Синтез алгоритмов и систем управления движением судна по траектории на основе градиента вспомогательных функций

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи, определены объект и предмет исследования, указаны научная новизна, практическая и теоретическая значимость исследования и положения, выносимые на защиту.
в направлении «Создание
безэкипажных судов в концепции е-навигации» (1 место по направлению)
В первой главе выполнен анализ научно-технической литературы, который показал, что совершенствование систем управления движением судна по траектории является актуальной проблемой. Приводятся простые линейные и нелинейные модели динамики и кинематики судна, а также математические модели рулевых машин, необходимые длядальнейшего исследования. Анализ показал, что практическое применение полных нелинейных многомерных математических моделей движения судна в значительной мере затруднено из-за сложности и высокой степени неопределенности, нелинейности и большой размерности динамической системы. Наибольшее распространение получили упрощённые линейные и нелинейные математические модели движения судна, как правило, обладающие достаточно высокой степенью адекватности решаемой задаче.
Во второй главе исследован подход к построению модели (идентификации) динамики судна по курсу, основанный на применении псевдообратных матриц и измерениях вектора состояния объекта управления, что позволяет повысить качество идентификации при наличии погрешностей в измерениях. Получены аналитические матричные соотношения для идентификации параметров математической модели динамики судна по курсу.
Выполнено построение математической модели движения судна по курсу на основании экспериментальных данных методом численной оптимизации. Данные были получены в процессе морских испытаний экспериментальной платформы для БЭК. Экспериментальная платформа маломерного судна (рис. 1) – алюминиевый глиссирующий катер (катамаран ассиметричного вида с плоскими внутренними поверхностями («Split Hull»)). Длина катера равна 6 м, ширина – 2,6 м, водоизмещение – 1,3 тонны. Силовая установка состоит из двух подвесных лодочных моторов мощностью 40 л. с.
Рисунок 1 – Внешний вид экспериментальной платформы для БЭК
Для сбора данных, полученных при проведении эксперимента, использованы режимы движения катера при различных скоростях. Фиксирование параметров движения выполнено при следующих скоростях: 1,5 – 2 м/с, 2,5 – 3 м/с, 3,5 – 4 м/с, 4 – 5 м/с, 5 – 8 м/с.
Примеры экспериментальных данных, полученных при выполнении тестового маневра, приведены на рисунке 2.

60 40 20
0 -20 -40 -60
0 200 400
600 800 1000
Рисунок 2 – Положение рулевого колеса wheel (диапазон скоростей 1,5 – 2 м/с)
Для оценки близости данных, полученных в ходе проведения эксперимента, кданным, которые генерируют модель Номото, в данном случае, 1-го порядка, сформирован критерий квадратичного типа:
∑ ( − )2, (1) =1 пр т
где – номер шага; – количество шагов; пр – угловая скорость экспериментальная; т – угловая скорость теоретическая.
Задача сводилась к определению параметров модели, и , при которых
достигается минимум выбранного критерия и была выполнена с помощью вычислительной среды MS Excel, в которую встроена функция поиска решения.
Результаты вычислений для заданных диапазонов скоростей показаны в таблице 1.
Таблица 1 – Результаты идентификации модели Номото 1-го порядка
t, s
v
k T,с
1,5-2 м/с 0,20735 5,744963
2,5-3 м/с 0,31202 4,094419
3,5-4 м/с 0,32782 2,924847
4-5 м/с 0,28908 1,644972
6-8 м/с 0,2698 1,421113
На рисунке 3 приведены графики, показывающие высокую степень совпадения экспериментальных данных и построенной модели Номото 1-го порядка.
10 5 0 -5 -10
ωпр ωт
1 60 119 178 237 296 355 414 473 532 591 650 709 768 827 886 945
ω, ∘/s
wheel, ∘
t, s
Рисунок 3 – Данные эксперимента и теоретической модели Номото 1-го порядка (для диапазона скоростей 1,5 – 2 м/с)

