Решение линейных сопряжённых задач для уравнений вязких теплопроводных жидкостей в цилиндрических областях

Введение 3

1 Решение задач о распределении тепла для двух контактирую-
щих цилиндров 18
1.1 Стационарное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Решение нестационарной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Решение спектральных задач о потере устойчивости равнове-
сия жидкостей в конечном цилиндре 54
2.1 Возникновение конвекции в двухслойной системе жидкостей в ко-
нечном цилиндре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.1 Возмущённое решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.2 Зависимость числа Марангони от геометрии контейнера и
физических параметров жидкости . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Зависимость числа Марангони от геометрических параметров в
случае однослойной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Априорные оценки сопряжённой задачи, описывающей осесим-
метричное термокапиллярное движение при малом числе Ма-
рангони с подвижной общей поверхностью раздела 68
3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Оценки функций aj (r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Оценки функций vj (r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Поведение решения при t → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Решение сопряжённой задачи, описывающей осесимметриче-
ское термокапиллярное движение в цилиндре при малом числе
Марангони 95
4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Стационарное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Решение задачи методом преобразования Лапласа . . . . . . . . . 101
4.5 О стремлении решения к стационарному . . . . . . . . . . . . . . 107

Заключение 109

Литература 110

В заключении сформулируем основные результаты диссертационной ра-
боты:
1. (a) Построены решения в виде рядов Фурье по функциям Бесселя для
сопряжённых задач о стационарном и нестационарном распределении
тепла в конечном цилиндре, когда температура на всей границе цилин-
дров известна;
(b) доказана сходимость построенных рядов;
(c) доказана единственность решения;
(d) указаны условия, при которых решение нестационарной задачи с ро-
стом времени выходит на стационарный режим.
2. Исследованы спектральные задачи об устойчивости равновесия:
(a) двух жидкостей в цилиндре при наличии границы раздела;
(b) однослойной жидкости в цилиндрическом контейнере с верхней сво-
бодной границей, на которой задан теплообмен с окружающей средой.
В обоих случаях получены явные зависимости спектрального параметра
от геометрии области и физических параметров жидкостей.
3. (a) Получены априорные оценки обратных сопряжённых линейных задач,
описывающих осесимметричное термокапиллярное движение при ма-
лом числе Марангони для двух несмешивающихся вязких теплопро-
водных жидкостей в цилиндрической трубе. При этом их общая по-
верхность раздела предполагается недеформируемой и в одном случае
является подвижной, а в другом – фиксированной;
(b) даны достаточные условия сходимости решений обеих задач к стацио-
нарному режиму;
(c) во второй задаче
– найдено стационарное решение;
– в образах по Лапласу решение получено в явном виде;
– приведённые тестовые расчёты для конкретных жидких сред хорошо
согласуются с полученными априорными оценками.

[1] Абрамовица, М. Справочник по специальныи функциям / М. Абрамовица,
И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
[2] Андреев, В. К. Об одной сопряжённой начально-краевой задаче / В. К.
Андреев // Дифференциальные уравнения. – 2008. – №5. – С. 1-7.
[3] Андреев, В. К. О неравенстве Фридрихса для составных областей / В. К.
Андреев // Журнал Сибирского федерального университета. Математика
и физика. – 2009. – Т. 2. – № 2. – С. 146 – 157.
[4] Андреев, В. К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обоб-
щения / В. К. Андреев – Препринт №1-10. – Красноярск: Институт вычис-
лительного моделирования СО РАН, 2010. – 68 с.
[5] Андреев, В. К. Устойчивость неизотермических жидкостей / В. К. Андреев,
В. Б. Бекежанова. – Красноярск: Сибирский федеральный университет,
2010. – 356 с.
[6] Андреев, В. К. Математическое моделирование конвективных течений:
учебное пособие / В. К. Андреев, Ю. А. Гапоненко. – Красноярск: КрасГУ,
2006. – 392 с.
[7] Андреев, В. К. Современные математические модели конвекции / В. К. Ан-
дреев, Ю. А. Гапоненко, О. Н. Гончарова, В. В. Пухначёв. – М.: Физматлит,
2008. – 368 с.
[8] Андреев, В. К. Термокапиллярная неустойчивость / В. К. Андреев, В. Е.
Захватаев, Е. А. Рябицкий. – Новосибирск: Наука, 2000. – 279 с.
