Разработка метода количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозе добычи и расчете потенциальных извлекаемых запасов нефти с использованием машинного обучения

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цель и задачи,
обозначены основные положения, выносимые на защиту, показаны научная новизна и практическая ценность результатов работы, описаны основные защищаемые положения.
В первой главе выполнен литературный анализ, в котором рассмотрены вопросы определения, зарождении и становления методов машинного обучения как отдельного направления в области искусственного интеллекта. Представлена составленная автором подробная классификация методов машинного обучения, которая позволяет системно рассмотреть широту и разнообразие данного направления и оценить его влияние на сегодняшний мир. Описаны методы машинного обучения, применявшиеся ранее в области разработки нефтяных и газовых месторождений. Рассмотрены такие методы машинного обучения, как теорема Байеса (байесовские методы), стохастическое моделирование Монте-Карло и цепи Маркова, показана возможность их применения в целях увеличения эффективности проектов нефтегазодобывающей отрасли, вчастности для количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозах добычи и расчетах потенциальных извлекаемых запасов нефти на обводненных месторождениях.
Машинное обучение представляет собой подраздел искусственного интеллекта, который занимается изучением самообучающихся алгоритмов. Для качественного построения алгоритма необходима высокоточная корреляция теоретических и экспериментальных данных. В определенной степени это достаточно гибкая среда, требующая применения дополнительных эвристик, которые составляют и нивелируют сведения, полученные из теории и модельного эксперимента применительно к реальным данным.
На рисунке 1 изображена таксономия классов, задач и алгоритмов машинного обучения, составленная автором, в виде схемы.
Рисунок 1 – Схематическая структура классов, задач и методов машинного обучения
Числовые вычисления вероятности, в соответствие с теоремой Байеса, являются трудоемкими, в связи с чем развитие этих исследований было начато не так давно, вместе со стремительным ростом мощности вычислительных машин. Вероятность, по Байесу, является интерпретацией понятия вероятности, которая понимается в качестве уровня уверенности в корректности суждений. Теорема Байеса:
Р(A|B) = P(B|A) ∗ P(A), (1) P(B)
где P (A|B) – вероятность событии А при наступлении события B; P (B|A) – вероятность события В при наступлении события А; P(A) – вероятность события А; P(B) – вероятность события В. То есть теорема Байеса позволяет рассчитать степень уверенности в том, что событие А произойдет при условии В.
В последние 20 лет в науке получил широкое распространение метод стохастического моделирования Монте-Карло, предполагающий построение комплекса случайных чисел, соответствующего определенному распределению вероятностей. Суть метода заключается в численном решении математической задачи при помощи генерации выборок случайных величин, на основе которых вычисляются вероятностные характеристики рассматриваемого процесса.
Методы Монте-Карло с цепями Маркова используются в работе с непрерывными, а также
с дискретными и смешанными многомерными распределениями. Цепь Маркова – это стохастический процесс, который можно выразить в следующем виде:
P( к = к| к−1 = к−1, к−2 = к−2, … , 1 = 1) = P( к = к| к−1 = к−1), (2) где к, к−1, к−2,…, 1 – случайные величины; к, к−1, к−2,…, 1 – состояния случайных величин; к – номер шага.
Цепь Маркова описывает процесс, при котором следующее значение цепи зависит только от текущего. Алгоритм Метрополиса как один из методов стохастического моделирования Монте-Карло по схеме цепей Маркова представляет собой процесс генерации выборки любой функции распределения, который нередко применяется для решения сложных задач. Он формирует цепь Маркова, то есть на каждом шаге новое выбранное значение зависит исключительно от предшествующего.
Методы машинного обучения ранее уже применялись для решения задач прогнозирования добычи нефти и газа. В 1996 г. был применен метод машинного обучения бутстрэп для оценки неопределенности в прогнозе добычи углеводородов с использованием промыслово- статистических моделей, однако он не был хорошо откалиброван. По результатам исследования, проведенного на данных по эксплуатации 100 нефтяных и газовых скважин, диапазон P90–P10 охватывает менее 40 % фактической добычи, тогда как модифицированный метод бутстрэп – уже 80 %. Это свидетельствовало о том, что метод хорошо откалиброван с точки зрения вероятностного подхода, однако расчет вероятностных прогнозов добычи занимал очень много времени.
Методы машинного обучения применялись с гидродинамическим моделированием и другими методами для прогноза добычи сланцевого газа в нетрадиционных коллекторах, а также для многокритериальной оценки возможностей реализации проектов разработки традиционных месторождений углеводородов. Также в ряде работ были использованы методы нечеткой логики и искусственные нейронные сети, но только для анализа процессов вытеснения нефти водой.
