Решения и формулы Варинга для системы n алгебраических уравнений от n неизвестных

В 1921 году Г. Меллин [1] получил формулу для решения общего
приведенного алгебраического уравнения

y m + x1 y m1 + . . . + xp y mp − 1 = 0. (0.1)

Мы называем это уравнение общим по той причине, что все коэф-
фициенты независимо друг от друга пробегают поле комплексных
чисел.
Решение y(x) = y(x1 , . . . , xp ) уравнения (0.1) (которое называ-
ют общей алгебраической функцией) было представлено им в виде
кратного интеграла (одного из представителей класса интегралов
Меллина-Барнса [2]), а также в виде степенного ряда гипергеомет-
рического типа. Ряды гипергеометрического типа представляются
конечной суммой гипергеометрических рядов по Горну [3]: отно-
шения соседних коэффициентов последних рядов являются раци-
ональными функциями от переменных суммирования ряда.
Приведенное алгебраическое уравнение (0.1) получается фик-
сацией двух коэффициентов в общем алгебраическом уравнении
степени m. Поскольку решение последнего уравнения биоднород-
но зависит от коэффициентов, такую фиксацию можно сделать при
любой паре мономов, не теряя информации о решениях [4].
Краткая хронология событий, связанных с решением алгебраи-
ческих уравнений, следующая. В 1757 г. Ламберт разложил корень
трехчлена y p +y+z в степенной ряд по параметру z. В дальнейшем,
разложения в ряды отдельных алгебраических функций были по-
лучены Эйлером и Чебышёвым. Поскольку после работ Абеля и
Галуа классическая алгебра утратила монополию на исследование
алгебраических уравнений, математики обратились к аналитиче-
ским средствам, и началось изучение интегральных представлений
общих алгебраических функций и их разложений в степенные ря-
ды. При различных предположениях относительно вида исходного
уравнения такие разложения были получены в работах Линдеман-
на [5], Меллина [1] и Биркелана [6].
Подход Меллина основан на применении интегрального преоб-
разования Меллина к решению исходного уравнения, в то время
как Биркелан получил разложения решений в степенные ряды ги-
пергеометрического типа на основе метода Лагранжа для вычис-
ления неявной функции.
Третий (дифференциально-аналитический) подход к решению
алгебраических уравнений был реализован в 1937 году К. Мэй-
ром [7]. Он предъявил естественную систему дифференциальных
уравнений, которой удовлетворяет общая алгебраическая функ-
ция. Эта система явилась прототипом ставшей знаменитой гипер-
геометрической системы GKZ (Гельфанда-Капранова-Зелевинско-
го) [8], 1989 г. Используя багаж сведений о решениях GKZ-системы,
Б.Штурмфельс [9] в 2000-м году выписал все ветви общей ал-
гебраической функции в виде так называемых гамма-рядов. Его
идеи были существенно развиты М. Пассаре и А.К. Цихом в кни-
ге [4], посвященной 200-летию Н.Абеля. Также дифференциально-
аналитический подход был развит в работах Т.М. Садыкова [10],
[11]. Одновременно с третьим подходом развивался подход Мел-
лина на основе теории многомерных вычетов [12]. Исследования
алгебраических функций в тесной связи с теорией функций и с ма-
тематической физикой проводились в статьях [13], [14], [15], [16],
[17], [18], [19].
С помощью таких инструментов, как гипергеометрические ря-
ды и многомерные вычеты, был получен новый метод описания
монодромии общей алгебраической функции y(x), основанный на
аналитических продолжениях друг в друга гипергеометрических
рядов и интегралов Меллина-Барнса [20] (2012).
Переход от скалярного уравнения (0.1) к системе уравнений
был начат в статье И.А. Антиповой [21], где она, следуя подходу
Меллина, получила решение для нижнетреугольной системы ал-
гебраических уравнений, когда первое уравнение зависит только
от первой неизвестной y1 , второе от первых двух y1 , y2 и т.д., по-
следнее n-е зависит от всех n неизвестных y1 , . . . , yn . Отметим, что
нижнетреугольные системы играют важню роль в задачах о су-
перпозиции алгебраических функций [22], поскольку n-я координа-
та yn решения такой системы есть последовательная суперпозиция
всех предыдущих координат.
Подход Меллина состоит в следующем. Вначале с помощью ли-
неаризации уравнения (0.1) вычисляется преобразование Меллина
для решения, затем на основе формулы обращения для этого пре-
образования, получается интегральное представление (в виде крат-
ного интеграла Меллина-Барнса) для решения. В свою очередь,
применяя теорию вычетов, интегральное представление сводится
к ряду гипергеометрического типа.
Следует заметить, что применение подхода Меллина к более
широкому классу систем, чем нижнетреугольные, сопряжено с
определенными трудностями. А именно, результаты исследований
данной диссертации показали, что формальный интеграл Мелли-
на-Барнса для более общих систем, как правило, имеет пустую об-
ласть сходимости. Поэтому потребовалось обосновать справедли-
вость предсказанной В.А. Степаненко [23] формулы для решений
систем в виде степенного ряда и привести ее к более совершен-
ной (регуляризованной) форме. При этом, несмотря на имеющий-
ся алгоритм Нильсон-Пассаре-Циха [24] для нахождения области
сходимости интеграла Меллина-Барнса, оставался открытым во-
прос о нахождении критерия сходимости гипергеометрического ин-
теграла, представляющего решение общей системы алгебраических
уравнений.
Цель настоящей диссертации — получить более совершенную
формулу в виде ряда гипергеометрического типа для решения си-
стемы общих алгебраических уравнений, найти критерий сходи-
мости гипергеометрического интеграла для решения, и в качестве
применения получить многомерный аналог формул Варинга для
степенных сумм корней системы.
В диссертации рассматривается приведенная система n уравне-
ний
mj
X (j)
yj + xλ y λ − 1 = 0, j = 1, . . . , n, (0.2)
λ∈Λ(j)