[9] Андреев, В. К. Эволюция термокапиллярного движения трёх жидкостей в
плоском слое / В. К. Андреев, Е. Н. Лемешкова // Прикладная математика
и механика. – 2014. – Т. 78. – Вып. 4. – С. 485-492.
[10] Андреев, В. К. Инвариантные решения уравнений термокапиллярного дви-
жения / В. К. Андреев, В. В. Пухначёв // Численные методы механики
сплошной среды. – Новосибирск, 1983. – Т. 14. – № 5. – С. 3-23.
[11] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функ-
ции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен,
А. Эрдейн. – М.: Наука, 1974. – 295 с.
[12] Бирих, Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жид-
кости / Р. В. Бирих // Прикладная механика и техническая физика. – 1966.
– №3. – С. 69-72.
[13] Бирих, Р. В. Осевое конвективное течение во вращающейся трубе с про-
дольным градиентом температуры / Р. В. Бирих, В. В. Пухначёв // До-
клады академии наук. – Т. 436. – №3. – С. 323-327.
[14] Бугаев, А. А. Термокапиллярные явления и образование рельефа поверхно-
сти под воздействием пикосекундных лазерных импульсов / А. А. Бугаев,
В. А. Лукошкин, В. А. Урпин, Д. Г. Яковлев // Журнал технической фи-
зики. – 1988. – Т. 58 – № 5. – С. 908 – 914.
[15]Варгафтик, Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жид-
костей / Н. Б. Варгафтик. – М.: Наука, 1972. – 720 с.
[16]Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. / Г. Н. Ватсон. –
М.: Издательство иностранной литературы, 1945. – 799 с.
[17]Веденов, А. А. Физические процессы при лазерной обработке металлов /
А. А. Веденов, Г. Г. Гладуш. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 206 с.
[18]Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров.
– М.: Наука, 1976. – 526 с.
[19]Воробьёв, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьёв. – М.: Наука, 1979. – 408 с.
[20]Гончарова, О. Н. Групповая классификация уравнений свободной конвек-
ции / О. Н. Гончарова // Динамика сплошной среды. – Новосибирск: ИГ
СО РАН СССР, 1987. – Вып. 79. – С. 22-35.
[21]Гончарова, О. Н. Гравитационно-термокапиллярная конвекция в горизон-
тальном слое при спутном потоке газа / О. Н. Гончарова, О. А. Кабов //
Доклады академии наук. – Т. 426. – №2. – С. 183-188.
[22]Зейтунян, Р. Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара – Ма-
рангони / Р. Х. Зейтунян // Успехи физических наук. – 1998. – Т. 169. –
Вып. 3. – С. 259-286.
[23]Катков, В. Л. Точные решения некоторых задач ковекции / В. Л. Катков
// Прикладная математика и механика. – 1968. – №3. – С. 11-18.
[24]Кудрявцев, Л. Д. Курс математичекого анализа: учебное пособие для сту-
дентов университетов и вузов в 3 т. / Л. Д. Кудрявцев. – 2-е изд., перераб.
и доп. – М.: Высшая школа, 1989. – Т. 3. – 352 с.
[25]Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного /
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с.
[26]Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ла-
дыженская. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
[27]Леонтьев, А. Ф. Ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. – М.: Наука, 1976. – 536
с.
[28]Магденко, Е. П. Решение стационарной сопряжённой задачи теплообмена в
конечных цилиндрах / Е. П. Магденко // Журнал Сибирского федераль-
ного университета. Серия: Математика и физика. – 2010. – Т.4. – Вып. 4. –
С. 519-526.
[29]Магденко, Е. П. Об определении стационарных полей температур в контак-
тирующих конечных цилиндрах / Е. П. Магденко // Сборник трудов XLIII
краевой научной студенческой конференции по математике и компьютер-
ным наукам – Красноярск, 2010. – С. 74-78.
[30] Магденко, Е. П. Решение стационарной сопряжённой задачи теплообмена
в конечных цилиндрах / Е. П. Магденко // Сборник трудов XI всероссий-
ской конференции молодых учёных по математическому моделированию и
информационным – Красноярск, 2010. – С. 32.