Во всех упомянутых работах не использовались методы характеристик вытеснения, которые являются самыми распространенными промыслово-статистическими моделями для прогноза добычи и расчета потенциальных извлекаемых запасов нефти в обводненных коллекторах. В свою очередь, заводнение, которое неминуемо приводит к росту обводненности добываемой продукции, является широко используемой технологией для поддержания пластового давления и повышения нефтеотдачи пласта. Это говорит о том, что количество обводненных месторождений будет только расти, а методы характеристик вытеснения не потеряют своей актуальности.
Использованию моделей характеристик вытеснения посвящены работы многих известных ученых и специалистов в области разработки и эксплуатации нефтяных и газовых
месторождений, таких как Казаков А. А., Назарова Л. Н., Желтов Ю. П., Cавельев В. А., Токарев М. А., Чинаров А. С., Мищенко И. Т., Мирзаджанзаде А. Х., Ибрагимов Л. Х., Ситников А. А., Гусев С. В., Сазонов Б. Ф., Максимов М. И., Назаров С. Н., Сипачев Н. В., Посевич А. Г., Назаров С. А., Акрамов Б. Ш., Гайсин Д. К., Пирвердян А. М., Никитин П. И., Листенгартен Л. Б., Данелян М. Г., Камбаров Г. С., Алмамедов Д. Г., Махмудова Т. Ю., Абызбаев И. И., Насыров Г.Т. и др. Методы машинного обучения в сфере добычи нефти и газа были использованы в работах Zolotukhin A. B., Jochen V. A., Spivey J. P., Cheng Y., Wang Y., McVay D. A., Lee W. J., Liu C., Xie J., Efendiev Y., Datta-Gupta A., Gong X., , Frick T. P.
Однако модели характеристик вытеснения – это несовершенные детерминированные инструменты, которые ранее не применялись в сочетании с методами машинного обучения для количественной оценки неопределенности и рисков. Единственный метод, ранее предложенный для оценки неопределенности, – использование не одной, а нескольких моделей характеристик вытеснения для построения нескольких профилей добычи нефти. Это в свою очередь обусловливает необходимость использования моделей характеристик вытеснения с методами машинного обучения для количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозных значениях.
Основной вывод, вытекающий из проведенного литературного обзора, свидетельствует о том, что использование методов машинного обучения в сочетании с моделями характеристик вытеснения для количественной оценка рисков и неопределенности в прогнозе добычи и расчете потенциальных извлекаемых запасов нефти обводненных месторождений является актуальной темой для исследования и представляет высокий интерес для отрасли и научного сообщества.
Во второй главе дается обоснование необходимости проведения количественной оценки рисков и неопределенности на примере недостижения плановой эффективности нефтегазодобывающих проектов. Описаны причины отклонения расчетных (прогнозных) значений от фактических величин и приведены основополагающие понятия, необходимые для использования методов количественной оценки рисков и неопределенности.
Основными причинами отклонения расчетных (прогнозных) значений от фактических величин являются отсутствие контроля неопределенности в детерминированных значениях, использование моделей, человеческий фактор и погрешность измерений.
В качестве основных понятий для работы с количественной оценкой рисков и неопределенности приняты математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение, нормальное вероятностное распределение, расчетная погрешность и ожидаемое разочарование. Последний термин используется для обозначения недостижения расчетного (прогнозного) показателя ввиду отсутствия количественной оценки рисков и неопределенности. По своей сути ожидаемое разочарование – это отклонение между расчетными и фактическими величинами по
причине игнорирования количественной оценки рисков и неопределенности.
Использование детерминированных способов расчета технических и экономических показателей, а также отсутствие или частичное либо некорректное применение количественной оценки рисков и неопределенности являются первопричиной недостижения плановых показателей нефтегазодобывающими компаниями. Еще одна причина – проблема систематических (хронических) погрешностей и излишней уверенности экспертов при учете ключевых геотехнических и экономических параметров, которые определяют финальную оценку
проектов на этапах геологоразведки и разработки месторождений.
В первом варианте моделирования процесса оценки экономической эффективности
рассмотрен пример оценки компанией нефтегазодобывающих проектов, идентичных по величине фактического значения чистого дисконтированного дохода (ЧДД). Так как расчет ЧДД проводился без количественной оценки рисков и неопределенности, расчетные величины данного показателя каждого из проектов представляют собой детерминированные значения без степени их достоверности.
Принято, что θiфакт = 0, а РП(θiрасч) соответствует нормальному вероятностному распределению с математическим ожиданием μРП(θiрасч)=θiфакт и среднеквадратическим отклонением σРП(θiрасч) = 1. Расчетное значение ЧДД вычисляется по формуле:
θрасч = РП(θiрасч) = [θiфакт, σРП(θiрасч) ] = [0, 1], (3) где РП(θiрасч) – величины расчетной погрешности ЧДД; θiфакт – фактические значения ЧДД независимых нефтегазодобывающих проектов; θiрасч – расчетные значения ЧДД.
