данные критерии способны различать близкие конкурирующие
гипотезы, соответствующие различным видам деградационных моделей.
4. На базе программной системы статистического анализа данных типа
времени жизни «LiTiS» разработан программный модуль, позволяющий
строить деградационные гамма- и винеровские модели надежности,
осуществлять проверку значимости дисперсии случайного параметра и
гипотез о виде модели, а также проводить исследования статистических
свойств оценок параметров и распределений статистик критериев. Версия
программной системы, в которую включен разработанный модуль,
зарегистрирована в виде объекта интеллектуальной собственности как
программа для ЭВМ.
Результаты диссертационного исследования и разработанная версия
системы статистического анализа данных типа времени жизни «LiTiS»
внедрены в практику деятельности ООО «Эко-Томск» и использовались для
решения задачи анализа надежности турбовентиляторных двигателей, что
подтверждено соответствующим актом внедрения.