[31] Магденко, Е. П. О потере устойчивости равновесия двух жидкостей в ци-
линдре при наличии границы раздела / Е. П. Мгденко // Журнал сибир-
ского федерального университета. Серия: Математика и физика. – 2012. –
Т.5. – Вып. 4. – С. 558-565.
[32] Магденко, Е. П. Решение стационарной сопряжённой задачи теплообмена в
конечных цилиндрах / Е. П. Магденко // Сборник трудов 50-ой Междуна-
родной студенческой научной конференции “Студент и научно-технический
прогресс”. – Новосибирск, 2012. – С. 112.
[33] Магденко, Е. П. О возникновении движения в конечном цилиндре / Е. П.
Магденко // Журнал вычислительные технологии. – 2013. – Т.5. – Вып. 6
– С. 75-82.
[34] Магденко, Е. П. О линеаризованной сопряжённой задаче конвекции в ко-
нечном цилиндре / Е. П. Магденко // Материалы конференции молодых
учёных по математическому моделированию и информационным техноло-
гиям ИВМ СО РАН. – Красноярск, 2013. – С. 85-90.
[35] Магденко, Е. П. Решение линеаризованной сопряжённой задачи конвекции
в цилиндрах / Е. П. Магденко // Сборник трудов конференции “Неко-
торые актуальные проблемы современной математики и математического
образования. Герценовские чтения”. – Санкт-Петербург, 2013. – С. 62-66.
[36] Магденко, Е. П. О возникновении конвекции в конечном цилиндре при на-
личии границы раздела / Е. П. Магденко // Тезисы докладов 5-ой Всерос-
сийской конференции с участием зарубежных учёных “Задачи со свобод-
ными границами: теория, эксперимент и приложения”. – Бийск, 2014. – С.
68.
[37] Магденко, Е. П. Конвекция Марангони в конечном цилиндре / Е. П. Маг-
денко // Журнал прикладная механика и техническая физика – 2016. –
Т.1. – С. 142-151.
[38] Магденко, Е. П. Априорные оценки сопряжённой задачи, описывающей осе-
симметричное термокапиллярное движение при малых числах Марангони
/ Е. П. Магденко. – Препринт № 16-1. – Красноярск: Институт вычисли-
тельного моделирования СО РАН, 2016. – 31 с.
[39] Мандельбройт, С. Ряды Дирихле. Принципы и методы / С. Мандельбройт.
– М.: Мир, 1973. – 171 с.
[40] Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных проихводных /
В. П. Михайлов. – М.: Наука, 1983. – 424 с.
[41] Михлин, С. Г. Линейные уравнения в частных производных / С. Г. Михлин.
М.: Высшая школа, 1977. – 431 с.
[42] Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.
В. Овсянников. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
[43] Овсянников, Л. В. Нелинейные проблемы теорииповерхностных и внутрен-
них волн / Л. В. Овсянников, Н. И. Макаренко, В. И. Налимов и др. –
Новосибирск, Наука, 1985. – 318 с.
[44] Остроумов, Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи / Г.
А. Остроумов. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 256 с.
[45] Полянин, А. Д. Справочник — линейные уравнения математической физи-
ки / А. Д. Полянин. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.
[46] Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Пруд-
ников, Ю. А. Бычков, О. И. Маричев. – М.: Наука, 1983. – 752 с.
[47] Пухначёв, В. В. Движение вязкой жидкости со свободными границами:
учебное пособие / В. В. Пухначёв. – Новосибирск, 1989. – 96 с.
[48] Пухначёв, В. В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и егообоб-
щения / В. В. Пухначёв // Труды II Международной конференции “Сим-
метрия и дифференциальные уравнения”. – Красноярск: Институт вычис-
лительного моделирования СО РАН, 2000. – С. 180-183.
[49] Пухначёв, В. В. Нестационарные аналоги решения Бириха / В. В. Пухначёв
// Известия АлтГУ. – 2011. – №1/2. – С. 62-69.
[50] Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. – М.: Наука, –
Т. 4. – ч. 1. – 1974.
[51] Репин, И. В. Стационарные течения двухслойной жидкости: магистерская
диссертация / И. В. Репин. – Красноярск: КГУ, математический факультет,
2003. – С. 1-35.
[52] Рябицкий, Е. А. Колебательная термокапиллярная неустойчивость равно-
весия плоского слоя в присутствии поверхностно-активного вещества / Е.
А. Рябицкий // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 1993. – №1. –
С. 6-10.