Процесс оценки проводится следующим образом: из 1, 3, 10 и 50 проектов в выборке выбирается один наиболее прибыльный с наибольшим расчетным значением ЧДД (формула (5)) и вычисляется ожидаемое разочарование выбранного проекта
ОР(θiрасч)=θiрасч −θiфакт, (4) при таком i, когда выполняется равенство
θi расч = max( θ1 расч, … , θ расч),
(5)
где n – количество проектов в выборке.
В данном случае θi факт = 0 и ОР(θi расч) = θi расч. Весь описанный процесс моделируется
по Монте-Карло.
На рисунке 2 приведены результаты моделирования, из которых видно, что ОР(θiрасч)
растет с увеличением количества проектов, из которых выбирается один с максимальным расчетным значением ЧДД. Без количественной оценки рисков и неопределенности компания неминуемо столкнется с недостижением планового ЧДД.
Рисунок 2 – Зависимость роста ожидаемого разочарования в расчетных ЧДД при увеличении количества альтернативных проектов (n) с идентичными фактическими ЧДД
Во втором варианте моделирования добавлена вариативность в фактические значения ЧДД, то есть проведена оценка не идентичных, а различных по величине фактического ЧДД (θi факт) проектов без количественной оценки рисков и неопределенности.
Значение θi факт соответствует нормальному вероятностному распределению с μθ факт = 0
и σθ факт = (0,1; 1; 3; 5), тогда θi факт = [0, σθ факт ] и РП(θ факт) = [θi факт, 1]. В данном
варианте моделирования процесс оценки выглядит следующим образом: из 1, 2, 5, …, 50 проектов в выборке (рисунок 2) определяется один наиболее прибыльный с наибольшим расчетным значением ЧДД, вычисляются ожидаемое разочарование и процент ошибочных решений. В данном случае θi факт ≠ 0, поэтому ОР(θi расч) рассчитывается по формулам (4), (5). Процент ошибок при принятии решений представляет собой процент проектов, которые были выбраны как проекты с максимальным расчетным значением ЧДД в выборке, однако фактическое значение у них оказалось не максимальным.
Результаты моделирования показывают, что величина ожидаемого разочарования растет с увеличением количества проектов, из которых выбирается один с максимальным расчетным значениям ЧДД (рисунок 3, (a)), вместе с тем растет и процент ошибочных решений (рисунок 3, (b)). Видно, что без количественной оценки рисков и неопределенности компания неминуемо столкнется с недостижением планового ЧДД и принятием неверных решений при составлении портфеля. Также отмечено, что рост σθ факт вызывает значительное снижение
ОР(θ факт), что объясняется увеличением шансов принятия корректного решения (выбор проекта с максимальным фактическим значением ЧДД через выбор проекта с максимальным расчетным ЧДД) при увеличении вариативности (σθ факт ) фактического значения этого показателя.
ab
Рисунок 3 – Зависимость (a) изменения ожидаемого разочарования в расчетных ЧДД и (b) изменения вероятности принятия правильных решений при увеличении количества
альтернативных проектов (n) с различными фактическими ЧДД и ростом их вариативности (σ).
Основной вывод, вытекающий из проведенного моделирования, заключается в том, что количественная оценка неопределенности позволяет снизить или исключить как ожидаемое разочарование, так и процент принятия ошибочных решений. Уменьшение ожидаемого разочарования позволяет улучшить общую эффективность отрасли и открыть доступ к высокоприбыльным проектам. Одними из основных областей, содержащих неопределенность и влияющих на оценку проектов в нефтегазодобывающей отрасли, являются прогнозирование добычи и расчет потенциальных извлекаемых запасов.
В третьей главе представлен прогноз добычи и расчет потенциальных извлекаемых запасов нефти с помощью моделей характеристик вытеснения.
Модели характеристик вытеснения представляют собой функциональные зависимости между показателями разработки нефтяных месторождений. Они созданы на основе изучения истории разработки различных эксплуатационных объектов и воспроизводят процесс снижения нефтенасыщенности и роста обводненности в связи с применением метода поддержания пластового давления закачкой воды в пласт или при наличии активной подошвенной воды.
Характеристики вытеснения подразделяются на интегральные и дифференциальные. Интегральные модели являются промыслово-статистическими, основанными на отношениях между накопленными производственными показателями н, в и их комбинациями ( ж, ВНФ и т. д.), где н, в, ж – накопленная добыча нефти, воды и жидкости; ВНФ – накопленный водонефтяной фактор. Дифференциальные модели представляют собой зависимости между текущими отборами н, в и их комбинациями ( ж, обводненность и т. д.), где н, в, ж – месячная добыча нефти, воды и жидкости. В данной работе рассматриваются только интегральные модели характеристик вытеснения, так как они являются более устойчивыми к изменениям процесса разработки и получили более широкое распространение в отрасли.