предполагаемого маршрута, который соединяет путевые ( +1, +1), примет вид:
= + ;
= +1− , = − 1, +1 −
точки
вида ( , ) с (2)
(3)
Аналогичным образом была решена задача идентификации для модели Номото 2-го порядка.
Предложена нелинейная математическая модель продольного движения судна, учитывающая возможность его выхода в режим глиссирования, идентифицированы параметры разработанной нелинейной математической модели. Для представления нелинейной составляющей в математической модели продольного движения судна предложено использование степенных рядов.
При выполнении эксперимента с БЭК были также получены данные, описывающие зависимость установившихся значений продольной скорости катера оттяги движителя. Была предложена нелинейная модель продольного движения катера, учитывающая возможность его выхода с водоизмещающего режима движения в глиссирование. На основе экспериментальных данных с использованием степенных рядов была выполнена параметрическая идентификация построенной нелинейной модели.
В третьей главе для решения задачи управления движением судна по траектории предложено использование вспомогательных функций, которые имеют экстремум (максимум) на заданной программной траектории. Особенность выбираемой вспомогательной функции заключается в том, что ее вектор градиента всегда направлен к программной траектории. Это свойство используется при построении алгоритмов и систем управления движением судна по траектории.
Пусть запланированная траектория движения судна задана последовательностью путевых точек, имеющих координаты ( , ), где = 0,1, … , . Запланированный маршрут траектории движения судна часто задан в виде кусочно- линейной траектории. В рассматриваемом далее примере уравнение i-го фрагмента
где – угловой коэффициент прямой, определяемый через координаты путевых точек; – свободный коэффициент, показывающий пересечение с осью .
Для i-го прямолинейного участка траектории вида = + вспомогательная функция может быть выбрана в виде:
0( , ) = − ( − − )2, = , > 0. (4) 2
На рисунке 4 представлена 3D поверхность, соответствующая функции 0( , ) при = 1. Вертикальное сечение этой поверхности представляет собой параболы, максимум которых находится на i-м участке заданной траектории движения судна.

= +1 − ; = +1 −
√( +1 − )2 + ( +1 − )2 √( +1 − )2 + ( +1 − )2
В дальнейшем удобно использовать нормированный вектор .
.
(6)
Рисунок 4 – Поверхность, соответствующая функции 0( , )
На рисунке 5 представлено поле векторов градиента функции 0( , ) при = 5. Как видно из рисунков, все векторы направлены к i-му фрагменту запланированной траектории движения судна.
Рисунок 5 – Поле векторов градиента функции 0( , ), = 5
Для обеспечения желаемого движения судна сформирована вспомогательная
функция ( , ):
где – весовой коэффициент; , – компоненты вектора
вычисляются через координаты путевых точек:
(5)
= ( , )
( , )= 0( , )+ ( + ),
Для иллюстрации примера рассмотрен частный случай функции Соответствующаяфункциявыбранаввиде ( , )=−2 2 + при =1(рисунок6).
Введение двух последних слагаемых функции ( , ) (5) позволяет сформировать поле векторов ее градиента, плавно подходящих к заданному участку программной траектории: вертикальная прямая на рисунке 6, наклонная прямая на рисунке 7.
( , ).
Рисунок 6 – Поле векторов градиента функции ( , ), = 1
Рисунок 7 – Поле векторов градиента для функции
Вектор градиента функции 0( , ) может быть вычислен по формуле:

0( , )=( 0, 0) (7)
0( , )=( ( − − ),− ( − − ). (8)
или

Векторы поля градиента функции ( , ) стягиваются к заданному участку маршрута движения судна. Направление вектора градиента вспомогательной функции ( , ) в конкретной точке предложено использовать в качестве программного (желаемого) значения курса судна для выхода его на i-й участок траектории, а также движение вдоль нее:
( , )
0 +
( ) = ( , )
или
0 +
(9)
( , )
( ) =
,
( , )
где = ( ) и = ( ) – координаты судна.
Полученное соотношение позволило предложить следующую систему
управления движением судна по траектории (рисунок 8).
Рисунок 8 – Укрупненная схема системы управления движением судна по заданной траектории
Моделирование системы управления движением судна по траектории, алгоритм работы которой основан на полученном выражении (7), подтвердило работоспособность предложенного подхода. На рисунке 9 показан процесс движения судна по фрагменту программной траектории, состоящей из двух прямолинейных участков. Реальная траектория судна притягивается к заданным участкам программной траектории.
Рисунок 9 – Движение судна вдоль заданной траектории: ( 0) = 0,5 рад, параметр a = 100
Исследования показали, что при наличии течений фактическая траектория движения судна смещена на постоянную величину относительно заданной программной траектории. На рисунке 10 представлены результаты моделирования процесса движения судна потраектории, компоненты вектора скорости течения
= 0 м/с, = 0,7 м/с. Скорость движения = 5 м/с. Для компенсации указанного смещения в главе 3 предложена схема адаптивной коррекции алгоритма управления движением судна по траектории.
Рисунок 10 – Приближение судна к заданной траектории при = 0 м/с, = 0,7 м/с
Разработанный алгоритм управления, основанный на полученном выражении (9) сиспользованием градиента вспомогательной функции, был исследован экспериментально на безэкипажном катере, подробно описанном в главе 2. Эксперименты проводились вакватории Амурского залива, в бухте Алексеева, 11 августа 2020 года. В ходе эксперимента желаемый маршрут задавался в виде прямоугольника со сторонами 500 м и 300 м. Скорость движения катера – 5 м/с. На рисунке 11 приведена реальная траектория движения БЭК катера, управление которым выполнялось в соответствии с разработанным алгоритмом.
Программно-аппаратная реализация и эксперименты были выполнены аспирантом Пушкаревым И.И., разработанный алгоритм описан в ряде совместных публикаций.