[53] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: учебное пособие для
студентов университетов и вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 4-ое
изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1972. – 736 с.
[54] Толстов, Г. П. Ряды Фурье / Г. П. Толстов. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
[55] Хайбибулин, И. Г. Лазерный отжиг имплантированных полупроводников
/ И. Г. Хайбибулин, Е. И. Штырков, М. М. Зарипов // Известия академи
наук СССР. Серия: физика. – 1981. – Т. 45. – № 8. – С. 1464-1473.
[56] Andreev, V. K. Stability of Non-isothermal Fluids (Review) / V. K. Andreev,
V. B. Bekezhanova // J. Appl. Mech. and Tech. Phys. – 2013. – Vol. 54 – No.
2. – P. 171-184.
[57] Andreev, V. K. Mathematical Models of Convection / / V. K. Andreev, Y. A.
Gaponenko, O. N. Goncharova, V. V. Pukhnachov // Berlin/Boston: Walter de
Gruyter GmbH and Co. KG, 2012.
[58] Andreev, V. K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Radionov A.A. Aplications
of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics / V. K. Andreev, O. V.
Kaptsov, V. V. Pukhnacov, A. A. Radionov. – Dordnrcht/Boston/London:
Kluwer Academic Publisher, 1998. – 408 p.
[59] Dauby P. C. Linear Beґnard-Marangoni instability in rigid circular containers
/ P. C. Dauby, G. Lebon, E. Bouhy // Physical Review E. – 1997. – V. 56. –
P. 520-530.
[60] Denisova, I. V. On the problem of thermocapillary convection for two
incompressible fluids separated by a closed interface / I. V. Denisova. – Prog.
Nonlinear Differ. Equ. Appl. – 2005. – V. 61. – P. 45-64.
[61] Denisova, I. V. Thermocappilary convection problem for two compressible
immiscible fluids / I. V. Denisova // Microgravity Sci. Technol. – 2008. – V.
20. – No 3-4. – P. 287-291.
[62] Magdenko, E. P. Axisymmetric Thermocapillary Motion in a Cylinder at
Small Marangoni Number / E. P. Magdenko // Siberian Federal University.
Mathematics & Physics. – 2015. – V.8. – No 3. – P. 303-311.
[63] Napolitano, L. G. Plane Marangoni-Poiseuille flow two immiscible fluids / L.
G. Napolitano // Acta Astronautica. – 1980. – V. 7. – No. 4-5. – P. 461-478.
[64] Narayanan R. Interfacial Fluid Gynamics and Transport Processes / R.
Narayanan, D. Schwabe – Berlin/Heidelberg/New-York: Springer-Verlag, 2009.
[65] Nepomnyashii, A. Interfacial Convection in Multilayer System / A.
Nepomnyashii, I. Simanovskii, J.-C. Legros – New-York: Springer, 2006.
[66] Pearson, J. R. A. One convection cells induced by surface tension / J. R A.
Pearson // J. Fluid Mech. 1958. V. 4. P. 489–500.
[67] Rosenblat, S. Nonlinear Marangoni convection in bounded layers. Part 1.
Circular cylindrical containers / S. Rosenblat, S. H. Davis, G. M. Homsy //
J. Fluid Mech. – 1982. – V. 120. – P. 91–122.
[68] Ryabitskii, E. A. Thermocapillarity instability of liquid layer with internal heat
generation / E. A. Ryabitskii // Micrograviti science and technology. – 1994. –
V. 7. – P. 20-23.
[69] Palmer, H. J. Hydrodynamic stability of surfactant solutions heated from below
/ H. J. Palmer, J. C. Berg // J. Fluid. Mech. 1972. – V. 51. – Pt. 2. – P. 385 –
402.
[70] Scriven, L. E. On cellular convection driven by surface-tension gradients: effects
of mean surface tension and surface viscosity / L. E. Scriven, C. V. Sternling
// J. Fluid Mech. – 1964. – V. 19. – P. 321–340.
[71] Smith, K. A. On convective instability induced by surface-tension gradients /
K. A. Smith // J. Fluid Mech. – 1966. – V. 24. – Pt 2. – P. 401-414.
[72] Zeytovnian, R. Kh. Convection in Fluids / R. Kh. Zeytovnian –
Dordrecht/Heidelberg/London/ New-York: Springer, 2009.