No Название модели характеристики вытеснения
1 Сазонова
2 Максимова
3 Французской школы нефти
4 Назарова-Сипачева
5 Сипачева-Посевича
6 Гайсина
7 Пирвердяна н= ж2+
В таблице 1 показаны наиболее часто применяемые интегральные модели характеристик вытеснения, выбранные для данного исследования.
Таблица 1 – Выбранные модели характеристик вытеснения
Интегральная форма модели
н = ln( ж) + н = ln( в) +
в = н + н
ж = в + н
ж = ж + н
н = ln( н) +
ж
−1 нж
8 Камбарова = −1 +
9 Абызбаева ln( н) = ln( ж) +
Качество прогноза зависит от качества исходных данных, выбранного периода истории для адаптации моделей и главным образом от метода определения оптимальной модели для каждого частного случая прогнозирования. Для применения интегральных моделей характеристик вытеснения обводненность должна составлять более 30 % и увеличиваться в течение всего периода добычи нефти. Временной интервал не должен включать какие-либо значительные изменения в системе разработки (например, ГТМ), а также должен составлять не менее 6 временных отрезков истории для адаптации моделей.
В данной главе приведен прогноз добычи нефти, основанный на реальных данных добывающей скважины «А», расположенной на обводненном нефтяном месторождении «К» в Казахстане. Для прогноза применены интегральные модели характеристик вытеснения Сазонова и Максимова, использованы фактические данные о ежемесячной добыче нефти ( н) и жидкости ( ж), на основании которых получен ряд дополнительных параметров, таких как ж, н, в и обводненность, то есть содержание воды в добываемой жидкости.
Осуществленный в работе прогноз позволяет сделать следующие выводы. Использование промыслово-статистических методов прогноза добычи является неотъемлемой частью прогнозирования добычи, наряду с такими методами, как гидродинамическое моделирование и уравнение материального баланса. Их основные преимущества в том, что они просты в применении, достаточно надежны и не требуют большого количества времени для реализации. Быстрота расчета прогнозных профилей добычи с помощью моделей характеристик вытеснения позволяет эффективно применять их вероятностно, например, в комплексе с методами

машинного обучения для количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозных профилях добычи и потенциальных извлекаемых запасах нефти, о чем и пойдет речь в следующей главе.
В четвертой главе разработан метод количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозе добычи и расчете потенциальных извлекаемых запасов нефти с помощью теоремы Байеса, стохастического моделирования Монте-Карло, цепей Маркова и интегральных моделей характеристик вытеснения.
Теорема Байеса может быть выражена следующим образом:
(θ| ) = ( |θ) (θ) , (6)
∫ ( |θ) (θ) θ
где π(θ|y) – апостериорное вероятностное распределение; f(y|θ) – функция правдоподобия; π(θ) – априорное вероятностное распределение параметров используемой модели; θ – потенциально рассматриваемые кандидаты для параметров используемой модели; y– фактические данные о добычи нефти.
Величина ( ) – это нормализующая константа апостериорного распределения.
Основные компоненты формулы (6) можно охарактеризовать с помощью следующих определений:
1) π(θ) – априорное вероятностное распределение, которое описывает исходную информацию (убеждения) о параметрах до того, как были приняты во внимание какие-либо данные;
2) f(y|θ) – функция правдоподобия, которая является функцией плотности вероятности y, если предположить, что θ – истинное утверждение. Например, если разница (δ) между фактическими и расчетными данными о добыче нефти, основанными на выбранной модели, следует нормальному распределению N [0,1], тогда справедливо следующее уравнение:
1 − 2
( | )=√2 2; (7)
3) c учетом исходных данных y выбирается статистическая модель f(y|θ) для описания распределения y с заданным параметром θ;
4) π(θ|y) – апостериорное распределение, представляющее собой распределение неизвестных параметров после сбора всех данных.
Когда апостериорное вероятностное распределение определено, то вероятностное распределение прогноза добычи нефти либо потенциальных извлекаемых запасов может быть получено с процентилями P10, P50 и P90 из вероятностных распределений параметров используемой интегральной модели характеристики вытеснения.
Основная цель байесовской методологии заключается в получении апостериорного
вероятностного распределения искомого параметра, однако существует проблема с его прямым аналитическим расчетом. Интеграл ∫ ( |θ) (θ) θ в большинстве случаев должен быть вычислен численно. Алгоритм Монте-Карло по схеме цепей Маркова может быть использован в качестве метода решения этой проблемы.
Методы моделирования Монте-Карло и цепи Маркова могут быть использованы для генерации выборок из вероятностных распределений (например, из предполагаемых вероятностных распределений параметров выбранной характеристики вытеснения для прогнозирования добычи нефти).