Рисунок 11 – Траектория движения БЭК во время эксперимента
Для компенсации отклонения судна и обеспечения точного движения судна по траектории от заданной программной траектории под влиянием течений и ветровых воздействий была предложена и исследована схема адаптивной коррекции параметров алгоритма управления движениями судна по траектории.
Суть предложенного решения заключалась в замене i-го прямолинейного участка маршрута судна, описываемого уравнением = + , новой виртуальной траекторией вида = + ∗ и использовании ее во вспомогательной функции и, следовательно, при вычислении соответствующего вектора градиента. Новый параметр ∗ находился как решение следующего дифференциального уравнения:
( ∗) = − ( − − ), (10)

где = > 0 – коэффициент определяющий скорость настройки;

∗(0) = – начальное условие; ( ; ) – координаты судна.
Очевидно, что настройка параметра ∗ заканчивалась, когда правая часть дифференциального уравнения становится равной нулю, т.е. когда судно выходит точно на плановую траекторию.
Для проверки работоспособности предложенного алгоритма был проведен ряд вычислительных экспериментов при различных условиях. На рисунке 12 приведен процесс выхода судна на программную траекторию (горизонтальная линия). Параметры течений: = 0 м/с, = 0,7 м/с. В начальный момент времени расстояние ( 0) = 40м, начальное значение курса судна ( 0) = 0. При использовании алгоритма управления, построенного на основе градиента вспомогательной функции, судно выходит на траекторию, параллельную заданной и отстоящую от нее на расстоянии у = 14,14 м (кривая 2). В процессе моделирования в момент времени =500с включалась схема адаптивной коррекции параметра ∗ алгоритма управления. В результате судно выходило на истинную траекторию (кривая 3). Установившееся отклонение траектории судна от программной у равно нулю.