Алгоритм Метрополис использован для отбора кандидатов выборки, полученной на основе цепей Маркова. Поскольку апостериорное вероятностное распределение неизвестно, необходимо отбирать кандидатов из другого вероятностного распределения, называемого предлагаемым (в литературе встречаются названия «вспомогательное», «предполагаемое»), из которого выбирается случайный кандидат для выборки и которое имеет функцию плотности (θ|θзад−ое), где θ – случайная величина параметров используемой модели, а θзад−ое – заданное значение в функции плотности вероятностного распределения.
Значения параметров, стохастически сгенерированные из предлагаемого вероятностного распределения при использовании алгоритма Метрополиса, формируют цепь Маркова θ1, θ2, … , θ , которая в итоге будет представлять собой аппроксимацию искомого вероятностного распределения. На каждом шаге цепи производится генерация предлагаемого кандидата параметров выбранной модели θпредл из предлагаемого вероятностного распределения.
Существует вероятность продолжения движения цепи, или коэффициент принятия α (формула (8)), представляющего собой вероятность принятия предлагаемого кандидата (θк =
θпредл) и вероятность 1 – α, представляющую собой отклонение кандидата (θк = θк−1).
Имея текущего принятого кандидата θк, проведем отбор следующего кандидата θпредл из предлагаемого вероятностного распределения. Используя текущее значение к−1 и предлагаемое значение кандидата θпредл, рассчитываем вероятность движения α. Когда кандидат θпредл принимается, он соединяется с остальной цепью и его значение используется для определения следующего кандидата цепи. Когда кандидат θпредл отклоняется, его значение удаляется. Повторение предыдущих шагов создает цепь Маркова, которая в конечном счете
сходится с искомым вероятностным распределением.
Нормализованная апостериорная вероятность события θпредл равняется апостериорной
вероятности (θпредл | ), разделенной на предлагаемую вероятность события θпредл с учетом θк−1, в то время как нормализованная апостериорная вероятность события θк−1 равняется апостериорной вероятности π(θк−1|y), разделенной на вероятность события θк−1 с учетом θпредл.
Нормализация апостериорной вероятности предлагаемой необходима для того, чтобы обеспечить независимость первой от второй, другими словами, использование различных предлагаемых распределений должно привести к одному и тому же искомому апостериорному вероятностному распределению.
= [1, (θпредл| ) (θк−1|θпредл] ; (θк−1| ) (θпредл|θк−1)
−( предл− к−1)2
1 2 2 − к−1 − к−1 (θпредл|θк−1) = ∏ √2 × [Ф ( ) − Ф (
)]
−1
,
(8)
(9)
где является одним из параметров модели; и выражают верхнюю и нижнюю границы предлагаемого вероятностного распределения для ; Ф – интегральная функция нормального вероятностного распределения.
В алгоритме Метрополиса функция плотности предлагаемого вероятностного распределения должна быть симметричной (например, иметь нормальное вероятностное распределение), такой, чтобы q(x|y) = q(y|x). Предлагаемое вероятностное распределение было определено как усеченное нормальное вероятностное распределение (см. формулу (9)).
Комбинируя формулы (8) и (9), коэффициент принятия на каждом шаге k можно рассчитать следующим образом:
= min [1, (θпредл| ) (θк−1|θпредл)] = (θк−1| ) (θпредл|θк−1)
= min [1,
(θ | ) предл
(θк−1| )
× ∏
Ф ( max − к−1) − Ф ( min − к−1)
σθ σθ ] =
Ф ( max − предл) − Ф ( min − предл) σθ σθ
(10)
=min[1,
( |θ ) (θ )
предл предл ×∏
( |θк−1) (θк−1)
Ф ( max − к−1) − Ф ( min − к−1) σθ σθ
]. Ф ( max − предл) − Ф ( min − предл)
В интегральных моделях характеристик вытеснения используются два коэффициента – a и b, а также величина ж. Все три параметра заданы независимыми и равномерными априорными вероятностными распределениями, каждый со своими пределами.
Значение плотности равномерного априорного вероятностного распределения для параметров интегральных моделей характеристик вытеснения показано в следующем уравнении:
( , , ж) = 1 . (11) | max − min| × | max − min| × | жmax − жmin|
В данной работе теорема Байеса и моделирование Монте-Карло по схеме цепей Маркова впервые были применены с девятью интегральными моделями характеристик вытеснения. Добыча жидкости, которая является одним из параметров (наряду с константами a и b) во всех
σθ σθ
интегральных моделях характеристик вытеснения, была использована в качестве третьего параметра во время процедуры стохастического моделирования. В ходе исследования были определены лимиты параметров интегральных моделей характеристик вытеснения и дебита жидкости. Были также определены среднеквадратические отклонения предлагаемых вероятностных распределений параметров каждой интегральной модели характеристик вытеснения и дебита жидкости.