14
Рисунок 12 – Траектории движения судна при наличии и отсутствии адаптивной коррекции алгоритма управления при параметрах течения = 0 м/с, = 0,7 м/с
Результаты остальных численных экспериментов сведены ниже в таблице 2. Таблица 2 – Результаты моделирования системы управления движением судна по траектории
м/с 0 0 0 0,5 0,2 0 с ,
,м/с 0,7 0,5 −0,5 −0,5 −0,2 −0,7 с
,м 0,02403 0,01778 −0,01778 −0,01778 −0,00732 −0,02403 1
1,° −8,052 −5,742 5,742 5,742 2,294 8,052
, м 14,14 10,05 −10,05 −10,05 −4,003 −14,14 2
2,° −8,048 −5,74 5,74 5,74 2,293 8,048
∗, м 14,11597 10,03222 −10,03222 −10,03222 3,99568 14,11597
В таблице 2: 1– смещение судна от запланированной траектории при использовании системы с адаптацией; 2 – смещение судна от запланированной траектории при использовании системы без адаптации; 1, 2– установившееся значение курса в системе с адаптацией и без адаптации соответственно (в рассматриваемом случае они совпадают со значениями угла дрейфа судна). с , с – скорость течения; ∗ – параметр алгоритма адаптивной настройки.
Рассмотрен более общий пример, когда -й участок программной траектории задан уравнением = + . На рисунке 13 приведен пример программной траектории при = 1, = 0 (кривая 3), а также траектория движения судна при отсутствии (кривая 1) и наличии (кривая 2) адаптивной коррекции. Алгоритм адаптивной настройки, как видно из результатов, обеспечивает точный выход судна на запланированную траекторию при = 0 м/с, = 0,7м/с.
Рисунок 13 – Траектории движения судна при наличии и отсутствии адаптивной коррекции алгоритма управления при параметрах течения = 0 м/с, = 0,7 м/с
Результаты остальных численных экспериментов приведены ниже в таблице 3.
Таблица 3 – Результаты моделирования систему управления движением судна по траектории
м/с 0 ,
0 0 0,5 −0,7
4,509 −7 1,234 −6 40,95 50,69
−10,07 14,2 40,95 50,69
−10,07 14,2
0,5 −0,5 5,42 −7 53,13 20,47 53,13 20,47
, м/с
, м 1
1, °
,м 2
2, °
∗, м
0,7 7,519 −7 39,32 14,15 39,32 14,15
В таблице 3: 1 – смещение судна от запланированной траектории при использовании системы с адаптацией; 2 – смещение судна от запланированной траектории при использовании системы без адаптации; 1, 2 – установившееся значение курса всистеме с адаптацией и без адаптации соответственно (в рассматриваемом случае они совпадают со значениями угла дрейфа судна). с , с – скорость течения; ∗ – параметр алгоритма адаптивной настройки.
В четвертой главе разработанный ранее подход к решению задачи управления движением судна по траектории был обобщен для случая обхода статических препятствий путем введения вспомогательных штрафных функций, градиент которых обладает специальными свойствами. Использование вектора градиента вспомогательной функции позволяет корректировать программное значение курса судна и обеспечивать обход статического препятствия. Предложены и исследованы различные варианты штрафных вспомогательных функций, обладающих предложенными свойствами. Математическое моделирование подтвердило эффективность предложенных алгоритмов и систем управления движением судна при наличии статических препятствий.
Введена в рассмотрение вспомогательная функция ( , , , ), ̅̅̅̅̅̅̅
где ( ; ) – координаты препятствия, = 1. . , – количество препятствий, ( ; ) – координаты судна. Функция выбирается из условия направленности векторов ее градиента от точки с координатами ( ; ), причем, модуль этих векторов уменьшается, стремясь к нулю с увеличением расстояния до препятствия. Назначение такой функции заключается в том, чтобы корректировать программное (желаемое) значение курса, определяемое конкретным участком изначально построенной траектории движения судна.
На рисунке 14 показан вид поверхности, соответствующей «вспомогательной штрафной функции» вида = ( √( − )2 + ( − )2) (координаты препятствия = 0, = 0, параметр = 0,2). На рисунке 15 показано поле вектора градиента для «вспомогательной штрафной функции».