Предполагаемым вероятностным распределением является нормальное распределение [μ,σ], где μ равняется значению параметров предыдущего шага цепи Маркова и σ выбрана таким образом, чтобы иметь хорошую смешиваемость следа выборки.
После определения всех необходимых параметров для интегральных моделей характеристик вытеснения вычислена функция правдоподобия. Параметры интегральных моделей характеристик вытеснения, полученные при адаптации модели на выбранный период истории добычи, использованы в качестве исходных значений в цепи Маркова.
Среднеквадратическое отклонение σ между расчетными и фактическими данными по добыче нефти определяется следующим образом:
( факт − расч)2
= √∑ − 3 , (12)
=1
где факт – фактическая добыча нефти за месяц i; расч – расчетная добыча нефти за месяц i; t – количество месяцев в истории добычи нефти. Остаточная сумма квадратов была разделена на
степени свободы t – 3, так как степень свободы определяется как разница между количеством независимых значений и количеством переменных регрессионной модели, а интегральные модели характеристик вытеснения всегда имеют три параметра (a, b и ж).
Среднеквадратическое отклонение между расчетными и фактическими значениями добычи нефти для каждой итерации (для каждой выборки параметров интегральных моделей характеристик вытеснения θпредл) рассчитывается с использованием следующего выражения:
( − предл)2
σпредл =√∑ , (13)
=1
где – фактическая добыча нефти за месяц i; предл – расчетная добыча нефти за месяц i с использованием выборки параметров интегральных моделей характеристик вытеснения θпредл; t
– количество месяцев в истории добычи нефти. Остаточная сумма квадратов была разделена на t, так как интегральная модель характеристики вытеснения, полученная на основе выборки параметров модели из предлагаемого вероятностного распределения, независима от истории

Среднеквадратическое отклонение между фактической и расчетной добычей нефти,
добычи нефти.
подлежащее нормальному распределению [0, σ] для функции правдоподобия,
1 σ2
− предл
( |θпредл) = √2 σ σ2
, (14)
где σ – среднеквадратическое отклонение между расчетной и фактической добычей нефти, в которой расчетная величина получена с помощью параметров интегральной модели характеристики вытеснения, вычисленных на этапе адаптации модели; σпредл − среднеквадратичное отклонение между расчетной и фактической добычей нефти, в которой расчетная величина получена с помощью параметров интегральной модели характеристики вытеснения, вычисленных из предлагаемого вероятностного распределения.
Использовав плотность априорного вероятностного распределения (формула (11)),
функцию правдоподобия (формула (14)) и плотность предлагаемого вероятностного
распределения (формула (9)) в формуле коэффициента принятия (формула (10)) получаем:
σ2 предл
σ2
σ2 к−1
σ2
σ2
к−1 предл
θmax−θк−1 θmin−θк−1 Ф(σ )−Ф(σ )
= min [1,
× ∏ = , , ж
θ θmax−θпредл
θ ]= θmin−θпредл
Ф(
Ф σ −Ф σ
)−Ф( ) σθ
−σ2
=min[1, σ2 ×∏
= , , ж Ф(θmax−θпредл)−Ф(θmin−θпредл)
σθ
(θmax−θк−1) (θmin−θк−1)
(15)
θ θ ]. σθ σθ
При достижении необходимого количества итераций полученные наборы параметров интегральных моделей характеристик вытеснения могут быть использованы для расчета вероятностного распределения добычи или потенциальных извлекаемых запасов нефти. После этого рассчитываются значения P90, P50 и P10.
Алгоритм вероятностного прогноза добычи и расчета потенциальных извлекаемых запасов нефти в обводненных коллекторах с помощью разработанного метода описан в таблице 2 (в сравнении с традиционным детерминированным алгоритмом применения интегральных моделей характеристик вытеснения). На рисунке 4 схематически изображен алгоритм вероятностного прогноза добычи и расчета потенциальных извлекаемых запасов нефти в обводненных коллекторах с использованием разработанного метода.
Таблица 2 – Описание алгоритмов прогноза добычи и расчета потенциальных извлекаемых запасов нефти с помощью интегральных моделей характеристик вытеснения традиционным детерминированным методом и разработанным вероятностным способом с использованием методов машинного обучения
Традиционный Разработанный вероятностный алгоритм с помощью методов детерминированный алгоритм машинного обучения
1. Выбирается период истории добычи для адаптации интегральных моделей характеристик вытеснения.
2. Девять интегральных моделей характеристик вытеснения, используемых в данной работе, адаптируются на выбранном периоде истории добычи, то есть с помощью метода градиентного спуска или наименьших квадратов вычисляются коэффициенты a и b, при которых функционал ошибки (остаточная сумма квадратов) будет наименьшим.
3. Выбирается оптимальная, то есть наилучшим образом описывающая выбранный период адаптации, интегральная модель характеристики вытеснения из девяти используемых в работе, с помощью коэффициента корреляции Пирсона (R2).
4. Задается месячная добыча жидкости (qж) таким образом, чтобы соответствовать динамике qж за период адаптации модели.
5. С помощью полученных a, b и qж проводится прогноз
добычи нефти определенный
времени или расчет потенциальных извлекаемых запасов нефти с ограничением по максимальной обводненности или минимальной добыче нефти.
на период
5. Задаются минимальные и максимальные значения для:
– равномерных вероятностных распределений, выступающих в качестве априорных для параметров a, b и qж;
– нормальных вероятностных распределений, выступающих в качестве предлагаемых для параметров a, b и qж. В первой итерации предлагаемые распределения имеют математические ожидания, равные значениям a, b и qж из пунктов No 2 и No 4. Среднеквадратические отклонения предлагаемых вероятностных распределений выбраны таким образом, чтобы обеспечить хорошую смешиваемость следа выборки.
6. Из предлагаемых вероятностных распределений пункта No 5 с помощью стохастического моделирования генерируются значения a, b и qж.
7. По формуле (15) вычисляется коэффициент принятия ( ), который представляет собой степень вероятности или степень того, насколько хорошо выбранная в пункте No 3 модель характеристики вытеснения со значениями a, b и qж, сгенерированными в пункте No 6, описывает период адаптации истории добычи, выбранный в пункте No 1. Чем выше значение коэффициента принятия, тем больше шансов у сгенерированных в пункте No 6 значений a, b и qж быть принятыми. 8. Генерируется случайное число от 0 до 1, и если , вычисленный в пункте No 7, больше случайного числа, то сгенерированные в пункте No 6 значения a, b и qж принимаются, а иначе отвергаются.
В случае принятия значений a, b и qж они становятся новыми математическими ожиданиями предлагаемых вероятностных распределений в пункте No5, при отклонении математические ожидания остаются прежними.
9. Пункты No 6–8 повторяются заданное число раз (n~5000).
10. Проводится прогноз добычи или расчет потенциальных извлекаемых запасов нефти с помощью всех сгенерированных моделей с принятыми в пункте No 8 значениями a, b и qж.
11. Строится апостериорное вероятностное распределение прогнозной добычи или потенциальных извлекаемых запасов, затем вычисляются P10, P50 и P90.

− история добычи нефти одной скважины; − параметры выбранной модели (a, b и qж); − коэффициент принятия; Ф − интегральная функция стандартного нормального вероятностного распределения; − параметры выбранной модели (a, b и qж); min/max − верхняя и нижняя границы предлагаемых вероятностных распределений параметров выбранной модели (a, b и qж); n – количество итераций; к − текущая итерация; к – 1 – предыдущая итерация; предл – значения, сгенерированные из предлагаемого вероятностного распределения и предложенные для текущей итерации.
Рисунок 4 – Схематическое изображение процесса вероятностного прогнозирования нефти с помощью методов машинного обучения и интегральных моделей характеристик
вытеснения
В данной главе работы был разработан метод вероятностного прогнозирования, или, другими словами, количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозе добычи и расчете потенциальных извлекаемых запасов нефти, с помощью методов машинного обучения и моделей характеристик вытеснения. Также было создано программное обеспечение для интеграции разработанного алгоритма.
В пятой главе алгоритм разработанного метода использован на примере ретроспективного прогноза одной и 130 обводненных добывающих скважин двух обводненных месторождений – «К» и «W».
Целями ретроспективного прогноза добычи нефти являются калибровка и оценка надежности разработанного метода вероятностного прогнозирования добычи нефти с помощью методов машинного обучения и интегральных моделей характеристик вытеснения на примере фактических данных об эксплуатации 130 скважин двух обводненных нефтяных месторождений: «К», расположенного в Казахстане, и «W», расположенного в США. Оба месторождения имеют длинную историю эксплуатации, и на них применен метод ППД закачкой воды, что обеспечивает рост обводненности добываемой продукции скважин.
Ретроспективный прогноз добычи заключался в следующем:
 выбирался период фактической добычи без ГТМ и с обводненностью более 30 %;
 проводилась адаптация моделей на первых 6, 12, 24 и 36 месяцах выбранного периода фактической добычи;
 проводился прогноз до конца истории добычи;
 расчетные значения накопленной добычи нефти ( н) полного и прогнозного периодов сравнивались с фактическими.
Под полным периодом понимается период с первого до последнего месяца истории добычи, под прогнозным – с первого до последнего месяца истории добычи. Другими словами, Полный период = Период, исключенный из расчета + Период адаптации моделей + Прогнозный период.