Рисунок 14 – Поверхность, построенная для «вспомогательной штрафной функции»
Рисунок 15 – Поле вектора градиента для «вспомогательной штрафной функции»
Вектор градиента функции ( , ) определяет направление движения судна к программной траектории и вдоль нее. При наличии препятствия вблизи траектории добавление вектора градиента функции к градиенту функции будет изменять (корректировать) ранее запланированный курс судна, уводя его от препятствия. В процессе обхода препятствия и удаления от него модуль вектора градиента функции стремится к нулю (в силу предъявленных к функции требований), и судно возвращается на исходную запланированную траекторию.
Для реализации предлагаемого подхода введем функцию ( , ):
( , )= ( , )+ + +∑ ( , , , ), (11)
=1
– номер участка траектории судна; , – координаты направляющего
где
вектора
для i-го участка траектории движения судна.
Для иллюстрации основной идеи развиваемого подхода построено поле векторов градиента для функции . Для определенности задан конкретный вид и параметры вспомогательной штрафной функции :
= 1 ( 2( − )2 + ( − )2).
(12)
На рисунках приведены примеры полей векторов градиента функции ( , ). Случай 1. Количество препятствий m = 1, координаты препятствий 1 = 0, 1 = 5 (рисцнок 16), коэффициенты 1, 2 равны соответственно 1 =100, 2 =0,1 (рисунок 20). Координаты начальной и конечной точки первоначально запланированного i-го участка маршрута движения судна равны соответственно (0,0), (20,0).
Рисунок 16 – Поле векторов градиента для функции ( , ) для одного препятствия (m = 1)
Случай 2. Количество препятствий m = 2, координаты препятствий 1 = −10, 1 = 5, 2 = 20, 2 = −5, коэффициенты 1, 2 равны соответственно 1 =100, 2 =0,05 (рисунок 17). Координаты начальной и конечной точки первоначально запланированного i-го участка маршрута движения судна равны соответственно (0,0), (40,0).
Рисунок 17 – Поле векторов градиента для функции ( , ) для двух препятствий (m = 2) Предложен следующий закон, или алгоритм, формирования программного
значения курса судна:
( , )
+ +
. (13) ( , )
( )= или ( )=
+ +
Полученное выражение представляет собой обобщение разработанного ранее алгоритма формирования программного значения курса судна (9).
Для проверки корректности полученных результатов было выполнено моделирование системы управления движением судна по траектории, реализующий алгоритм на основе формулы (13). Результаты численных экспериментов подтвердили работоспособность предложенных алгоритмов. Примеры траекторий судна при обходе одного и двух препятствий приведены на рисунках 18-19.
Рисунок 18 – Траектория движения судна при одном препятствии
Рисунок 19 – Траектория движения судна при двух препятствиях
Предложенный алгоритм обеспечивает обход препятствий и возврат судна на изначально заданную программную траекторию.
В работе также исследована возможность непосредственного формирования поля векторов градиента вспомогательной функции без явного задания ее аналитического вида.
Далее в работе была показана возможность применения разработанных алгоритмов исистем для решения задачи расхождения и обгона судов. Суда представляют собой взаимные динамические препятствия. В связи с этим координаты первого судна можно считать координатами препятствия для другого судна, которые входят в соответствующие выражения для штрафных вспомогательных функций, использованных при формировании курса второго судна. И наоборот, координаты второго судна представляют собой координаты препятствия, входящего в штрафную функцию, используемую при управлении первым судном. Моделирование подтвердило, что разработанные алгоритмы обеспечивают расхождение иэффективность применения предложенного подхода. На рисунке 20 показаны результаты моделирования расхождения двух контейнеровозов с водоизмещением порядка 100 тысяч тонн в соответствии с правилами МППСС-72. Первоначальное расстояние между судами равно 20 миль. Скорость движения судов – 20 узлов. Моделирование показало, чтоминимальное расстояние между судами составило 5 миль и соответствует предъявляемым требованиям.
Рисунок 20 – Траектория движения судов при расхождении (при = 700 с,1500 с, 2000 с, 2700 с)
На рисунке 21 показаны результаты моделирования движения судов при обгоне, соответствующие предъявляемым требованиям.
Рисунок 21 – Траектория движения судов при обгоне

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе диссертационного исследования решены следующие задачи:
1. Разработан и исследован алгоритм параметрической идентификации математической модели динамики судна, основанный на применении псевдообратных матриц измерений вектора состояния объекта управления. Использование псевдообратных матриц, содержащих избыточные измерения компонентов вектора состояния судна, позволяет компенсировать погрешности, вызванные влиянием внешней среды и неточностями измерений.
Разработан алгоритм, использующий псевдообратные матицы и численную оптимизацию, который позволил с высокой степенью точности выполнить параметрическую идентификацию динамики судна (безэкипажного катера) по курсу на основе экспериментальных данных, полученных в ходе морских испытаний.
Предложена нелинейная математическая модель продольного движения судна, учитывающая возможность его выхода в режим глиссирования. На основе данных морских испытаний реального безэкипажного судна (катера) методом численной оптимизации идентифицированы параметры разработанной нелинейной математической модели.
2. Разработаны и исследованы алгоритмы и системы управления движением судна по траектории, основанные на использовании градиента специально вводимых вспомогательных функций. Эффективность предложенных алгоритма и системы управления движением судна по траектории, в том числе в условиях действия течений, подтверждена численными экспериментами.
3.Разработана и исследована схема адаптивной коррекции параметров алгоритма управления судном, которая обеспечивает высокую точность движения по траектории в условиях действия течений. Численные эксперименты показали, что разработанный алгоритм обеспечивает асимптотическое приближение траектории судна к заданной.
4. В ходе морских испытаний на базе безэкипажного судна (катера) выполнена экспериментальная проверка и подтверждена эффективность разработанных основного алгоритма и системы управления движением по траектории на основе градиента вспомогательных функций.
5. Введено понятие вспомогательных штрафных функций, позволяющих обобщить разработанный подход на случай движения судна по траектории при наличии статических препятствий. Использование вспомогательной штрафной функции позволяет формировать программное значение курса судна, при котором обеспечивается обход препятствий с дальнейшим выходом на ранее запланированную программную траекторию. Продемонстрирована принципиальная возможность применения разработанных алгоритмов и систем для решения задач управления при расхождении и обгоне судов. Численные эксперименты для различных видов вспомогательных штрафных функций подтвердили работоспособность и эффективность предложенных решений.