Был проведен ретроспективный прогноз добычи нефти для 130 добывающих скважин. Использовались четыре различных временных интервала для адаптации интегральных моделей характеристик вытеснения: 6, 12, 24 и 36 месяцев. Период прогнозирования добычи нефти составлял от 36 до 168 месяцев. Для каждого из четырех периодов адаптации моделей были получены вероятностные распределения профилей добычи нефти и рассчитаны 10, 50 и 90-й процентили, или P10 – 90-й, P50 – 50-й, P90 – 10-й процентиль потенциальных извлекаемых запасов. Иначе говоря, были получены три прогнозных профиля добычи нефти: пессимистичный (P90), наиболее вероятный (P50) и оптимистичный (P10) (рисунок 5). Стоит упомянуть тот факт, что в нефтегазовой индустрии под обозначениями P10, P50, P90 понимаются не процентили вероятностного распределения, как в машинном обучении и статистике, а величины, им противоположные. Например, под P90 понимается не 90-й процентиль, а потенциальные извлекаемые запасы, которые будут добыты с вероятностью 90 %, то есть P90 равен 10-му процентилю, и т. д. В таблице 3 приведены обобщенные результаты ретроспективного прогноза для всех периодов адаптации.
На рисунке 5 показан частный случай результата применения разработанного метода на примере скважины «А» месторождения «W». Отчетливо видно, что значение P50 разработанного метода оказалось ближе к фактической накопленной добыче, чем детерминированный прогноз.

22
ab
Рисунок 5 – Ретроспективный прогноз добычи, метод теоремы Байеса и моделирования
Монте-Карло по схеме цепей Маркова с интегральными моделями характеристик вытеснения (скважина «А», месторождение «W»):
a) график накопленной добычи нефти; b) график месячной добычи нефти
Таблица 3 – Обобщенные результаты ретроспективного прогноза с помощью методов машинного обучения и интегральных моделей характеристик вытеснения на примере истории добычи 130 добывающих нефтяных скважин ( н прогнозного периода)
Анализируемые параметры Процент фактической Qн > P90 Qн
Процент фактической Qн > P50 Qн Процент фактической Qн > P10 Qн
Процент фактической Qн > математического ожидания Qн
Средняя относительная погрешность через P50, %
Кумулятивная погрешность в сумме
значений P50 Qн, %
Кумулятивная погрешность в сумме значений математических ожиданий Qн, %
Средний размер доверительного интервала (P10 Qн) – P90 Qн) / фактических значений Qн Время расчета 130 скважин, часы
Разработанный метод с моделями характеристик вытеснения. Период адаптации:
6 месяцев 14
93
12 месяцев 14
90
24 месяца 36 месяцев 12 15
48 49
85 81
43 47
7,2 7,6
1,7 3,4
3,2 0,3
0,79 0,79 5 5
51 50
17,3 7,7 6,5 0,97
13,3 0,9 1,2 0,83
На рисунке 6 показаны графики калибровок, представляющие собой проценты фактических значений накопленной добычи нефти н, которые больше расчетных значений P10, P50 и P90 апостериорного вероятностного распределения н. По графикам отчетливо видно, что разработанный метод хорошо откалиброван (корректно вычисляет доверительный интервал Р10- Р90) на всех периодах адаптации.
Рисунок 6 – График калибровки, метод Теоремы Байеса и моделирования Монте-Карло по схеме цепей Маркова с интегральными моделями характеристик вытеснения
В данной главе также описано созданное автором программное обеспечение. На рисунке 7 изображены два экрана разработанного программного обеспечения.
Рисунок 7 – Программное обеспечение для интеграции разработанного алгоритма
На основании ретроспективного прогноза добычи на примере 130 добывающих скважин двух обводненных нефтяных месторождений, по которым имеются исторические данные об эксплуатации за период 2–14 лет, был сделан следующий вывод: разработанный метод прогноза добычи с помощью машинного обучения и интегральных моделей характеристик вытеснения является хорошо откалиброванной вероятностной методологией для количественного определения рисков и неопределенности в прогнозе добычи и расчете потенциальных извлекаемых запасов нефти в обводненных коллекторах.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
1. На основе результатов моделирования процесса оценки рентабельности нефтегазодобывающих проектов показано, что отсутствие количественной оценки рисков и неопределенности приводит к недостижению запланированной эффективности и снижению качества принятия решений
2. Разработан метод количественной оценки рисков и неопределенности в прогнозе добычи и расчете потенциально извлекаемых запасов нефти на обводненных месторождениях с помощью методов машинного обучения и моделей характеристик вытеснения.
3. Разработанный вероятностный метод был применен для ретроспективного прогноза добычи нефти 130 добывающих скважин. По результатам прогноза было показано, что он является надежным откалиброванным вероятностным методом, который позволяет получить достоверное вероятностное распределение и доверительный интервал P10-P90 прогнозного профиля добычи нефти.
4. Было создано программное обеспечение, которое включает основные вероятностные и детерминированные методы прогнозирования добычи на базе моделей характеристик вытеснения.